1.3解直角三角形
【知识点1】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 1
【知识点2】解直角三角形的应用-方向角问题 1
【知识点3】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 2
【知识点4】解直角三角形的应用 2
【知识点5】解直角三角形 2
【题型1】解直角三角形的应用—仰角俯角问题 2
【题型2】解直角三角形的应用—线段长度问题 5
【题型3】解直角三角形 7
【题型4】解直角三角形求图形面积 8
【题型5】解直角三角形求三角函数值 8
【题型6】解直角三角形的应用—距离高度问题 10
【题型7】解直角三角形求边长 12
【题型8】解直角三角形的应用—坡度坡角问题 12
【题型9】解直角三角形的应用—方向角问题 14
【知识点1】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
【知识点2】解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
【知识点3】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
【知识点4】解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
【知识点5】解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；
②三边之间的关系：a2+b2=c2；
③边角之间的关系：
sinA==，cosA==，tanA==．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
【题型1】解直角三角形的应用—仰角俯角问题
【典型例题】某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC．如图，无人机在P处测得正前方河流的点B处的俯角∠DPB＝α，点C处的俯角∠DPC＝45°，点A，B，C在同一条水平直线上．若AP＝45m，tanα＝3，则河流的宽度BC为（ ）
A.30m B.25m C.20m D.15m
【举一反三1】我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物CD的高度，如图，建筑物CD前有一段坡度为i＝1：2的斜坡BE，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37°，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为45°，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度AB＝EF＝1.5米，则建筑物CD的高度约为（ ）米．（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A.38.5米 B.39.0米 C.40.0米 D.41.5米
【举一反三2】如图，在塔前的平地上选择一点A，由A点看塔顶的仰角是α，在A点和塔之间选择一点B，由B点看塔顶的仰角是β．若测量者的眼睛距离地面的高度为1.5m，AB＝9m，α＝45°，β＝50°，则塔的高度大约为（ ）m．
（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）
A.55.5 B.54 C.46.5 D.45
【举一反三3】如图，学校教学楼AB的后面有一栋宿舍楼CD，当光线与地面的夹角是25°时，教学楼在宿舍楼的墙上留下高3m的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有20m的距离（B，F，C在一条直线上），则教学楼AB的高度为 m．（结果精确到1m，参考数据：sin25°≈0.42．cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）
【举一反三4】如图，小文家所在居民楼高AB为56m，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角α是45°，大厦底部D的俯角β是37°，大厦的高度CD是 m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【举一反三5】脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为30°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为63.5°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．
（1）求屋顶到横梁的距离AG（结果精确到0.1m）；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
（参考数据sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，≈1.73）
【题型2】解直角三角形的应用—线段长度问题
【典型例题】如图是一张高脚木凳，AC∥EF∥GH，AB＝CD，点E，G是AB的三等分点，已知EF与GH之间的距离为25cm，∠EGH＝80°，则椅脚AB的长度为（ ）cm．
A. B.75sin80° C. D.
【举一反三1】在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠1，那么钢管AB的长为（ ）
A. B. C.m cos∠1 D.m sin∠1
【举一反三2】某景区在距离地面310米的悬崖点O处垂直水平线搭建了一个悬崖秋千，秋千拉绳均由钢管制作而成，当游客乘坐该秋千时，机器会将秋千拉至最高接近与地面平行的点B处（此时∠BAO＝84°），然后放下．该悬崖秋千以其惊险刺激立即成为网红打卡地．
（1）若秋千放下1秒后∠CAO＝45°，点B，C间的垂直距离为12米，则秋千拉绳OA的长为 米．
（2）若某一时刻秋千荡至与点C水平距离相距30米的点D处时，秋千底端距离悬崖底部 米．（结果保留整数，参考数据：sin84°≈0.99，cos84°≈0.10；sin45°＝cos45°≈0.70，sin53°≈0.80；cos53°≈0.60）
【举一反三3】某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB∥DC，∠BAE＝90°，根据图中的数据计算CD的长为 cm（精确到1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【举一反三4】综合实践：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度？
素材1：如图1，一种路灯由灯杆AB和灯管支架BC两部分构成，已知灯杆AB与地面垂直，灯管支架BC与灯杆AB的夹角∠ABC＝127°．
素材2：如图2，在路灯正前方的点D处测得∠ADB＝37°，∠ADC＝45°，AD＝400cm．
根据以上素材解决问题：
（1）求灯杆AB的长度．
（2）求灯管支架BC的长度．
（结果精确到1cm．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【题型3】解直角三角形
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A.解直角三角形只需已知除直角外的2个元素 B.sin30°+cos30°＝1 C.＝c或a＝c sinA D.以上说法都不对
【举一反三1】△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，∠C＝90°，点C的坐标为（，﹣），则点B的坐标是（ ）
A.（，0） B.（，0） C.（，0） D.（2，0）
【举一反三2】下列说法正确的是 ．（只填序号）
①sinA，cosA，tanA都是A的函数；
②在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA表示斜边与∠A的邻边的比；
③在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA表示∠A的对边与邻边的比．
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C的对边．
（1）三边的关系： ；
（2）两个锐角的关系： ；
（3）边角之间的关系： 、 、 ．
【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，求∠A的三个三角函数值．
【题型4】解直角三角形求图形面积
【典型例题】在Rt△ABC中，若∠B＝75°，∠C＝90°，BC＝1，则Rt△ABC的面积是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，AB＝4，M为AB的中点，MN⊥BC，则△MNB的面积为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数的比是1：2：3，AB＝4cm，则△ABC的面积是 ．
【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，若c＝2，b＝2，则cosB＝ ，S△ABC＝ ．
【举一反三4】矩形的周长是28，对角线与一边的夹角的正弦值为，求这个矩形的面积．
【题型5】解直角三角形求三角函数值
【典型例题】如图，在△ABC中，AC＝1，BC＝2，AB＝，则sinB的值是（ ）
A. B. C.2 D.
【举一反三1】如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．垂足为D．分别指出∠A和∠B的对边、邻边，并完成下列问题．
（1）tanA＝ ＝ ；
（2）tanB＝ ＝ ．
【举一反三4】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，tan∠DAC＝．
（1）求边AC的长；
（2）求tan∠BAD的值．
【题型6】解直角三角形的应用—距离高度问题
【典型例题】2023年央视兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿．舞者上半身AB长为m，下半身BC长为n，下半身与水平面夹角为θ（60°＜θ＜90°），与上半身AB夹角为120度（即∠ABC＝120°）如图2，则此时舞者的铅直高度AD的长为（ ）
A. B.nsinθ+msin（θ﹣60°） C.ncosθ+msin（θ+60°） D.nsinθ+mcos（θ﹣60°）
【举一反三1】小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮筐底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα＝，则点D到地面的距离CD是（ ）
A.2.7米 B.3.0米 C.3.2米 D.3.4米
【举一反三2】如图，一个钟摆的摆长OA为m米，当钟摆由最左侧摆至最右侧时，钟摆旋转的角度为40°，此时摆幅（两端的距离）可以表示为（ ）
A.2m sin20°米 B.2m tan20°米 C.m sin40°米 D.m tan40°米
【举一反三3】如图，在太阳光的照射下一棵树的影长为10米，若太阳光线与地面所成的角为25°，则这棵树的高度为 米．（精确到0.01米）
【举一反三4】如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为 米．
【举一反三5】敦煌首航100兆瓦熔盐塔式光热电站是“中国智慧”和“中国建设”的体现．它的原理简单说就是利用镜面反射太阳光线，通过一个特殊的装置将太阳光转化成电能．随着太阳角度的变化，每个定日镜都不停自动调整角度，保持最佳的反射角度．图2是反射示意图，由反射原理，入射光线与镜面的夹角α等于反射光线与镜面的夹角β．已知定口镜的长AB为12米，点C为AB中点，定日镜绕点C旋转，当入射光线与镜面的夹角为57度时，反射光线恰好照在吸热塔顶端F处．此时镜面AB与支撑柱CD的夹角为60度，点B到地面的距离BE是5米，支撑柱到吸热塔底端的距离是500米．
（sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
（1）求支撑柱CD的高度；
（2）求吸热塔FH的高度．
【题型7】解直角三角形求边长
【典型例题】在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，那么AB的长为（ ）
A. B. C.asinα D.acosα
【举一反三1】在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，，BC＝3，那么AC的长等于（ ）
A.1 B.9 C. D.
【举一反三2】在△ABC中，AB＝AC，若BD⊥AC于D，若cos∠BAD＝，BD＝，则CD为 ．
【举一反三3】如图，△ABC中，AB＝AC＝5，．
（1）求BC的长：
（2）BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长．
【题型8】解直角三角形的应用—坡度坡角问题
【典型例题】如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度i＝1：，堤宽AC＝30米，则坡面AB的长度是（ ）
A.米 B.30米 C.米 D.10米
【举一反三1】如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（ ）
A.8m B.10m C. D.
【举一反三2】如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度i为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了15米，那么物体离地面的高度为 米．
【举一反三3】一个正方体物体沿斜坡向上滑动，其截面如图所示，正方形DEFH的边长为1米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝3米，则：
（1）AC的长是 米；
（2）当正方体DEFH运动到什么位置，即当AE＝ 米时，有DC2＝AE2+BC2．
【举一反三4】有一水果摊，其侧面示意图如图所示，AB，CD分别是水果摊前挡板，后挡板，AB，CD均与水平地面BC垂直，AB＝50cm，CD＝140cm，坡面AD是水果放置区，坡度为i＝1：2，在后挡板CD的正上方点E处安装顶棚EF，DE＝60cm，且∠DEF＝108°，此时顶棚的另一端点F到前挡板AB的水平距离GB＝60cm．（参考数据sin18°＝0.31，tan18°＝0.32）
（1）水果放置区的水平宽度BC；
（2）求顶棚端点F离地面的高度FG．（精确到1cm）
【题型9】解直角三角形的应用—方向角问题
【典型例题】学校在小明家南偏东30°方向上，距小明家6km，以小明家所在位置为坐标原点建立直角坐标系，1km为一个单位长度，则学校所在位置的坐标为（ D ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向北偏东63°方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向南偏东27°方向航行．则离开港口1小时后，两船相距（ ）
A.海里 B.海里 C.16海里 D.24海里
【举一反三2】上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离为（ ）
A.海里 B.海里 C.40海里 D.海里
【举一反三3】如图，A地与B地，B地与C地之间均有一条笔直的公路连接，B地分别在A地的南偏东42°的方向，在C地的南偏西48°的方向，若公路AB长8km，公路BC长6km，则A地到公路BC的距离是 km．
【举一反三4】2022年12月29日，连接宁夏银川和甘肃兰州的银兰高铁中卫至兰州段正式开通，这也标志着全长431公里的银兰高铁正式开通运营，如图为银兰高铁中卫至兰州段示意图，若图中“中卫南（点P）”在“兰州西（点O）”的北偏东α度方向，相距6cm，现以“兰州西”为坐标原点，1cm为单位长度，分别以正东、正北方向为正方向，建立平面直角坐标系，则“中卫南”在平面直角坐标系中的坐标是 ．（参考数据：，，）
【举一反三5】为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形ABCD人行步道．经测量，点B在点A的正东方向．点D在点A的正北方向，AD＝1000米．点C正好在点B的东北方向，且在点D的北偏东60°方向，CD＝4000米．（参考数据：≈1.73）
（1）求步道BC的长度（结果保留根号）；
（2）体育爱好者小王从A跑到C有两条路线，分别是A→D→C与A→B→C．其中AD和AB都是下坡，DC和BC都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？
【举一反三6】北方雪灾发生后，一支专业搜救队赶往受灾严重的某村庄救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在A处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏西30°方向，由于公路积雪，汽车只能以35km/h的速度前行2h到达B处，此时GPS显示村庄C在北偏西60°方向．
（1）求B处到村庄C的距离；
（2）求村庄C到该公路的距离．1.3解直角三角形
【知识点1】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 1
【知识点2】解直角三角形的应用-方向角问题 1
【知识点3】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 2
【知识点4】解直角三角形的应用 2
【知识点5】解直角三角形 2
【题型1】解直角三角形的应用—仰角俯角问题 2
【题型2】解直角三角形的应用—线段长度问题 10
【题型3】解直角三角形 16
【题型4】解直角三角形求图形面积 19
【题型5】解直角三角形求三角函数值 21
【题型6】解直角三角形的应用—距离高度问题 26
【题型7】解直角三角形求边长 32
【题型8】解直角三角形的应用—坡度坡角问题 35
【题型9】解直角三角形的应用—方向角问题 39
【知识点1】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
【知识点2】解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
【知识点3】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
【知识点4】解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
【知识点5】解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；
②三边之间的关系：a2+b2=c2；
③边角之间的关系：
sinA==，cosA==，tanA==．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
【题型1】解直角三角形的应用—仰角俯角问题
【典型例题】某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC．如图，无人机在P处测得正前方河流的点B处的俯角∠DPB＝α，点C处的俯角∠DPC＝45°，点A，B，C在同一条水平直线上．若AP＝45m，tanα＝3，则河流的宽度BC为（ ）
A.30m B.25m C.20m D.15m
【答案】A
【解析】根据题意可得：PA⊥AC，PD∥AC，从而可得∠DPC＝∠ACP＝45°，∠DPB＝∠ABP＝α，然后分别在Rt△ACP和Rt△ABP中，利用锐角三角函数的定义求出AC和AB的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
由题意得：PA⊥AC，PD∥AC，
∴∠DPC＝∠ACP＝45°，∠DPB＝∠ABP＝α，
在Rt△ACP中，AP＝45m，
∴AC＝＝45（m），
在Rt△ABP中，tanα＝3，
∴AB＝＝＝15（m），
∴BC＝AC﹣AB＝45﹣15＝30（m），
∴河流的宽度BC为30m，
故选：A．
【举一反三1】我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物CD的高度，如图，建筑物CD前有一段坡度为i＝1：2的斜坡BE，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37°，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为45°，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度AB＝EF＝1.5米，则建筑物CD的高度约为（ ）米．（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A.38.5米 B.39.0米 C.40.0米 D.41.5米
【答案】D
【解析】设CD＝x米．延长AB交DE于H，作AM⊥CD于M，FN⊥CD于N，求出BH＝4（米），EH＝8（米），由矩形的性质得出AM＝DH，AH＝DM，FN＝DE，FE＝DN＝1.5（米），在Rt△CFN中，求出CN＝FN＝DE＝（x﹣1.5）（米），AM＝DH＝（8+x﹣1.5）（米），CM＝（x﹣5.5）（米），在Rt△ACM中，由AM＝≈，得出方程，解方程即可．
设CD＝x米．延长AB交DE于H，作AM⊥CD于M，FN⊥CD于N，如图所示：
在Rt△BHE中，∵BE＝4米，BH：EH＝1：2，
∴BH＝4（米），EH＝8（米），
∵四边形AHDM是矩形，四边形FEDN是矩形，
∴AM＝DH，AH＝DM，FN＝DE，FE＝DN＝1.5（米），
在Rt△CFN中，∵∠CFN＝45°，
∴CN＝FN＝DE＝（x﹣1.5）（米），
∵AM＝DH＝（8+x﹣1.5）（米），CM＝（x﹣5.5）（米），
在Rt△ACM中，∵∠CAM＝37°，
∴AM＝≈，
∴8+x﹣1.5≈，
∴x≈41.5（米），
∴CD≈41.5米，
故选：D．
【举一反三2】如图，在塔前的平地上选择一点A，由A点看塔顶的仰角是α，在A点和塔之间选择一点B，由B点看塔顶的仰角是β．若测量者的眼睛距离地面的高度为1.5m，AB＝9m，α＝45°，β＝50°，则塔的高度大约为（ ）m．
（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）
A.55.5 B.54 C.46.5 D.45
【答案】A
【解析】首先证明CE＝EG，再利用tan50°＝即可求出答案．
如图：由题意得ED＝BF＝AG＝1.5m，
∵α＝45°，CE⊥EG，
∴∠ECG＝α＝45°，
∴CE＝GE，
设CE＝GE＝x m，
则EF＝（x﹣9）m，
在Rt△CEF中，tanβ＝tan50°＝＝，
即1.2，
解得x＝54，
∴CD＝CE+ED＝54+1.5＝55.5（m），
答：塔的高度大约为55.5m．
故选：A．
【举一反三3】如图，学校教学楼AB的后面有一栋宿舍楼CD，当光线与地面的夹角是25°时，教学楼在宿舍楼的墙上留下高3m的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有20m的距离（B，F，C在一条直线上），则教学楼AB的高度为 m．（结果精确到1m，参考数据：sin25°≈0.42．cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）
【答案】23
【解析】作EH⊥AB于H，根据正切的定义用AH表示出EH，根据等腰直角三角形的性质得到AB＝BF，结合图形列出方程，解方程得到答案．
作EH⊥AB于H，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，EH⊥AB，
∴四边形HBCE为矩形，
∴BH＝CE＝3，EH＝BC，
在Rt△AHE中，tan∠AEH＝，
∴EH＝＝AH，
在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，
∴BF＝AB＝AH+3，
由题意得，AH﹣（AH+3）＝20，
解得，AH≈20，
∴AB＝AH+BH＝23，
故答案为：23．
【举一反三4】如图，小文家所在居民楼高AB为56m，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角α是45°，大厦底部D的俯角β是37°，大厦的高度CD是 m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】130.7．
【解析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AB＝DE＝56m，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意得：AB＝DE＝56m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝37°，
∴AE＝≈＝（m），
在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，
∴CE＝AE tan45°＝（m），
∴CD＝DE+CE≈130.7（m），
∴大厦的高度CD约为130.7m，
故答案为：130.7．
【举一反三5】脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为30°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为63.5°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．
（1）求屋顶到横梁的距离AG（结果精确到0.1m）；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
（参考数据sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，≈1.73）
【答案】解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，
∴AG⊥EF，EG＝FG＝EF＝×12＝6（m），∠AEG＝∠ACB＝30°，
在Rt△AGE 中，∠AGE＝90°，∠AEG＝30°，EG＝6，
∵tan∠AEG＝，
∴AG＝EG tan∠AEG＝6×tan30°＝6×≈2×1.73＝3.46≈3.5（m），
答：屋顶到横梁的距离AG约为3.5米；
（2）如图2，过E作EH⊥CB于H，设EH＝x m，
在Rt△EDH 中，∠EHD＝90°，∠EDH＝63.5°，
∵tan∠EDH＝，
∴DH＝＝≈，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝30°，
∴tan∠ECH＝，
∴CH＝＝＝x m，
∵CH﹣DH＝CD＝8米，x﹣＝8 m，
1.73x﹣0.5x＝8，
解得：x≈6.5，
∵四边形EHBG为矩形，
∴EH＝BG＝6.5米，
∴AB＝AG+BG＝3.46+6.5＝9.96≈10（米）．
答：房屋的高AB约为10米．
【题型2】解直角三角形的应用—线段长度问题
【典型例题】如图是一张高脚木凳，AC∥EF∥GH，AB＝CD，点E，G是AB的三等分点，已知EF与GH之间的距离为25cm，∠EGH＝80°，则椅脚AB的长度为（ ）cm．
A. B.75sin80° C. D.
【答案】C
【解析】根据平行线线段成比例得出CF＝FH，过E点作ME⊥GH于M，进而利用直角三角形的三角函数解答即可．
∵E，G是AB的三等分点，
∴AE＝EG＝GB＝AB，
∴AE：EG：GB＝1：1：1，
∵AC∥EF∥GH，∴，
∵，∴，∴CF＝FH，
过E点作ME⊥GH于M，
∵EF∥GH，
∴EM即为EF与GH之间的距离，
在Rt△EMG中，sin∠EGM＝，
∵∠EGM＝∠EGH＝80°，且EF与GH之间的距离为25cm，
∴EM＝25cm，
∴sin∠EGM＝sin80°＝，
∴EG＝（cm），
∵EG＝AB，
∴AB＝3EG＝3×（cm），
故选：C． 【难度】中档题
【举一反三1】在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠1，那么钢管AB的长为（ ）
A. B. C.m cos∠1 D.m sin∠1
【答案】A
【解析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
在Rt△ABC中，
sin∠1＝，
∴AB＝，
故选：A．
【举一反三2】某景区在距离地面310米的悬崖点O处垂直水平线搭建了一个悬崖秋千，秋千拉绳均由钢管制作而成，当游客乘坐该秋千时，机器会将秋千拉至最高接近与地面平行的点B处（此时∠BAO＝84°），然后放下．该悬崖秋千以其惊险刺激立即成为网红打卡地．
（1）若秋千放下1秒后∠CAO＝45°，点B，C间的垂直距离为12米，则秋千拉绳OA的长为 米．
（2）若某一时刻秋千荡至与点C水平距离相距30米的点D处时，秋千底端距离悬崖底部 米．（结果保留整数，参考数据：sin84°≈0.99，cos84°≈0.10；sin45°＝cos45°≈0.70，sin53°≈0.80；cos53°≈0.60）
【答案】（1）20；
（2）318．
【解析】（1）如图，作BE⊥OA于E，CF⊥OA于F．设OA＝AB＝AC＝x米，分别用x表示出AE，AF，根据EF＝12构建方程即可解决问题．
（2）如图，作DG⊥OA于G．求出DG，解直角三角形求出∠DAG即可解决问题．
（1）如图，作BE⊥OA于E，CF⊥OA于F．
由题意，EF＝12米，设OA＝AB＝AC＝x米，
在Rt△ABE中，AE＝AB cos∠BAE＝0.10x，
在Rt△ACF中，AF＝AC cos∠CAF＝0.71x，
∵EF＝12米，
∴0.7x﹣0.10x＝12，
解得x＝20，
答：秋千拉绳OA的长为20米．
故答案为：20；
（2）如图，作DG⊥OA于G．
由题意，GD＝30﹣CF＝30﹣20×0.70＝16（米），
在Rt△ADG中，sin∠DAG＝＝＝0.8，
∴∠DAG＝53°，
∴AG＝AD cos53°＝20×0.60＝12（米），
∴此时秋千底端距离悬崖底部的距离为310+（20﹣12）＝318米．
故答案为：318.
【举一反三3】某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB∥DC，∠BAE＝90°，根据图中的数据计算CD的长为 cm（精确到1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】22
【解析】作DM⊥AB于M，在Rt△BCN中，由三角函数求出BC≈83.3（cm），BN≈66.7（cm），求出AN的长，证出△ADM是等腰直角三角形，得出AM＝DM＝50cm，即可得出CD的长．
作DM⊥AB于M，如图所示：在Rt△BCN中，BC＝CN÷cos37°＝50÷0.8＝62.5（cm），
∴BN＝BC sin37°＝62.5×0.80≈37.5（cm），
∴AN＝AB+BN＝34+37.5＝71.5cm，
∵∠DAE＝45°，∠BAE＝90°，
∴∠DAM＝45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AM＝DM＝50cm，
∴CD＝MN＝AN﹣AM＝71.5﹣50≈22（cm）；
故答案为：22．
【举一反三4】综合实践：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度？
素材1：如图1，一种路灯由灯杆AB和灯管支架BC两部分构成，已知灯杆AB与地面垂直，灯管支架BC与灯杆AB的夹角∠ABC＝127°．
素材2：如图2，在路灯正前方的点D处测得∠ADB＝37°，∠ADC＝45°，AD＝400cm．
根据以上素材解决问题：
（1）求灯杆AB的长度．
（2）求灯管支架BC的长度．
（结果精确到1cm．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】解：（1）∵灯杆AB与地面垂直，
∴∠A＝90°．
在Rt△ABD中，
∵tan∠ADB＝，
∴AB＝AD tan∠ADB
≈400×0.75
＝300（cm）
答：灯杆AB的长度为300cm．
（2）过点C作CE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
∵AB⊥AD，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四边形AEFB是矩形．
∴BF＝AE，AB＝EF，∠ABF＝90°．
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝37°．
在Rt△CED中，
∵∠ADC＝45°，
∴∠DCE＝45°．
∴CE＝DE．
设BF＝AE＝x cm，则DE＝CE＝（400﹣x）cm，
∴CF＝CE﹣EF＝100（cm）．
在Rt△CBF中，
∵tan∠CBF＝，
∴tan37°＝，即≈0.75．
∴x＝．
∵cos∠CBF＝，
∴BC＝≈＝≈71（cm）．
答：灯管支架BC的长度约为71cm．
【题型3】解直角三角形
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A.解直角三角形只需已知除直角外的2个元素 B.sin30°+cos30°＝1 C.＝c或a＝c sinA D.以上说法都不对
【答案】C
【解析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正弦值与三角形边的关系，可验证各关系．
A、解直角三角形需已知除直角外的2个元素，其中至少要有一个是边．故错误；
B、sin30°+cos30°＝+≠1，故错误；
C、因sinA＝，所以＝c或a＝c sinA．故正确；
故选：C．
【举一反三1】△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，∠C＝90°，点C的坐标为（，﹣），则点B的坐标是（ ）
A.（，0） B.（，0） C.（，0） D.（2，0）
【答案】D
【解析】作CD⊥AB于D．由点C的坐标为（，﹣），得出AD＝，CD＝．解Rt△ACD，由tan∠CAD＝＝，得到∠CAD＝30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠CBD＝90°﹣30°＝60°．再解Rt△BCD，得出DB＝＝，那么AB＝AD+DB＝2，于是点B的坐标是（2，0）．
如图，作CD⊥AB于D．
∵点C的坐标为（，﹣），
∴AD＝，CD＝．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，
∴tan∠CAD＝＝＝，
∴∠CAD＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣30°＝60°．
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，
∴DB＝＝＝，
∴AB＝AD+DB＝+＝2，
∴点B的坐标是（2，0）．
故选：D．
【举一反三2】下列说法正确的是 ．（只填序号）
①sinA，cosA，tanA都是A的函数；
②在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA表示斜边与∠A的邻边的比；
③在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA表示∠A的对边与邻边的比．
【答案】①③．
【解析】根据锐角三角函数的定义判断求解即可．
对于锐角A的每一个确定的值，sinA，cosA，tanA都有唯一确定的值与它对应，所以sinA，cosA，tanA都是A的函数，
故①符合题意；
在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA表示∠A的邻边与斜边的比，
故②不符合题意；
在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA表示∠A的对边与邻边的比，
故③符合题意；
故答案为：①③．
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C的对边．
（1）三边的关系： ；
（2）两个锐角的关系： ；
（3）边角之间的关系： 、 、 ．
【答案】（1）a2+b2＝c2；
（2）∠A+∠B＝90°；
（3）sinA＝，cosA＝，tanA＝．
【解析】（1）根据勾股定理解答；
（2）根据直角三角形的性质解答；
（3）根据锐角三角函数的定义解答．
（1）三边的关系：a2+b2＝c2，
故答案为：a2+b2＝c2；
（2）两个锐角的关系：∠A+∠B＝90°，
故答案为：∠A+∠B＝90°；
（3）边角之间的关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝，
故答案为：sinA＝，cosA＝，tanA＝．
【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，求∠A的三个三角函数值．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，
∴BC＝＝＝，
∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
∴sinA＝，cosA＝，tanA＝．
【题型4】解直角三角形求图形面积
【典型例题】在Rt△ABC中，若∠B＝75°，∠C＝90°，BC＝1，则Rt△ABC的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据锐角三角形的定义可求出AC的长度，然后根据三角形的面积公式即可求出答案．
∵tan∠B＝，
∴＝，
∴AC＝＝2+，
∴Rt△ABC的面积为：×1×（2+）＝，
故选：D．
【举一反三1】如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，AB＝4，M为AB的中点，MN⊥BC，则△MNB的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知△ABC为等腰三角形，∠A＝∠B＝30°，由M为AB中点，则MB＝＝2，在Rt△MNB中，MN＝，BN＝cos30° MB＝3，则根据S△MNB＝可求答案．
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴△ABC为等腰三角形，∠A＝∠B＝30°．
∵M为AB中点，AB＝4，
∴MB＝＝2，
又MN⊥BC，则在Rt△MNB中，
MN＝＝，BN＝cos30° MB＝＝3，
故S△MNB＝＝＝．
故选：A．
【举一反三2】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数的比是1：2：3，AB＝4cm，则△ABC的面积是 ．
【答案】6cm2．
【解析】设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，由三角形内角和定理得出方程x+2x+3x＝180，求出x，求出∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，求出BC＝AB＝2cm，根据勾股定理求出AC，代入AC×BC求出即可．
【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，若c＝2，b＝2，则cosB＝ ，S△ABC＝ ．
【答案】；2．
【解析】根据勾股定理求出a，再根据cosB＝，S△ABC＝ab，进而作答即可．
在△ABC中，∠C＝90°，若c＝2，b＝2，
∴a2+b2＝c2，
∴a＝2，
∴cosB＝＝＝，
S△ABC＝ab＝×2×2＝2，
故答案为：；2．
【举一反三4】矩形的周长是28，对角线与一边的夹角的正弦值为，求这个矩形的面积．
【答案】解：如图，矩形ABCD中，对角线DB与一边CB的夹角∠CBD的正弦值为，
即sin∠CBD＝＝，
设CD＝3a，BD＝5a，则BC＝4a．
∵矩形的周长是28，
∴CD+BC＝14，
∴a＝2，
∴CD＝6，BC＝8，
面积＝6×8＝48．
【题型5】解直角三角形求三角函数值
【典型例题】如图，在△ABC中，AC＝1，BC＝2，AB＝，则sinB的值是（ ）
A. B. C.2 D.
【答案】B
【解析】由勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，利用正弦函数的定义计算即可．
在△ABC中，AC＝1，BC＝2，AB＝，
∵AC2+BC2＝5，AB2＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴sinB＝．
故选：B．
【举一反三1】如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．
如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，
∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，
∵AD是切线，点D是切点，
∴AD⊥KD，
∵AK＝13，DK＝5，
∴AD＝12，
∵tan∠EAO＝＝，
∴＝，
∴OE＝，
∴AE＝＝，
作EH⊥AB于H．
∵S△ABE＝ AB EH＝S△AOB﹣S△AOE，
∴EH＝，
∴AH＝＝，
∴tan∠BAD＝＝＝，
故选：B．
【举一反三2】如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中可求出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sinB的值．
过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ACD中，CD＝CA cosC＝1，
∴AD＝＝；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，
∴AB＝＝2，
∴sinB＝＝．
故选：D．
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．垂足为D．分别指出∠A和∠B的对边、邻边，并完成下列问题．
（1）tanA＝ ＝ ；
（2）tanB＝ ＝ ．
【答案】（1），，（2），．
【解析】（1）由题意可知，∠A分别在Rt△ABC和Rt△ADC中，利用锐角三角形的正切值的定义即可求解；
（2）由题意可知，∠B分别在Rt△ABC和Rt△BDC中，利用锐角三角形的正切值的定义即可求解．
由题意得：在Rt△ABC中，∠A的对边是BC，邻边是AC，∠B的对边是AC，邻边是BC，
在Rt△ADC中，∠A的对边是CD，邻边是AD，
在Rt△BDC中，∠B的对边是CD，邻边是BD，
（1）在Rt△ABC中，tanA＝，
∵CD⊥AB，
在Rt△ADC中，tanA＝，
∴tanA＝＝，
（2）在△RtABC中，tanB＝，
∵CD⊥AB，
在Rt△BDC中，tanB＝，
∴tanB＝＝．
故答案为：，，，．
【举一反三4】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，tan∠DAC＝．
（1）求边AC的长；
（2）求tan∠BAD的值．
【答案】解：（1）设AC＝3m，
∵BD＝6，BC＝CD+BD∠C＝90°，sin∠ABC＝，tan∠DAC＝，
∴CD＝2m，
∴4m＝2m+6，
解得m＝3，
∴AC＝3m＝9；
（2）作DE⊥AB于点E，
由（1）知，AB＝5m＝15，AC＝9，BD＝6，
∵，
∴，
解得DE＝，
∵AC＝9，CD＝2m＝6，∠C＝90°，
∴AD＝，
∴AE＝＝，
∴tan∠BAD＝，
即tan∠BAD的值是．
【题型6】解直角三角形的应用—距离高度问题
【典型例题】2023年央视兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿．舞者上半身AB长为m，下半身BC长为n，下半身与水平面夹角为θ（60°＜θ＜90°），与上半身AB夹角为120度（即∠ABC＝120°）如图2，则此时舞者的铅直高度AD的长为（ ）
A. B.nsinθ+msin（θ﹣60°） C.ncosθ+msin（θ+60°） D.nsinθ+mcos（θ﹣60°）
【答案】B
【解析】过点B作BE⊥CD于点E，作BF⊥AD于点F，证明四边形BEDF为矩形，得出BE＝DF，∠EBF＝90°，求出∠ABF＝120°﹣90°﹣（90°﹣θ）＝θ﹣60°，然后根据三角函数分别求出BE＝BC×sin∠BCE＝nsinθ，AF＝AB×sin∠ABF＝msin（θ﹣60°），即可得出答案．
过点B作BE⊥CD于点E，作BF⊥AD于点F，如图所示：
∵∠BED＝∠EDF＝∠BFD＝90°，
∴四边形BEDF为矩形，
∴BE＝DF，∠EBF＝90°，
∵∠BCE＝θ，
∴∠CBE＝90°﹣θ，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABF＝120°﹣90°﹣（90°﹣θ）＝θ﹣60°，
在Rt△BCE中，BE＝BC×sin∠BCE＝nsinθ，
∴DF＝BE＝nsinθ，
在Rt△ABF中，AF＝AB×sin∠ABF＝msin（θ﹣60°），
∴AD＝DF+AF＝nsinθ+msin（θ﹣60°）．
故选：B．
【举一反三1】小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮筐底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα＝，则点D到地面的距离CD是（ ）
A.2.7米 B.3.0米 C.3.2米 D.3.4米
【答案】C
【解析】通过解直角△ADE得到DE的长度，然后由矩形ABCE的性质求得CE的长度，易得CD＝CE+DE．
在直角△ADE中，∠DAE＝α，AE＝5米，tan，
∴tanα＝＝＝，
∴DE＝1.5米．
又CE＝AB＝1.7米，
∴CD＝CE+DE＝3.2米．
故选：C．
【举一反三2】如图，一个钟摆的摆长OA为m米，当钟摆由最左侧摆至最右侧时，钟摆旋转的角度为40°，此时摆幅（两端的距离）可以表示为（ ）
A.2m sin20°米 B.2m tan20°米 C.m sin40°米 D.m tan40°米
【答案】A
【解析】过点O作OD⊥AB，垂足为D．在Rt△AOD中，利用直角三角形的边角间关系可得结论．
过点O作OD⊥AB，垂足为D．
∵OA＝OB，
∴AD＝AB，∠AOD＝AOB＝20°．
在Rt△AOD中，
∵sin∠AOD＝，
∴AD＝m sin20°米．
∴AB＝2AD＝2m sin20°米．
故选：A．
【举一反三3】如图，在太阳光的照射下一棵树的影长为10米，若太阳光线与地面所成的角为25°，则这棵树的高度为 米．（精确到0.01米）
【答案】4.14
【解析】利用所给角的正切函数即可求解．
这棵树的高度＝10×tan25°≈4.14（米）．
故答案为：4.14．
【举一反三4】如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为 米．
【答案】100
【解析】过点P作PE⊥AB于点E，先求出∠APE及∠BPE、∠ABP的度数，由锐角三角函数的定义即可得出结论．
过点P作PE⊥AB于点E，
∵∠APC＝75°，∠BPD＝30°，
∴∠APB＝75°，
∵∠BAP＝∠APC＝75°，
∴∠APB＝∠BAP，
∴AB＝PB＝200m，
∵∠ABP＝30°，
∴PE＝PB＝100m．
故答案为：100．
【举一反三5】敦煌首航100兆瓦熔盐塔式光热电站是“中国智慧”和“中国建设”的体现．它的原理简单说就是利用镜面反射太阳光线，通过一个特殊的装置将太阳光转化成电能．随着太阳角度的变化，每个定日镜都不停自动调整角度，保持最佳的反射角度．图2是反射示意图，由反射原理，入射光线与镜面的夹角α等于反射光线与镜面的夹角β．已知定口镜的长AB为12米，点C为AB中点，定日镜绕点C旋转，当入射光线与镜面的夹角为57度时，反射光线恰好照在吸热塔顶端F处．此时镜面AB与支撑柱CD的夹角为60度，点B到地面的距离BE是5米，支撑柱到吸热塔底端的距离是500米．
（sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
（1）求支撑柱CD的高度；
（2）求吸热塔FH的高度．
【答案】解：（1）如图过点B作BG⊥CD于点G，
∵点C是AB中点，AB＝12米，
∴BC＝AB＝6米，
在Rt△BCG中，∠BGC＝90°，∠BCG＝60°，
∴CG＝BC cos60°＝6×12＝3（米），
又∵BE⊥DE，CD⊥DE，
∴∠DGB＝∠BED＝∠GDE＝90°，
∴四边形DEBG是矩形，
∴DG＝BE＝5米，
∴CD＝CG+DG＝8（米），
∴支撑柱的高度为8米；
（2）如图过点C作CM⊥FH于点M，
根据题意，∠β＝∠α＝57°，DH＝500米，
∵FH∥CD，
∴∠DCM＝∠FMC＝90°，
∴∠MCB＝∠DCM﹣∠BCG＝90°﹣60°＝30°，
∴∠FCM＝∠β﹣∠MCB＝57°﹣30°＝27°，
∴∠CMH＝∠HDC＝∠DCM＝90°，
∴四边形CDHM是矩形，
∴CM＝DH＝500米，MH＝CD＝8米，
在Rt△FCM 中，∠FMC＝90°，∠FCM＝27°，
∴FM＝CM tan27°≈500×0.51＝255（米），
∴FH＝FM+MH＝255+8＝263（米），
∴吸热塔的高度为263米．
【题型7】解直角三角形求边长
【典型例题】在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，那么AB的长为（ ）
A. B. C.asinα D.acosα
【答案】A
【解析】根据三角函数的定义进行选择即可．
∵∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，
∴sinα＝，
∴AB＝，
故选：A．
【举一反三1】在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，，BC＝3，那么AC的长等于（ ）
A.1 B.9 C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，表示出∠B的正切即可解决问题．
在Rt△ABC中，
tanB＝，
又因为，BC＝3，
所以，
解得AC＝1．
故选：A．
【举一反三2】在△ABC中，AB＝AC，若BD⊥AC于D，若cos∠BAD＝，BD＝，则CD为 ．
【答案】1或5
【解析】分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，在Rt△ABD中由cos∠BAD＝＝，可设设AD＝2x，则AB＝3x，结合BD的长根据勾股定理可得，求得x的值后即可得AB＝AC＝3，AD＝2，在锐角三角形中CD＝AC﹣AD，在钝角三角形中CD＝AC+AD即可得答案．
①如图1，若△ABC为锐角三角形，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵cos∠BAD＝＝，
∴设AD＝2x，则AB＝3x，
∵AB2＝AD2+BD2，
∴，
解得：x＝1或x＝﹣1（舍），
∴AB＝AC＝3x＝3，AD＝2x＝2，
∴CD＝AC﹣AD＝1；
②如图2，若△ABC为钝角三角形，
由①知，AD＝2x＝2，AB＝AC＝3x＝3，
∴CD＝AC+AD＝5，
故答案为：1或5．
【举一反三3】如图，△ABC中，AB＝AC＝5，．
（1）求BC的长：
（2）BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长．
【答案】解：（1）过点A作AD⊥BC于D，
∴．
∴AD＝AB sin∠ABC＝5×＝3，
∴．
∵AB＝AC，
∴BC＝2BD＝8．
（2）补全图形，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴．
∵BE⊥AC于E，，
∴BE＝BC sin∠ECD＝8×＝．
【题型8】解直角三角形的应用—坡度坡角问题
【典型例题】如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度i＝1：，堤宽AC＝30米，则坡面AB的长度是（ ）
A.米 B.30米 C.米 D.10米
【答案】A
【解析】根据坡度的概念求出BC，再根据勾股定理求出AB．
∵迎水坡AB的坡度i＝1：，
∴BC：AC＝1：，
∵AC＝30米，
∴BC＝10米，
由勾股定理得：AB＝＝＝20（米），
故选：A．
【举一反三1】如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（ ）
A.8m B.10m C. D.
【答案】B
【解析】根据余弦的定义得到＝，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
在Rt△ABC中，cos∠ACB＝，
则＝，
设BC＝4x m，则AC＝5x m，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，即（5x）2＝62+（4x）2，
解得：x＝2（负值舍去），
则AC＝5x＝10m，
故选：B．
【举一反三2】如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度i为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了15米，那么物体离地面的高度为 米．
【答案】．
【解析】作BC⊥地面于点C，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．
作BC⊥地面于点C，
设BC＝x米，
∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度i为1：2，
∴AC＝2x米，
由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
即（2x）2+x2＝152，
解得，（负值舍去），
即米，
故答案为：．
【举一反三3】一个正方体物体沿斜坡向上滑动，其截面如图所示，正方形DEFH的边长为1米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝3米，则：
（1）AC的长是 米；
（2）当正方体DEFH运动到什么位置，即当AE＝ 米时，有DC2＝AE2+BC2．
【答案】见试题解答内容
【解析】（1）根据坡角和BC的长求得AC的长即可；
（2）根据已知得出假设AE＝x，可得EC＝6﹣x，利用勾股定理得出DC2＝DE2+EC2＝1+（6﹣x）2，AE2+BC2＝x2+9，即可求出x的值．
（1）∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝3米，
∴AC＝2BC＝6米；
（2）如图，连接CD，
假设AE＝x，可得EC＝6﹣x，
∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝3米，
∴AC＝6米，
∵正方形DEFH的边长为1米，即DE＝1米，
∴DC2＝DE2+EC2＝1+（6﹣x）2，
AE2+BC2＝x2+9，
∵DC2＝AE2+BC2，
∴1+（6﹣x）2＝x2+9，
解得：x＝米．
故答案为：．
【举一反三4】有一水果摊，其侧面示意图如图所示，AB，CD分别是水果摊前挡板，后挡板，AB，CD均与水平地面BC垂直，AB＝50cm，CD＝140cm，坡面AD是水果放置区，坡度为i＝1：2，在后挡板CD的正上方点E处安装顶棚EF，DE＝60cm，且∠DEF＝108°，此时顶棚的另一端点F到前挡板AB的水平距离GB＝60cm．（参考数据sin18°＝0.31，tan18°＝0.32）
（1）水果放置区的水平宽度BC；
（2）求顶棚端点F离地面的高度FG．（精确到1cm）
【答案】解：（1）过A作AM⊥CD于M，
∵AB⊥CG，CD⊥CG，
∴∠AMC＝∠ABC＝∠C＝90°，
∴四边形ABCM是矩形，
∴CM＝AB＝50cm，BC＝AM，
∵CD＝140cm，
∴DM＝CD﹣CM＝90（cm），
∵坡度为i＝1：2，
∴，
∴AM＝2DM＝180，
∴BC＝AM＝180cm，
答：水果放置区的水平宽度BC为180cm；
（2）过E作EN⊥FG于N，
则四边形CENG是矩形，
∴NG＝CE＝CD+DE＝200（cm），∠CEN＝90°，EN＝CG＝BC+BG＝180+60＝240（cm），
∵∠CEF＝108°，
∴∠FEN＝18°，
∴FN＝EN tan18°＝240×0.32＝76.8（cm），
∴FG＝FN+GN＝76.8+200≈277（cm），
答：顶棚端点F离地面的高度FG约为277cm．
【题型9】解直角三角形的应用—方向角问题
【典型例题】学校在小明家南偏东30°方向上，距小明家6km，以小明家所在位置为坐标原点建立直角坐标系，1km为一个单位长度，则学校所在位置的坐标为（ D ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在Rt△AOB中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AB和OB的长，即可解答．
如图：过点A作AB⊥y轴，垂足为B，
在Rt△AOB中，AO＝6km，∠AOB＝30°，
∴AB＝AO＝3（km），OB＝AB＝3（km），
∴点A的坐标为（3，﹣3），
∴学校所在位置的坐标为（3，﹣3），
故选：D．
【举一反三1】已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向北偏东63°方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向南偏东27°方向航行．则离开港口1小时后，两船相距（ ）
A.海里 B.海里 C.16海里 D.24海里
【答案】B
【解析】求出AB＝16海里，AC＝8海里，∠BAC＝90°，再由勾股定理求出BC的长即可．
如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向北偏东63°方向航行，1小时后到达B处，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向南偏东27°方向航行，1小时后到达C处，
由题意得：AB＝16×1＝16（海里），AC＝8×1＝8（海里），∠BAC＝180°﹣63°﹣27°＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝8（海里），
即离开港口1小时后，两船相距8海里，
故选：B．
【举一反三2】上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离为（ ）
A.海里 B.海里 C.40海里 D.海里
【答案】D
【解析】过点B作BN⊥AM于点N．根据三角函数求BN的长，从而求BM的长．
如图，过点B作BN⊥AM于点N，
由题意得，AB＝40×1＝40海里，∠ABM＝105°，
在直角三角形ABN中，BN＝AB sin45°＝20（海里），
在直角△BNM中，∠MBN＝105°﹣45°＝60°，
∴∠M＝30°，
∴BM＝2BN＝40（海里）．
故选：D．
【举一反三3】如图，A地与B地，B地与C地之间均有一条笔直的公路连接，B地分别在A地的南偏东42°的方向，在C地的南偏西48°的方向，若公路AB长8km，公路BC长6km，则A地到公路BC的距离是 km．
【答案】8．
【解析】如图，过B作BD∥AE，根据平行线的性质即可得到结论．
如图，过B作BD∥AE，
∴∠EAB＝∠ABD＝42°，
∵AE∥CF，
∴BD∥CF，
∴∠CBD＝∠BCF＝48°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝42°+48°＝90°，
∴AB⊥BC，
∴A地到公路BC的距离是8km，
故答案为：8．
【举一反三4】2022年12月29日，连接宁夏银川和甘肃兰州的银兰高铁中卫至兰州段正式开通，这也标志着全长431公里的银兰高铁正式开通运营，如图为银兰高铁中卫至兰州段示意图，若图中“中卫南（点P）”在“兰州西（点O）”的北偏东α度方向，相距6cm，现以“兰州西”为坐标原点，1cm为单位长度，分别以正东、正北方向为正方向，建立平面直角坐标系，则“中卫南”在平面直角坐标系中的坐标是 ．（参考数据：，，）
【答案】（，）．
【解析】过P作PQ⊥y轴于Q，根据三角函数的定义即可得到结论．
过P作PQ⊥y轴于Q，
在Rt△OPQ中，∠PQO＝90°，OP＝6cm，
∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，
∴PQ＝，OQ＝，
∴“中卫南”在平面直角坐标系中的坐标是（，），
故答案为：（，）．
【举一反三5】为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形ABCD人行步道．经测量，点B在点A的正东方向．点D在点A的正北方向，AD＝1000米．点C正好在点B的东北方向，且在点D的北偏东60°方向，CD＝4000米．（参考数据：≈1.73）
（1）求步道BC的长度（结果保留根号）；
（2）体育爱好者小王从A跑到C有两条路线，分别是A→D→C与A→B→C．其中AD和AB都是下坡，DC和BC都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？
【答案】解：（1）如图，过点C作CE⊥A交AD的延长线于点E，过点B作BG⊥CE于点G，
则∠CED＝∠CGB＝90°，四边形ABGE是矩形，
∴EG＝AB，BG＝AE，
∵∠CDE＝60°，
∴∠DCE＝90°﹣∠CDE＝30°，
∴DE＝CD＝×4000＝2000（米），
∴BG＝AE＝AD+DE＝1000+2000＝3000（米），
∵∠CBG＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴BC＝BG＝3000（米），
答：步道BC的长度为3000米；
（2）他选择路线A→B→C消耗的热量更多，理由如下：
由（1）可知，CE＝DE＝2000（米），CG＝BG＝3000米，
∴EG＝AB＝CE﹣CG＝（2000﹣3000）（米），
∴路线A→D→C消耗的热量为1000×0.07+4000×0.09＝430（千卡），
路线A→B→C＝（2000﹣3000）×0.07+3000×0.09≈412.9（千卡），
∵430＞412.9，
∴他选择路线A→D→C消耗的热量更多．
【举一反三6】北方雪灾发生后，一支专业搜救队赶往受灾严重的某村庄救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在A处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏西30°方向，由于公路积雪，汽车只能以35km/h的速度前行2h到达B处，此时GPS显示村庄C在北偏西60°方向．
（1）求B处到村庄C的距离；
（2）求村庄C到该公路的距离．
【答案】解：（1）∵∠CBN＝60°，∠A＝30°，∴∠BCA＝30°，
∴BC＝AB＝70，
即B处到村庄C的距离为70km；
（2）作CD⊥AB于D，
在Rt△CBD中，，（2分）
即村庄C到该公路的距离约为km．（1分）
