2.3三角形的内切圆
【知识点1】三角形的内切圆与内心 1
【题型1】三角形的内切圆和外接圆的综合应用 1
【题型2】三角形的内心和外心的综合应用 7
【题型3】三角形的内切圆与内心的应用 11
【题型4】三角形的内心 17
【题型5】三角形的内切圆 23
【知识点1】三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
【题型1】三角形的内切圆和外接圆的综合应用
【典型例题】如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，IE的长为（ ）
A.5 B.4.5 C.4 D.3.5
【答案】C
【解析】延长ID到M，使DM＝ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题．
延长ID到M，使DM＝ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，
∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC＝∠DCI，
∴DI＝DC＝DM，
∴∠ICM＝90°，
∴CM＝＝8，
∵AI＝2CD＝10，
∴AI＝IM，
∵AE＝EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IE＝CM＝4，
故选：C．
【举一反三1】如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠ABC＝90°，点D，E是切点，下列说法不正确的是（ ）
A.CD＝CE B.∠ABO＝45° C.△BCO的外心在△BCO的外面 D.四边形ODCE有外接圆
【答案】D
【解析】根据三角形内切圆的性质得到OC平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC，根据角平分线的性质得到CD＝CE，故A正确；根据角平分线的定义得到∠ABO＝∠CBO＝＝45°，故B正确；根据全等三角形的性质得到∠COD＝∠COE，根据三角形的内角和定理得到∠BOC＝90°+A＞90°是钝角三角形，推出△BCO的外心在△BCO的外面，故C正确；推出点O、D、C、E四点共圆，得到四边形ODCE有外接圆，故D错误．
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OC平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC，
∴CD＝CE，故A正确；
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO＝∠CBO＝＝45°，故B正确；
∵OD⊥BC，
∴∠BOD＝45°，
在Rt△CDO与Rt△CEO中，
，
∴Rt△CDO≌Rt△CEO（HL），
∴∠COD＝∠COE，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠BOC＝90°+A＞90°是钝角三角形，
∴△BCO的外心在△BCO的外面，故C正确；
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，点D，E是切点，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴点O、D、C、E四点共圆，
∴四边形ODCE有外接圆，故D错误，
故选：D．
【举一反三2】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．连接BD，若∠C＝50°，则∠DBE＝ ．
【答案】65°
【解析】设∠DBC＝α，∠CBE＝β，则∠DAC＝α，根据内心得∠DAB＝α，∠ABE＝β，利用三角形内角和定理即可求得α+β＝65°，即可求得答案．
设∠DBC＝α，∠CBE＝β，则∠DAC＝α，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠DAB＝α，∠ABE＝β，
∴∠CAB+∠ABC+50°＝2α+2β+50°＝180°，
∴α+β＝65°，
则∠DBE＝α+β＝65°．
故答案为：65°．
【举一反三3】如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D．
（1）求证：DB＝DI；
（2）如果OI⊥AD，IM⊥AB于M．求证：BC＝2AM．
【答案】证明：（1）连接BI，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∴∠BAD+∠ABI＝∠CAD+∠CBI，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD+∠ABI＝∠CBD+∠CBI，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBD+∠CBI，
∴∠BID＝∠IBD，
∴DB＝DI．
（2）连接OD交BC于点E，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，BE＝CE，
∵OI⊥AD，IM⊥AB，
∴∠BED＝∠AMI＝90°，IA＝DI，
∵DB＝DI，
∴DB＝IA，
∵∠DBE＝∠DAC，∠IAM＝∠DAC，
∴∠DBE＝∠IAM，
在△DBE和△IAM中，
，
∴△DBE≌△IAM（AAS），
∴BE＝AM，
∴2BE＝2AM，
∵BC＝2BE，
∴BC＝2AM．
【举一反三4】如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
【答案】（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠2＝∠7，
∵DG平分∠ADF，
∴，
∵∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥AC；
（2）解；∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA，
∴△DAE∽△DBA，
∴，即，
∴AD＝6，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6＝∠DAI，
∴DI＝AD，
∴DI＝6，
∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．
【题型2】三角形的内心和外心的综合应用
【典型例题】一个直角三角形两条直角边的长分别为6，8，则这个直角三角形的内心与外心之间的距离为（ ）
A. B. C.2 D.3
【答案】B
【解析】利用在Rt△ABC，可求得AB＝10，根据内切圆的性质可判定四边形OECE是正方形，所以用r分别表示：CE＝CD＝r，AE＝AN＝6﹣r，BD＝BN＝8﹣r；再利用AB作为相等关系求出r＝2，则可得AN＝4，N为圆与AB的切点，M为AB的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心；在Rt△OMN中，先求得MN＝AM﹣AN＝1，由勾股定理可求得OM＝．
如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵∠C＝90°，
∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝6﹣r，BD＝BN＝8﹣r，
∴8﹣r+6﹣r＝10，
解得r＝2，
∴AN＝4，
设点M为直角三角形ABC的外心，
在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝1，
∴OM＝．
故选：B．
【举一反三1】下列命题正确的是（ ）
A.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B.三角形的内心不一定在三角形的内部
C.等边三角形的内心，外心重合
D.一个圆一定有唯一一个外切三角形
【答案】C
【解析】根据三角形内心的定义和圆的外切三角形的定义判断即可．
A、三角形的内心是三个内角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等，错误；
B、三角形的内心是三个内角平分线的交点，三角形的内心一定在三角形的内部，错误；
C、等边三角形的内心，外心重合，正确；
D、经过圆上的三点作圆的切线，三条切线相交，即可得到圆的一个外切三角形，所以一个圆有无数个外切三角形，错误；
故选：C．
【举一反三2】如图，△ABC的内心为I，∠A＝52°，则∠BIC＝ ，O为△ABC的外心，则∠BOC＝ ．
【答案】116°；100°
【解析】直接利用三角形内心即角平分线的交点，外心是外接圆圆心，进而得出答案．
∵△ABC的内心为I，∠A＝52°，
∴∠ABC+∠ACB＝128°，
∴∠BIC＝180°﹣×128°＝116°，
∵O为△ABC的外心，
∴∠BOC＝100°．
故答案为：116°；100°．
【举一反三3】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC，交⊙O于D，点M是△ABC的内心．
（1）判断BC与DM的数量关系，并证明；
（2）若AB＝8，AC＝6，求AD的长．
【答案】解：（1）BC＝DM．理由如下：
连接DB、DC、CM，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC＝CD，
∵点M是△ABC的内心，
∴CM平分∠ACB，
∴∠MCB＝∠MCA，
∵∠DMC＝∠DAC+∠MCA，
∠DAC＝∠BCD，
∴∠DMC＝∠BCD+∠MCB＝∠MCD，
∴DM＝DC，
∴BC＝DM；
（2）作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，如图，
在Rt△ABC中，∵AB＝8，AC＝6，
∴BC＝＝10，
∴△ABC的内切圆的半径＝＝2，
∵点M是△ABC的内心，
∴AM平分∠BAC，
∴ME＝MF，
∴四边形AEMF为正方形，
∴AM＝ME，
∴AM＝2，
而DM＝BC＝5，
∴AD＝AM+DM＝7．
【题型3】三角形的内切圆与内心的应用
【典型例题】如图，在△ABC中，内切圆O与BC，CA，AB分别切于D，E，F若∠A＝50°，则∠EDF＝（ ）
A.55° B.65° C.75° D.85°
【答案】B
【解析】先根据切线的性质和四边形内角和定理求出∠EOF＝130°，再由同圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半即可得到答案．
如图所示，连接OE，OF，
∵内切圆O与CA，AB分别切于E，F，
∴∠AFO＝∠AEO＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠EOF＝360°﹣∠A﹣∠AFO﹣∠AEO＝130°，
∵点D在圆O上，
∴，
故选：B．
【举一反三1】如图，已知△ABC中，∠C＝70°，AB＝10，内切圆⊙O半径为3，则图中阴影部分面积和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是△AOB的面积﹣扇形TOQ的面积，进而即可求解．
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为G，D，R，
∴图中阴影部分面积和是△AOB的面积﹣扇形TOQ的面积，
∵OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，
∴∠OAB＝CAB，∠OBA＝∠CBA，
∵∠ACB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，
∴∠OAB+∠OBA＝∠CAB+∠CBA＝55°，
∴∠AOB＝180﹣（∠OAB+∠OBA）＝125°，
∴S阴影＝S△AOB﹣S扇形＝×10×3﹣×π×32＝15﹣π，
故选：A．
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB+AC＝BC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出△ABC的面积，利用面积相等即可解决问题．
如图所示：O为△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分线交点，过点O分别作垂线相交于AB、AC、BC于点E、G、F，
S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×AB R+BC R+AC R＝R（AB+AC+BC），
∵AB+AC＝BC，
∴S△ABC＝R（BC+BC）＝R BC，
∵AD的长为h，
∴S△ABC＝BC h，
∴R BC＝BC h，
∴h＝R，
∴＝＝，
故选：A．
【举一反三3】如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于D，E两点，连接DE，AO的延长线交DE于点F，若∠ACB＝70°，则∠AFD的大小是 ．
【答案】35°
【解析】如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出∠AOB＝125°，再由切线长定理得到BD＝BE，进而推出OB是DE的垂直平分线，即∠OHF＝90°，则∠AFD＝∠AOH﹣∠OHF＝35°．
如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，
∴，
∵∠ACB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠ACB＝110°，
∴，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝125°，
∵⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，
∴BD＝BE，
又∵OD＝OE，
∴OB是DE的垂直平分线，
∴OB⊥DE，即∠OHF＝90°，
∴∠AFD＝∠AOH﹣∠OHF＝35°，
故答案为：35°．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O是△ABC的内切圆，M，N，K是切点，连接OA，OC．交⊙O于E，D两点．点F是上的一点，连接DF，EF，则∠EFD的度数是 ．
【答案】62.5°
【解析】先根据三角形内心的性质得，，进而求出∠OAC+∠OCA，即可求出∠AOC，然后根据圆周角定理得出答案．
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OA，OC是△ABC的角平分线，
∴，．
∵∠B＝70°，
∴∠BAC+∠BCA＝110°，
∴，
∴∠AOC＝180°﹣55°＝125°，
∴．
故答案为：62.5°．
【举一反三5】如图，已知在△ABC中，内切圆I与边AB、AC分别相切于点D、E，点F是劣弧DE上一点，探索∠DFE与∠A的数量关系．
【答案】解：连接IE和ID．
∵AB和AC是圆的切线，
∴ID⊥AB，IE⊥AC．
∴∠ADI＝∠AEI＝90°，
∴∠A+∠DIE＝180°，
∴∠DIE＝180°﹣∠A．
∵∠DFE＝∠1，即∠1＝2∠DFE，
又∠1+∠DIE＝360°，
∴180°﹣∠A+2∠DFE＝360°，
∴2∠DFE﹣∠A＝180°．
【举一反三6】如图，在△ABC中，AC＝AB＝10，BC＝12，圆O内切于△ABC，切点分别为D、E、F．
（1）求△ADE的周长；
（2）求内切圆的面积．
【答案】解：（1）连接AF，BO，CO，AO
∵AC＝AB＝10，BC＝12，圆O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，
∴AF⊥BC，AD＝AE，
∴BF＝CF＝6，BD＝BF＝CF＝CE＝6，
∴AD＝AE＝4，
∵AD＝AE，AB＝AC，∠A＝∠A，
∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴DE＝×12＝，
∴△ADE的周长为：4+4+＝；
（2）连接DO，AF，
由（1）得：AF＝＝＝8，
设FO＝r，则AO＝8﹣r，
∴AD2+DO2＝AO2，
∴r2+42＝（8﹣r）2，
解得：r＝3，
∴内切圆的面积为：π×32＝9π．
【题型4】三角形的内心
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（ ）
A.20 B.15 C.18 D.12
【答案】B
【解析】由O为△ABC的内心可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC面积的比实际为AB，BC，AC三边的比．
∵O为△ABC的内心，
∴点O到AB，AC的距离相等，
∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝8：6＝4：3．
∵△ABO的面积为20，
∴△ACO的面积为15．
故选：B．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，AC＝BC，点M是AB上一点（不与点A重合），点P是△ACM的内心，则∠MPC的度数（ ）
A.等于115° B.可以等于80° C.等于120° D.无法确定
【答案】A
【解析】利用三角形内角和为180°求出∠B，∠A，设∠BCM＝x，通过外角定理与三角形内心的性质求出∠CMP，∠MCP，再利用三角形内角和定理消去x即可求出结论．
∵∠ACB＝80°，AC＝BC，
∴∠B＝∠A＝50°，
设∠BCM＝x°，
则∠MCA＝80°﹣x，
∴∠AMC＝50°+x，
∵点P是ACM的内心，
∴CP平分∠MCA，MP平分∠AMC，
∴∠MCP＝∠ACP＝MCA＝（80°﹣x），∠CMP＝∠AMP＝AMC＝（50°+x），
∴∠MPC＝180°﹣∠MCP﹣∠CMP＝180°﹣（80°﹣x）﹣（50°+x°）＝115°．
故选：A．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，点I是△ABC的内心，
（1）∠BIC＝ °；
（2）若BI的延长线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点E，当∠ACB＝ °时，CE∥AB．
【答案】（1）115；
（2）80
【解析】（1）根据三角形内角和求出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，根据BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，得出，，根据∠BIC＝180°﹣（∠CBI+∠BCI）求出结果即可；
（2）根据角平分线的性质求出，根据当∠ABE＝∠E＝25°时，CE∥AB，得出此时∠ABC＝2∠ABE＝50°，求出∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝80°．
（1）∵在△ABC中，∠BAC＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵点I是△ABC的内心，
∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，
∴，，
∴∠BIC＝180°﹣（∠CBI+∠BCI）
＝
＝
＝115°；
故答案为：115；
（2）∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠ABC+∠A，
∵CE平分∠ACD，
∴，
∵∠DCE＝∠E+∠CBE，
∴，
∵，
∴，
∵当∠ABE＝∠E＝25°时，CE∥AB，
∴此时∠ABC＝2∠ABE＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝80°．
故答案为：80．
【举一反三3】如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为 ．
【答案】（2，3）
【解析】根据点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），建立直角坐标系，根据等腰三角形三线合一，利用网格确定△ABC内心的坐标即可．
如图，点I即为△ABC的内心．
所以△ABC内心I的坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【举一反三4】如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AG＝6，，点I为△ABC的内心，求GI的长．
【答案】（1）证明：连接OG，
∵∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，
∴∠BAG＝∠CAG，
∴＝，
∴OG⊥BC，
∵DE∥BC
∴OG⊥EF，
∵OG是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：连接BI，BG，
∵点I为△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIG＝∠BAI+∠ABI，∠GBI＝∠GBC+∠CBI，∠GBC＝∠GAC，
∴∠BAI＝∠CBG，
∴∠BIG＝∠GBI，
∴BG＝IG，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADG，
∴＝＝，
∵AG＝6，
∴AF＝4，
∴FG＝2，
∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠BAG，
∴△BGF∽△AGB，
∴＝，
∴＝，
∴BG＝2（负值舍去），
∴GI的长为2．
【举一反三5】若AD是△ABC角平分线，I是线段AD上的点，且∠BIC＝90°+∠BAC．求证：I是△ABC的内心．
【答案】解：作△ABC的外接圆⊙O，设AD的延长线交⊙O于M，BI的延长线交⊙O于E．
连ME、CE、CM，IC与ME交于点F．
则∠MEC＝∠BAC＝∠BEC，
因∠BIC＝∠ICE+∠IEC，
＝∠ICE+∠MEC+∠BAC，
＝90°+∠BAC．
则∠ICE+∠MEC＝90°，即IC⊥EF．
于是，有△IEF≌△CEF，
从而，IF＝FC，即EM是IC的垂直平分线．
故MC＝MI，于是，∠MCI＝∠MIC．
又∠MCI＝∠MAC+∠ACI，
则∠BCI＝∠ACI．
即CI平分∠ACB．
因此，I是△ABC的内心．
【题型5】三角形的内切圆
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，连接BO并延长与AC交于点D，则∠AOD的度数为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.65°
【答案】B
【解析】根据三角形的内角和定理得到∠CAB+∠CBA＝90°，由⊙O是△ABC的内切圆，得到AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，根据角平分线的定义得到∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，根据三角形外角的性质即可得到结论．
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，
∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，
∴∠OAB+∠OBC＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AOD＝∠OAB+∠OBA＝45°，
故选：B．
【举一反三1】如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠FDE＝α，则（AF+CD﹣AC）的值和∠A的大小分别为（ ）
A.0，180°﹣2α B.r，180°﹣α C. D.
【答案】A
【解析】连接IE、IF，根据切线长定理和切线的性质定理得AF＝AE，CD＝CE，AB⊥IF，AC⊥IE，则AF+CD＝AF+CE＝AC，所以AF+CD﹣AC＝0，而∠FIE＝2∠FDE＝2α，则∠A＝360°﹣∠AEI﹣∠AFI﹣∠FIE＝180°﹣2α，于是得到问题的答案．
连接IE、IF，
∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∠FDE＝α，
∴AF＝AE，CD＝CE，AB⊥IF，AC⊥IE，
∴AF+CD＝AF+CE＝AC，
∴AF+CD﹣AC＝AC﹣AC＝0，
∵∠AEI＝∠AFI＝90°，∠FIE＝2∠FDE＝2α，
∴∠A＝360°﹣∠AEI﹣∠AFI﹣∠FIE＝360°﹣90°﹣90°﹣2α＝180°﹣2α，
故选：A．
【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，CF＝4，则劣弧EF的长是（ ）
A.2π B.4π C.8π D.16π
【答案】A
【解析】连接OE、OF，由⊙O与BC、AC分别相切于点E、点F，证明∠OEC＝∠OFC＝90°，而∠C＝90°，OE＝OF，则四边形OECF是正方形，所以OF＝CF＝4，∠EOF＝90°，即可根据弧长公式求得劣弧EF的长是2π，于是得到问题的答案．
连接OE、OF，
∵⊙O与BC、AC分别相切于点E、点F，
∴BC⊥OE，AC⊥OF，
∴∠OEC＝∠OFC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形，
∴OF＝CF＝4，∠EOF＝90°，
∴＝＝2π，
∴劣弧EF的长是2π，
故选：A．
【举一反三3】如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，⊙E和⊙F分别是△ABC和△ADC的内切圆，则EF＝ ．
【答案】2
【解析】连接EM、EN、EQ、AE、BE、CE、过F作FW⊥BC于W，过E作ER⊥FW于R，根据三角形的面积公式求出⊙E和⊙F的半径，在Rt△EFR中，根据勾股定理求出即可．
连接EM、EN、EQ、AE、BE、CE、过F作FW⊥BC于W，过E作ER⊥FW于R，
设⊙E的半径是R，
则EM＝EN＝EQ＝RW＝R，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得：AC＝10，
∵S△ABE+S△BCE+S△ACE＝S△ABC，
∴×6×R+×8×R+×10×R＝×6×8，
R＝2，
同法可求出⊙F的半径是2，
在Rt△EFR中，ER＝8﹣2﹣2＝4，FR＝6﹣2﹣2＝2，由勾股定理得：EF＝＝2，
故答案为：2．
【举一反三4】如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线．
（1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数；
（2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长．
【答案】解：（1）∵∠C＝40°，
∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，
∴，
∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°；
（2）∵⊙O为△ABC的内切圆，DE为⊙O的切线，设切点为I，
∴EH＝EI，DI＝DG，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE
＝CD+CE+EI+DI，
＝CD+CE+EH+DG，
＝CG+CH，
∵AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，
∴CG+CH＝（AB+BC+AC）﹣（AH+AF+BF+BG），
＝8+6+9﹣2AB
＝8+6+9﹣2×6
＝11．2.3三角形的内切圆
【知识点1】三角形的内切圆与内心 1
【题型1】三角形的内切圆和外接圆的综合应用 1
【题型2】三角形的内心和外心的综合应用 3
【题型3】三角形的内切圆与内心的应用 4
【题型4】三角形的内心 6
【题型5】三角形的内切圆 7
【知识点1】三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
【题型1】三角形的内切圆和外接圆的综合应用
【典型例题】如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，IE的长为（ ）
A.5 B.4.5 C.4 D.3.5
【举一反三1】如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠ABC＝90°，点D，E是切点，下列说法不正确的是（ ）
A.CD＝CE B.∠ABO＝45° C.△BCO的外心在△BCO的外面 D.四边形ODCE有外接圆
【举一反三2】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．连接BD，若∠C＝50°，则∠DBE＝ ．
【举一反三3】如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D．
（1）求证：DB＝DI；
（2）如果OI⊥AD，IM⊥AB于M．求证：BC＝2AM．
【举一反三4】如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
【题型2】三角形的内心和外心的综合应用
【典型例题】一个直角三角形两条直角边的长分别为6，8，则这个直角三角形的内心与外心之间的距离为（ ）
A. B. C.2 D.3
【举一反三1】下列命题正确的是（ ）
A.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B.三角形的内心不一定在三角形的内部
C.等边三角形的内心，外心重合
D.一个圆一定有唯一一个外切三角形
【举一反三2】如图，△ABC的内心为I，∠A＝52°，则∠BIC＝ ，O为△ABC的外心，则∠BOC＝ ．
【举一反三3】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC，交⊙O于D，点M是△ABC的内心．
（1）判断BC与DM的数量关系，并证明；
（2）若AB＝8，AC＝6，求AD的长．
【题型3】三角形的内切圆与内心的应用
【典型例题】如图，在△ABC中，内切圆O与BC，CA，AB分别切于D，E，F若∠A＝50°，则∠EDF＝（ ）
A.55° B.65° C.75° D.85°
【举一反三1】如图，已知△ABC中，∠C＝70°，AB＝10，内切圆⊙O半径为3，则图中阴影部分面积和是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB+AC＝BC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于D，E两点，连接DE，AO的延长线交DE于点F，若∠ACB＝70°，则∠AFD的大小是 ．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O是△ABC的内切圆，M，N，K是切点，连接OA，OC．交⊙O于E，D两点．点F是上的一点，连接DF，EF，则∠EFD的度数是 ．
【举一反三5】如图，已知在△ABC中，内切圆I与边AB、AC分别相切于点D、E，点F是劣弧DE上一点，探索∠DFE与∠A的数量关系．
【举一反三6】如图，在△ABC中，AC＝AB＝10，BC＝12，圆O内切于△ABC，切点分别为D、E、F．
（1）求△ADE的周长；
（2）求内切圆的面积．
【题型4】三角形的内心
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（ ）
A.20 B.15 C.18 D.12
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，AC＝BC，点M是AB上一点（不与点A重合），点P是△ACM的内心，则∠MPC的度数（ ）
A.等于115° B.可以等于80° C.等于120° D.无法确定
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，点I是△ABC的内心，
（1）∠BIC＝ °；
（2）若BI的延长线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点E，当∠ACB＝ °时，CE∥AB．
【举一反三3】如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为 ．
【举一反三4】如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AG＝6，，点I为△ABC的内心，求GI的长．
【举一反三5】若AD是△ABC角平分线，I是线段AD上的点，且∠BIC＝90°+∠BAC．求证：I是△ABC的内心．
【题型5】三角形的内切圆
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，连接BO并延长与AC交于点D，则∠AOD的度数为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.65°
【举一反三1】如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠FDE＝α，则（AF+CD﹣AC）的值和∠A的大小分别为（ ）
A.0，180°﹣2α B.r，180°﹣α C. D.
【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，CF＝4，则劣弧EF的长是（ ）
A.2π B.4π C.8π D.16π
【举一反三3】如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，⊙E和⊙F分别是△ABC和△ADC的内切圆，则EF＝ ．
【举一反三4】如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线．
（1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数；
（2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长．
