1.2锐角三角函数的计算
【知识点1】锐角三角函数的增减性 1
【知识点2】计算器—三角函数 1
【题型1】用计算器求任何锐角的三角函数值 2
【题型2】应用计算器求解 3
【题型3】锐角三角函数的增减性及其应用 4
【题型4】应用锐角三角函数的增减性求取值范围 5
【题型5】应用锐角三角函数解决几何图形问题 6
【题型6】应用锐角三角函数的增减性比大小 7
【题型7】应用锐角三角函数解决实际问题 7
【题型8】已知任何锐角三角函数值求角度 10
【知识点1】锐角三角函数的增减性
（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
【知识点2】计算器—三角函数
（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“=”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sinα=0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“=”即可得到结果．
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
【题型1】用计算器求任何锐角的三角函数值
【典型例题】已知sinA＝0.8192，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】右图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算sin34°，按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A.2～3 B.3～4 C.4～5 D.5～6
【举一反三3】用计算器求一个角的正弦值的顺序是：先按动 ，使显示器左边出现DEG，再依次按数字键，再按 符号，就得到结果．
【举一反三4】用计算器求下列格式的值（结果精确到0.0001）．
（1）tan63°27′；
（2）cos18°59′27″；
（3）sin67°38′24″．
【题型2】应用计算器求解
【典型例题】如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：
，显示屏显示的结果为88.44300964．将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是（ ）
A.36.79°的正切函数值约为88.4
B.正切函数值为36.79的角约是88.4
C.36°79′的正切函数值约为88.4
D.正切函数值为36.79的角约是88°4′
【举一反三1】用计算器求sin15°、sin25°、sin35°、sin45°、sin55°、sin65°、sin75°、sin85°的值，研究sinα的值随锐角α变化的规律，根据这个规律判断：若，则（ ）
A.30°＜α＜60° B.30°＜α＜90° C.0°＜α＜60° D.60°＜α＜90°
【举一反三2】A：一个正多边形的一个外角为36°，则这个多边形的对角线有 条．
B：在△ABC中AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，则∠A的度数约为 ．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°．）
【举一反三3】用科学计算器计算：×tan26°＝ ．（结果精确到0.01）
【举一反三4】用计算器求下列各式的值：（精确到0.0001）
（1）cos38°39′；
（2）sin69°12′51″+cos31°21′10″；
（3）tan25°+tan25′+tan25″．
【举一反三5】计算：tan30°（tan34°﹣cos35°）0+sin45.5°×（sin23°﹣cos67°）+tan45°×tan60°．
【题型3】锐角三角函数的增减性及其应用
【典型例题】观察下列各式：①sin59°＞sin28°；②0＜cosα＜1（α是锐角）；③tan30°+tan45°＝tan75°，其中成立的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【举一反三1】如图，是半径为1的半圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则△COD的面积S的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A的度数不断增大时，cosA的值的变化情况是（ ）
A.不断变大 B.不断减小 C.不变 D.不能确定
【举一反三3】如图，sinA的值越 ，梯子越陡；cosA的值越 ，梯子越陡．
【举一反三4】学过三角函数之后，小明同学明白了梯子的倾斜程度和∠BAC的三角函数值有关．根据如图，请你用∠BAC的正弦（或余弦，或余弦）的大小来描述梯子的倾斜程度： ．
【举一反三5】已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．
（1）求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
（2）锐角的正切函数值随角度的增大而 ．
【举一反三6】如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B，C不重合），作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，在D点的运动过程中，试判断BE+CF的值是否发生改变？
【题型4】应用锐角三角函数的增减性求取值范围
【典型例题】如图，△ABC是锐角三角形，sinC＝，则sinA的取值范围是（ ）
A.0 B. C. D.
【举一反三1】若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）
A.30°＜α＜45° B.45°＜α＜60° C.60°＜α＜90° D.30°＜α＜60°
【举一反三2】根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角α，都有sin2α+cos2α＝1．如果关于x的方程3x2sinα﹣4xcosα+2＝0有实数根，那么锐角α的取值范围是 ．
【举一反三3】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，求∠A的取值范围．
【举一反三4】已知，求锐角α的取值范围．
【题型5】应用锐角三角函数解决几何图形问题
【典型例题】如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB为（ ）
A.（+1）米 B.（+）米 C.3米 D.（+1）米
【举一反三1】2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B．若AB＝600m，则这名滑雪运动员下滑的垂直高度AC为（ ）
A.600sinαm B.600cosαm C.600tanαm D.600m
【举一反三2】等腰三角形中，腰和底的长分别是10和13，则三角形底角的度数约为 ．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）
【举一反三3】如图，D是△ABC的边AB上一点且BD＝2AD，CD＝6，cos∠BCD＝，那么BC边上的高AE＝ ．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，△ABO是直角三角形，∠A＝90°，点B在x轴上，AO＝5，cosα＝．
（1）求点A的坐标；
（2）求∠ABO的正切值；
（3）延长BA，交y轴于点C，求点C的坐标．
【举一反三5】在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝26．求△ABC的周长．
【题型6】应用锐角三角函数的增减性比大小
【典型例题】请比较sin30°、cos45°、tan60°的大小关系（ ）
A.sin30°＜cos45°＜tan60° B.cos45°＜tan60°＜sin30° C.tan60°＜sin30°＜cos45° D.sin30°＜tan60°＜cos45°
【举一反三1】sin65°与cos26°之间的关系为（ ）
A.sin65°＜cos26° B.sin65°＞cos26° C.sin65°＝cos26° D.sin65°+cos26°＝1
【举一反三2】在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为 ，写出sin70°、cos40°、cos50°的大小关系 ．
【举一反三3】用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．
【题型7】应用锐角三角函数解决实际问题
【典型例题】如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的C处架起测角仪，测角仪的高CD＝1.4米，从点D测得教学大楼顶端A的仰角为α，测角仪底部C到大楼底部B的距离是25米，那么教学大楼AB的高是（ ）
A.1.4+25sinα B.1.4+25cosα C.1.4+25tanα D.1.4+25cotα
【举一反三1】图1是某款篮球架，图2是其部分示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA相交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，AC＝0.5米，OG＝1.8米，∠AGC＝α，则立柱的高OA为（ ）米．
A. B. C. D.0.5sinα+1.8
【举一反三2】路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD与地面垂直且CD＝6m，则灯顶A到地面的高度为（ ）
A.（6+1.2sin25°）m B.（6+1.2cos25°）m C. D.
【举一反三3】如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB＝1.6m，则OC的长为 .（结果保留0.1米）（sin20°＝0.34，cos20°＝0.94，tan20°＝0.36）
【举一反三4】图①是某款电动平衡车，图②是其简化示意图，该款平衡车的座位AB和底盘CD均平行于地面，座位AB可沿射线EF方向调节，当座位AB的位置最低时，支架EF＝27cm，GE＝35cm，支架EF与座位AB的夹角∠EFB＝70°，与支架GE的夹角∠GEF＝115°，底盘CD到地面的距离为10cm，则此时座位AB到地面的高度为 cm．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，≈1.41）
【举一反三5】图1是某品牌电动单人沙发的实物图，在电动沙发调节过程中沙发的座深BC与水平地面是平行的．图2是电动沙发在初始状态时的侧面示意图，靠背AB与座垫BC的夹角∠ABC＝110°，座垫BC与脚托CD垂直，即BC⊥CD，且点D恰好落在水平地面EF上．为满足不同使用功能的需要，通过控制开关可以电动调节AB和CD分别绕点B和点C旋转合适的角度，其侧面示意图如图3所示．已知电动沙发的产品尺寸为：AB＝50cm，BC＝50cm，CD＝40cm．在电动调节过程中始终满足∠A′BA：∠DCD′＝5：8，且110°≤∠A′BC≤160°．
（1）在电动沙发的初始状态时，求靠背的最高点A到水平地面的距离；
（2）在电动调节的过程中，求出此电动沙发可伸展的最大水平距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，结果精确到1cm）
【题型8】已知任何锐角三角函数值求角度
【典型例题】下列计算不正确的是（ ）
A.sinα＝0.3275，则a≈19°7′2″
B.sinβ＝0.0547，则β≈3°8'8”
C.sinγ＝0.9806，则γ≈78°41′45″
D.sinA＝0.726，则A≈45°36'8″
【举一反三1】计算器显示结果为sin﹣10.9816＝78.9918的意思正确的是（ ）
A.计算已知正弦值的对应角度 B.计算已知余弦值的对应角度 C.计算一个角的正弦值 D.计算一个角的余弦值
【举一反三2】已知三角函数值求角度，要用到 、 、 键的第二功能 、 、 和 键．
【举一反三3】用计算器求锐角x（精确到1″）：
（1）sinx＝0.1523，x≈ ；
（2）cosx＝0.3712，x≈ ；
（3）tanx＝1.7320，x≈ ．
【举一反三4】已知tanβ＝sin39°19′+cos80°10′，求锐角β的值．（结果精确到1′）1.2锐角三角函数的计算
【知识点1】锐角三角函数的增减性 1
【知识点2】计算器—三角函数 1
【题型1】用计算器求任何锐角的三角函数值 2
【题型2】应用计算器求解 4
【题型3】锐角三角函数的增减性及其应用 6
【题型4】应用锐角三角函数的增减性求取值范围 10
【题型5】应用锐角三角函数解决几何图形问题 12
【题型6】应用锐角三角函数的增减性比大小 16
【题型7】应用锐角三角函数解决实际问题 17
【题型8】已知任何锐角三角函数值求角度 23
【知识点1】锐角三角函数的增减性
（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
【知识点2】计算器—三角函数
（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“=”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sinα=0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“=”即可得到结果．
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
【题型1】用计算器求任何锐角的三角函数值
【典型例题】已知sinA＝0.8192，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】此题求正弦值0.8129对应的锐角，需要计算器的2ndf键．
求多少度的正弦值是0.8192，需要先按2ndf键，接着按sin键，再输入数值．
故选：D．
【举一反三1】右图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算sin34°，按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．
利用该型号计算器计算 sin34°，按键顺序正确的是：
故选：A．
【举一反三2】某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A.2～3 B.3～4 C.4～5 D.5～6
【答案】B
【解析】用计算器计算得3.464101615……得出答案．
使用计算器计算得，
4sin60°≈3.464101615，
故选：B．
【举一反三3】用计算器求一个角的正弦值的顺序是：先按动 ，使显示器左边出现DEG，再依次按数字键，再按 符号，就得到结果．
【答案】MODE，sin．
【解析】先按动MODE，使显示器左边出现DEG，再依次按数字键，再按sin符号，就得到结果．
用计算器求一个角的正弦值的顺序是：先按动MODE，使显示器左边出现DEG，再依次按数字键，再按sin符号，就得到结果．
故答案为：MODE，sin．
【举一反三4】用计算器求下列格式的值（结果精确到0.0001）．
（1）tan63°27′；
（2）cos18°59′27″；
（3）sin67°38′24″．
【答案】解：（1）tan63°27′≈2.0013；
（2）cos18°59′27″≈0.9456；
（3）sin67°38′24″≈0.9248．
【题型2】应用计算器求解
【典型例题】如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：
，显示屏显示的结果为88.44300964．将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是（ ）
A.36.79°的正切函数值约为88.4
B.正切函数值为36.79的角约是88.4
C.36°79′的正切函数值约为88.4
D.正切函数值为36.79的角约是88°4′
【答案】B
【解析】根据计算器的使用方法进行解题即可．
根据计算器的使用方法可知，
正切函数值为36.79的角约是88.4．
故选：B．
【举一反三1】用计算器求sin15°、sin25°、sin35°、sin45°、sin55°、sin65°、sin75°、sin85°的值，研究sinα的值随锐角α变化的规律，根据这个规律判断：若，则（ ）
A.30°＜α＜60° B.30°＜α＜90° C.0°＜α＜60° D.60°＜α＜90°
【答案】A
【解析】先求出个锐角的正弦值，得出sinα的值随锐角α的增大而增大，继而由可得答案．
∵sin15°≈0.2588、sin25°≈0.4226、sin35°≈0.5736、sin45°≈0.7071、sin55°≈0.8192、sin65°≈0.9063、sin75°≈0.9659、sin85°≈0.9962，
∴sinα的值随锐角α的增大而增大，
∵，
∴30°＜α＜60°，
故选：A．
【举一反三2】A：一个正多边形的一个外角为36°，则这个多边形的对角线有 条．
B：在△ABC中AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，则∠A的度数约为 ．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°．）
【答案】35；83.7°
【解析】根据多边形的外角和，可得多边形，根据多边形的对角线，可得答案．
A、由一个正多边形的一个外角为36°，得
360÷36＝10，
则这个多边形的对角线有＝35，
B、由AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，得
cosB＝≈0.667，
∴∠B＝48.15°，
∴∠A＝180°﹣2×48.15°＝83.7°
故答案为：35，83.7°．
【举一反三3】用科学计算器计算：×tan26°＝ ．（结果精确到0.01）
【答案】4.71
【解析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，四舍五入法求近似数．
×tan26°＝9.654×0.4877＝4.708≈4.71．
故答案为：4.71．
【举一反三4】用计算器求下列各式的值：（精确到0.0001）
（1）cos38°39′；
（2）sin69°12′51″+cos31°21′10″；
（3）tan25°+tan25′+tan25″．
【答案】解：（1）cos38°39′≈0.7810；
（2）sin69°12′51″+cos31°21′10″≈1.7889；
（3）tan25°+tan25′+tan25″≈0.4737．
【举一反三5】计算：tan30°（tan34°﹣cos35°）0+sin45.5°×（sin23°﹣cos67°）+tan45°×tan60°．
【答案】解：tan30°（tan34°﹣cos35°）0+sin45.5°×（sin23°﹣cos67°）+tan45°×tan60°
＝×（0.68﹣0.82）0+0.71×（0.39﹣0.39）+1×
＝×1+0.71×0+
＝
＝．
【题型3】锐角三角函数的增减性及其应用
【典型例题】观察下列各式：①sin59°＞sin28°；②0＜cosα＜1（α是锐角）；③tan30°+tan45°＝tan75°，其中成立的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C
【解析】根据锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值逐项判断即可得出答案．
由正弦值随着角度的增大而增大可知sin59°＞sin28°，故①正确，符合题意；
∵α是锐角，
∴0＜cosα＜1，故②正确，符合题意；
，故③错误，不符合题意；
综上所述，成立的有①②，共2个，
故选：C．
【举一反三1】如图，是半径为1的半圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则△COD的面积S的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据三角形的面积公式S△COD＝CO ODsin∠COD，因为ab都是圆的半径1，所以sin∠COD的值越大，面积越大进行解答．
S△COD＝CO ODsin∠COD，
∵CO＝OD＝1，
∴S△COD＝sin∠COD，
∵△AOC为等边三角形，
∴∠COB＝120°，
∴0°＜∠COD＜120°，
∴当∠COD＝90°时，sin∠COD最大，最大值是1，
∴△COD的面积S的最大值是．
故选：D．
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A的度数不断增大时，cosA的值的变化情况是（ ）
A.不断变大 B.不断减小 C.不变 D.不能确定
【答案】B
【解析】当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；依此即可求解．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A的度数不断增大时，cosA的值的变化情况是不断减小．
故选：B．
【举一反三3】如图，sinA的值越 ，梯子越陡；cosA的值越 ，梯子越陡．
【答案】大；小．
【解析】根据正弦值和正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，逐一判断即可解答．
梯子与地面的夹角为A，sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡．
故答案为：大；小．
【举一反三4】学过三角函数之后，小明同学明白了梯子的倾斜程度和∠BAC的三角函数值有关．根据如图，请你用∠BAC的正弦（或余弦，或余弦）的大小来描述梯子的倾斜程度： ．
【答案】∠BAC的正弦值越大，梯子越陡．
【解析】先利用正弦的定义得到sin∠BAC＝，由于AB为定值，则BC越大，梯子越陡，所以∠BAC的正弦值越大，梯子越陡．
∵∠ACB＝90°，
∴sin∠BAC＝，
∵AB为定值，
∴BC越大，梯子越陡，
即∠BAC的正弦值越大，梯子越陡．
故答案为：∠BAC的正弦值越大，梯子越陡．
【举一反三5】已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．
（1）求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
（2）锐角的正切函数值随角度的增大而 ．
【答案】解：（1）∵CA⊥AO，
∴△FOA和△EOA均为直角三角形．
∴tan∠AOF＝，tan∠AOE＝．
∴tan∠AOF＞tan∠AOE．
（2）由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大．
故答案为：增大．
【举一反三6】如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B，C不重合），作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，在D点的运动过程中，试判断BE+CF的值是否发生改变？
【答案】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF＝∠DBF．
设CD＝a，DB＝b，∠DCF＝∠DBE＝α，
∴CF＝DC cosα，BE＝DB cosα，
∴BE+CF＝（DB+DC）cosα＝BCcosα．
∵∠ABC＝90°，
∴0＜α＜90°．
当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，cosα的值是逐渐减小的，
∴BE+CF＝BCcosα的值是逐渐减小的．
综上，在D点的运动过程中，BE+CF的值是逐渐减小的．
【题型4】应用锐角三角函数的增减性求取值范围
【典型例题】如图，△ABC是锐角三角形，sinC＝，则sinA的取值范围是（ ）
A.0 B. C. D.
【答案】D
【解析】作AH⊥BC于H，如图，根据正弦定义得到sinC＝＝，则可设AH＝4x，AC＝5x，利用勾股定理得到CH＝3x，所以sin∠HAC＝＝，由于∠HAC＜∠BAC＜90°，然后根据正弦函数为增函数即可得到sin∠BAC的范围．
作AH⊥BC于H，如图，
在Rt△ACH中，sinC＝＝，
设AH＝4x，AC＝5x，
所以CH＝＝3x，
所以sin∠HAC＝＝，
∵∠HAC＜∠BAC＜90°，
∴＜sin∠BAC＜1．
故选：D．
【举一反三1】若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）
A.30°＜α＜45° B.45°＜α＜60° C.60°＜α＜90° D.30°＜α＜60°
【答案】B
【解析】先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．
∵α是锐角，
∴cosα＞0，
∵cosα＜，
∴0＜cosα＜，
又∵cos90°＝0，cos45°＝，
∴45°＜α＜90°；
∵α是锐角，
∴tanα＞0，
∵tanα＜，
∴0＜tanα＜，
又∵tan0°＝0，tan60°＝，
0＜α＜60°；
故45°＜α＜60°．
故选：B．
【举一反三2】根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角α，都有sin2α+cos2α＝1．如果关于x的方程3x2sinα﹣4xcosα+2＝0有实数根，那么锐角α的取值范围是 ．
【答案】0＜α≤30°
【解析】利用方程有实根判别式大于或等于零可得出关于α三角函数值的方程，然后利用因式分解的知识进行判断可得出sinα的取值范围，从而可解得答案．
由Δ＝16cos2α﹣24sinα＝16（1﹣sin2α）﹣24sinα≥0得：2sin2α+3sinα﹣2≤0，
∴（sinα+2）（2sinα﹣1）≤0．
又∵sinα+2＞0，
∴．
故答案为：0＜α≤30°．
【举一反三3】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，求∠A的取值范围．
【答案】解：∵∠A是Rt△ABC的一个内角，
∴∠A＜90°，
∵sinA＜，
∴0°＜∠A＜45°．
【举一反三4】已知，求锐角α的取值范围．
【答案】解：∵cos30°＝，cos45°＝，cos＝，
∴cos45°＜cosα＜cos30°，
∵α为锐角时，cosα随α的增大而减小，
∴30°＜α＜45°．
即锐角α的取值范围是30°＜α＜45°．
【题型5】应用锐角三角函数解决几何图形问题
【典型例题】如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB为（ ）
A.（+1）米 B.（+）米 C.3米 D.（+1）米
【答案】A
【解析】由于两边的墙都和地面垂直，所以构成了两个直角三角形，我们所要求的AO、BO都是已知角45°、60°的邻边，所以可根据余弦定义解题．首先求出AO，BO，然后求出AB．
由于两边的墙都和地面垂直，所以构成了两个直角三角形．
∵cos45°＝＝，
∴米；
而cos60°＝＝，
∴BO＝米．
∴AB＝AO+BO＝＝米．
故选：A．
【举一反三1】2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B．若AB＝600m，则这名滑雪运动员下滑的垂直高度AC为（ ）
A.600sinαm B.600cosαm C.600tanαm D.600m
【答案】A
【解析】根据正弦的定义计算即可．
在Rt△ABC中，∠B＝α，AB＝600m，
∵sinB＝，
∴AC＝AB sinB＝600sinα（m），
故选：A．
【举一反三2】等腰三角形中，腰和底的长分别是10和13，则三角形底角的度数约为 ．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）
【答案】49.5°
【解析】首先画出图形，再利用cosB＝＝，结合计算器求出答案．
如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，
∵腰和底的长分别是10和13，
∴BD＝，
∴cosB＝＝＝，
∴∠B≈49.5°．
故答案为：49.5°．
【举一反三3】如图，D是△ABC的边AB上一点且BD＝2AD，CD＝6，cos∠BCD＝，那么BC边上的高AE＝ ．
【答案】
【解析】作DF⊥BC于点F，在Rt△CDF中，由CD的长和∠BCD的余弦值，可求DF的长；再根据△BDF∽△BAE，可求AE的长．
过点D作DF⊥BC于点F．
在Rt△CDF中，CD＝6，cos∠BCD＝，
∴sin∠BCD＝，DF＝CD×sin∠BCD＝3．
∵∠B＝∠B，∠BFD＝∠BEA，
∴△BFD∽△BEA，
∴＝
即：＝
解得：AE＝．
故答案为：
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，△ABO是直角三角形，∠A＝90°，点B在x轴上，AO＝5，cosα＝．
（1）求点A的坐标；
（2）求∠ABO的正切值；
（3）延长BA，交y轴于点C，求点C的坐标．
【答案】解：（1）过点A作AN⊥OB于点N，
则cosα＝＝，
则ON＝3，
则AN＝＝4，
则点A的坐标为：（3，4）；
（2）由（1）知，tanα＝，
∵∠AOB+∠B＝90°，
则tan∠ABO＝；
（3）如下图，延长BC交y轴于点C，
由（2）知，tan∠ABO＝，
在Rt△OAB中，cosα＝＝，
则OB＝，
则tan∠ABO＝＝＝，
解得：OC＝，
即点C（0，）．
【举一反三5】在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝26．求△ABC的周长．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝26，
∴sinA＝＝，
∴BC＝24，
∴AC＝＝＝10，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝26+10+24＝60．
【题型6】应用锐角三角函数的增减性比大小
【典型例题】请比较sin30°、cos45°、tan60°的大小关系（ ）
A.sin30°＜cos45°＜tan60° B.cos45°＜tan60°＜sin30° C.tan60°＜sin30°＜cos45° D.sin30°＜tan60°＜cos45°
【答案】A
【解析】利用特殊角的三角函数值得到sin30°＝，cos45°＝，tan60°＝，从而可以比较三个三角函数大小．
∵sin30°＝，cos45°＝，tan60°＝，
而＜＜，
∴sin30°＜cos45°＜tan60°．
故选：A．
【举一反三1】sin65°与cos26°之间的关系为（ ）
A.sin65°＜cos26° B.sin65°＞cos26° C.sin65°＝cos26° D.sin65°+cos26°＝1
【答案】B
【解析】首先要将它们转换为同一种锐角三角函数，再根据函数的增减性进行解析．
∵cos26°＝sin64°，正弦值随着角的增大而增大，
∴sin65°＞cos26°．
故选：B．
【举一反三2】在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为 ，写出sin70°、cos40°、cos50°的大小关系 ．
【答案】CosA＝；sin70°＞cos40°＞cos50°．
【解析】根据余弦的定义即可确定答案；先化成“同名锐角三角函数”再比较，根据sin70°＝cos20°且余弦随角度的增大而减小即可确定大小关系．
∵直角三角形ABC中，角C为直角
∴AB为斜边，BC是锐角∠A的对边，AC为锐角∠A的邻边，
又∴锐角A的余弦表示锐角A的邻边与斜边的比，
即cosA＝，
∴余弦的定义为cosA＝；
∵sin70°＝cos20°且余弦值在锐角范围内随角度的增大而减小，
∴cos20°＞cos40°＞cos50°，
∴sin70°＞cos40°＞cos50°，
故答案为：cosA＝；sin70°＞cos40°＞cos50°．
【举一反三3】用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．
【答案】解：∵75°＞60°＞30°＞15°，
∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．
【题型7】应用锐角三角函数解决实际问题
【典型例题】如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的C处架起测角仪，测角仪的高CD＝1.4米，从点D测得教学大楼顶端A的仰角为α，测角仪底部C到大楼底部B的距离是25米，那么教学大楼AB的高是（ ）
A.1.4+25sinα B.1.4+25cosα C.1.4+25tanα D.1.4+25cotα
【答案】C
【解析】通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出AE即可．
如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则CD＝BE＝1.4米，DE＝BC＝25米，
在Rt△ADE中，DE＝25米，∠ADE＝α，
∴AE＝tanα DE＝25tanα（米），
∴AB＝AE+BE＝（1.4+25tanα）米，
故选：C．
【举一反三1】图1是某款篮球架，图2是其部分示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA相交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，AC＝0.5米，OG＝1.8米，∠AGC＝α，则立柱的高OA为（ ）米．
A. B. C. D.0.5sinα+1.8
【答案】A
【解析】先在Rt△AGC中利用直角三角形的边角间关系表示出AG，再利用线段的和差关系得结论．
∵CG⊥CD，
∴∠ACG＝90°．
在Rt△AGC中，
∵sin∠AGC＝，
∴AG＝＝．
∴OA＝OG+AG
＝1.8+．
故选：A．
【举一反三2】路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD与地面垂直且CD＝6m，则灯顶A到地面的高度为（ ）
A.（6+1.2sin25°）m B.（6+1.2cos25°）m C. D.
【答案】A
【解析】连接AB，延长CD交AB于点E，由题意可知：∠ACE＝∠ACB＝65°，然后利用锐角三角函数的定义可求出CE的长度．
连接AB，延长DC交AB于点E，
由题意可知：∠ACE＝∠ACB＝65°，
在Rt△ACD中，
cos∠ACE＝cos65°＝，
∴CE＝1.2cos65°（m），
∴点A到地面的高度为：CE+CD＝（1.2cos65°+3）m，
∵cos65°＝sin25°，
∴CE+CD＝（1.2sin25°+6）m，
故选：A．
【举一反三3】如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB＝1.6m，则OC的长为 .（结果保留0.1米）（sin20°＝0.34，cos20°＝0.94，tan20°＝0.36）
【答案】0.3．
【解析】根据正弦的定义计算，得到答案．
∵O为跷跷板AB的中点，AB＝1.6m，
∴OB＝AB＝0.8m，
∵sinB＝，
∴OC＝OB sinB＝0.8×0.34≈0.3（m），
故答案为：0.3．
【举一反三4】图①是某款电动平衡车，图②是其简化示意图，该款平衡车的座位AB和底盘CD均平行于地面，座位AB可沿射线EF方向调节，当座位AB的位置最低时，支架EF＝27cm，GE＝35cm，支架EF与座位AB的夹角∠EFB＝70°，与支架GE的夹角∠GEF＝115°，底盘CD到地面的距离为10cm，则此时座位AB到地面的高度为 cm．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，≈1.41）
【答案】60．
【解析】过点E作EH⊥GD，垂足为H，延长HE交AB的延长线于点M，根据已知易得：HM⊥AB，然后在Rt△EFM中，利用锐角三角函数的定义可求出EM的长，再在Rt△GEH中，利用锐角三角函数的定义可求出EH的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
过点E作EH⊥GD，垂足为H，延长HE交AB的延长线于点M，
∵AB∥CD，
∴HM⊥AB，
在Rt△EFM中，∠EFB＝70°，EF＝27cm，
∴∠FEM＝90°﹣∠EFB＝20°，EM＝EF sin70°≈27×0.94＝25.38（cm），
∵∠GEF＝115°，
∴∠GEH＝180°﹣∠GEF﹣∠FEM＝45°，
在Rt△GEH中，GE＝35cm，
∴EH＝EG sin45°＝35×＝17.5（cm），
∵底盘CD到地面的距离为10cm，
∴此时座位AB到地面的高度＝EM+EH+10＝25.38+17.5+10≈60（cm），
故答案为：60．
【举一反三5】图1是某品牌电动单人沙发的实物图，在电动沙发调节过程中沙发的座深BC与水平地面是平行的．图2是电动沙发在初始状态时的侧面示意图，靠背AB与座垫BC的夹角∠ABC＝110°，座垫BC与脚托CD垂直，即BC⊥CD，且点D恰好落在水平地面EF上．为满足不同使用功能的需要，通过控制开关可以电动调节AB和CD分别绕点B和点C旋转合适的角度，其侧面示意图如图3所示．已知电动沙发的产品尺寸为：AB＝50cm，BC＝50cm，CD＝40cm．在电动调节过程中始终满足∠A′BA：∠DCD′＝5：8，且110°≤∠A′BC≤160°．
（1）在电动沙发的初始状态时，求靠背的最高点A到水平地面的距离；
（2）在电动调节的过程中，求出此电动沙发可伸展的最大水平距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，结果精确到1cm）
【答案】解：（1）延长CB至点H，过点A作AQ⊥EF，交EF于点Q，交CH于点P，
∵∠ABC＝110°，
∴∠ABP＝180°﹣110°＝70°，
∵在Rt△ABP中，AB＝50cm，
∴AP＝AB sin70°＝50×0.94＝47（cm），
∵PC∥DQ，PQ⊥DQ，CD⊥DQ，
∴PQ＝CD＝40cm，
∵AQ＝AP+PQ＝47+40＝87（cm），
∴靠背的最高点A到水平地面的距离为87cm；
（2）l为BC所在直线，过点A′作A′S⊥l，垂直为点S，过点D′作D′T⊥l，垂足为点T，
当电动沙发伸展的最大水平距离时，即∠A′BC＝160°，
∴∠A′BS＝180°﹣∠A′BC＝180°﹣160°＝20°，∠BA′S＝90°﹣∠A′BS＝70°，
由题意可知，A′B＝AB＝50cm，CD′＝CD＝40cm，
在Rt△A′BS中，
∴BS＝A′B sin70°＝50×0.94＝47（cm），
又∵∠A′BA＝∠A′BC﹣∠ABC＝160°﹣110°＝50°，
∵∠A′BA：∠DCD′＝5：8，
∴∠DCD′＝80°，
∠CD′T＝∠DCD′＝70°，
在Rt△CD′T中，
∴CT＝CD′ sin80°＝40×0.98＝39.2（cm），
∴ST＝BS+BC+CT＝47+50+39.2＝136.2≈136（cm），
则电动沙发伸展的最大水平距离为136cm．
【题型8】已知任何锐角三角函数值求角度
【典型例题】下列计算不正确的是（ ）
A.sinα＝0.3275，则a≈19°7′2″
B.sinβ＝0.0547，则β≈3°8'8”
C.sinγ＝0.9806，则γ≈78°41′45″
D.sinA＝0.726，则A≈45°36'8″
【答案】D
【解析】先利用科学计算器计算出各函数值的度数，再利用度分秒的换算得结论．
A．sinα＝0.3275，则a≈19.117°≈19°7′2″，故选项A计算正确；
B．sinβ＝0.0547，则β≈3.1356°≈3°8′8″，故选项B计算正确；
C．sinγ＝0.9806，则γ≈78.6957°≈78°41′45″，故选项C计算正确；
D．sinA＝0.726，则∠A≈46.5521°≈46°33′8″，故选项D计算不正确．
故选：D．
【举一反三1】计算器显示结果为sin﹣10.9816＝78.9918的意思正确的是（ ）
A.计算已知正弦值的对应角度 B.计算已知余弦值的对应角度 C.计算一个角的正弦值 D.计算一个角的余弦值
【答案】A
【解析】sin﹣10.9816＝78.9918表示计算已知正弦值的对应角度．
sinA＝0.9816，
按键顺序：2ndf，sin，9，8，1，6，＝，
显示结果应为：sin﹣10.9816＝78.99184039．
故选：A．
【举一反三2】已知三角函数值求角度，要用到 、 、 键的第二功能 、 、 和 键．
【答案】sin，cos，tan，sin﹣1，cos﹣1，tan﹣1，2ndf．
【解析】由于用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数，因此需要用到sin，cos，tan，sin﹣1，cos﹣1，tan﹣1，2ndf键．
由计算器的使用说明可知：三角函数值求角度，要用到sin，cos，tan键的第二功能sin﹣1，cos﹣1，tan﹣1和2ndf键．
故答案为sin，cos，tan，sin﹣1，cos﹣1，tan﹣1，2ndf．
【举一反三3】用计算器求锐角x（精确到1″）：
（1）sinx＝0.1523，x≈ ；
（2）cosx＝0.3712，x≈ ；
（3）tanx＝1.7320，x≈ ．
【答案】（1）8°45′37″；（2）68°12′37″；（3）59°59′57″
【解析】（1）解析题意，回想利用计算器求已知三角函数值的锐角度数的方法；
（2）结合自己所使用的计算器，首先了解其按键顺序；
（3）再根据已知所给数据，利用计算器进行计算即可，注意精确度．
（1）按MODE，出现：DEG，按SHIFT，sin，0.1523，＝，显示：8.760239，按“DEG ”显示：8°45′37″；
故答案为：8°45′37″；
（2）按MODE，出现：DEG，按SHIFT，cos，0.3712，＝，显示：68.210278，按“DEG ”显示：68°12′37″；
故答案为：68°12′37″；
（3）按MODE，出现：DEG，按SHIFT，tan，（，1，÷，1.7320，）＝，显示：59.999272，按，“DEG ”，显示：59°59′57″，
故答案为：59°59′57″．
【举一反三4】已知tanβ＝sin39°19′+cos80°10′，求锐角β的值．（结果精确到1′）
【答案】解：∵tanβ＝sin39°19′+cos80°10′≈0.6336+0.1707＝0.8043，
∴∠β≈38°49′
