2.2切线长定理
【知识点1】切线长定理 1
【知识点2】切割线定理 1
【题型1】应用切线长定理解决周长问题 2
【题型2】应用切线长定理求解 5
【题型3】应用切线长定理证明 9
【知识点1】切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
【知识点2】切割线定理
（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方=PA PB（切割线定理）
（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD PC=PA PB（切割线定理推论）（割线定理）
由上可知：PT2=PA PB=PC PD．
【题型1】应用切线长定理解决周长问题
【典型例题】如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为（ ）
A.10cm B.15cm C.20cm D.25cm
【答案】C
【解析】根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝10cm，由于过点C的切线分别交PA、PB于点E、F，再根据切线长定理得到EA＝EC，FC＝FB，然后三角形周长的定义得到△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF，用等线段代换后得到三角形PEF的周长等于PA+PB．
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PB＝PA＝10cm，
∵EA与EC为⊙的切线，
∴EA＝EC，
同理得到FC＝FB，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF
＝PE+EA+FB+PF
＝PA+PB
＝10+10
＝20（cm）．
故选：C．
【举一反三1】如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，若圆O的半径为6，OP＝10，则△PDE的周长为（ ）
A.10 B.12 C.16 D.20
【答案】C
【解析】根据切线的性质，得到直角三角形OAP，根据勾股定理求得PA的长；根据切线长定理，得AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，从而求解．
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，
∴AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，OA⊥AP．
在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AP＝8，
∴△PDE的周长为2AP＝16．
故选：C．
【举一反三2】如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，并与⊙O的另一条切线分别相交于D、C两点，已知PA＝7，则△PCD的周长＝ ．
【答案】14cm
【解析】设CD与⊙O相切于E，根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝7cm，由于DC与⊙O相切于E，再根据切线长定理得到DA＝DE，CE＝CB，然后三角形周长的定义得到△PDC的周长＝PD+DC+PC＝PD+DE+CE+PC，然后用等线段代换后得到三角形PDC的周长等于PA+PB．
设CD与⊙O相切于E，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PB＝PA＝7cm，
∵DA与DE为⊙的切线，
∴DA＝DE，
同理得到CE＝CB，
∴△PDC的周长＝PD+DC+PC＝PD+DE+CE+PC
＝PD+DA+CB+PC
＝PA+PB
＝7+7
＝14（cm）．
故答案为14cm．
【举一反三3】已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴OA⊥AD，OB⊥BC，
∵OA，OB是半径，
∴AF、BP都是⊙O的切线，
又∵PF是⊙O的切线，
∴FE＝FA，PE＝PB，
∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB＝2×3＝6．
【举一反三4】如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA＝8cm，求：△PEF的周长．
【答案】解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，
∴PA＝PB，EA＝EQ，FB＝FQ，
∵PA＝8cm，
∴△PEF的周长为：PE+EF+PF＝PA+PB＝8+8＝16（cm）．
【题型2】应用切线长定理求解
【典型例题】如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（ ）
A. B. C.5 D.5
【答案】C
【解析】根据切线长定理求得PA=PB，从而判断得△PAB为等边三角形即可求解.
解：∵PA，PB为⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，
∵∠APB＝60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴AB＝PA＝5，
故选：C．
【举一反三1】如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC的度数为（ ）
A.70° B.90° C.60° D.45°
【答案】B
【解析】由于AD、DC、CB都是⊙O的切线，根据切线长定理知：∠ADO＝∠CDO，∠DCO＝∠BCO；而AD∥BC，则2∠ODC和2∠OCD互补，由此可求得∠DOC的度数．
∵DA、CD、CB都与⊙O相切，
∴∠ADO＝∠ODC，∠OCD＝∠OCB；
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°；
∴∠ODC+∠OCD＝（∠ADC+∠BCD）＝×180°＝90°，即∠DOC＝90°；
故选：B．
【举一反三2】如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（ ）
A.5 B.10 C.7.5 D.4
【答案】A
【解析】由切线长定理，可知：AF＝AD，CF＝CE，BE＝BD，用未知数设AF的长，然后表示出BD、CF的长，即可表示出BE、CE的长，根据BE+CE＝5，可求出AF的长．
设AF＝x，根据切线长定理得AD＝x，BD＝BE＝9﹣x，CE＝CF＝CA﹣AF＝6﹣x，
则有9﹣x+6﹣x＝5，解得x＝5，即AF的长为5．
故选：A．
【举一反三3】如图，过⊙O外一点A引切线AB、AC，B、C为切点，若∠BAC＝60°，BC＝8cm，则⊙O的直径是 cm．
【答案】
【解析】连接OB、OA，设OA与BC相交于点D．首先由切线长定理求得∠BAO的度数，即可得出∠BOA的度数；进而可在Rt△OBD中，根据BD的长以及∠BOA的度数，求出OB的长，即可求得⊙O的直径．
如图，连接OB、OA，则∠OBA＝90°．
∵AB、AC分别切⊙O于B、C，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAO＝∠BAC＝30°．
∴OA垂直平分BC．
在Rt△OBD中，BD＝BC＝4cm，∠BOD＝60°，
∴OB＝BD÷sin60°＝．
故⊙O的直径是cm．
故答案为：
【举一反三4】为了测量一个圆形铁环的半径，小明采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按照如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是 cm．
【答案】5
【解析】如图，连接OP、OA、ON，由切线长定理得：AP＝AN，∠OPA＝∠ONA＝90°，从而判断出△AOP≌△AON（SAS），则∠OAP＝∠OAN，通过角度计算即可得∠OAP＝60°，利用锐角三角函数即可解出半径长．
如图，连接OP、OA、ON，则AP＝AN，∠OPA＝∠ONA＝90°，
在△AOP和△AON中，
，
∴△AOP≌△AON（SAS），
∴∠OAP＝∠OAN＝，
在Rt△ABC中，∠BAC＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴∠PAN＝180°﹣60°＝120°，
∴∠OAP＝∠OAN＝60°，
在Rt△OAP中，，即，
∴OP＝5，
∴铁环的半径为5cm．
故答案为5．
【举一反三5】如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．
（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；
（2）如果∠P＝40°，
①求∠COD；
②连AE，BE，求∠AEB．
【答案】解：（1）∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点，
∴PA＝PB，AC＝CE，ED＝BD，
∵△PCD的周长为10，
∴PC+CD+PD＝10，
∴PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+BD＝PA+PB＝2PA＝10，
∴PA＝5；
（2）①∵∠P＝40°，
∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠ACD+∠BDE＝360°﹣140°＝220°，
∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点，
∴∠ACO＝∠DCO＝∠ACD，∠BDO＝∠EDO＝∠BDE，
∴∠OCD+∠ODC＝×220°＝110°，
∴∠COD＝180°﹣110°＝70°；
②∠AEB＝180°﹣∠AEC﹣∠BED
＝180°﹣﹣
＝180°﹣90°+∠ACD﹣90°+∠BDE
＝×220°
＝110°．
【题型3】应用切线长定理证明
【典型例题】如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD＝BC；③PB＝PF；④AD2＝4AB DC．其中正确的是（ ）
A.①②③④ B.只有①② C.只有①②④ D.只有③④
【答案】C
【解析】根据直径所对的圆周角是直角，以及切线长定理，相似三角形的性质即可作出判断．
∵BA，BE是圆的切线．
∴AB＝BE，BO是△ABE顶角的平分线．
∴OB⊥AE
∵AD是圆的直径．
∴DE⊥AE
∴DE∥OF
故①正确；
∵CD＝CE，AB＝BE
∴AB+CD＝BC
故②正确；
∵OD＝OF
∴∠ODF＝∠OFD＝∠BFP
若PB＝PF，则有∠PBF＝∠BFP＝∠ODF
而△ADP与△ABO不一定相似，故PB＝PF不一定成了．
故③不正确；
连接OC．可以证明△OAB∽△CDO
∴
即：OA OD＝AB CD
∴AD2＝4AB DC
故④正确．
故正确的是：①②④．
故选：C．
【举一反三1】如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是（ ）
A.PA＝PB B.∠APO＝20° C.∠OBP＝70° D.∠AOP＝70°
【答案】C
【解析】根据切线长定理得A，B是正确的；再根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余得D是正确的；根据切线的性质定理得C错误．
∵PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO，∠A＝∠B＝90°，
∴∠OBP＝∠OAP，
∴C是错误的．
故选：C．
【举一反三2】切线长定理：
从圆 一点可以引圆的 条切线，它们的切线长 ．这一点和圆心的连线 这两条切线的 角．
即：如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，则PA PB，PO平分∠ ．
【答案】外；两；相等；平分；夹；=；AOB
【解析】切线长定理是：从圆外一点作圆的两条切线，切点到圆外这点的距离相等，且平分两切线的夹角．
切线长定理：
从圆 外一点可以引圆的 两条切线，它们的切线长 相等．这一点和圆心的连线 平分这两条切线的 夹角．
即：如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，则PA＝PB，PO平分∠AOB．
故答案为：外；两；相等；平分；夹；=；AOB.
【举一反三3】直线PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，且∠APB＝120°，⊙O的半径为4cm，则切线长PA为 cm．
【答案】
【解析】连接OP，由切线长定理易求得∠APO＝60°；
连接OA，在Rt△OAP中，根据⊙O的半径及∠APO的度数即可求得PA的长．
如图，连接OP．
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴∠APO＝∠APB＝60°．
连接OA，则∠OAP＝90°．
Rt△OAP中，OA＝4cm，∠APO＝60°，
∴PA＝OA÷tan60°＝．
故答案为：．
【举一反三4】证明：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
【答案】已知：PA，PB是⊙O的切线，
求证：PA＝PB，∠APO＝∠BPO．
证明：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
在Rt△OPA和Rt△OPB中
，
∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO．
【举一反三5】求证：圆外切四边形的对边之和相等．
【答案】如图，已知：四边形ABCD是⊙O的外切四边形，G、H、E、F分别是切点；
求证：AD+BC＝AB+CD；
证明：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形
∴AH＝AE，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG
∴AH+DH+BF+CF＝AE+BE+CG+DG
即：AD+BC＝AB+CD．2.2切线长定理
【知识点1】切线长定理 1
【知识点2】切割线定理 1
【题型1】应用切线长定理解决周长问题 2
【题型2】应用切线长定理求解 3
【题型3】应用切线长定理证明 5
【知识点1】切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
【知识点2】切割线定理
（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方=PA PB（切割线定理）
（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD PC=PA PB（切割线定理推论）（割线定理）
由上可知：PT2=PA PB=PC PD．
【题型1】应用切线长定理解决周长问题
【典型例题】如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为（ ）
A.10cm B.15cm C.20cm D.25cm
【举一反三1】如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，若圆O的半径为6，OP＝10，则△PDE的周长为（ ）
A.10 B.12 C.16 D.20
【举一反三2】如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，并与⊙O的另一条切线分别相交于D、C两点，已知PA＝7，则△PCD的周长＝ ．
【举一反三3】已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长．
【举一反三4】如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA＝8cm，求：△PEF的周长．
【题型2】应用切线长定理求解
【典型例题】如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（ ）
A. B. C.5 D.5
【举一反三1】如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC的度数为（ ）
A.70° B.90° C.60° D.45°
【举一反三2】如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（ ）
A.5 B.10 C.7.5 D.4
【举一反三3】如图，过⊙O外一点A引切线AB、AC，B、C为切点，若∠BAC＝60°，BC＝8cm，则⊙O的直径是 cm．
【举一反三4】为了测量一个圆形铁环的半径，小明采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按照如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是 cm．
【举一反三5】如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．
（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；
（2）如果∠P＝40°，
①求∠COD；
②连AE，BE，求∠AEB．
【题型3】应用切线长定理证明
【典型例题】如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD＝BC；③PB＝PF；④AD2＝4AB DC．其中正确的是（ ）
A.①②③④ B.只有①② C.只有①②④ D.只有③④
【举一反三1】如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是（ ）
A.PA＝PB B.∠APO＝20° C.∠OBP＝70° D.∠AOP＝70°
【举一反三2】切线长定理：
从圆 一点可以引圆的 条切线，它们的切线长 ．这一点和圆心的连线 这两条切线的 角．
即：如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，则PA PB，PO平分∠ ．
【举一反三3】直线PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，且∠APB＝120°，⊙O的半径为4cm，则切线长PA为 cm．
【举一反三4】证明：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
【举一反三5】求证：圆外切四边形的对边之和相等．
