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专题1.5 全等三角形的判定
1.理解并掌握三角形全等的四种判定方法：1） SSS；2） SAS；3） ASA；4）AAS；
2. 探索与验证能力 ：通过尺规作图验证 SSS、 SAS、 ASA的确定性；能区分“SSA”不能作为普适判定条件的原因；
3.运用判定方法证明三角形全等，并利用全等性质求未知边或角；
4.体会分类讨论（如判定方法的选择）和转化思想（复杂图形分解为基本模型）；发展逻辑推理与空间想象能力。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.利用“SSS”证明三角形全等 3
考点2.利用“SAS”证明三角形全等 5
考点3.利用“ASA”证明三角形全等 8
考点4.利用“AAS”证明三角形全等 10
考点5.添加条件使三角形全等 12
考点6.全等三角形中的尺规作图 15
考点7.全等三角形的实际应用 18
考点8.网格中点的三角形全等 22
考点9.全等三角形的判定与性质综合 24
考点10.全等三角形中的探究问题-角度关系 29
考点11.全等三角形中的探究问题-线段关系 32
考点12.添加辅助线构造全等 37
模块3：培优训练 44
知识点01 全等三角形的判定全等三角形判定1：“边边边”公理
三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
（2）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。
三角形的性质：三角形具有稳定性。
全等三角形判定2：“边角边”公理
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
注意：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
如上图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
全等三角形判定3：“角边角”公理
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
全等三角形判定4：“角角边”公理
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。
考点1.利用“SSS”证明三角形全等
例1.（2025·北京丰台·二模）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合．过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
变式1．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，，，．求证：．
变式3.（2025·云南楚雄·一模）如图，C，D是上的两点，且，，．求证：．
变式4．（24-25八年级上·河北·期中）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图的过程．
已知：如图1，．求作：一个角，使它等于．
作法：如图2．①在的两边上分别任取点，；②以点为圆心，长为半径画弧；以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点；③连接，，即为所求作的角．
(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面证明的过程，并在括号内补全推理依据．
证明：连接．在和中，（_____________），
（____________________）．
考点2.利用“SAS”证明三角形全等
例1.（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使．(1)求证：；(2)求证：．
变式1．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图①是，画，使得．如图②是小明的画图过程，已知，则判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，，，分别以，为边作，，其中，，垂足为F．求证：．
变式3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是线段的中点，在的同侧有两点E，D，使得．求证：．
变式4．（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，射线在外，．
(1)在射线上截取，连接；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：；
考点3. 利用“ASA”证明三角形全等
例1. （24-25八年级上·浙江·期末）如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，，求证：．
变式1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是
变式3．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，点D是的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：．
变式4.（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点C在线段上，．与全等吗？请说明理由．
考点4. 利用“AAS”证明三角形全等
例1.（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，．求证：．
变式1．（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端水平距离为的处，使用测角仪测得，由于75°角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由．
变式3．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，是斜边上的高线，为上一点，于点，．求证：．
变式4．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，．
(1)求证：；(2)若，，求的度数．
考点5.添加条件使三角形全等
【解题技巧】
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS、AAS、ASA
两角对应相等 ASA、AAS
两边对应相等 SAS、SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形。
例1.（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2025·四川成都·二模）如图，已知，，添加下列条件不能使的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，已知，要得到，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（ ）
A． B． C． D．
变式3.（24-25八年级上·江苏·期末）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（ ）．
A．如图1，线段与相交于点O，，与
B．如图2，，与
C．如图3，线段相交于点E，已知，与
D．如图4，已知，与
变式4.（2023·四川成都·二模）如图，是内的一条射线，D、E、F分别是射线、射线、射线上的点，D、E、F都不与O点重合，连接，添加下列条件，能判定的是（ ）
A．， B．，，
C．， D．，
考点6.全等三角形中的尺规作图
例1.（24-25七年级下·上海·阶段练习）嘉嘉先画出了，再利用尺规作图画出了，使．图1~图3是其作图过程．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，先以长为半径画弧，与边交于点D，再以长为半径画弧，与射线交于点E连接．
在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（ ）
A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错
变式2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．
变式3．（2025·湖北·模拟预测）如图，点是的边上任意一点．下面是“过点作”的尺规作图过程：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，；②以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，线段的长为半径画弧，交前弧于点，作直线，则即为所求．
上述方法通过判定得到，进而得到，其中判定的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
变式4.（24-25七年级下·广东·课后作业）
已知：．求作：，使得．作法：如下图．（1）作；（2）在射线上截取，在射线上截取；（3）连接线段，则即为所求作的三角形．
请你根据以上材料解决下列问题：(1)根据作图痕迹补全作法．
由作图可知，在和中，，所以_______；
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是_______（填序号）．
① ② ③ ④
考点7. 全等三角形的实际应用
例1.（23-24七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案．
甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离．
乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离．
丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离．
(1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分．乙： ；丙： ．
(2)请你选择其中一种方案进行说明理由．
变式1．（24-25八年级上·江苏南通·期末）雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨，点分别是的中点，是支架，且，在将伞打开的过程中，总有，这里得到两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一堆，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为 米．
变式3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（ ）
A． B． C． D．
变式4.（24-25八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（ ）
A． B． C． D．
考点8.网格中点的三角形全等
例1.（2025·浙江台州·二模）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，在的正方形网格中， ．
变式2．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在的正方形网格唎，每个小正方形的顶点叫作格点，点均为格点，连接，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，是一个的正方形网格，则 ．
考点9.全等三角形的判定与性质综合
例1.（2025·安徽淮北·三模）如图1，点在的平分线上．
(1)若，求证：．(2)如图2，若．①已知，求的度数．②点在上，若，求证：．
变式1．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若．(1)求证：；(2)求证：．
变式2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由．
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．则与的数量关系：___________，___________．
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，点在一条直线上，且，过点作垂足为点，且，则的长为___________．
变式3．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题．
初步感知：如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使．
（1）填空：________．（填“”“”或“”）；（2）求证：；
（3）试说明：．
拓展应用（4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和．
变式4.（24-25七年级下·山西太原·开学考试）阅读下列材料，完成相应的任务
全等四边形
根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等．
按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形”
任务：(1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由．(2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形．
考点10.全等三角形中的探究问题-角度关系
例1.（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接．(1)求证：平分；(2)若，求四边形的面积；(3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
变式1．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F．
(1)如图1，求证：； (2)若，则 ；
(3)如图2，若，则 ．（用含a的式子表示）
变式2．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在中，，点在的延长线上．
(1)如图1，过点作，连接，与交于点，若为的中线，连接与全等吗？请说明理由；
(2)如图2，点在的延长线上，，点在的延长线上，连接，若，，，试判断之间的关系，并说明理由．
变式3．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，，，，，B，C，E三点在同一条直线上．(1)求证：；(2)探究与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由．
考点11. 全等三角形中的探究问题-线段关系
例1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系．
(1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ．
(2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
(3)在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明．
变式1．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作，，．连接．
(1)发现问题：如图1，当点在边上时，①请写出和之间的数量关系式为_____，位置关系为_____；
②求证：；(2)尝试探究：如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，
①中，，之间的数量关系式为_____．②并进行证明．
变式2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在等腰直角中，，点在射线上运动（不与点，重合），连接，以为直角边作等腰直角（点与点在直线的两侧），，连接．设．
(1)如图1，点在线段上运动．①求的度数（用含的代数式表示）；
②用等式表示线段之间的数量关系并证明；
(2)如图2，当点在线段的延长线上运动，直接用等式表示线段，，之间的数量关系．
变式3．（24-25七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．
【问题解决】（1）如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：____．
【问题应用】（2）如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，试探究线段与的数量关系．
【拓展延伸】（3）如图（3），是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
考点12. 添加辅助线构造全等
例1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，已知，平分，，(1)若的面积是，求的面积；(2)求证：．
变式1．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践：
【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围．
【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考：
（1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ．
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ．
【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【解决问题】（3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度．
变式3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【初步探索】（1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ．
【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【拓展延伸】（3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数．
变式4．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题．
【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为．
(1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程．
，，
∵，，，，
，，……（补充小芳的过程）
(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，，，则的判定依据是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知，，垂足分别为点E、F，则在下列各组条件中选择一组，其中不能判定的是 （ ）
A．， B．， C．， D．，
3．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在如图1中已知，，线段m，求作．
作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，与的另一边交于点C．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江苏扬州·二模）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是全等三角形判定定理中的（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25·河北·平泉八年级期末）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①②③
7．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形．
嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．”
淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．”
关于二人的说法，判断正确的是（ ）
A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确
C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误
8．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）同学们在学习完全等三角形之后，体会到了全等具有转化等线段的作用．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，只需测量（）就可得到A、B间的距离．
A． B． C． D．
9．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，角平分线与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级上·江苏·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有 对．
12．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图所示，，，，，，则
13．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在和中，，，，若，则 ．
14．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则 ．
15．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ．
16．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以/的速度移动，过点作的垂线交直线于点．（1）若，则 ；(用含的代数式表示（2）当点运动 s时，．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：．
18．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，是上一点，，，连接交于点，求证：是的中点．
19．（2025·江苏无锡·三模）已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且．(1)求证：；(2)已知，，求的长度．
20．（24-25八年级上·浙江金华·期中）教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容．做一做，如图，已知两条线段和一个角， 以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形．
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时符合条件的角形有几种？
(1)[操作发现]如图（1），通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形______全等（填“一定”或“不一定”）．
(2)[探究证明]阅读并补全证明
已知：如图（2），在和中，，，．求证：．
证明：在上取一点G，使，∵，∴______，
又∵，而，∴______，
∵，∴______，
又∵______，∴（______），∴（______）．
21．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且，．(1)求证：；(2)若，，求的长度；(3)若，，求的度数．
22．（24-25九年级上·广东东莞·期中）【问题背景】
已知点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点．
【知识技能】（1）如图1，证明：；
【拓展探索】（2）①如图1，若，则__________；
②如图2，若，则__________；（用含的式子表示）
（3）将图2中的绕点顺时针旋转任意角度（交点至少在、中的一条线段上），如图3，试探究与的数量关系，并予以证明．
23.（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：；
【变式探究】（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由．
24.（2025·黑龙江哈尔滨·三模）（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________．
（2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________．
（3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明．
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专题1.5 全等三角形的判定
1.理解并掌握三角形全等的四种判定方法：1） SSS；2） SAS；3） ASA；4）AAS；
2. 探索与验证能力 ：通过尺规作图验证 SSS、 SAS、 ASA的确定性；能区分“SSA”不能作为普适判定条件的原因；
3.运用判定方法证明三角形全等，并利用全等性质求未知边或角；
4.体会分类讨论（如判定方法的选择）和转化思想（复杂图形分解为基本模型）；发展逻辑推理与空间想象能力。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.利用“SSS”证明三角形全等 3
考点2.利用“SAS”证明三角形全等 5
考点3.利用“ASA”证明三角形全等 8
考点4.利用“AAS”证明三角形全等 10
考点5.添加条件使三角形全等 12
考点6.全等三角形中的尺规作图 15
考点7.全等三角形的实际应用 18
考点8.网格中点的三角形全等 22
考点9.全等三角形的判定与性质综合 24
考点10.全等三角形中的探究问题-角度关系 29
考点11.全等三角形中的探究问题-线段关系 32
考点12.添加辅助线构造全等 37
模块3：培优训练 44
知识点01 全等三角形的判定
全等三角形判定1：“边边边”公理
三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
（2）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。
三角形的性质：三角形具有稳定性。
全等三角形判定2：“边角边”公理
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
注意：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
如上图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
全等三角形判定3：“角边角”公理
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
全等三角形判定4：“角角边”公理
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。
考点1.利用“SSS”证明三角形全等
例1.（2025·北京丰台·二模）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合．过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【详解】解：由题意，可知：，∴；故选A．
变式1．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在与中，
∵，∴．故选：C
变式2．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，，，．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵，∴，即，
在和中，∵，，∴，∴．
变式3.（2025·云南楚雄·一模）如图，C，D是上的两点，且，，．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：，，即，
在和中，，，
变式4．（24-25八年级上·河北·期中）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图的过程．
已知：如图1，．求作：一个角，使它等于．
作法：如图2．①在的两边上分别任取点，；②以点为圆心，长为半径画弧；以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点；③连接，，即为所求作的角．
(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面证明的过程，并在括号内补全推理依据．
证明：连接．在和中，（_____________），
（____________________）．
【答案】(1)见详解(2)，，全等三角形的对应角相等
【详解】（1）解：如图所示，
；
（2）证明：连接，由作图可知，，
在和中，，
（全等三角形的对应角相等）．故答案为：，，全等三角形的对应角相等．
考点2.利用“SAS”证明三角形全等
例1.（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使．(1)求证：；(2)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，，∴，，
又∵，∴；
（2）由（1）知：，∴，
∴，
∴，∴．
变式1．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图①是，画，使得．如图②是小明的画图过程，已知，则判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：已知，由作图可知，，
∴，故选：A．
变式2．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，，，分别以，为边作，，其中，，垂足为F．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴．
变式3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是线段的中点，在的同侧有两点E，D，使得．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：，，，
∵是线段的中点，∴，，．
变式4．（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，射线在外，．
(1)在射线上截取，连接；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：；
【答案】(1)图见解析(2)详见解析
【详解】（1）解：作图如图，
（2）证明：在和中
考点3. 利用“ASA”证明三角形全等
例1. （24-25八年级上·浙江·期末）如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：，，．
在和中，，，．
变式1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，，
在和中，，；
则的依据是；故选：D
变式2．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是
【答案】6
【详解】解∶过D作于E，则，∴，
∵，∴，∴，
又，，∴，∴，
∴，故答案为：6．
变式3．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，点D是的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：．
【答案】见详解
【详解】证明：∵，，∴，∵，∴，
∵，∴，∴．
变式4.（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点C在线段上，．与全等吗？请说明理由．
【答案】；理由见解析
【详解】解：，理由如下，∵，∴．
在和中，，∴．
考点4. 利用“AAS”证明三角形全等
例1.（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：，，
，，即，
∵，，
在与中，，．
变式1．（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端水平距离为的处，使用测角仪测得，由于75°角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可得：，，
∵，∴，∴，
∴，∴淇淇证明全等用到的依据可能是，故选：B
变式2．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由．
【答案】理由见解析
【详解】解：与全等的理由如下：∵是边的中线，∴，
∵，∴，∴．
变式3．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，是斜边上的高线，为上一点，于点，．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：在中，．
，．．，．
在和中，，，．
变式4．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，．
(1)求证：；(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）证明：∵，∴，∴，
在和中，，∴．
（2）解：∵，∴，∵，∴，
∵，是的外角，．
考点5.添加条件使三角形全等
【解题技巧】
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS、AAS、ASA
两角对应相等 ASA、AAS
两边对应相等 SAS、SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形。
例1.（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
当添加时，可根据“”证明，故A选项符合题意；
当添加时，∵，，∴，
∴，，∴，即，
进而可用“” 证明，故B选项不符合题意；
当添加时，不能证明，故C选项符合题意；
当添加时，可根据“” 证明，故D选项不符合题意；故选：C．
变式1．（2025·四川成都·二模）如图，已知，，添加下列条件不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，，，，故A不符合题意；
B、，，，和不一定全等，故B符合题意；
C、，，，，故C不符合题意；
D、，，即，
，，，故D不符合题意；故选：B．
变式2．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，已知，要得到，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴当时，可利用证明，故A选项不符合题意，
当时，无法证明三角形全等，故B选项符合题意，
当时，可利用证明，故C选项不符合题意，
当时，可利用证明，故D选项不符合题意，故选：B．
变式3.（24-25八年级上·江苏·期末）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（ ）．
A．如图1，线段与相交于点O，，与
B．如图2，，与
C．如图3，线段相交于点E，已知，与
D．如图4，已知，与
【答案】C
【详解】解：A．在图1中，由，根据“”证明，可判断A不符合题意；
B．在图2中，由，根据“”证明，可判断B不符合题意；
C．在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意；
D．在图4中，由，根据“”证明，可判断D不符合题意．故选：C．
变式4.（2023·四川成都·二模）如图，是内的一条射线，D、E、F分别是射线、射线、射线上的点，D、E、F都不与O点重合，连接，添加下列条件，能判定的是（ ）
A．， B．，，
C．， D．，
【答案】B
【详解】解：A. ，不符合对应边、对应角相等，故不能证明，故不符合题意； B. ，，，运用HL可证，故符合题意；
C. ，不符合对应边、对应角相等，故不能证明，故不符合题意；
D. ，再加上隐含条件,运用SSA不能证得，故不符合题意． 故选B．
考点6.全等三角形中的尺规作图
例1.（24-25七年级下·上海·阶段练习）嘉嘉先画出了，再利用尺规作图画出了，使．图1~图3是其作图过程．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，先以长为半径画弧，与边交于点D，再以长为半径画弧，与射线交于点E连接．
在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由作图知，，，，
∴，故答案为：B．
变式1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（ ）
A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错
【答案】A
【详解】解：如图，连接 甲：由作图可知，，
∵，∴，∴，∴是平分线，故甲的作法正确；
乙：由作图可知，，∵，∴，∴，
∴是平分线，故乙的作法正确．故选A．
变式2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．
【答案】/35度
【详解】解：连接，，由作图可知，，，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，
∵平分，∴，∴．故答案为：．
变式3．（2025·湖北·模拟预测）如图，点是的边上任意一点．下面是“过点作”的尺规作图过程：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，；②以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，线段的长为半径画弧，交前弧于点，作直线，则即为所求．
上述方法通过判定得到，进而得到，其中判定的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【详解】解：由作图痕迹，得，，∴，故选：A．
变式4.（24-25七年级下·广东·课后作业）
已知：．求作：，使得．作法：如下图．（1）作；（2）在射线上截取，在射线上截取；（3）连接线段，则即为所求作的三角形．
请你根据以上材料解决下列问题：(1)根据作图痕迹补全作法．
由作图可知，在和中，，所以_______；
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是_______（填序号）．
①②③④
【答案】(1)，，；(2)．
【详解】（1）证明：由作图可知，在和中，
，∴，故答案为：，，；
（2）解：这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是，故答案为：．
考点7. 全等三角形的实际应用
例1.（23-24七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案．
甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离．
乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离．
丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离．
(1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分．乙： ；丙： ．
(2)请你选择其中一种方案进行说明理由．
【答案】(1)，(2)见解析
【详解】（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离；
丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离．故答案为：，；
（2）解：答案不唯一．
选甲：在和中，，∴，；
选乙：，，，
在和中，，∴，；
选丙：在和中，，∴，．
变式1．（24-25八年级上·江苏南通·期末）雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨，点分别是的中点，是支架，且，在将伞打开的过程中，总有，这里得到两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，点分别是的中点，∴，
∵，，∴，故选：C
变式2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一堆，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为 米．
【答案】1.8
【详解】解：点距离地面的高度为，点距离地面的高度是，
点距离地面的高度为，点距离地面的高度是，，
，，，
又由题意可知，，，，，
，点到的距离为，故答案为：1.8．
变式3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：在和中，，，故选项A不符合题意；
∴，∴，即，
∵、，∴，故选项B不符合题意；
∴，∴，即，故选项C不符合题意；
无法证明，故选项D符合题意；故选：D
变式4.（24-25八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，即，
∵，相邻两平行线间的距离相等，∴，
在与中，∴，∴（米），故选：A．
考点8.网格中点的三角形全等
例1.（2025·浙江台州·二模）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图 在和中，∴，∴，
∵，∵，故选：A．
变式1．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，在的正方形网格中， ．
【答案】/90度
【详解】解：如图，由图可知：
∴，∴，∴；故答案为：．
变式2．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在的正方形网格唎，每个小正方形的顶点叫作格点，点均为格点，连接，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图所示，取格点E，由网格的特点可得，
∴，∴，∵，∴，故A错误；
由网格的特点可得，∴，，故C错误；
∴，，故B错误
∵，
∴，故D正确；故选：D．
变式3．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，是一个的正方形网格，则 ．
【答案】/180度
【详解】解：如图，
由图可得：，，，∴，
∴，∴，由图可得：，，，
∴，∴，∴，
∴，故答案为：．
考点9.全等三角形的判定与性质综合
例1.（2025·安徽淮北·三模）如图1，点在的平分线上．
(1)若，求证：．(2)如图2，若．①已知，求的度数．②点在上，若，求证：．
【答案】(1)见解析(2)①；②见解析
【详解】解：（1）证明：，．平分，．
又，，．
（2）①如图，在上截取，连接．平分，，
∵，，．
，∴，，，．
．
②证明：如图，连接，在和中，，．
，，，．
变式1．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若．(1)求证：；(2)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）点是的中点，，
在和中，，．
（2），，，，
，．在和中，，，
，，．
变式2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由．
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．则与的数量关系：___________，___________．
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，点在一条直线上，且，过点作垂足为点，且，则的长为___________．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1），
理由如下：如图所示：∵和都是等腰三角形，∴，
又 ∵，∴，∴，∴，
∵，，∴；
（2）如图所示：证明：∵，，即，
又 ∵和都是等腰三角形，，，
，，，，
，故答案为：；；
（3）如图：∵和都是等腰三角形，，
，即：，，，
，，
，，，且，，故答案为：；
变式3．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题．
初步感知：如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使．
（1）填空：________．（填“”“”或“”）；（2）求证：；
（3）试说明：．
拓展应用（4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）与的面积之和为
【详解】（1）解：∵在中，为中线，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴，故答案为：；
（2）证明：由（1）可知：，，
，，，；
（3）证明：由（1）可知，由（2）可知，
，，；
（4）解：，，
，，
在和中，，，，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
，，，，
，与的面积之和为．
变式4.（24-25七年级下·山西太原·开学考试）阅读下列材料，完成相应的任务
全等四边形
根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等．
按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形”
任务：(1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由．(2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形．
【答案】(1)见解析(2)不能
【详解】（1）证明：在和中，，∴，
∴，
在和中，，∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形和四边形的四条边对应相等，四个角对应相等，∴四边形四边形；
（2）解：在和中，，∴，∴，
∵，∴，即，
而由，，，不可以根据证明，
∴满足这五个条件不能得到四边形四边形．
考点10.全等三角形中的探究问题-角度关系
例1.（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接．(1)求证：平分；(2)若，求四边形的面积；(3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)见详解(2)48(3)
【详解】（1）证明：∵在和中，，
∴，∴，∴平分；
（2）∵，∴，∴，即，
在和中，，∴，
∴，，∴，
∴四边形的面积；
（3）∵，∴，又∵，
∴，
∵，∴．
变式1．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F．
(1)如图1，求证：； (2)若，则 ；
(3)如图2，若，则 ．（用含a的式子表示）
【答案】(1)见详解(2)(3)
【详解】（1）证明：，，，
在和中，（）；
（2）解：，，，，
，故答案为：；
（3）解：，，
，，，
，故答案为：．
变式2．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在中，，点在的延长线上．
(1)如图1，过点作，连接，与交于点，若为的中线，连接与全等吗？请说明理由；
(2)如图2，点在的延长线上，，点在的延长线上，连接，若，，，试判断之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)全等，理由见详解(2)，理由见详解
【详解】（1）解：全等，理由如下：
∵为的中线，，，，
在和中，，．
（2）解：．理由：在 上截取 ，连接，如图，
在和中，，，，
∵，，∴，
在和中，，，，
∵，∴．
变式3．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，，，，，B，C，E三点在同一条直线上．(1)求证：；(2)探究与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析
【详解】（1）∵，∴，
∴，∴，
在与中，
又，
（2），理由如下：，，
又，
又，
又，
考点11. 全等三角形中的探究问题-线段关系
例1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系．
(1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ．
(2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
(3)在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明．
【答案】(1)，， (2)成立，证明见解析
(3)或或
【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下：
先证明；再证明；即可得出线段、、之间的数量关系是，故答案为：，，；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图②，延长到点G，使，连接，
，，，
在与中，，，
，，，，
，，，
在与中，，，，
，；
（3）解：或或，理由如下：
，如图③，在上截取，使，连接，
，，，
在与中，，，
，，，，
，，，
在与中，，，，
，；
，如图④，在上截取，
同第一种情况，先证得，再证得，；
由（1）、（2）可知，；
如图，点在延长线上，点在延长线上，此时线段、、之间并无直接数量关系；
综上，线段、、之间的数量关系为：或或．
变式1．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作，，．连接．
(1)发现问题：如图1，当点在边上时，①请写出和之间的数量关系式为_____，位置关系为_____；
②求证：；(2)尝试探究：如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，
①中，，之间的数量关系式为_____．②并进行证明．
【答案】(1)①，；②见解析(2)①；②见解析
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴，即，
在和中，，∴，
∴，，∴，∴；
②证明：由①可得：，∴；
（2）解：①中，，之间的数量关系式为；
②证明如下：由题意可得：，
∴，即，
在和中，，∴，∴，∴．
变式2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在等腰直角中，，点在射线上运动（不与点，重合），连接，以为直角边作等腰直角（点与点在直线的两侧），，连接．设．
(1)如图1，点在线段上运动．①求的度数（用含的代数式表示）；
②用等式表示线段之间的数量关系并证明；
(2)如图2，当点在线段的延长线上运动，直接用等式表示线段，，之间的数量关系．
【答案】(1)①；②，证明见解析(2)
【详解】（1）解：①∵，∴，
∴，∴；
②，证明：在延长线上截取，连接，
∵，∵，∴，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴；
（2）解：
在延长线上截取，连接，∵，
∵，∴，
∴，
∵∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
∴．
变式3．（24-25七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．
【问题解决】（1）如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：____．
【问题应用】（2）如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，试探究线段与的数量关系．
【拓展延伸】（3）如图（3），是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
【答案】（1）；（2）；（3），，见解析
【详解】（1）解：延长至点，使．
在和中，，，故答案为：；
（2）证明：延长至，使，
是的中线，，且，，
，，，，，
，，即，且，，
．，，．
（3）解：，，证明如下：
如图，在的延长线上截取，连接，则，
是的中线，，，，，
，，，，，
，，，
又，，，，，．
考点12. 添加辅助线构造全等
例1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，已知，平分，，(1)若的面积是，求的面积；(2)求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）解：延长交于点，
∵平分，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，，∴，∴；
（2）证明：过点作于，过点作的延长线于，则，
∵，平分，∴，
又∵，∴，∴，
∵，，∴，即，∴．
变式1．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：延长到点H，使，连接、，则，
∵，，，
∴，，
在和中，，∴，
∵，∴，∴，
在和中，∴，
∴，∴，
∵，∴，故选：A．
变式2．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践：
【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围．
【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考：
（1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ．
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ．
【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【解决问题】（3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度．
【答案】（1）A；（2）；（3）
【详解】解：（1）∵是边上的中线，∴，
在和中，，∴，故选：A；
（2）∵，即，∴，
∵，∴，故答案为：；
（3）延长，交于点，∵平分，∴，
∵，∴
在和中，，∴.∴，.
在和中，，∴.∴，
∴，∵，∴．
变式3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【初步探索】（1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ．
【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【拓展延伸】（3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数．
【答案】（1），理由见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3）
【详解】解：（1），理由如下：
如图1，延长到点G，使，连接，
在和中，，≌，，，
，，，
在和中，，≌，
故答案为：；
（2）上述结论仍然成立，理由如下：如图2，延长到点G，使，连接，
，，，
在和中，，≌，，，
在和中，，≌，
；
（3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，
，，，
在和中，，≌，，，
，，
在和中，，≌，，
，，
，即，
，，，
变式4．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题．
【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为．
(1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程．
，，
∵，，，，
，，……（补充小芳的过程）
(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)21
【详解】（1）解：，，
∵，，，，
，，
∵，，，
∴；，
∵，，∴；
（2）解：结论：．理由如下：，，
，，，
，，
∵，，，
，；
（3）解：延长，过点作于，如图所示：
，，，
，，∴，
，，，
延长，过点作于，如图所示：
，，，，
由平行线间的平行线段相等可得，．故答案为：21．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，，，则的判定依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，，∴ 故选：B
2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知，，垂足分别为点E、F，则在下列各组条件中选择一组，其中不能判定的是 （ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【详解】解：∵，，∴，
A：若，，则可利用“”判断，不符合题意；
B：若，，则，可利用“”判断，不符合题意；
C：若，，则可利用“”判断，不符合题意；
D：与不是对应边，故不能判定，符合题意；故选：D．
3．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【详解】解：两角一夹边对应相等，两个三角形全等，带③去就可以，故选：C．
4．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在如图1中已知，，线段m，求作．
作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，与的另一边交于点C．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，∴这样作图的依据是，故选：C．
5．（2025·江苏扬州·二模）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是全等三角形判定定理中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由作图可知：，∴（），
∴，即故选：B．
6．（24-25·河北·平泉八年级期末）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①②③
【答案】C
【详解】解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，图②③便具有稳定性，故选C．
7．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形．
嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．”
淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．”
关于二人的说法，判断正确的是（ ）
A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确
C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误
【答案】C
【详解】解：根据题意，嘉嘉与淇淇两名同学拼成的三角形全等，
则两个三角形的三个内角分别相等；两个三角形中长为的边上的中线相等．
故两人的说法都正确，故选：C．
8．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）同学们在学习完全等三角形之后，体会到了全等具有转化等线段的作用．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，只需测量（）就可得到A、B间的距离．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：观察图形发现：，，，
∴．∴．故选：C．
9．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【详解】∵，∴，即．
∵，，∴，∴①正确．
∵，∴，∴②正确．由前面已证，仅根据已知条件无法得出，∴③错误．∵，∴．
∵，，∴，∴④正确．
由于，根据全等三角形的性质：全等三角形面积相等，
∴，∴⑤正确．综上，①②④⑤正确，正确的个数是4个，故选：B．
10．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，角平分线与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【详解】解：∵，为三角形的角平分线，
∴，，
∴，故①正确；∴，
∵平分，∴，
在和中，，∴，
∴，，同理可得，∴，，
∴，，故③④正确，符合题意；
∵点G不一定是的中点，∴不能得出，∴不能得出，故②错误，不合题意；
综上，正确的结论是①③④．故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级上·江苏·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有 对．
【答案】4
【详解】解：、、是的四等分点，，
，，，，，，
，，，
，，，．
图中的全等三角形共有4对．故答案为：4．
12．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图所示，，，，，，则
【答案】/55度
【详解】解：∵，∴，即，
在和中，，∴，
∴，∴．故答案为：
13．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在和中，，，，若，则 ．
【答案】
【详解】解：在四边形中，，
，
，，即，
在和中，，，
，，故答案为：．
14．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，，，∴，
又∵，，∴，∴，∴，
故答案为：．
15．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ．
【答案】3
【详解】解：如下图，延长交于点，
∵，，，∴，
∵平分，∴，∵，∴，
在和中，，∴，∴，，
∴，∴．故答案为：3．
16．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以/的速度移动，过点作的垂线交直线于点．（1）若，则 ；(用含的代数式表示（2）当点运动 s时，．
【答案】 α 2或5
【详解】解：（1）∵，∴，
∵为边上的高，∴，∴，∴，
∵，∴；故答案为：
（2）①如图，当点E在射线上移动时，
∵过点E作的垂线交直线于点F，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，
∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动，∴E移动了：；
②当点在射线上移动时，作点作交直线于点，，∴，∵,∴，
在和中，，∴，
∴，∴，
∵点从点B出发，在直线上以的速度移动，∴移动了：（s）；
综上所述，当点E在射线CB上移动或时，；故答案为：2或5．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：．
【答案】见解析
【详解】解：∵，，∴，
∴，即，
在和中，，∴．
18．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，是上一点，，，连接交于点，求证：是的中点．
【答案】见解析
【详解】证明：如图，过点E作垂直交于点G，
∵，∴
∴，∴，
在与中，∴，∴，∵，∴，
在与中，∴，∴，∴点F是的中点．
19．（2025·江苏无锡·三模）已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且．(1)求证：；(2)已知，，求的长度．
【答案】(1)见解析(2)．
【详解】（1）证明：∵，∴，∴；
∵，∴，∴；
在和中， ，∴；
（2）解：∵，，∴，，
∵，∴，∴．
20．（24-25八年级上·浙江金华·期中）教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容．做一做，如图，已知两条线段和一个角， 以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形．
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时符合条件的角形有几种？
(1)[操作发现]如图（1），通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形______全等（填“一定”或“不一定”）．
(2)[探究证明]阅读并补全证明
已知：如图（2），在和中，，，．求证：．
证明：在上取一点G，使，∵，∴______，
又∵，而，∴______，
∵，∴______，
又∵______，∴（______），∴（______）．
【答案】(1)不一定(2)，，，，，全等三角形对应边相等
【详解】（1）解：如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形不一定全等，故答案为：不一定；
（2）证明：在上取一点G，使，∵，∴，
又∵，而，∴，
∵，∴，又∵，∴，
∴（全等三角形对应边相等），
故答案为：，，，，，全等三角形对应边相等．
21．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且，．(1)求证：；(2)若，，求的长度；(3)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)9(3)
【详解】（1）证明：在和中，，；
（2）解：，．∵，∴．
又，．，，；
（3）解：，，，，
，，，，
，．
22．（24-25九年级上·广东东莞·期中）【问题背景】
已知点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点．
【知识技能】
（1）如图1，证明：；
【拓展探索】
（2）①如图1，若，则__________；
②如图2，若，则__________；（用含的式子表示）
（3）将图2中的绕点顺时针旋转任意角度（交点至少在、中的一条线段上），如图3，试探究与的数量关系，并予以证明．
【答案】（1）见解析；（2）①，②；（3）或
【详解】（1）证明：∵，∴，
在和中，∴（）
（2）①如图，由（1）得（），∴，
∵，∴，∴；故答案为：；
②同理①得：，∴；故答案为：；
（3）当交点F在线段上时，如图3，
同理（1）可得：（），∴，
∵，∴，∴；
当交点F在线段上时，如图4，同理可得：；
当交点F在线段上时，如图5，同理可得，
∵，∴；综上，或．
23.（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：；
【变式探究】（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2）；证明见解析 （3）；理由见解析
【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，∴，
∵，∴，∴，
在和中，，∴；
（2）解：，，的数量关系是：，证明如下：
∵是的外角，∴，∴，
∵，∴，在和中，，∴，
∴，，∴；
（3），大小关系是：，理由如下：
过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，同理可证明：，∴，∴，
∵，，∴．
24.（2025·黑龙江哈尔滨·三模）（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________．
（2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________．
（3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明．
【答案】（1）．（2）．（3），理由见解析
【详解】解：（1），理由如下：设，则，
如图1，延长到点，使，连接，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴；故答案为：；
（2）三条线段间的数量关系为：，理由如下：
如图2，延长到点，使，连接，
∵，∴，
∵，∴，由（1）同理得：，∴，
∵，∴，∴；故答案为：；
（3），理由如下：如图3，在上截取，连接，
同理得：，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∵，∴．
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