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专题1.7 角平分线的性质
1.了解角平分线的定义，理解并掌握角平分线的性质；
2.经历角平分线性质的探究过程，尤其是如何引导学生从直观操作和观察中抽象出性质，并进行严谨的逻辑证明；
3.能够运用角平分线的性质解决简单的几何问题，如证明线段相等、角度相等，以及进行相关的计算。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.利用角平分线的性质求角度 2
考点2.利用角平分线的性质求长度 4
考点3.利用角平分线的性质求面积 6
考点4.角平分线的实际应用 9
考点5.尺规作角平分线 11
考点6.利用角平分线的性质求最值 13
考点7.角平分线的第二定理 15
考点8.与角平分线有关的内角问题 20
考点9.角平分线与垂直平分线结合问题 22
模块3：培优训练 26
1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：
如图3，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E；则PD=PE。
图3 图4
2.角的平分线的作法（尺规作图）：如图4，已知∠AOB，求作：∠AOB的平分线。
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
②分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③画射线OC，射线OC即为所求。
考点1.利用角平分线的性质求角度
例1．（24-25八年级上·河北·期中）如图，在中，平分交于点D，平分交于点．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：平分，
是的外角，，
（2）解：平分平分，
是的外角，，
，
，．
变式1．（2025·河北唐山·三模）如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由作图过程可知，为的平分线，∴．
∵，∴．
∵平分，∴．
∵，∴．故选：D．
变式2．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据图中尺规作图得，平分，∴，
∵，∴，
∴；故选：C．
变式3．（24-25八年级上·重庆·期末）在中，，，作图痕迹如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，∵在中，，，∴，
由作图痕迹可得垂直平分，平分，∴，，
∴，∴，∴．
故选：A．
变式4．（24-25八年级上·福建·期末）如图，在中，是的一条角平分线，，，则 ．
【答案】
【详解】解：是的一条角平分线，，
又，．故答案为：．
考点2.利用角平分线的性质求长度
【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，过点作于点，
∵平分，，，∴，
∵，，∴，∴．故选：A．
变式1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，是中的角平分线，于点E，，则长是（ ）．
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】B
【详解】解：如图，过D作于F，
∵是中的角平分线，于点E，，，
∵，，，
，解得：．故选：B．
变式2．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在中，，平分，，则点D到的距离是 ．
【答案】5
【详解】解：过点D作于点E，
∵，平分，，∴，
即点D到边的距离是5，故答案为：5．
变式3．如图，在中，，，平分，于点E，则的周长为 ．
【答案】
【详解】解：∵平分，∴,∵，，∴，
又∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴的周长为，故答案为：．
考点3.利用角平分线的性质求面积
例1.（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过O作于点E，∵平分，，∴，
∴的面积，故选：C．
变式1．（24-25八年级下·广东·期中）如图，是的平分线，点A是上一点，作线段的垂直平分线交于点，过点作交于点，连接，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，过点作于点，
是线段的垂直平分线 ，是的角平分线，
的面积故选：A．
变式2．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
【答案】B
【详解】解：如图，过点D作于点E，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
∵，∴，∴，故选：B．
变式3．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）如图，在中，平分交于点，若，则的面积为 ．
【答案】9
【详解】解：如图，过点D作于点E，∵平分，
又∵，∴，
∴的面积．故答案为：9．
变式4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，且，平分，交于点，过点作，垂足为，连接，且．若，，的面积是，则的面积是 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，
∵∴∵∴
则即平分，
过作于，延长，过作于，如图所示：
∵平分，，，∴，
∵平分，，∴，即，
∵，的面积是，且的面积
∴∴即 ∵，且
∴故答案为：
考点4.角平分线的实际应用
例1.（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【详解】解：如图所示，根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点到三条公里的距离相等，∴可供选择的地址有4个，故选：D ．
变式1.（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点
C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点
【答案】A
【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上．故选A．
变式2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，地块中，边，．
(1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹；(2)若地块的面积为，求地块的面积．
【答案】(1)画图见解析(2)
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：作，，垂足分别为，；
∵是的角平分线，∴，
∵边，，地块的面积为，∴，解得：，
∴，∴的面积为．
考点5.尺规作角平分线
例1．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）尺规作图：如图，某快递公司要在区域修建一个快递中转站．要满足中转站到两个城镇的距离必须相等，到两条高速公路的距离也必须相等，中转站应修建在什么位置？在图上标出中转站的位置．（保留必要的作图痕迹）
【答案】作图见解析
【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，再作两条高速公路夹角的平分线相交于点，则，到两条高速公路的距离也必须相等，点即为所求．
变式1．（2025·河南开封·一模）如图，下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线是的平分线的为（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①②③
【答案】B
【详解】解：①作图是尺规作图作角的平分线，故①正确；
②作图不能得到射线是的平分线，故②错误；
③作图可以得到射线是的平分线，故③正确；
④作图可以得到是的中线，故④错误；故选：．
变式2．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在农田中，农户计划在田埂上安装一个灌溉水泵以提高灌溉效率，现要求灌溉水泵到田埂和田埂的距离相等，请利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】作图见解析
【详解】解：如图所示，点即为所求．
变式3．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）国庆期间小红外出游玩时看到了鲜花拼成的“7”字样以及“7”内部的两个花坛、，将其抽象为数学图形如图所示），请用尺规作图帮助小红找一处观赏位置，满足观赏点到和的距离相等，并且观赏点到点、的距离也相等．（保留作图痕迹）
【答案】见解析
【详解】解：如图，点P即为所求：
变式4．如图，已知四边形，点E在边上，且．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使与面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【详解】解：如图，点P即为所求．
．
延长，过点P作于点H，于点G，
∴，∴，∴．
考点6.利用角平分线的性质求最值
例1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、大于为长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，若，P为上一动点，则的最小值为（ ）．
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】解：由作法可知，平分，由垂线段最短可知，当时有最小值，
，，即的最小值为2，故选：C
变式1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，点在的平分线上，于点，，点是射线上的一个动点，线段长度的最小值为，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：当时，最短，∵平分，，∴，
∵，∴的最小值为，即．故选：C．
变式2．（25-26八年级上·甘肃武威·开学考试）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：在上取一点，使得，连接，
∵平分，∴，
∵是公共边，∴，∴，∴，
当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为，
∵，∴，
∴最小值为．故答案为：．
考点7.角平分线的第二定理
例1.（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，是一条角平分线．
(1)【探究发现】如图1所示，若是的角平分线．可得到结论：．
小红的解法如下：过点作于点，于点，过点作于点，
∵是的角平分线，且，，∴________．（________）
∴________，又∵，∴．
(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．
求证：．
(3)【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是________．
【答案】(1)，角平分线的性质，(2)证明见解析(3)
【详解】（1）过点作于点，于点，过点作于点，
∵是的角平分线，且，，∴，（角平分线的性质）
∴，又∵，∴．
（2）如图，过点D作于N，过点D作于M，过点A作于点P，
是的外角平分线，即平分，，
，又，．
（3）在上取点G，使得，连接，
、分别是、的角平分线且相交于点，，
，，，
在和中，，，
，，
，平分，，
在和中，，，，
，由（1）可得，在中，为的角平分线，，
设，则，，，
变式1.（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线交于点，并将分为三个三角形，则的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点作，，，垂足分别为，，，
的三条角平分线交于点O，，，，，
．故选：A．
变式2.（24-25八年级上·广东珠海·期末）某数学兴趣小组进行如下探究：如图1，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即．继续探究，如图2，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即①________，②________．
(1)【证明结论】①根据“发现”，完成填空：________=________；
②请选择“发现”中的一组线段比进行证明．
(2)【应用结论】如图3，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接．①求证：垂直平分；②在图中画出边上的高（只需体现的位置），并求．
【答案】(1)①，；②见解析(2)①证明见解析；②图见解析，1
【详解】（1）解：①根据“发现”，完成填空：，
②选择：在中，是它的角平分线，点D到和的距离相等，
即中边上的高，和中边上的高相等，设为h，则；
选择：点D在上，点D到和的距离相等，
即中边上的高，和中边上的高相等，设为，则；
（2）解：①证明：，，由（1）得，，
是的中点，，，又是的角平分线，垂直平分；
②如图，即为所求；
延长交的延长线于点G，设，，
由①得，，
是的角平分线，，，，
在和中，，，
，，，
由①得，，，，
，，．
变式3.（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，是一条角平分线．
【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：．
小艳的解法如下：过点作于点，于点，过点作于点，
∵是的角平分线，且，，∴______
∴______又∵，∴______
【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：．
【拓展应用】如图3，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是______
【答案】探究发现：，，；类比探究：见解析；拓展应用：
【详解】探究发现：解：过点作于点，于点，过点作于点，
∵是的角平分线，且，，
∴，∴，又∵，∴；
故答案为：，，；
类比探究：证明：过点D作交延长线于N，过点D作延长线于M，过点C作于点P．
∵平分，∴．
∴，，∴；
拓展应用：在上取点G，使得，连接，
∵，∴，∵分别是的角平分线，
∴，，，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴∴是的角平分线
由（1）知，，设，，则，，
由（1）知，即．
考点8.与角平分线有关的内角问题
例1.（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点，
∵与的角平分线交于点E，∴，∴，∴平分，
∴，∴只需要知道的度数即可求出的度数；故选C．
变式1．（25-26八年级上·广东·课后作业）如图，在中，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵是内一点且到三边的距离相等，
∴平分，∴，
∵，∴．故选：B．
变式2．如图，已知中，，BD平分，AD平分外角，则 度．
【答案】30
【详解】解：∵∠C＝60°， BD平分， AD平分外角，
∴∠DBA＝∠ABC，∠DAE＝∠CAE，∵，
∴∠D＝∠CAE﹣∠ABD＝(∠CAE﹣∠ABD)= ；故答案为：30
变式3．如图，四边形中，对角线平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，作于，于，于，
平分，，，，，∴
∵∴
，，，平分，
，，，，平分，，
平分，，
，故选：B．
考点9.角平分线与垂直平分线结合问题
例1.（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于.(1)求证：.(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；(3)若，，则________.
【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)2
【详解】（1）证明：如图，连接、，∵，D为中点，∴，
∵，，且平分，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）解：，证明如下：在和中，
，∴，∴，由（1）知，
∴．即；
（3）解：由（2）知，∵，，∴，
∴，∴，故答案为：2．
变式1.（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接，，平分，则线段之间的等量关系是 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作于，连接，
∵，∴，∵平分，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，，∴，
∵是的一个外角，∴，∴，
即，∴，
∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，
又∵，，∵，
在和中,，，∴，
∴，∴，故答案为：．
变式2.（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图， 中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点 ， 于点． 若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接
∵是的平分线 ，∴，∵，，∴，
在和中 ，，∴，∴，，
∵是的垂直平分线，∴，
在和中 ，，∴，∴，
∵，，∴，∴，故选：．
变式3.（24-25八年级上·江苏·期末）如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．(1)求证：．(2)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：连接和，∵是的垂直平分线，∴，
∵平分，，，∴，，
在和中，， ∴，∴；
（2）证明：∵平分，，，∴，，
在和中， ，∴，∴，
∵，∴，即．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图，某小区有一块三角形绿地，现在需要在绿地上建一个凉亭M，使它到三边的距离相等．下列方案能满足项目要求的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：根据角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等可得，
A选项符合要求，故选：A．
2．如图．在中，平分交于点D．，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是与角平分线的三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先求解，，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：∵，∴，
∵平分，∴，
∴；故选：A．
3．（24-25八年级上·广东汕头·培优）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【答案】D
【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处；
②三个外角两两平分线的交点，共三处，∴中转站P可选择的点共有四处．故选：D．
4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】过点作，垂足为，，垂足为，
是两把完全相同的长方形直尺，，，，
，，，，
点在这把直尺上的刻度读数分别是，，故选：A．
5．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，于点E，若，，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】解：∵ 是的平分线，，
∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
∵∴∴．故选：A．
6．如图，已知，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，若是上一点，过点作的平行线交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，是的角平分线，
，，
过点作的平行线交于点，，
，，故选：D．
7．如图，在中，，平分，于点，连接．若的面积为，求的面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，延长，交于点，
是的角平分线，，，，
在与中，，，，，
，，；故选：B
8．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图所示，的三边、、长分别为30、40、50，其三条角平分线交于点O，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过点O分别作，垂足分别为点D、E、F，如图所示：
∵分别平分，∴，
∴，
∵的三边、、长分别为30、40、50，
∴；故选：C．
9．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③若，则；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：设，，
平分交于点，平分交于点，，
，，，；
在中，，故①说法正确，符合题意；是的角平分线，不是三角形的中线，
与不一定相等，故与不一定相等，故②说法错误，不符合题意；
若，则，∵平分，∴，
∴，，，故③说法正确，符合题意；
如图1所示，在边上取，连接，
平分，，，，，
∵，，，
又平分，∴，，
，，，故④说法正确，符合题意；
过作于，于，∵，∴，
∵，，，
故⑤说法正确，符合题意；综上，说法正确的有①③④⑤，共4个．故选：C．
10．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【详解】解：∵，∴，，∵，
又∵点在的内部，∴点在的平分线上，则结论①正确；如图，连接，
在和中，，∴，
∴，∴点在的平分线上，结论②正确；
如图，延长至点，使得，连接，则，
在和中，，∴，∴，，
∵点在的平分线上，，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，则结论③错误；
由上已证：，∴，
∴的周长为
，则结论④正确；综上，结论正确的是①②④，故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ．
【答案】三条角平分线的交点处
【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处．故答案为：三条角平分线的交点处．
12．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，平分，于点D，点E是射线上的一个动点，若，则的最小值是 ．
【答案】3
【详解】解：过P作于E，此时的长最小，
∵平分，，，
∴，∴的最小值是3．故答案为：3．
13．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，，平分交于点D，若，，则点D到的距离为 ．
【答案】4
【详解】解：∵，平分，∴点D到的距离等于，
∵，，∴，∴点D到的距离是4．故答案为：4．
14．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 ．
【答案】/25度
【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∴，故答案为：．
15．（24-25八年级下·四川成都·开学考试）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ．
【答案】18
【详解】解：过点D作于点E，作，交的延长线于点
由作图过程可知，为的平分线，
，，
，的面积是故答案为：
16．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，角平分线、相交于，，，，则 （用含、的式子表示）
【答案】
【详解】解：在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，如图；平分，，
，，，，，
平分，，
，，，，
，，，
，，又，
，，，则，
∴．故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道，之间（即内部）的开阔地修建一所红十字救助站，使其到景观道，的距离相等，同时到两个休息亭的距离也相等，试确定救助站的位置．
【答案】作图见详解
【详解】解：如图所示，
尺规作角的角平分线，连接，尺规作线段的垂直平分线，交于点，
根据角平分线上点到角两边距离相等，线段垂直平分线到线段两端点距离相等得到点即为所求点的位置．
18．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为E，的面积为，，．求的长．
【答案】．
【详解】解：过点作于点，如图：
∵是的角平分线，，∴，
∵的面积为，∴，
∵，，∴，∴．
19．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，AD是角平分线，，，．
(1)求的度数．(2)若，求点D到AB的距离．
【答案】(1)(2)3
【详解】（1）解：∵，，∴．
∵AD是的角平分线，∴．
又∵，∴，∴．
（2）解：过点D作于点F，如图所示，
∵AD是的角平分线，且，，∴，即点D到AB的距离为3．
20．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点．(1)若，，求的度数；
(2)求证：点到三边所在直线的距离相等．
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）解：∵平分，，∴，
∵平分，，∴，
∴；
（2）证明：过作于，于，于，
∵平分，平分，∴，，
∴，∴点到三边所在直线的距离相等．
21．如图1是一个平分角的仪器，其中，．
(1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．试证明仪器画出的是的平分线．
(2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是18，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：在和中，，
．，即，平分．
（2）解：如图，过点P作于点G．
平分，，．
且，
，，，．
22．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接．
(1)求证：平分；(2)若，且，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)6
【详解】（1）证明：，交的延长线于点，．
，．
，．
如图，过点作于点于点，
平分，交的延长线于点，．
，平分，，．
，平分；
（2）解：的面积的面积的面积，
，，
，，，的面积．
23．阅读下面材料：
三角形的内心
定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．
我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点．
如图①，已知，，是的三条内角平分线．求证：，，交于一点．
证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，．
∵点是的平分线上一点，∴（依据1）．
同理．∴．
∵是的平分线，∴点在上（依据2）．∴，，交于一点．
请解答问题：(1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？
(2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________．
(3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积．
【答案】(1)依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 (2)相等 (3)
【详解】（1）解：根据题意，上述证明过程中，
依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；
（2）结合（1）可知，三角形的内心到三角形三边的距离相等．故答案为：相等；
（3）∵，，，，∴，
∴
，即的面积表示为．
24．（24-25八年级上·江西赣州·期末）综合与实践
【问题提出】如图，在中，是它的角平分线．对于这一图形，某数学兴趣小组进行了如下探究：分别过点作于，于，运用角平分线的性质可证
得．完成这一证明后，提出一个新的问题：与有什么数量关系呢？
【特例感知】（）如图，若时，______（填“”“”或“”）；
【深入探究】（）如图，当时，（）中的结论还成立吗，写出你的猜想并给予证明；
【结论应用】（）如图，是上的点，连接，若，，，求证：是等腰三角形；（）如图，是的角平分线，且与相交于，若，，直接写出的值是______．
【答案】（）；（）成立，证明见解析；（）证明见解析；（）．
【详解】（）如图，∵，平分，
∴平分，即，∴，故答案为：；
（）成立．证明：设边上的高为，则，
又∵，∴；
（）∵，，∴，∴，∴，∴，
∵平分，∴，又∵，
∴，∴，∴，∴是等腰三角形；
（）在上取，
∵，∴
∵平分，∴，，
∴，
∴，∴，∴，
∵平分，∴，又∵，，∴，
∴，∴，∴，
∴是的角平分线，∴，又∵是的角平分线，∴，∴，
∴，∴，∴，故答案为：．
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专题1.7 角平分线的性质
1.了解角平分线的定义，理解并掌握角平分线的性质；
2.经历角平分线性质的探究过程，尤其是如何引导学生从直观操作和观察中抽象出性质，并进行严谨的逻辑证明；
3.能够运用角平分线的性质解决简单的几何问题，如证明线段相等、角度相等，以及进行相关的计算。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.利用角平分线的性质求角度 2
考点2.利用角平分线的性质求长度 4
考点3.利用角平分线的性质求面积 6
考点4.角平分线的实际应用 9
考点5.尺规作角平分线 11
考点6.利用角平分线的性质求最值 13
考点7.角平分线的第二定理 15
考点8.与角平分线有关的内角问题 20
考点9.角平分线与垂直平分线结合问题 22
模块3：培优训练 26
1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：
如图3，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E；则PD=PE。
图3 图4
2.角的平分线的作法（尺规作图）：如图4，已知∠AOB，求作：∠AOB的平分线。
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
②分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③画射线OC，射线OC即为所求。
考点1.利用角平分线的性质求角度
例1．（24-25八年级上·河北·期中）如图，在中，平分交于点D，平分交于点．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．
变式1．（2025·河北唐山·三模）如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25八年级上·重庆·期末）在中，，，作图痕迹如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
变式4．（24-25八年级上·福建·期末）如图，在中，是的一条角平分线，，，则 ．
考点2.利用角平分线的性质求长度
【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，是中的角平分线，于点E，，则长是（ ）．
A．3 B．4 C．6 D．5
变式2．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在中，，平分，，则点D到的距离是 ．
变式3．如图，在中，，，平分，于点E，则的周长为 ．
考点3.利用角平分线的性质求面积
例1.（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25八年级下·广东·期中）如图，是的平分线，点A是上一点，作线段的垂直平分线交于点，过点作交于点，连接，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
变式3．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）如图，在中，平分交于点，若，则的面积为 ．
变式4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，且，平分，交于点，过点作，垂足为，连接，且．若，，的面积是，则的面积是 ．
考点4.角平分线的实际应用
例1.（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
变式1.（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点
C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点
变式2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，地块中，边，．
(1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹；(2)若地块的面积为，求地块的面积．
考点5.尺规作角平分线
例1．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）尺规作图：如图，某快递公司要在区域修建一个快递中转站．要满足中转站到两个城镇的距离必须相等，到两条高速公路的距离也必须相等，中转站应修建在什么位置？在图上标出中转站的位置．（保留必要的作图痕迹）
变式1．（2025·河南开封·一模）如图，下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线是的平分线的为（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①②③
变式2．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在农田中，农户计划在田埂上安装一个灌溉水泵以提高灌溉效率，现要求灌溉水泵到田埂和田埂的距离相等，请利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
变式3．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）国庆期间小红外出游玩时看到了鲜花拼成的“7”字样以及“7”内部的两个花坛、，将其抽象为数学图形如图所示），请用尺规作图帮助小红找一处观赏位置，满足观赏点到和的距离相等，并且观赏点到点、的距离也相等．（保留作图痕迹）
变式4．如图，已知四边形，点E在边上，且．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使与面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）
考点6.利用角平分线的性质求最值
例1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、大于为长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，若，P为上一动点，则的最小值为（ ）．
A．1 B． C．2 D．4
变式1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，点在的平分线上，于点，，点是射线上的一个动点，线段长度的最小值为，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（25-26八年级上·甘肃武威·开学考试）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ．
考点7.角平分线的第二定理
例1.（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，是一条角平分线．
(1)【探究发现】如图1所示，若是的角平分线．可得到结论：．
小红的解法如下：过点作于点，于点，过点作于点，
∵是的角平分线，且，，∴________．（________）
∴________，又∵，∴．
(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．
求证：．
(3)【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是________．
变式1.（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线交于点，并将分为三个三角形，则的比值为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（24-25八年级上·广东珠海·期末）某数学兴趣小组进行如下探究：如图1，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即．继续探究，如图2，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即①________，②________．
(1)【证明结论】①根据“发现”，完成填空：________=________；
②请选择“发现”中的一组线段比进行证明．
(2)【应用结论】如图3，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接．①求证：垂直平分；②在图中画出边上的高（只需体现的位置），并求．
变式3.（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，是一条角平分线．
【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：．
小艳的解法如下：过点作于点，于点，过点作于点，
∵是的角平分线，且，，∴______
∴______又∵，∴______
【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：．
【拓展应用】如图3，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是______
考点8.与角平分线有关的内角问题
例1.（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ）
A． B． C． D．
变式1．（25-26八年级上·广东·课后作业）如图，在中，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．如图，已知中，，BD平分，AD平分外角，则 度．
变式3．如图，四边形中，对角线平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点9.角平分线与垂直平分线结合问题
例1.（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于.(1)求证：.(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；(3)若，，则________.
变式1.（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接，，平分，则线段之间的等量关系是 ．
变式2.（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图， 中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点 ， 于点． 若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
变式3.（24-25八年级上·江苏·期末）如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．(1)求证：．(2)求证：．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图，某小区有一块三角形绿地，现在需要在绿地上建一个凉亭M，使它到三边的距离相等．下列方案能满足项目要求的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图．在中，平分交于点D．，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·广东汕头·培优）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，于点E，若，，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，已知，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，若是上一点，过点作的平行线交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，平分，于点，连接．若的面积为，求的面积（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图所示，的三边、、长分别为30、40、50，其三条角平分线交于点O，则（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③若，则；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ．
12．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，平分，于点D，点E是射线上的一个动点，若，则的最小值是 ．
13．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，，平分交于点D，若，，则点D到的距离为 ．
14．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 ．
15．（24-25八年级下·四川成都·开学考试）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ．
16．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，角平分线、相交于，，，，则 （用含、的式子表示）
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道，之间（即内部）的开阔地修建一所红十字救助站，使其到景观道，的距离相等，同时到两个休息亭的距离也相等，试确定救助站的位置．
18．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为E，的面积为，，．求的长．
19．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，AD是角平分线，，，．
(1)求的度数．(2)若，求点D到AB的距离．
20．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点．(1)若，，求的度数；
(2)求证：点到三边所在直线的距离相等．
21．如图1是一个平分角的仪器，其中，．
(1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．试证明仪器画出的是的平分线．(2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是18，求的长．
22．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接．
(1)求证：平分；(2)若，且，求的面积．
23．阅读下面材料：
三角形的内心
定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．
我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点．
如图①，已知，，是的三条内角平分线．求证：，，交于一点．
证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，．
∵点是的平分线上一点，∴（依据1）．
同理．∴．
∵是的平分线，∴点在上（依据2）．∴，，交于一点．
请解答问题：(1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？
(2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________．
(3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积．
24．（24-25八年级上·江西赣州·期末）综合与实践
【问题提出】如图，在中，是它的角平分线．对于这一图形，某数学兴趣小组进行了如下探究：分别过点作于，于，运用角平分线的性质可证
得．完成这一证明后，提出一个新的问题：与有什么数量关系呢？
【特例感知】（）如图，若时，______（填“”“”或“”）；
【深入探究】（）如图，当时，（）中的结论还成立吗，写出你的猜想并给予证明；
【结论应用】（）如图，是上的点，连接，若，，，求证：是等腰三角形；（）如图，是的角平分线，且与相交于，若，，直接写出的值是______．
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