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专题1.6 线段的垂直平分线的性质
1.了解垂直平分线的定义，理解并掌握垂直平分线的性质；
2.经历垂直平分线的探究过程，尤其是如何引导学生从直观操作和观察中抽象出性质，并进行严谨的逻辑证明；
3.能够运用垂直平分线的性质解决简单的几何问题，如证明线段相等、角度相等，以及进行相关的计算。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.利用垂直平分线的性质求角度 2
考点2.利用垂直平分线的性质求长度（周长） 4
考点3.利用垂直平分线的性质解决面积问题 6
考点4.线段垂直平分线的实际应用 8
考点5.尺规作垂直平分线 9
考点6.线段垂直平分线相关的最值问题 11
考点7.垂直平分线的辅助线添加问题 14
模块3：培优训练 17
1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
2.线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
几何表示：
如图1，CD是线段AB的垂直平分线，CD交AB于点E，连结CA，CB；则EA=EB，CA=CB（重点）。
图1 图2
3.线段垂直平分线的作法（尺规作图）：如图2，线段AB，求作：线段AB的垂直平分线。
（1）分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
（2）作直线 CD，CD 为所求直线。
考点1.利用垂直平分线的性质求角度
例1．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则 ．
变式3．（25-26八年级上·浙江·专项训练）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
考点2.利用垂直平分线的性质求长度（周长）
例1．（2025·湖北荆州·三模）如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是13，则线段的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式2．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边于点D、E且的周长为，则的长为 ．
变式3．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ．
变式4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的周长为 ．
考点3.利用垂直平分线的性质解决面积问题
例1．（2025·湖南长沙·二模）如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F．
若，，则四边形的面积为 ．
变式1.如图，在中，是的中线，是的垂直平分线，且与相交于点，连接．若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（ ）
A．5 B．17 C．21 D．22
变式2．（25-26八年级上·湖北·课后作业）如图，在中，是边的垂直平分线，，则的面积为 ．
变式3．如图，在中，，的平分线交于点，垂直平分，垂足为点．(1)请说明：；(2)若的面积为4， 求的面积．
考点4.线段垂直平分线的实际应用
例1．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）为响应总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我市向某县的，，三个学校捐赠一批书籍，若需要建立一个仓库，使该仓库到三个学校的距离相等，则仓库应设置的最适当的位置是在的（ ）
A．三边中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
变式1．有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们玩抢凳子游戏，三角形区域内放一张木凳，谁先抢到凳子则获胜，为使游戏公平，最适当放凳子的位置是三角形（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点
变式2．斜拉索桥是利用一组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔的桥梁上，它不用建造桥墩，为了保持受力平衡，要求修建时必须满足两根斜拉索的长度相等．如图所示，和表示的两根斜拉索分别被固定在桥面上的点、处，已测出，，则该斜拉索桥是否符合修建规定？说明你的理由．
变式3．【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图1，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【性质探究】（1）如图1，连接筝形的对角线交于点，试探究筝形的性质，并填空：对角线的位置关系是：______；与的数量关系是：______．
【知识应用】秀秀想要做一个“筝形”风筝，她先固定中间的“十字架”，再确定四周．
（2）①从数学的角度看，秀秀确定“十字架”对角线和时应满足的条件是______．
②借助图2以及①中所写条件，说明四边形是个“筝形”．
【应用拓展】（3）在“筝形”风筝中，已知，，求“筝形”风筝的面积．
考点5.尺规作垂直平分线
例1．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，请用尺规作图法，在外求作一点D，使点D到的三个顶点距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法）
变式1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．C． D．
变式2．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）尺规作图：已知，在上求作点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
变式3．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知公路l的两侧有两个村庄A，B，要在公路旁边建一个公交车上落站，使上落站到两个村庄的距离相等，请确定上落站的位置．
变式4．（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P．
考点6.线段垂直平分线相关的最值问题
例1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是 ．
变式1．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图，在中，，垂直平分线段，，P是直线上的一点，若周长的最小值是17，则 .
变式2．（24-25七年级下·上海·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为 ．
变式3．（24-25八年级上·广东·期末）如图，在中，，，，，为的垂直平分线，为直线上的任意一点，则周长的最小值是 ．
考点7.垂直平分线的辅助线添加问题
例1．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F．(1)若，求的周长．(2)连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长．
变式1．如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点D、E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，，若的面积为3，则的面积是（ ）
A．9 B． C． D．
变式2．（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则线段，，的数量关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
变式3．（24-25八年级下·江苏·阶段练习）如图，线段，的垂直平分线交于点，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，垂直平分，垂足为点E，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．下列线段中，与线段长度一定相等的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
4．（25-26八年级上·广东·课后作业）如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2025·天津南开·三模）如图1，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图2所示）：
①以点为圆心，以为半径画弧，与相交于点；
②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；
③连接，与相交于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A．垂直平分 B． C．平分 D．
8.（24-25·山西临汾·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（ ）
A．平分 B． C． D．
10．如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为 ．
12．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，垂直平分，垂直平分，若的长为7，则 ．
13．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为，，则的长为 ．
14．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，已知，是线段的垂直平分线，则的周长是 ．
15．如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ．
16．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，则的长为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（25-26八年级上·重庆·课后作业）如图，在中，是边的垂直平分线，M是上一点．求证：．
18．（25-26九年级上·陕西榆林·开学考试）如图有三家公司A、、，现要建一个健身中心到三家公司的距离相等，请利用尺规作图法找出健身中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
19．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点是延长线上一点，是线段的垂直平分线，点是上一点，且，连接，求的度数．
20．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．
(1)求证：；(2)若的周长为，，求的长．
21．（24-25七年级下·河南郑州·期末）下面是黑板上列出的尺规作图题．
已知：直线和上的一点，请用尺规作的垂线，使它经过点．作法：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点和点（如图）．②作直线，就是直线的垂线．③分别以点和点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点．
(1)以上作法步骤是混乱的，正确的排序是________；(2)步骤③中，的长满足的条件是_________；
(3)以下是的说理过程，请补全．
解：如图，连接．
由作图知，， ．
又因为，所以 ．所以．
根据平角的定义，所以 = ，
所以，所以直线．
22．（24-25八年级下·河南郑州·期末）在学习《线段的垂直平分线》时，张老师出示了如下问题：
已知：点是直线外一点．
求作：过点作直线的垂线．如图，作法如下：
①以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于点和点；②作直线；③分别以点和点为圆心， 的长为半径作弧，两弧相交于点；④任意取一点，使点和点在直线的两旁．
(1)已知以上作法步骤是混乱的，正确的排序是 ；
(2)以上作法步骤中的__ __长满足的条件是 ；(3)求证：
23．（24-25八年级上·成都·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为．
(1)求的长及的度数；(2)分别连接，若的周长为，求的长．
24．如图，在中，E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接．(1)求证：；(2)若的周长为18，的周长为6．①求的长；②若的面积为12，求点到的距离．
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专题1.6 线段的垂直平分线的性质
1.了解垂直平分线的定义，理解并掌握垂直平分线的性质；
2.经历垂直平分线的探究过程，尤其是如何引导学生从直观操作和观察中抽象出性质，并进行严谨的逻辑证明；
3.能够运用垂直平分线的性质解决简单的几何问题，如证明线段相等、角度相等，以及进行相关的计算。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.利用垂直平分线的性质求角度 2
考点2.利用垂直平分线的性质求长度（周长） 4
考点3.利用垂直平分线的性质解决面积问题 6
考点4.线段垂直平分线的实际应用 8
考点5.尺规作垂直平分线 9
考点6.线段垂直平分线相关的最值问题 11
考点7.垂直平分线的辅助线添加问题 14
模块3：培优训练 17
1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
2.线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
几何表示：
如图1，CD是线段AB的垂直平分线，CD交AB于点E，连结CA，CB；则EA=EB，CA=CB（重点）。
图1 图2
3.线段垂直平分线的作法（尺规作图）：如图2，线段AB，求作：线段AB的垂直平分线。
（1）分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
（2）作直线 CD，CD 为所求直线。
考点1.利用垂直平分线的性质求角度
例1．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接
∵ 边，的垂直平分线交于点∴ ，
∴ ，
∵ ∴
∵ ∴
∵ ∴ 故选：B．
变式1．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由条件可知，
在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，
，，
，，
，
．故选：C．
变式2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则 ．
【答案】/度
【详解】解：在中，，，，
的垂直平分线分别交、于点、，
，，故答案为：．
变式3．（25-26八年级上·浙江·专项训练）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，∴，∴，
∵分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，
∴．故选：C．
考点2.利用垂直平分线的性质求长度（周长）
例1．（2025·湖北荆州·三模）如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，∴，
∴，∴周长为．故选：B．
变式1．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是13，则线段的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】解：∵垂直平分，∴，
∵的周长是13，∴，
∵，∴，∴，即，故选：C．
变式2．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边于点D、E且的周长为，则的长为 ．
【答案】32
【详解】解：∵，分别是，的垂直平分线，∴，，
∵的周长为，∴，∴，即，
故答案为：32．
变式3．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ．
【答案】3
【详解】解：，，，
在的垂直平分线上，．故答案为：3．
变式4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的周长为 ．
【答案】6
【详解】解：垂直平分线段，，，，，
的周长为，故答案为：6．
考点3.利用垂直平分线的性质解决面积问题
例1．（2025·湖南长沙·二模）如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F．
若，，则四边形的面积为 ．
【答案】12
【详解】解：由作图步骤可知，步骤①中，以点P为圆心画弧，交直线l于点B，D，，
步骤②中，分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径作弧相交于点E，
直线是线段的垂直平分线，，，
四边形的对角线与互相垂直，
，故答案为：12．
变式1.如图，在中，是的中线，是的垂直平分线，且与相交于点，连接．若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（ ）
A．5 B．17 C．21 D．22
【答案】D
【详解】解：∵四边形与四边形的面积分别为8和13，∴，
∵是的中线，∴，∴，
∵是边的中垂线，∴E是的中点，∴，
∴，∴，故选：D．
变式2．（25-26八年级上·湖北·课后作业）如图，在中，是边的垂直平分线，，则的面积为 ．
【答案】12
【详解】解：是边的垂直平分线，,，
又,,,.故答案为：12．
变式3．如图，在中，，的平分线交于点，垂直平分，垂足为点．(1)请说明：；(2)若的面积为4， 求的面积．
【答案】(1)见详解(2)8
【详解】（1）解：平分，，
垂直平分，，，；
（2）解：垂直平分，，，
在和中，，，
，，
在和中，，，，
的面积为4，的面积的面积，的面积为8．
考点4.线段垂直平分线的实际应用
例1．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）为响应总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我市向某县的，，三个学校捐赠一批书籍，若需要建立一个仓库，使该仓库到三个学校的距离相等，则仓库应设置的最适当的位置是在的（ ）
A．三边中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】B
【详解】解：∵仓库到三个学校的距离相等，
∴仓库应设置的最适当的位置是在的三边的垂直平分线的交点，故选：．
变式1．有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们玩抢凳子游戏，三角形区域内放一张木凳，谁先抢到凳子则获胜，为使游戏公平，最适当放凳子的位置是三角形（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点
【答案】C
【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．故选C．
变式2．斜拉索桥是利用一组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔的桥梁上，它不用建造桥墩，为了保持受力平衡，要求修建时必须满足两根斜拉索的长度相等．如图所示，和表示的两根斜拉索分别被固定在桥面上的点、处，已测出，，则该斜拉索桥是否符合修建规定？说明你的理由．
【答案】该斜拉索桥符合修建规定，理由见解析
【详解】解：该斜拉索桥符合修建规定，理由如下，
∵，，∴是线段的垂直平分线，
∴．即两根斜拉索的长度相等．
变式3．【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图1，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【性质探究】（1）如图1，连接筝形的对角线交于点，试探究筝形的性质，并填空：对角线的位置关系是：______；与的数量关系是：______．
【知识应用】秀秀想要做一个“筝形”风筝，她先固定中间的“十字架”，再确定四周．
（2）①从数学的角度看，秀秀确定“十字架”对角线和时应满足的条件是______．
②借助图2以及①中所写条件，说明四边形是个“筝形”．
【应用拓展】（3）在“筝形”风筝中，已知，，求“筝形”风筝的面积．
【答案】（1），；（2）①垂直平分；②见解析；（3）
【详解】解：（1）∵，，
∴垂直平分，∴，，故答案为：，；
（2）①秀秀确定“十字架”和时应满足的条件是垂直平分；
故答案为：垂直平分；
②证明：∵垂直平分，∴，，∴四边形是个“筝形”；
（3）∵四边形是筝形，∴，
∴“筝形”风筝的面积的面积的面积
．
考点5.尺规作垂直平分线
例1．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，请用尺规作图法，在外求作一点D，使点D到的三个顶点距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，连接，，，
∵、的垂直平分线交于点，∴，，∴，
即点D到的三个顶点距离都相等， ∴点D即为所求．
变式1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【详解】解：，，，
点在的垂直平分线上，即点为的垂直平分线与的交点．故选：D．
变式2．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）尺规作图：已知，在上求作点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【详解】解：如图，点即为所作，
，
由作图可得，垂直平分，∴，∴．
变式3．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知公路l的两侧有两个村庄A，B，要在公路旁边建一个公交车上落站，使上落站到两个村庄的距离相等，请确定上落站的位置．
【答案】见解析
【详解】解：如图点的位置即为公交站的位置，
变式4．（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P．
【答案】见解析
【解答】解：如图，点P即为所求．
考点6.线段垂直平分线相关的最值问题
例1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是 ．
【答案】7
【详解】解：如图，连接，
直线垂直平分的边，，，
，当点F与点D重合时等号成立，，
周长的最小值是7．故答案为：7．
变式1．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图，在中，，垂直平分线段，，P是直线上的一点，若周长的最小值是17，则 .
【答案】
【详解】解：如图，连接，垂直平分线段， ，
∵周长的最小值是17，，∴的最小值为：，
此时，∴.故答案为：
变式2．（24-25七年级下·上海·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为 ．
【答案】
【详解】解：连接，∵垂直平分，∴，∴，
∴当点A，点M，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长，
∵，∴，故答案为：．
变式3．（24-25八年级上·广东·期末）如图，在中，，，，，为的垂直平分线，为直线上的任意一点，则周长的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，∵为的垂直平分线，点为直线上的任意一点，∴，
∴的周长，
当A、P、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为，
∴的周长最小值为，故答案为：．
考点7.垂直平分线的辅助线添加问题
例1．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F．(1)若，求的周长．(2)连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长．
【答案】(1)8(2)5
【详解】（1）解：∵ ，分别垂直平分和，
∴ ，，∴ 的周长；
（2）解：连接、、，
∵ 的周长为18，∴ ， ∵ ，∴．
∵ 、分别垂直平分和，∴，， ∴ ，∴.
变式1．如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点D、E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，，若的面积为3，则的面积是（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，，
∵的垂直平分线分别与、交于点D、E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，∴，，∴，∴，
∵，∴，，
∴．故选：D．
变式2．（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则线段，，的数量关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【详解】解：如图，连接，，
∵，，∴，
∵垂直平分，垂直平分，∴，，
∴，，∴，，
∴，∴是等边三角形，
∴，∴，故选：．
变式3．（24-25八年级下·江苏·阶段练习）如图，线段，的垂直平分线交于点，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连结，延长交于点，
∴，
∵点是，的垂直平分线的交点，，
∴，，∴，，
∴，
即的度数为．故选：D．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：点P到点A，点B的距离相等，
点P在线段的垂直平分线上，故选：A．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，垂直平分，垂足为点E，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵垂直平分，∴，，，故A正确，该选项不符合题意；
在和中，，∴，故C正确，该选项不符合题意；
∴，故B正确，该选项不符合题意；
不一定等于，故D错误，符合题意；故选：D．
3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．下列线段中，与线段长度一定相等的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】C
【详解】解：根据作图可知：垂直平分线段，∴，故选：C
4．（25-26八年级上·广东·课后作业）如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：根据尺规作图—作线段垂直平分线的步骤可得：，
∵，∴，∴a的值可能是4，故选：D．
5．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线，∴，
∵，，∴的周长．故选：C．
6．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】解：A、∵，，∴垂直平分，
∴，∴四边形是筝形；
B、∵，，，∴，
∴，∴四边形是筝形；
C、∵，，，
∴，∴，，∴四边形是筝形；
D、由，不能判断，，
故不能判断四边形是筝形；选：D.
7．（2025·天津南开·三模）如图1，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图2所示）：
①以点为圆心，以为半径画弧，与相交于点；
②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；
③连接，与相交于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A．垂直平分 B． C．平分 D．
【答案】B
【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，则有，即选项B正确，其它选项错误．
故选：B．
8.（24-25·山西临汾·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，
的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
，，，，
，，故选：C．
9．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（ ）
A．平分 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题中折叠可知，为线段的垂直平分线，
，故C正确，符合题意，其余选项均不能证明，不符合题意，故选：C．
10．如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如下图所示，连接，是的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，，，
，，
在中，，
在中，，
，，，
在和中，，，，
设，则，，
，
在中，．故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为 ．
【答案】/48度
【详解】解：平分，，
垂直平分，，，，
，，，
，，故答案为：．
12．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，垂直平分，垂直平分，若的长为7，则 ．
【答案】7
【详解】解：如图：连接，∵垂直平分，∴，
∵垂直平分，∴，∴．故答案为：7．
13．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：垂直平分，，
的周长，
，．故答案为：．
14．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，已知，是线段的垂直平分线，则的周长是 ．
【答案】14
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，∴
∴的周长为：．故答案为：14．
15．如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵为线段的垂直平分线，∴，
∵，，的周长为，
∴∴，故答案为：．
16．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，则的长为 ．
【答案】7
【详解】解：是的垂直平分线，，同理可得：，
的周长为9，，
，，，故答案为：7．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（25-26八年级上·重庆·课后作业）如图，在中，是边的垂直平分线，M是上一点．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：是边的垂直平分线，．
在和中，．
18．（25-26九年级上·陕西榆林·开学考试）如图有三家公司A、、，现要建一个健身中心到三家公司的距离相等，请利用尺规作图法找出健身中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【详解】解：如图，分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求．
19．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点是延长线上一点，是线段的垂直平分线，点是上一点，且，连接，求的度数．
【答案】
【详解】解：，，．
是线段的垂直平分线，，
．．
20．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．
(1)求证：；(2)若的周长为，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）垂直平分，，
，，垂直平分，，；
（2）的周长为，，，，
，，，，即．
21．（24-25七年级下·河南郑州·期末）下面是黑板上列出的尺规作图题．
已知：直线和上的一点，请用尺规作的垂线，使它经过点．作法：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点和点（如图）．②作直线，就是直线的垂线．③分别以点和点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点．
(1)以上作法步骤是混乱的，正确的排序是________；(2)步骤③中，的长满足的条件是_________；
(3)以下是的说理过程，请补全．
解：如图，连接．
由作图知，， ．
又因为，所以 ．
所以．
根据平角的定义，所以 = ，
所以，所以直线．
【答案】(1)①③②(2)大于(3)CB；；；；
【详解】（1）解：正确的顺序为：①③②，故答案为：①③②；
（2）解：的长满足的条件是：大于，故答案为：大于；
（3）证明：连接，
由作图知，，CB ，
又因为，所以，所以，
根据平角的定义，所以，，所以，
所以直线，故答案为：CB；；；；．
22．（24-25八年级下·河南郑州·期末）在学习《线段的垂直平分线》时，张老师出示了如下问题：
已知：点是直线外一点．
求作：过点作直线的垂线．如图，作法如下：
①以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于点和点；②作直线；③分别以点和点为圆心， 的长为半径作弧，两弧相交于点；④任意取一点，使点和点在直线的两旁．
(1)已知以上作法步骤是混乱的，正确的排序是 ；
(2)以上作法步骤中的__ __长满足的条件是 ；(3)求证：
【答案】(1)④①③②(2)大于(3)见解析
【详解】（1）解：正确的排序是④①③②；
（2）解：③分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，
故答案为：大于；
（3）证明：如图，连接
由作图可知：,
∴点在线段的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
同理，点在线段的垂直平分线上
∴直线是线段的垂直平分线（两点确定一条直线）∴
23．（24-25八年级上·成都·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为．
(1)求的长及的度数；(2)分别连接，若的周长为，求的长．
【答案】(1)的长是，的度数是(2)的长是
【详解】（1）解：∵在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为．
∴，，，，
∴，，，
∴，，即的长是，的度数是；
（2）解：如图，
由题意可得，，，，∴，
∵的周长为，∴，
，∴，∴，即的长是．
24．如图，在中，E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接．(1)求证：；(2)若的周长为18，的周长为6．①求的长；②若的面积为12，求点到的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)①6；②4
【详解】（1）证明：∵垂直平分，∴，
在和中，，∴，∴．
（2）解：①∵的周长为6，∴，
∵，∴，即，
∵的周长为18，∴，∴，
又∵，∴；
②如图，过点作于点，
由上可知，，，∴的面积与的面积相等，即为12，
∴，即，∴，所以点到的距离为4．
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