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专题1.9 全等三角形中的八类重要模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中八类重要的模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 模型1：倍长中线模型 2
模型2：截长补短模型 8
模型3：一线三等角（K字型）模型 13
模型4：手拉手模型 17
模型5：半角模型 22
模型6：对角互补模型 27
模型7：角平分线的全等模型（三类） 31
模型8：平移与轴对称类全等模型 35
模块3：培优训练 37
1.全等三角形的判定定理
1）“边边边”公理：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
2）“边角边”公理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
注意：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
3）“角边角”公理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
4）“角角边”公理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。
2.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：
如图3，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E；则PD=PE。
3.线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
几何表示：
如图1，CD是线段AB的垂直平分线，CD交AB于点E，连结CA，CB；则EA=EB，CA=CB（重点）。
模型1：倍长中线模型
例1．（24-25·江苏·八年级校考期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ．A．SAS；B. SSS；C. AAS；D. HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
(3)【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证AE＝FE．
【答案】(1)A(2)1＜AD＜7(3)见解析(4)BE2+CF2＝EF2，证明见解析
【解答】(1)解：在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故选：A；
(2)解：由(1)得：△ADC≌△EDB，∴AC=BE=6，
在△ABE中，AB BE
(3)解：延长AD到M，使AD=DM，连接BM，如图②所示：
∵AD是△ABC中线，∴CD=BD，在△ADC和△MDB中，，
∴△ADC≌△MDB(SAS)，∴BM=AC，∠CAD=∠M，
∵AC=BF，∴BM=BF，∴∠M=∠BFM，
∵∠AFE=∠BFM，∴∠BFM=∠CAD=∠M，∴AE=FE；
变式1．（2024·广东·校考二模）综合与实践：小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决
请回答：(1)小明证明用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母）
A． B． C． D．
(2)的取值范围是________．
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长．
【答案】(1)A(2)；．
【详解】（1）解：如图，延长到，使，连接，点为的中点，，
在和中，，，故答案为：A；
（2）解：，，，
，，，
，，故答案为：；
解决问题：如图，延长交的延长线于点H，
四边形是正方形，，为边的中点，，
在和中，，，，，
，，，，
，，，，
，．
变式2．（24-25辽宁锦州七年级期末）【问题提出】期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，那么是的中点，请你说明理由．
【思路探究】小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得．
（1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程；
【学以致用】（2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，过点作线段，且，连接，交的延长于点，猜想与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析．
【详解】解∶（1）小王同学的思路：
如图1，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则．所以．
因为，所以．
因为，所以．所以，即是的中点
小张同学的思路：如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则．
所以，因为，所以．
因为，所以．
所以．所以，即是的中点；
（2）猜想方法1：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接，
则．所以．因为，
所以，．
所以．所以．
又因为，所以．所以．
方法2：如图4，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，
则．所以．
因为，所以．
因为，所以．
所以．所以．
因为，所以．所以．所以．
变式3．（2024·山东·校考一模）阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……
请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析
【详解】（1）证明：延长AD至M，使，连接MC．
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
（2）线段DF与AD的数量关系为：．
证明如下：延长DF至点M，使，连接BM、AM，如图2所示：
∵点F为BE的中点，∴
在和中，∵，∴
∴，，∴
∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE
∴，，∴
∵是等边三角形∵，，
∴
∵，∴
在和中，∵，∴
∴，，∴
∴是等边三角形，∴．
模型2：截长补短模型
例1．（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系；
嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题．
方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题．
（1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系；
【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）证明见解析．
【详解】（1）证明：方法一：∵平分，∴，
在和中，，，，
∴∴，，
∵，∴，∴，∴，∴；
方法二：延长到点E，使得，连接，
∴，则，
∵，∴，∵平分，∴，
在和中，，，，
∴，∴，∵，∴；
（2）在上取，连接，∵于，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴；
（3）如图所示，∵，为等边三角形，∴，，
∴∴，
∴，∴，∴，
过作，交于点，∴，
∵是的中点，∴，又，∴，
∴ ，，，而，
，∴，
又∵，∴，∴ ， 即．
变式1．（24-25八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析
【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接，
平分，，
在和中，，，，，
，，，，；
方法2：延长到，使，连接，
平分，，
在和中，，，，，
，，，，；
（2），，之间的数量关系为．
方法1：理由如下：如图，在上截取，连接，
由（1）知，，
，，，
为等边三角形， ，，
，为等边三角形，，，
，，，．
方法：理由：延长到，使，连接，
由（1）知，，是等边三角形， ，，
，，，
，为等边三角形，，，
，，即，
在和中，，，，
，；
（3）线段、、之间的数量关系为．连接，过点作于点，
，，，
在和中，，，，，
在和中，，，，
，．
变式2．（2024·河南南阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答．
（1）【观察发现】①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________；
②如图2，的角平分线、相交于点P．当时，线段与的数量关系是__________；
（2）【探究迁移】如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）或10．
【详解】（1）①∵是的角平分线，∴，
∵，，∴，∴；故答案为：；
②在上取点D，使，连接，，
∵的角平分线、相交于点P．∴平分，∴，
∵，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴；故答案为：；
（2），理由：在上取点E，使，连接，则，
∵，∴，
∵的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
变式3．（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：．
(1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等）
(2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)的长为14
【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接，平分，∴，
，∴，，，
∵，，是的一个外角，，
，，，，；
（2）解：在上截取，连接，
，，∴，
，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，的长为14．
模型3：一线三等角（K字型）模型
例1．（2024·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，中，，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作 ，交线段于，以下四个结论：
①；②当为中点时，；③当为等腰三角形时，；
④当时，．其中正确的结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：①，，
，，，故①正确；
②为中点，，，，，
，，，故②正确；
③，，，为等腰三角形，，，
，；或为等腰三角形，
，，，，故③错误；
④，，，
，，，
，，，，故④正确，
综上所述正确的有①②④．故选：．
变式1.（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
【答案】3
【详解】解： ∵，∴，
∵，，∴，∴，∴，
在和中：，∴，
∴，∴，故答案为：3．
变式2.（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）（1）已知：如图①，在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为D，E．求证：．
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角：那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）应用，如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是15，求与的面积之和．
【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析；（3）
【详解】证明：（1）∵直线m，直线m，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵在和中，∴，
∴，∴；
（2）结论仍然成立，理由是：∵，
∴，∴，
∵在和中，∴，
∴，∴．
（3）∵，∴，
在和中，，∴，∴，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
∴，，∵，∴，
∵，∴与的面积之和为．
变式3．（23-24八年级上·重庆綦江·期末）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D．求证：；
（2）如图②，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：；
（3）如图③，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为17，求与的面积之和．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】证明：（1）∵，，，∴，
∴，，∴，
在和中，，∴；
（2）∵，，，，
∴，，
在和中，，∴；
∴，，∴；
（3）∵的面积为17，，∴的面积是：，
根据解析（2）同理可证，∴，∴．
模型4：手拉手模型
例1．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，分别以的边为腰向外作等腰直角、等腰直角，连接相交于点O，连接，①，②，③，④平分，⑤平分，则以上结论正确的有（ ）
A．①③⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①③④
【答案】D
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，∴，
又∵，∴，
即，∴，∴，①正确；
∵，∴，又∵，
∴，∴，即，③正确；
过点A分别作，垂足为点P,Q．
∵，∴，∴，∴，
∴点A在的平分线上，即平分，④正确．故选：D．
变式1．（2024·广东·八年级统考期中）如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连．
(1)求证：；(2)求证：平分；
(3)设，若，直接写出a，b，c之间满足的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：∵等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，
∴，，∴，
∴，，∴，
∵等边，等边，∴，，
在与中，∵，∴，∴．
（2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点，
∵（1）中已证，又∵，，∴，
∵，，∴平分．
（3），理由如下：如图2，过点作交于点，过点作交于点，在上截取一点，使得，在上截取一点，使得，连接，，
∵，∴，∵，
又∵等边，∴，∴，
∵，∴，即，
∵，∴是等边三角形，∴，，
∵是等边三角形，∴，，∴，
即，在与中，∵，
∴，∴．∵，，∴，
同法可证，，∵，∴．
∵，，∴，
∵（2）中已证，∴，∴，即．
变式2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，．
(1)如果，．①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为________，数量关系为________；②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．(2)如图3，如果，，点D在线段上运动．探究：当多少度时，？请说明理由．
【答案】(1)①，；②仍然成立，理由见解析(2)当时，，理由见解析
【详解】（1）解：①与位置关系是，数量关系是．
理由：，，．
又，，，且．
，，即．故答案为：，；
②都成立，，
在与中，，
，，，即．
（2）解：当时，．
理由：过点A作交的延长线于点G，则，
∵，∴，∴∴，
在与中，，∴，
∴，∴，即．
变式3．（24-25·山东临沂·八年级统考期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．
(1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由．
(2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线）
(3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）．
(4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由．
【答案】(1)BE＝CD．证明见详解；(2)90°；(3)BC＝BD+BE．证明见详解；(4)∠EBD＝120°．
【详解】（1）证明：问题初探：BE＝CD．如图（1），∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD，∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD；
（2）解：在图（2）中过点M作MF∥AC交BC于点F，
∵，，∴∠ACB=∠ABC=，
∵MF∥AC，∴∠BMF=∠A=90°，∠BFM=∠C=45°，∴MB=MF，
∵∠DME＝∠BMF＝90°，∴∠BME＝∠DMF，
在△BME和△FMD中，，∴△BME≌△FMD（SAS），
∴∠MBE＝∠MFD=45°；∴∠EBD＝∠MBE+∠ABC＝90°．故答案为：90°；
（3）解：BC＝BD+BE．如图（3），∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∴BC＝BD+CD＝BD+BE；
（4）拓展创新：∠EBD＝120°．理由：在图（4）中过点M作MG∥AC交BC于点G，
如图则∠BMG=∠A=60°，∠BGM=∠C=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BM=GM，
∵∠DME＝∠BMG＝60°，∴∠BME+∠BMD=∠BMD+∠GMD=60°，∴∠BME＝∠DMG，
在△BME和△GMD中，，∴△BME≌△GMD（SAS），
∴∠MBE＝∠MGB＝60°，∴∠EBD＝∠MBE+∠MBG＝120°．
模型5：半角模型
例1．（24-25八年级下·广东·专题练习）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ．
【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）或或
【详解】解：（1）如图1，延长到G，使，连接，
∵∴
∴，∴∴．
∵，∴．∴．
∵．∴；故答案为：；
（2）（1）中的结论仍然成立．
理由是：如图2，延长到G，使，连接
∵，∴
∵∴∴，
∴∴．
∵，∴．∴．∵．∴；
（3）若如图1，则结论成立，若如图3，则或
证明：在上截取，使，连接．
∵，∴．
∵∴∴
∴．∴
∵，∴∴．∵∴．同理可得：
∵∴．故答案为：或或．
变式1.（24-25.上海 七年级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数.
【答案】（1）见解析；（2）20°
【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合，
∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°，
由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线，
∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD，
∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED；
（2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，
又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，
∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．
变式2．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点，，当绕点旋转到时（如图），易证．
(1)当绕点旋转到时（如图），上面的结论还成立吗？说明理由．
(2)当绕点旋转到如图的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由．
(3)图中，若，，求的面积为 ．
【答案】(1)成立，理由见解析；(2)，理由见解析；(3)．
【详解】（1）解：上面的结论还成立，理由如下：
如图，在的延长线上，截取，连接，
在和中， ，∴，∴，，
∵，，∴，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴；
（2）解：，理由如下：如图，在上截取，连接
在和中，，∴，
∴，，∴ ，即，
∵，∴
在和中，，∴，
∴，∴，∴；
（3）解：∵ ，∴，
∴的面积，∴的面积为，故答案为：．
变式3．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图1，已知是边长为5的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰三角形．点M，N分别是边与边上的点，并且满足．
(1)尝试探究：要想证明为的平分线，小诚做了如下思考，如图2，延长至点F，使，连接，通过证明______，得到，进而证得______，得证为的平分线；(2)类比延伸：在（1）的思路下求的周长；
(3)拓展迁移：当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长．
【答案】(1)，(2)10(3)5
【详解】（1）延长至点F，使，连接，
由题意得，，，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，．
∵，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴平分．
（2）∵，∴．∵，∴．
∴的周长为：．
（3）延长交于P，延长交于Q，令，连接，
∵是等腰三角形，且，∴，，，
∵是等边三角形，∴，
∴，，，∴，，
在和中， ，∴ ，∴，，
∵ ，，∴，
在和中， ∴ ，∴，，
∵ ，，∴，∴即，
在和中， ，∴ ，∴．
∴的周长为：．
模型6：对角互补模型
例1．（24-25·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【详解】解：过点P作PK⊥AB，垂足为点K．∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PK＝PD，
在Rt△BPK和Rt△BPD中，，∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），∴BK＝BD，
∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，∴∠KPD＝∠APC，∴∠APK＝∠CPD，故①正确，
在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确，
∴BK﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD，故③正确，
∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，
∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确．故选A．
变式1．（23-24八年级上·北京·期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．
(1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______．
(2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．
【答案】(1)角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上．(2)成立，证明见解析．
【详解】（1）解：因为，，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，所以点A在的角平分线上
故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上．
（2）结论：平分仍然成立；
证明：如解图3，过点A作，，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，
在和中，∴∴，
又∵，，∴平分，故（1）结论正确．
变式2．（24-25重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为OE﹣OD=OC，证明详见解析.
【详解】(1)∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，
∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°，
在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC，
(2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，
∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，
同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，
∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，
∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；
(3)(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，
∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，
∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．
变式3．（23-24九年级上·重庆江津·期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．
【答案】（1）1（2）证明见解析（3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB
【详解】解：（1）如图1中，
∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4，
∵点D是线段BC的中点，∴BD=DC=BC=2，∵DF⊥AC，即∠CFD=90°，∴∠CDF=30°，
又∵∠EDF=120°，∴∠EDB=30°，∴∠BED=90°∴BE=BD=1．
（2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．
∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD=AB．
（3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB．
∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣CN）=2BM=BD=AB．
模型7：角平分线的全等模型（三类）
例1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ．
【答案】3
【详解】解：如下图，延长交于点，
∵，，，∴，
∵平分，∴，∵，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴，∴．故答案为：3．
变式1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析
【详解】解：（1）在和中，∵，，，
∴，∴；
（2）解：选择②为条件，①为结论：如图，在取点N，使，连接，
∵平分，∴，
在和中，∵，，，
∴，∴，，
∵，，∴，∴，
∴，∴；
选择①为条件，②为结论：如图，在取点N，使，连接，
∵平分，∴，在和中，
∵，，，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∵，∴；
变式2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，．
【问题提出】（1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数；
【问题探究】（2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系；
【问题解决】（3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：
作的平分线；再过点作交于点
已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积．
【答案】（）；（），理由见解析；（）．
【详解】（）如图， 延长交于点，由已知可知，∴，
∵，∴；
（），证明如下：如图，延长交于点，则，
∵，∴，∵，∴，
又∵，∴，∴，由已知可知，，∴；
（）如图，延长交于，由已知可知，，，∴，
∵，∴，∴．
变式3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段．；使；在射线上任取一点D，连接，．则与的数量关系为______．
（2）如图2，在中，，平分，求证：；
（3）如图3，在四边形中，，，，C为边中点，若平分，平分，，求的值．
【答案】（1）（2）详见解析（3）
【详解】（1）证明：射线平分，，
又，，，，故答案为：；
（2）证明：在上截取，连接，如图2所示：
平分，，又，，
，，，，，，
又，，，，，
，；
（3）解：在上取点，使，连接，在上取点，使，连接，如图3所示：
是边的中点，，，
平分，，又，，
，，．同理可证：，
，，，，，
，，，
，是等边三角形，，．
模型8：平移与轴对称类全等模型
例1．（24-25襄城区八年级期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB＝DE；乙说：添加AC∥DF；丙说：添加BE＝CF．（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是 ；
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．
【解答过程】解：（1）说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙；
（2）证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，
在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．
变式1. （24-25·浙江杭州市·八年级期中）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．（1）求证：；（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）BE=3．
【详解】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BC－EC＝EF－EC，即BE＝CF，
∵BF＝11，EC＝5，∴BF－EC＝6．∴BE＋CF＝6．∴BE＝3．
变式2.（24-25·湖南常德·八年级阶段练习）如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上．
(1)求证：AC平分∠BAD；(2)求证：BE=DE．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】（1）在与中，，，
，即AC平分∠BAD；
（2）在与中，，，．
变式3. （24-25·安徽·八年级期末）如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求证：AM＝AN．
【解答过程】解：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝BD＝AE＝EC，∠B＝∠C，
在△DBC和△EBC中 ∴△DBC≌△EBC，∴∠BDC＝∠BDE，
∵∠BDC＝∠ADM，∠BEC＝∠AEN，∴∠ADM＝∠AEN，
在△AMD和△ANE中∵∴△AMD≌△ANE∴AM＝AN．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25·浙江·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【详解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED，
在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，
∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故选：A．
2．（24-25·山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【详解】解：如图，在上截取，连接
平分，平分，，
，，，
，，
在和中，，，
，，，
在和中，，，
，，
周长为，，，
，．故选：B．
3．（23-24八年级上·浙江台州·开学考试）如图所示框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】C
【详解】解：点，运动的速度之比为，设，则，
，与全等，
可分两种情况：情况一：当，时，
，，，，解得：，
；
情况二：当，时，，，，解得：，
，综上所述，或， 故选：C．
4．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．16
【答案】C
【详解】解：如图，过作于，
∵是等腰直角三角形，∴，，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴．故选：C．
5.（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵为等腰直角三角形，∴，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵每本书长，厚度为，∴，∴．
故选：A．
6．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴，即，
在和中，，∴，∴；
如图所示，设交于O，∵，
，，∴，
∵，，∴，
选：C．
7.（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，则以为边长的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定
【答案】C
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，，，，∵是等边三角形，∴，
∵ ，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵ ，∴，
又∵，∴是以为边长的钝角三角形，故选：．
8．（24-25·浙江·八年级期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
【答案】B
【详解】解：如图，将关于AE对称得到，
则，，，
，，
在和中，，，
，
，即是直角三角形，，
，
即与的面积之和为21，故选：B．
9.（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，有如下四个结论：①，②，③，④平分，⑤平分，其中结论正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】解：由题意得：，
，∴，∴，∴，故①正确；
∴，∵，∴，
∴，∴是等边三角形，∴，，
∵，，∴，即，∴，故③正确；
∵，∴，设边上的高为，边上的高为，
则，∴，∴平分，故④正确；
∴，又即，∴，∴，
又，∴，故②错误；
若平分，则，又，∴，又，∴，
而题干没有这一条件，则平分不成立，故⑤错误；故选∶B
10.（24-25八年级·广东·培优）如图，在中，，，，且，连接、、，则下列结论：①，②为等腰三角形，③，④，其中正确的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【详解】解：①∵，，∴，
∵，∴，∴，故①正确；
②∵，，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∴为等腰三角形，故②正确；
③延长交于点G，交于点F，如图所示：
∵,∴，∵，
又∵，
∴，∴，故③正确．
④过点D作于点M，作于点N，如图所示：
则，∴四边形为矩形，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴，∴垂直平分，∴，故④正确．
综上分析可知，正确的结论为①②③④．故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11.（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为点，，交于点．(1)求证：≌；(2)若，，则的长________．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明: ∵,
∴，,∴,
在和中,，∴；
（2）∵,∴,
∵,∴,∴,
∴．故答案为: ．
12．（2024·上海·七年级专题练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____．
【答案】100°/100度
【详解】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
在△BDM和△CDA中， ，∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，∵BF＝AC，∴BF＝BM，∴∠M＝∠BFM＝24°，
∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°，∵∠EBC＝32°，∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，
∴∠C＝∠DBM＝100°，故答案为：100°．
13．（2024·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________．
【答案】/
【详解】解：如图，延长至F，使得，交于点G，
∵点E是的中点，∴，在与中，，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴， 设，∵，
∴，解得，即．故答案为：
14．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ．
【答案】
【详解】解：且
由外角定理可得，又，∴∠CAF＝∠BCE，
在和中， ．，，
，，
，的面积为，，
，
，∴的面积是 故答案为：， ．
15.（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
【答案】3
【详解】解： ∵，∴，
∵，，∴，∴，∴，
在和中：，∴，
∴，∴，故答案为：3．
16．（24-25九年级上·湖北黄石·期末）如图，是等边三角形外一点，，，则的最大值是 ．
【答案】5
【详解】解：∵将AD顺时针旋转60°，得，连结，则AD=DD′=AD′，∴△ADD′是等边三角形，
又∵等边三角形，∴∠BAC=∠，∴∠BAD′+∠D′AC=∠CAD+∠D′AC=60°，
∴AB=AC，AD′=AD，∴△ABD′≌△ACD（SAS），
∴BD′=CD，∴BD′+DD′≥BD，当B、D′、D三点在一线时，BD最大，
BD最大=BD′+DD′=CD+AD=2+3=5．故答案为：5．
．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·广东·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点．
(1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由．(2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析
【详解】（1）解：．理由：过点作于点，
∵点在的角平分线上，且于，，∴，，
∵，∴，，∴，
在和中，，∴（），∴．
（2）解：结论：，理由如下：如图，过点作于点，
同（），可证，，∴，
∵，∴，∴，∴，∴．
（3）解：，理由如下：如图，过点作于点，
同（），可证，，∴，
∵，∴，∴，∴，∴．
18．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点．，，垂足分别为点和点．求证：．
分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．
(1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程．
(2)【类比探究】如图②，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：，，，
是的平分线，，
在和中，，，；
（2）证明：如图②，过点作于，于，
是的平分线，，，，
，，，
在和中，，，．
19．（23-24八年级上·四川宜宾·开学考试）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围．
(1)小明解题过程中证出的依据是______；
A． B． C． D．
(2)请参考小明的解题思路回答以下问题：如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．
【答案】(1)A(2)
【详解】（1）解：在和中，，故选：A．
（2）解：延长到，使，连接，如图所示，
，，∵是中线，，
∵在和中，，，
，，，
，，．
20.（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．
(1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：．
【答案】(1)见解析(2)①；②见解析
【详解】（1）证明：在和中，，，，
，，．是斜边的中点，
，，，．，
，．；
（2）解：①；理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．，，，
，，，，，
，，．
，．在和中，，，，
，．是中点，是中点，是中位线，
．，，．
，．故答案为：；
②证明： ∵，，，．
19．（24-25九年级上·江西上饶·期中）探究：（1）如图1，在正方形中，E，F分别是，上的点，且，试判断，与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：________________．
（2）如图2，若把（1）向中的条件变为“在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）问中，若将绕点A逆时针旋转，当点E，F分别运动到，的延长线上时，如图3所示，其余条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？请直接给出结论：________________．
【答案】（1），详见解析（2），详见解析（3），详见解析
【详解】（1）解：结论：，理由：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，四边形为正方形，
，，，B，C三点共线，
，，
在和中，，，
，，故答案为：；
（2）解：结论仍然成立．理由如下：
如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，则，
，，，，
，，，
，，、、三点共线，
在与中，，，，
，；
（3）发生变化、、、之间的关系是，理由如下：
如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在上点处，得到
，，，，
，且，
，
即，在与中，，，，
，，，故答案为：．
20．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：．
【理解与运用】（2）如图2，是的中线，若，求的取值范围；
（3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析
【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示：
∵是的中线，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）解：延长至点，使，连接，如图所示：
∵是的中线，∴，
在和中，，∴，∴，
设，在中，由三边关系可得，即，∴；
（3）证明：延长至点，使，连接，如图所示：∴，
∵是的中线，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，
在和中，，∴，∴．
21．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线，
(1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系．
(2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
(3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值．
【答案】(1)(2)，证明见解析(3)4
【详解】（1）证明：∵为的角平分线，∴，
在和中，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴；
（2）解：， 理由：在上截取，连接，
∵为的角平分线， ∴，
在和中，∴， ∴，
∵，∴，、
∵，∴，∴，∴；
（3）解：作N关于的对称点，由（2）可知，在上，，
当共线时，最小，当时，最小，
∵，，∴∴，
∴，故的最小值为4．
22．（24-25·江苏·八年级月考）如图1，，垂足分别为D，E．
(1)若，求的长．(2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)0.8cm(2)，证明见解析(3)结论成立，证明见解析
【详解】（1）解：∵，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴；
（2）．证明：∵，∴，
∵，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴；
（3）结论成立，
证明：，∴，
在和中，，∴，
∴，∴；即结论成立；
23.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________；
【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由；
【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________．
【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数．
【答案】（1），，（2），，理由见解析（3）（4）．
【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，，
又，∴；故答案为：，，；
（2）解：，；理由如下：∵和均为等腰直角三角形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，，
又，∴，∴，；
（3）解：如图所示，作交于E点，连接，
∵，∴为等腰直角三角形，∴，，，
由旋转的性质可知，，，∴，∴，
∴，，∴，
∴的面积为，故答案为：；
（4）解：设，作，使，
∵，，∴，∴，∴，，
∵，，∴，
∵，∴，，
∴，∴，∴，
连接并延长至点，使，连接，，，
∵，，∴，∴，，
∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，
∵，，∴，∴．
24.（24-25八年级上·江西·期末）在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．
【操作发现】（1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值．小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路：
思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）；
【类比探究】（2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时，
猜想，，之间的数量关系并加以证明；②此时_________（直接写出结果）；
（3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时，猜想，，之间的数量关系并加以证明；②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）．
【答案】（1），；（2），证明见解析；；（3），证明见解析；
【详解】解：（1），；理由如下：
，，是等边三角形，，
，，，
是等边三角形，，，
在和中，，
，，，
，；
，，，，是等边三角形，
，的周长，
等边的周长，；
（2），理由如下：如图2，延长到E，使，连接，
是等边三角形，，，，，
，即，，
在和中，，，，
，，，
，即，
在和中，，，
，，；根据（1）可得
（3），理由如下：如图3，在上截取，连接，
由（2）知：，，
在和中，，，，
，，
在和中，，，
，，；
②．如图3，等边的周长为L，
，的周长
．故答案为．
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专题1.9 全等三角形中的八类重要模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中八类重要的模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 模型1：倍长中线模型 2
模型2：截长补短模型 8
模型3：一线三等角（K字型）模型 13
模型4：手拉手模型 17
模型5：半角模型 22
模型6：对角互补模型 27
模型7：角平分线的全等模型（三类） 31
模型8：平移与轴对称类全等模型 35
模块3：培优训练 37
1.全等三角形的判定定理
1）“边边边”公理：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
2）“边角边”公理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
注意：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
3）“角边角”公理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
4）“角角边”公理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。
2.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：
如图3，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E；则PD=PE。
3.线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
几何表示：
如图1，CD是线段AB的垂直平分线，CD交AB于点E，连结CA，CB；则EA=EB，CA=CB（重点）。
模型1：倍长中线模型
例1．（24-25·江苏·八年级校考期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ．A．SAS；B. SSS；C. AAS；D. HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
(3)【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证AE＝FE．
变式1．（2024·广东·校考二模）综合与实践：小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决
请回答：(1)小明证明用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母）
A． B． C． D．
(2)的取值范围是________．
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长．
变式2．（24-25辽宁锦州七年级期末）【问题提出】期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，那么是的中点，请你说明理由．
【思路探究】小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得．
（1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程；
【学以致用】（2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，过点作线段，且，连接，交的延长于点，猜想与的数量关系并说明理由．
变式3．（2024·山东·校考一模）阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……
请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．
模型2：截长补短模型
例1．（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系；
嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题．
方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题．
（1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系；
【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：．
变式1．（24-25八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．
变式2．（2024·河南南阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答．
（1）【观察发现】①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________；
②如图2，的角平分线、相交于点P．当时，线段与的数量关系是__________；
（2）【探究迁移】如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由．
变式3．（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：．
(1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等）
(2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长．
模型3：一线三等角（K字型）模型
例1．（2024·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，中，，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作 ，交线段于，以下四个结论：
①；②当为中点时，；③当为等腰三角形时，；
④当时，．其中正确的结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
变式2.（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）（1）已知：如图①，在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为D，E．求证：．
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角：那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）应用，如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是15，求与的面积之和．
变式3．（23-24八年级上·重庆綦江·期末）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D．求证：；
（2）如图②，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：；
（3）如图③，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为17，求与的面积之和．
模型4：手拉手模型
例1．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，分别以的边为腰向外作等腰直角、等腰直角，连接相交于点O，连接，①，②，③，④平分，⑤平分，则以上结论正确的有（ ）
A．①③⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①③④
变式1．（2024·广东·八年级统考期中）如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连．
(1)求证：；(2)求证：平分；
(3)设，若，直接写出a，b，c之间满足的数量关系．
变式2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，．
(1)如果，．①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为________，数量关系为________；②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．(2)如图3，如果，，点D在线段上运动．探究：当多少度时，？请说明理由．
变式3．（24-25·山东临沂·八年级统考期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．
(1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由．
(2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线）
(3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）．
(4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由．
模型5：半角模型
例1．（24-25八年级下·广东·专题练习）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ．
变式1.（24-25.上海 七年级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数.
变式2．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点，，当绕点旋转到时（如图），易证．
(1)当绕点旋转到时（如图），上面的结论还成立吗？说明理由．
(2)当绕点旋转到如图的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由．
(3)图中，若，，求的面积为 ．
变式3．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图1，已知是边长为5的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰三角形．点M，N分别是边与边上的点，并且满足．
(1)尝试探究：要想证明为的平分线，小诚做了如下思考，如图2，延长至点F，使，连接，通过证明______，得到，进而证得______，得证为的平分线；(2)类比延伸：在（1）的思路下求的周长；
(3)拓展迁移：当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长．
模型6：对角互补模型
例1．（24-25·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式1．（23-24八年级上·北京·期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．
(1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______．
(2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．
变式2．（24-25重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
变式3．（23-24九年级上·重庆江津·期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．
模型7：角平分线的全等模型（三类）
例1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ．
变式1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
变式2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，．
【问题提出】（1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数；
【问题探究】（2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系；
【问题解决】（3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：
作的平分线；再过点作交于点
已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积．
变式3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段．；使；在射线上任取一点D，连接，．则与的数量关系为______．
（2）如图2，在中，，平分，求证：；
（3）如图3，在四边形中，，，，C为边中点，若平分，平分，，求的值．
模型8：平移与轴对称类全等模型
例1．（24-25襄城区八年级期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB＝DE；乙说：添加AC∥DF；丙说：添加BE＝CF．（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是 ；
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．
式1. （24-25·浙江杭州市·八年级期中）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．（1）求证：；（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长．
变式2.（24-25·湖南常德·八年级阶段练习）如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上．
(1)求证：AC平分∠BAD；(2)求证：BE=DE．
变式3. （24-25·安徽·八年级期末）如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求证：AM＝AN．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25·浙江·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．（24-25·山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
3．（23-24八年级上·浙江台州·开学考试）如图所示框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（ ）
A．或 B． C．或 D．
4．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．16
5.（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7.（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，则以为边长的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定
8．（24-25·浙江·八年级期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
9.（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，有如下四个结论：①，②，③，④平分，⑤平分，其中结论正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10.（24-25八年级·广东·培优）如图，在中，，，，且，连接、、，则下列结论：①，②为等腰三角形，③，④，其中正确的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11.（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为点，，交于点．(1)求证：≌；(2)若，，则的长________．
12．（2024·上海·七年级专题练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____．
13．（2024·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________．
14．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ．
15.（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
16．（24-25九年级上·湖北黄石·期末）如图，是等边三角形外一点，，，则的最大值是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·广东·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点．
(1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由．(2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系．
18．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点．，，垂足分别为点和点．求证：．
分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．
(1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程．
(2)【类比探究】如图②，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：．
19．（23-24八年级上·四川宜宾·开学考试）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围．
(1)小明解题过程中证出的依据是______；
A． B． C． D．
(2)请参考小明的解题思路回答以下问题：如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．
20.（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．
(1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：．
19．（24-25九年级上·江西上饶·期中）探究：（1）如图1，在正方形中，E，F分别是，上的点，且，试判断，与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：________________．
（2）如图2，若把（1）向中的条件变为“在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）问中，若将绕点A逆时针旋转，当点E，F分别运动到，的延长线上时，如图3所示，其余条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？请直接给出结论：________________．
20．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：．
【理解与运用】（2）如图2，是的中线，若，求的取值范围；
（3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：．
21．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线，
(1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系．
(2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
(3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值．
22．（24-25·江苏·八年级月考）如图1，，垂足分别为D，E．
(1)若，求的长．(2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
23.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________；
【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由；
【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________．
【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数．
24.（24-25八年级上·江西·期末）在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．
【操作发现】（1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值．小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路：
思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）；
【类比探究】（2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时，
猜想，，之间的数量关系并加以证明；②此时_________（直接写出结果）；
（3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时，猜想，，之间的数量关系并加以证明；②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）．
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