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专题1.6 线段的垂直平分线的性质
1.了解垂直平分线的定义,理解并掌握垂直平分线的性质;
2.经历垂直平分线的探究过程,尤其是如何引导学生从直观操作和观察中抽象出性质,并进行严谨的逻辑证明;
3.能够运用垂直平分线的性质解决简单的几何问题,如证明线段相等、角度相等,以及进行相关的计算。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1:知识梳理 2
模块2:核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.利用垂直平分线的性质求角度 2
考点2.利用垂直平分线的性质求长度(周长) 4
考点3.利用垂直平分线的性质解决面积问题 6
考点4.线段垂直平分线的实际应用 8
考点5.尺规作垂直平分线 9
考点6.线段垂直平分线相关的最值问题 11
考点7.垂直平分线的辅助线添加问题 14
模块3:培优训练 17
1.定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线。
2.线段垂直平分线性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
几何表示:
如图1,CD是线段AB的垂直平分线,CD交AB于点E,连结CA,CB;则EA=EB,CA=CB(重点)。
图1 图2
3.线段垂直平分线的作法(尺规作图):如图2,线段AB,求作:线段AB的垂直平分线。
(1)分别以点 A、B 为圆心,以大于AB 的长为半径作弧,两弧相交于 C、D 两点;
(2)作直线 CD,CD 为所求直线。
考点1.利用垂直平分线的性质求角度
例1.(25-26九年级上·重庆·开学考试)如图,在中,边,的垂直平分线交于点P,连结,,若,则( )
A. B. C. D.
变式1.(24-25八年级下·江西景德镇·期中)如图,在中,为内一点,过点的直线分别交于点,若在的垂直平分线上,在的垂直平分线上,则的度数为( )
A. B. C. D.
变式2.(24-25八年级上·山西临汾·期末)如图,在中,,,的垂直平分线分别交、于点、,则 .
变式3.(25-26八年级上·浙江·专项训练)如图,在中,,分别以点A和点B为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线交于点D,连接,若,则( )
A. B. C. D.
考点2.利用垂直平分线的性质求长度(周长)
例1.(2025·湖北荆州·三模)如图,在中,是的垂直平分线,交于点D,交于点E,,,,则周长为( )
A. B. C. D.
变式1.(24-25八年级下·陕西西安·开学考试)如图,已知在中,垂直平分,若,的周长是13,则线段的长是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
变式2.(24-25八年级下·湖南长沙·开学考试)如图,在中,,分别是,的垂直平分线,,分别交边于点D、E且的周长为,则的长为 .
变式3.(25-26八年级上·江苏·期中)如图,的边的垂直平分线交于点,连接.若,,则 .
变式4.(24-25七年级下·陕西咸阳·期中)如图,在中,,的垂直平分线交于点,交于点,连接,若,则的周长为 .
考点3.利用垂直平分线的性质解决面积问题
例1.(2025·湖南长沙·二模)如图,P是直线l外一点,按以下步骤作图:①以点P为圆心,适当长为半径画弧,交直线l于点B,D;②分别以点B、点D为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于点E;③作直线交于点F.
若,,则四边形的面积为 .
变式1.如图,在中,是的中线,是的垂直平分线,且与相交于点,连接.若四边形与四边形的面积分别为8和13,则的面积为( )
A.5 B.17 C.21 D.22
变式2.(25-26八年级上·湖北·课后作业)如图,在中,是边的垂直平分线,,则的面积为 .
变式3.如图,在中,,的平分线交于点,垂直平分,垂足为点.(1)请说明:;(2)若的面积为4, 求的面积.
考点4.线段垂直平分线的实际应用
例1.(24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习)为响应总书记“扶贫先扶志,扶贫必扶智”的号召,我市向某县的,,三个学校捐赠一批书籍,若需要建立一个仓库,使该仓库到三个学校的距离相等,则仓库应设置的最适当的位置是在的( )
A.三边中线的交点 B.三边的垂直平分线的交点
C.三条角平分线的交点 D.三边上高的交点
变式1.有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们玩抢凳子游戏,三角形区域内放一张木凳,谁先抢到凳子则获胜,为使游戏公平,最适当放凳子的位置是三角形( )
A.三条高的交点 B.三条角平分线的交点
C.三边的垂直平分线的交点 D.三条中线的交点
变式2.斜拉索桥是利用一组钢索,把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔的桥梁上,它不用建造桥墩,为了保持受力平衡,要求修建时必须满足两根斜拉索的长度相等.如图所示,和表示的两根斜拉索分别被固定在桥面上的点、处,已测出,,则该斜拉索桥是否符合修建规定?说明你的理由.
变式3.【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容.
如图1,在四边形中,,.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
【性质探究】(1)如图1,连接筝形的对角线交于点,试探究筝形的性质,并填空:对角线的位置关系是:______;与的数量关系是:______.
【知识应用】秀秀想要做一个“筝形”风筝,她先固定中间的“十字架”,再确定四周.
(2)①从数学的角度看,秀秀确定“十字架”对角线和时应满足的条件是______.
②借助图2以及①中所写条件,说明四边形是个“筝形”.
【应用拓展】(3)在“筝形”风筝中,已知,,求“筝形”风筝的面积.
考点5.尺规作垂直平分线
例1.(24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习)如图,已知,请用尺规作图法,在外求作一点D,使点D到的三个顶点距离都相等.(保留作图痕迹,不写作法)
变式1.(25-26八年级上·江苏南京·阶段练习)如图,中,,使,那么符合要求的作图痕迹是( )
A.B.C. D.
变式2.(24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试)尺规作图:已知,在上求作点,使得.(不写作法,保留作图痕迹)
变式3.(24-25八年级下·陕西西安·阶段练习)已知公路l的两侧有两个村庄A,B,要在公路旁边建一个公交车上落站,使上落站到两个村庄的距离相等,请确定上落站的位置.
变式4.(24-25七年级下·甘肃张掖·期末)A,B,C三点表示三个工厂,现要建一供水站,使它到这三个工厂的距离相等,请在图中标出供水站的位置P.
考点6.线段垂直平分线相关的最值问题
例1.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)如图,在中,直线垂直平分分别交、于点D,E,点F为直线上任意一点,,,则周长的最小值是 .
变式1.(24-25七年级下·广东清远·期末)如图,在中,,垂直平分线段,,P是直线上的一点,若周长的最小值是17,则 .
变式2.(24-25七年级下·上海·期末)如图,等腰三角形底边的长为,面积是,腰的垂直平分线交于点F,若D为边上的动点,M为线段上一动点,则最小值为 .
变式3.(24-25八年级上·广东·期末)如图,在中,,,,,为的垂直平分线,为直线上的任意一点,则周长的最小值是 .
考点7.垂直平分线的辅助线添加问题
例1.如图,在中,分别垂直平分和,交于M,N两点,与相交于点F.(1)若,求的周长.(2)连接,在(1)的条件下,若的周长为18,求的长.
变式1.如图,在中,的垂直平分线分别与、交于点D、E,的垂直平分线分别与、交于点F、G,,若的面积为3,则的面积是( )
A.9 B. C. D.
变式2.(24-25八年级上·四川自贡·期末)如图,在中,,,的垂直平分线交于点,交于点,的垂直平分线交于点,交于点,则线段,,的数量关系是( )
A. B. C. D.不能确定
变式3.(24-25八年级下·江苏·阶段练习)如图,线段,的垂直平分线交于点,连接,,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
全卷共24题 测试时间:120分钟 试卷满分:120分
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上)
1.(24-25八年级下·辽宁盘锦·开学考试)如图,在中,,.用直尺和圆规在边上确定一点P,使点P到点A,点B的距离相等,则符合要求的作图痕迹是( )
A. B.
C. D.
2.(2025八年级上·全国·专题练习)如图,在四边形中,垂直平分,垂足为点E,下列结论不一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.(24-25八年级上·浙江台州·期末)如图,在中,按以下步骤作图:①分别以点为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于两点;②作直线交于点,连接.下列线段中,与线段长度一定相等的是( )
A.线段 B.线段 C.线段 D.线段
4.(25-26八年级上·广东·课后作业)如图,已知线段,用尺规作它的垂直平分线.步骤如下:①分别以点A,B为圆心,a为半径画弧交于点E,F;②过点E,F作直线,则直线就是线段的垂直平分线.则a的值可能是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习)如图,在中,分别以点和点为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于点作直线,交于点,交于点,连接,若,,,则的周长为( )
A. B. C. D.
6.(2025·山东威海·中考真题)我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”.在四边形中,对角线交于点O.下列条件中,不能判断四边形是筝形的是( )
A., B.,
C., D.,
7.(2025·天津南开·三模)如图1,在中,,.按照如下尺规作图的步骤进行操作(如图2所示):
①以点为圆心,以为半径画弧,与相交于点;
②分别以,为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧相交于点;
③连接,与相交于点.则下列结论一定正确的是( )
A.垂直平分 B. C.平分 D.
8.(24-25·山西临汾·八年级期末)如图,在中,的垂直平分线交于点,的垂直平分线交于点若,则的度数是( )
A. B. C. D.
9.(2025·河北沧州·模拟预测)如图,把折叠,使点与点重合,展开后得到折痕与交于点,交于点,连接,则下列结论正确的是( )
A.平分 B. C. D.
10.如图,线段,的垂直平分线交于点,且,,则的度数为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分,答案写在答题卡上)
11.如图,中,平分,的中垂线交于点E,交于点F,连接、若,,则的度数为 .
12.(24-25八年级下·广东梅州·阶段练习)如图,垂直平分,垂直平分,若的长为7,则 .
13.(24-25八年级下·四川成都·期中)如图,在中,,的垂直平分线交于点,交于点,已知的周长为,,则的长为 .
14.(24-25七年级下·山西太原·阶段练习)如图,已知,是线段的垂直平分线,则的周长是 .
15.如图,在中,为边上一点,,为线段的垂直平分线,若的周长为,,则的长为 .
16.(24-25七年级下·河南郑州·阶段练习)如图,在中,边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E,边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G,若的周长为9,且,则的长为 .
三、解答题(本题共8小题,共72分。其中:17-21题8分,22-23题每题10分,24题每题12分,答案写在答题卡上)
17.(25-26八年级上·重庆·课后作业)如图,在中,是边的垂直平分线,M是上一点.求证:.
18.(25-26九年级上·陕西榆林·开学考试)如图有三家公司A、、,现要建一个健身中心到三家公司的距离相等,请利用尺规作图法找出健身中心的位置.(保留作图痕迹,不写作法)
19.(24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习)如图,在中,,点是延长线上一点,是线段的垂直平分线,点是上一点,且,连接,求的度数.
20.(24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习)如图,在中,,垂直平分,交于点F,交于点E,且,连接.
(1)求证:;(2)若的周长为,,求的长.
21.(24-25七年级下·河南郑州·期末)下面是黑板上列出的尺规作图题.
已知:直线和上的一点,请用尺规作的垂线,使它经过点.作法:①以点为圆心,任意长为半径作弧,交直线于点和点(如图).②作直线,就是直线的垂线.③分别以点和点为圆心,的长为半径作弧,两弧交于点.
(1)以上作法步骤是混乱的,正确的排序是________;(2)步骤③中,的长满足的条件是_________;
(3)以下是的说理过程,请补全.
解:如图,连接.
由作图知,, .
又因为,所以 .所以.
根据平角的定义,所以 = ,
所以,所以直线.
22.(24-25八年级下·河南郑州·期末)在学习《线段的垂直平分线》时,张老师出示了如下问题:
已知:点是直线外一点.
求作:过点作直线的垂线.如图,作法如下:
①以点为圆心,的长为半径作弧,交直线于点和点;②作直线;③分别以点和点为圆心, 的长为半径作弧,两弧相交于点;④任意取一点,使点和点在直线的两旁.
(1)已知以上作法步骤是混乱的,正确的排序是 ;
(2)以上作法步骤中的__ __长满足的条件是 ;(3)求证:
23.(24-25八年级上·成都·期中)如图,在中,边的垂直平分线交于D,边的垂直平分线交于E,与相交于点O,的周长为.
(1)求的长及的度数;(2)分别连接,若的周长为,求的长.
24.如图,在中,E是边上的一点,连接,垂直平分,垂足为F,交于点D,连接.(1)求证:;(2)若的周长为18,的周长为6.①求的长;②若的面积为12,求点到的距离.
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专题1.6 线段的垂直平分线的性质
1.了解垂直平分线的定义,理解并掌握垂直平分线的性质;
2.经历垂直平分线的探究过程,尤其是如何引导学生从直观操作和观察中抽象出性质,并进行严谨的逻辑证明;
3.能够运用垂直平分线的性质解决简单的几何问题,如证明线段相等、角度相等,以及进行相关的计算。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1:知识梳理 2
模块2:核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.利用垂直平分线的性质求角度 2
考点2.利用垂直平分线的性质求长度(周长) 4
考点3.利用垂直平分线的性质解决面积问题 6
考点4.线段垂直平分线的实际应用 8
考点5.尺规作垂直平分线 9
考点6.线段垂直平分线相关的最值问题 11
考点7.垂直平分线的辅助线添加问题 14
模块3:培优训练 17
1.定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线。
2.线段垂直平分线性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
几何表示:
如图1,CD是线段AB的垂直平分线,CD交AB于点E,连结CA,CB;则EA=EB,CA=CB(重点)。
图1 图2
3.线段垂直平分线的作法(尺规作图):如图2,线段AB,求作:线段AB的垂直平分线。
(1)分别以点 A、B 为圆心,以大于AB 的长为半径作弧,两弧相交于 C、D 两点;
(2)作直线 CD,CD 为所求直线。
考点1.利用垂直平分线的性质求角度
例1.(25-26九年级上·重庆·开学考试)如图,在中,边,的垂直平分线交于点P,连结,,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解:连接
∵ 边,的垂直平分线交于点∴ ,
∴ ,
∵ ∴
∵ ∴
∵ ∴ 故选:B.
变式1.(24-25八年级下·江西景德镇·期中)如图,在中,为内一点,过点的直线分别交于点,若在的垂直平分线上,在的垂直平分线上,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:由条件可知,
在的垂直平分线上,N在的垂直平分线上,
,,
,,
,
.故选:C.
变式2.(24-25八年级上·山西临汾·期末)如图,在中,,,的垂直平分线分别交、于点、,则 .
【答案】/度
【详解】解:在中,,,,
的垂直平分线分别交、于点、,
,,故答案为:.
变式3.(25-26八年级上·浙江·专项训练)如图,在中,,分别以点A和点B为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线交于点D,连接,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:∵,,∴,∴,
∵分别以点A和点B为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线交于点D,连接,∴是线段的垂直平分线,∴,∴,
∴.故选:C.
考点2.利用垂直平分线的性质求长度(周长)
例1.(2025·湖北荆州·三模)如图,在中,是的垂直平分线,交于点D,交于点E,,,,则周长为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解:∵是的垂直平分线,∴,∴,
∴,∴周长为.故选:B.
变式1.(24-25八年级下·陕西西安·开学考试)如图,已知在中,垂直平分,若,的周长是13,则线段的长是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】C
【详解】解:∵垂直平分,∴,
∵的周长是13,∴,
∵,∴,∴,即,故选:C.
变式2.(24-25八年级下·湖南长沙·开学考试)如图,在中,,分别是,的垂直平分线,,分别交边于点D、E且的周长为,则的长为 .
【答案】32
【详解】解:∵,分别是,的垂直平分线,∴,,
∵的周长为,∴,∴,即,
故答案为:32.
变式3.(25-26八年级上·江苏·期中)如图,的边的垂直平分线交于点,连接.若,,则 .
【答案】3
【详解】解:,,,
在的垂直平分线上,.故答案为:3.
变式4.(24-25七年级下·陕西咸阳·期中)如图,在中,,的垂直平分线交于点,交于点,连接,若,则的周长为 .
【答案】6
【详解】解:垂直平分线段,,,,,
的周长为,故答案为:6.
考点3.利用垂直平分线的性质解决面积问题
例1.(2025·湖南长沙·二模)如图,P是直线l外一点,按以下步骤作图:①以点P为圆心,适当长为半径画弧,交直线l于点B,D;②分别以点B、点D为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于点E;③作直线交于点F.
若,,则四边形的面积为 .
【答案】12
【详解】解:由作图步骤可知,步骤①中,以点P为圆心画弧,交直线l于点B,D,,
步骤②中,分别以点B、点D为圆心,大于的长为半径作弧相交于点E,
直线是线段的垂直平分线,,,
四边形的对角线与互相垂直,
,故答案为:12.
变式1.如图,在中,是的中线,是的垂直平分线,且与相交于点,连接.若四边形与四边形的面积分别为8和13,则的面积为( )
A.5 B.17 C.21 D.22
【答案】D
【详解】解:∵四边形与四边形的面积分别为8和13,∴,
∵是的中线,∴,∴,
∵是边的中垂线,∴E是的中点,∴,
∴,∴,故选:D.
变式2.(25-26八年级上·湖北·课后作业)如图,在中,是边的垂直平分线,,则的面积为 .
【答案】12
【详解】解:是边的垂直平分线,,,
又,,,.故答案为:12.
变式3.如图,在中,,的平分线交于点,垂直平分,垂足为点.(1)请说明:;(2)若的面积为4, 求的面积.
【答案】(1)见详解(2)8
【详解】(1)解:平分,,
垂直平分,,,;
(2)解:垂直平分,,,
在和中,,,
,,
在和中,,,,
的面积为4,的面积的面积,的面积为8.
考点4.线段垂直平分线的实际应用
例1.(24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习)为响应总书记“扶贫先扶志,扶贫必扶智”的号召,我市向某县的,,三个学校捐赠一批书籍,若需要建立一个仓库,使该仓库到三个学校的距离相等,则仓库应设置的最适当的位置是在的( )
A.三边中线的交点 B.三边的垂直平分线的交点
C.三条角平分线的交点 D.三边上高的交点
【答案】B
【详解】解:∵仓库到三个学校的距离相等,
∴仓库应设置的最适当的位置是在的三边的垂直平分线的交点,故选:.
变式1.有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们玩抢凳子游戏,三角形区域内放一张木凳,谁先抢到凳子则获胜,为使游戏公平,最适当放凳子的位置是三角形( )
A.三条高的交点 B.三条角平分线的交点
C.三边的垂直平分线的交点 D.三条中线的交点
【答案】C
【详解】解:利用线段垂直平分线的性质得:要放在三边中垂线的交点上.故选C.
变式2.斜拉索桥是利用一组钢索,把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔的桥梁上,它不用建造桥墩,为了保持受力平衡,要求修建时必须满足两根斜拉索的长度相等.如图所示,和表示的两根斜拉索分别被固定在桥面上的点、处,已测出,,则该斜拉索桥是否符合修建规定?说明你的理由.
【答案】该斜拉索桥符合修建规定,理由见解析
【详解】解:该斜拉索桥符合修建规定,理由如下,
∵,,∴是线段的垂直平分线,
∴.即两根斜拉索的长度相等.
变式3.【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容.
如图1,在四边形中,,.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
【性质探究】(1)如图1,连接筝形的对角线交于点,试探究筝形的性质,并填空:对角线的位置关系是:______;与的数量关系是:______.
【知识应用】秀秀想要做一个“筝形”风筝,她先固定中间的“十字架”,再确定四周.
(2)①从数学的角度看,秀秀确定“十字架”对角线和时应满足的条件是______.
②借助图2以及①中所写条件,说明四边形是个“筝形”.
【应用拓展】(3)在“筝形”风筝中,已知,,求“筝形”风筝的面积.
【答案】(1),;(2)①垂直平分;②见解析;(3)
【详解】解:(1)∵,,
∴垂直平分,∴,,故答案为:,;
(2)①秀秀确定“十字架”和时应满足的条件是垂直平分;
故答案为:垂直平分;
②证明:∵垂直平分,∴,,∴四边形是个“筝形”;
(3)∵四边形是筝形,∴,
∴“筝形”风筝的面积的面积的面积
.
考点5.尺规作垂直平分线
例1.(24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习)如图,已知,请用尺规作图法,在外求作一点D,使点D到的三个顶点距离都相等.(保留作图痕迹,不写作法)
【答案】见解析
【详解】解:如图,分别作、的垂直平分线交于点,连接,,,
∵、的垂直平分线交于点,∴,,∴,
即点D到的三个顶点距离都相等, ∴点D即为所求.
变式1.(25-26八年级上·江苏南京·阶段练习)如图,中,,使,那么符合要求的作图痕迹是( )
A.B.C. D.
【答案】D
【详解】解:,,,
点在的垂直平分线上,即点为的垂直平分线与的交点.故选:D.
变式2.(24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试)尺规作图:已知,在上求作点,使得.(不写作法,保留作图痕迹)
【答案】见解析
【详解】解:如图,点即为所作,
,
由作图可得,垂直平分,∴,∴.
变式3.(24-25八年级下·陕西西安·阶段练习)已知公路l的两侧有两个村庄A,B,要在公路旁边建一个公交车上落站,使上落站到两个村庄的距离相等,请确定上落站的位置.
【答案】见解析
【详解】解:如图点的位置即为公交站的位置,
变式4.(24-25七年级下·甘肃张掖·期末)A,B,C三点表示三个工厂,现要建一供水站,使它到这三个工厂的距离相等,请在图中标出供水站的位置P.
【答案】见解析
【解答】解:如图,点P即为所求.
考点6.线段垂直平分线相关的最值问题
例1.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)如图,在中,直线垂直平分分别交、于点D,E,点F为直线上任意一点,,,则周长的最小值是 .
【答案】7
【详解】解:如图,连接,
直线垂直平分的边,,,
,当点F与点D重合时等号成立,,
周长的最小值是7.故答案为:7.
变式1.(24-25七年级下·广东清远·期末)如图,在中,,垂直平分线段,,P是直线上的一点,若周长的最小值是17,则 .
【答案】
【详解】解:如图,连接,垂直平分线段, ,
∵周长的最小值是17,,∴的最小值为:,
此时,∴.故答案为:
变式2.(24-25七年级下·上海·期末)如图,等腰三角形底边的长为,面积是,腰的垂直平分线交于点F,若D为边上的动点,M为线段上一动点,则最小值为 .
【答案】
【详解】解:连接,∵垂直平分,∴,∴,
∴当点A,点M,点D共线且时,有最小值,即有最小值为的长,
∵,∴,故答案为:.
变式3.(24-25八年级上·广东·期末)如图,在中,,,,,为的垂直平分线,为直线上的任意一点,则周长的最小值是 .
【答案】
【详解】解:如图,连接,∵为的垂直平分线,点为直线上的任意一点,∴,
∴的周长,
当A、P、C三点共线时,最小,即此时的周长最小,最小值为,
∴的周长最小值为,故答案为:.
考点7.垂直平分线的辅助线添加问题
例1.如图,在中,分别垂直平分和,交于M,N两点,与相交于点F.(1)若,求的周长.(2)连接,在(1)的条件下,若的周长为18,求的长.
【答案】(1)8(2)5
【详解】(1)解:∵ ,分别垂直平分和,
∴ ,,∴ 的周长;
(2)解:连接、、,
∵ 的周长为18,∴ , ∵ ,∴.
∵ 、分别垂直平分和,∴,, ∴ ,∴.
变式1.如图,在中,的垂直平分线分别与、交于点D、E,的垂直平分线分别与、交于点F、G,,若的面积为3,则的面积是( )
A.9 B. C. D.
【答案】D
【详解】解:连接,,
∵的垂直平分线分别与、交于点D、E,的垂直平分线分别与、交于点F、G,∴,,∴,∴,
∵,∴,,
∴.故选:D.
变式2.(24-25八年级上·四川自贡·期末)如图,在中,,,的垂直平分线交于点,交于点,的垂直平分线交于点,交于点,则线段,,的数量关系是( )
A. B. C. D.不能确定
【答案】C
【详解】解:如图,连接,,
∵,,∴,
∵垂直平分,垂直平分,∴,,
∴,,∴,,
∴,∴是等边三角形,
∴,∴,故选:.
变式3.(24-25八年级下·江苏·阶段练习)如图,线段,的垂直平分线交于点,连接,,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解:连结,延长交于点,
∴,
∵点是,的垂直平分线的交点,,
∴,,∴,,
∴,
即的度数为.故选:D.
全卷共24题 测试时间:120分钟 试卷满分:120分
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上)
1.(24-25八年级下·辽宁盘锦·开学考试)如图,在中,,.用直尺和圆规在边上确定一点P,使点P到点A,点B的距离相等,则符合要求的作图痕迹是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】解:点P到点A,点B的距离相等,
点P在线段的垂直平分线上,故选:A.
2.(2025八年级上·全国·专题练习)如图,在四边形中,垂直平分,垂足为点E,下列结论不一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解:∵垂直平分,∴,,,故A正确,该选项不符合题意;
在和中,,∴,故C正确,该选项不符合题意;
∴,故B正确,该选项不符合题意;
不一定等于,故D错误,符合题意;故选:D.
3.(24-25八年级上·浙江台州·期末)如图,在中,按以下步骤作图:①分别以点为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于两点;②作直线交于点,连接.下列线段中,与线段长度一定相等的是( )
A.线段 B.线段 C.线段 D.线段
【答案】C
【详解】解:根据作图可知:垂直平分线段,∴,故选:C
4.(25-26八年级上·广东·课后作业)如图,已知线段,用尺规作它的垂直平分线.步骤如下:①分别以点A,B为圆心,a为半径画弧交于点E,F;②过点E,F作直线,则直线就是线段的垂直平分线.则a的值可能是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【详解】解:根据尺规作图—作线段垂直平分线的步骤可得:,
∵,∴,∴a的值可能是4,故选:D.
5.(24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习)如图,在中,分别以点和点为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于点作直线,交于点,交于点,连接,若,,,则的周长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:由作图的过程可知,是的垂直平分线,∴,
∵,,∴的周长.故选:C.
6.(2025·山东威海·中考真题)我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”.在四边形中,对角线交于点O.下列条件中,不能判断四边形是筝形的是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】D
【详解】解:A、∵,,∴垂直平分,
∴,∴四边形是筝形;
B、∵,,,∴,
∴,∴四边形是筝形;
C、∵,,,
∴,∴,,∴四边形是筝形;
D、由,不能判断,,
故不能判断四边形是筝形;选:D.
7.(2025·天津南开·三模)如图1,在中,,.按照如下尺规作图的步骤进行操作(如图2所示):
①以点为圆心,以为半径画弧,与相交于点;
②分别以,为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧相交于点;
③连接,与相交于点.则下列结论一定正确的是( )
A.垂直平分 B. C.平分 D.
【答案】B
【详解】解:由作图知,是线段的垂直平分线,则有,即选项B正确,其它选项错误.
故选:B.
8.(24-25·山西临汾·八年级期末)如图,在中,的垂直平分线交于点,的垂直平分线交于点若,则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:,,
的垂直平分线交于点,的垂直平分线交于点,
,,,,
,,故选:C.
9.(2025·河北沧州·模拟预测)如图,把折叠,使点与点重合,展开后得到折痕与交于点,交于点,连接,则下列结论正确的是( )
A.平分 B. C. D.
【答案】C
【详解】解:由题中折叠可知,为线段的垂直平分线,
,故C正确,符合题意,其余选项均不能证明,不符合题意,故选:C.
10.如图,线段,的垂直平分线交于点,且,,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:如下图所示,连接,是的垂直平分线,是的垂直平分线,
,,,,
,,
在中,,
在中,,
,,,
在和中,,,,
设,则,,
,
在中,.故选:C.
第Ⅱ卷
二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分,答案写在答题卡上)
11.如图,中,平分,的中垂线交于点E,交于点F,连接、若,,则的度数为 .
【答案】/48度
【详解】解:平分,,
垂直平分,,,,
,,,
,,故答案为:.
12.(24-25八年级下·广东梅州·阶段练习)如图,垂直平分,垂直平分,若的长为7,则 .
【答案】7
【详解】解:如图:连接,∵垂直平分,∴,
∵垂直平分,∴,∴.故答案为:7.
13.(24-25八年级下·四川成都·期中)如图,在中,,的垂直平分线交于点,交于点,已知的周长为,,则的长为 .
【答案】
【详解】解:垂直平分,,
的周长,
,.故答案为:.
14.(24-25七年级下·山西太原·阶段练习)如图,已知,是线段的垂直平分线,则的周长是 .
【答案】14
【详解】解:∵是线段的垂直平分线,∴
∴的周长为:.故答案为:14.
15.如图,在中,为边上一点,,为线段的垂直平分线,若的周长为,,则的长为 .
【答案】
【详解】解:∵为线段的垂直平分线,∴,
∵,,的周长为,
∴∴,故答案为:.
16.(24-25七年级下·河南郑州·阶段练习)如图,在中,边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E,边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G,若的周长为9,且,则的长为 .
【答案】7
【详解】解:是的垂直平分线,,同理可得:,
的周长为9,,
,,,故答案为:7.
三、解答题(本题共8小题,共72分。其中:17-21题8分,22-23题每题10分,24题每题12分,答案写在答题卡上)
17.(25-26八年级上·重庆·课后作业)如图,在中,是边的垂直平分线,M是上一点.求证:.
【答案】见解析
【详解】证明:是边的垂直平分线,.
在和中,.
18.(25-26九年级上·陕西榆林·开学考试)如图有三家公司A、、,现要建一个健身中心到三家公司的距离相等,请利用尺规作图法找出健身中心的位置.(保留作图痕迹,不写作法)
【答案】见解析
【详解】解:如图,分别作线段的垂直平分线,相交于点P,则点P即为所求.
19.(24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习)如图,在中,,点是延长线上一点,是线段的垂直平分线,点是上一点,且,连接,求的度数.
【答案】
【详解】解:,,.
是线段的垂直平分线,,
..
20.(24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习)如图,在中,,垂直平分,交于点F,交于点E,且,连接.
(1)求证:;(2)若的周长为,,求的长.
【答案】(1)见解析(2)
【详解】(1)垂直平分,,
,,垂直平分,,;
(2)的周长为,,,,
,,,,即.
21.(24-25七年级下·河南郑州·期末)下面是黑板上列出的尺规作图题.
已知:直线和上的一点,请用尺规作的垂线,使它经过点.作法:①以点为圆心,任意长为半径作弧,交直线于点和点(如图).②作直线,就是直线的垂线.③分别以点和点为圆心,的长为半径作弧,两弧交于点.
(1)以上作法步骤是混乱的,正确的排序是________;(2)步骤③中,的长满足的条件是_________;
(3)以下是的说理过程,请补全.
解:如图,连接.
由作图知,, .
又因为,所以 .
所以.
根据平角的定义,所以 = ,
所以,所以直线.
【答案】(1)①③②(2)大于(3)CB;;;;
【详解】(1)解:正确的顺序为:①③②,故答案为:①③②;
(2)解:的长满足的条件是:大于,故答案为:大于;
(3)证明:连接,
由作图知,,CB ,
又因为,所以,所以,
根据平角的定义,所以,,所以,
所以直线,故答案为:CB;;;;.
22.(24-25八年级下·河南郑州·期末)在学习《线段的垂直平分线》时,张老师出示了如下问题:
已知:点是直线外一点.
求作:过点作直线的垂线.如图,作法如下:
①以点为圆心,的长为半径作弧,交直线于点和点;②作直线;③分别以点和点为圆心, 的长为半径作弧,两弧相交于点;④任意取一点,使点和点在直线的两旁.
(1)已知以上作法步骤是混乱的,正确的排序是 ;
(2)以上作法步骤中的__ __长满足的条件是 ;(3)求证:
【答案】(1)④①③②(2)大于(3)见解析
【详解】(1)解:正确的排序是④①③②;
(2)解:③分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于点,
故答案为:大于;
(3)证明:如图,连接
由作图可知:,
∴点在线段的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上)
同理,点在线段的垂直平分线上
∴直线是线段的垂直平分线(两点确定一条直线)∴
23.(24-25八年级上·成都·期中)如图,在中,边的垂直平分线交于D,边的垂直平分线交于E,与相交于点O,的周长为.
(1)求的长及的度数;(2)分别连接,若的周长为,求的长.
【答案】(1)的长是,的度数是(2)的长是
【详解】(1)解:∵在中,边的垂直平分线交于D,边的垂直平分线交于E,与相交于点O,的周长为.
∴,,,,
∴,,,
∴,,即的长是,的度数是;
(2)解:如图,
由题意可得,,,,∴,
∵的周长为,∴,
,∴,∴,即的长是.
24.如图,在中,E是边上的一点,连接,垂直平分,垂足为F,交于点D,连接.(1)求证:;(2)若的周长为18,的周长为6.①求的长;②若的面积为12,求点到的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)①6;②4
【详解】(1)证明:∵垂直平分,∴,
在和中,,∴,∴.
(2)解:①∵的周长为6,∴,
∵,∴,即,
∵的周长为18,∴,∴,
又∵,∴;
②如图,过点作于点,
由上可知,,,∴的面积与的面积相等,即为12,
∴,即,∴,所以点到的距离为4.
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