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专题1.8 三角形中的九类倒角模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 模型1：双角平分线模型-双内角模型 2
模型2：双角平分线模型-内外角模型 6
模型3：双角平分线模型-双外角模型 9
模型4：角平分线第二定理模型 12
模型5：燕尾模型与风筝模型 16
模型6：8字模型与A字模型 21
模型7：高分线模型 24
模型8：同双垂直模型 28
模型9：子母型双垂直模型（射影模型） 30
模块3：培优训练 33
1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和是 。
2．三角形的外角性质
①三角形的一个外角等于和它 的两个内角的和；②三角形的一个外角 和它不相邻的任何一个内角；③三角形的外角和为360°。
3. 三角形角平分线：如图，三角形的一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 是三角形的角平分线。性质：若AD是三角形的角平分线∠1 ∠2。
4.三角形高线：如图，从三角形的顶点向它的对边所在的直线作 ， 与 之间的线段是三角形的高线。 性质：BD是△ABC的高BD AC。
模型1：双角平分线模型-双内角模型
例1．（24-25·江苏·八年级统考期末）如图，在中，，的平分线相交于点I．若，，则的度数是 ．
变式1．（24-25·河南郑州·七年级校考期末）如图，已知在中，．
(1)分别作，的平分线，它们交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)当时，的度数为 ．(3)当时，的度数为 ．
变式2．（24-25八年级·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探例3．（24-25八年级上·广东韶关·期中）小亮学习了“多边形及其内角和”后，对几何学习产生了浓厚的兴趣，三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系．
【探究发现】(1)如图①，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系．并说明理由．
【拓展延伸】(2)如图②，在四边形中，分别平分和，请你探究与之间的数量关系，并说明理由．
【类比迁移】(3)若将（2）中的四边形改为六边形，如图③，请你探究与之间的数量关系，并说明理由．
变式3．（24-25八年级·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系；
【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______；
【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______；
【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______；
【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______．
模型2：双角平分线模型-内外角模型
例1．（24-25·河北·八年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
变式1．（24-25·浙江·八年级期中）如图，平分，点是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：
①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；
③作射线，交于点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ．
变式3．（24-25·浙江·七年级专题练习）∠ACD是△的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点An． 设∠A＝．则＝ ，∠A2021＝ ．
模型3：双角平分线模型-双外角模型
例1．（24-25·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图（1），，是的外角，的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的平分线交于点E．(1)若，则 度；(2)若，求∠E的度数；(3)在图（1）的条件下，沿作射线，连接，如图（2）．求证：平分．
变式1．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，的两个外角的平分线交于点P．若，则 ．
变式2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，，分别平分的内角、外角、外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 ．（填序号）
变式3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）小明完成了下面的探究过程，请你也探究一下，看看你的结论是否跟他一样．(1)探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度：(2)探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由．
(3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设．
①直接写出与的数量关系；②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）．
模型4：角平分线第二定理模型
例1.（2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
(1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：．
小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，
∵是的角平分线，且，，∴ ．
∵，，∴；
(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：；
变式1.（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）
A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7
变式2.（24-25·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D．
(1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______．
变式3.（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例．
如图1，中，是角平分线，则．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成．
已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点F．求证：．
(1)尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点F，在射线上截取，连接（不写作法保留作图痕迹）
(2)证明：
是的角平分线， ______①， ；______② ，___③ 是的角平分线______ ④ ；，
结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边______ ⑤．
模型5：燕尾模型与风筝模型
例1.（24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即．
【探究推理】方法一：如图②，连结．
∵在中，，∴．
又∵在中，，∴，
∴，∴．即．
方法二：如图③，连结并延长至F．∵与分别为和的外角，…
（1）“方法一”主要依据的数学定理是 ；（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程．
【迁移应用】（3）如图④， ；（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度．
变式1.（24-25·湖北·七年级校考期中）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，．
“智慧小组”通过互学证明了这个结论：
方法一：如图2，连接，则在中，，即，
又：在中，，∴，即．
“创新小组”想出了另外一种方法
方法二：如图3，连接并延长至F，
∵和分别是和的一个外角，…………
任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______；
(2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．
变式2.（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ．
变式3.（24-25山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理．
（1）【定理证明】
已知：如图①，求证：．
（2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点．
（3）若，，则_______．（4）若，则_______．
【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点．
（5）若，，则_________．
（6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________．
（7）分别作和平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．
变式4.（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）【原题再现】课本有这样一道题：如图1，将纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置．试探索与之间的数量关系，并说明理由．
小明提出一种正确的解题思路：连接，则、分别为、的外角，……
请你按照小明的思路解决上述问题．
【变式探究】如图2，若将原题中“点A落在四边形内点的位置”变为“点A落在四边形外点的位置”，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由．
【结论运用】将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数．
模型6：8字模型与A字模型
例1.（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：；
(2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，．①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______；
②若，，求的度数（用含，的代数式表示）；
(3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围．
变式1.（2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．无法比较和的大小
变式2.（24-25八年级上·广东惠州·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式3.（24-25七年级下·广东·期末）如图，的度数（ ）
A． B． C． D．
变式4.（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于___________
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由．
模型7：高分线模型
例1．（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，中，，平分，若，，则（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25八年级上·重庆·期中）已知：如图①所示，在中，为的高，为平分线交于点E，．(1)求的度数；(2)与之间有何数量关系？(3)若将题中的条件“”改为“”（如图②），其他条件不变，则与之间又有何数量关系？请说明理由．
变式2．（24-25八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点．(1)如图①，于点，若，求的度数；
(2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．
变式3．（24-25·河南新乡·七年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．(1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点．
①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数；
②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数；
(2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由；
(3)【拓展应用】如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．
模型8：同双垂直模型
例1．（2025·陕西·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，是它的两条高，直线交于点F， ．
变式2．（24-25·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
变式3．（2024·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ．
模型9：子母型双垂直模型（射影模型）
例1．（24-25·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．
变式1．（24-25·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，于D，求证：．
变式2．（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度数；(2)试说明：．
变式3．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．
(1)求证：
证明：∵在中，（已知）
∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换），
∵（___________），∴，∴．
(2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：；
(3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，．
①___________；（用含m的代数式表示）
②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示）
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1.（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2.（24-25七年级下·成都·校考期中）如图，与相交于点O，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3.（24-25八年级下·广西桂林·期中）有一张直角三角形纸片，记作，其中， 按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形 中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4.（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，那么等于( )
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线和的外角平分线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25江苏·七年级专题练习）如图，在中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，于点平分交于点．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8.（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）．
A． B． C． D．
9．（24-25·浙江八年级专题练习）如图，的角平分线、、交于点，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．三条高的比为
10．（24-25八年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③；④点在的角平分线上；⑤一定成立的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．多于3
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11.（24-25七年级下·成都·随堂练习）如图，在中，，的平分线相交于点I．若，，则的度数是 ．
12.（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，是一个缺角的三角板模型，现要知道的大小.数学活动课上，小李没有采用先直接量得和的度数，再求得的度数，而是分别画出的角平分线与的外角平分线相交于点，测得，请告知 °.
13．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点D，连接，则的度数为 ．
14．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则 ．
15．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是 ．
16．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，是它的两条高，直线交于点F， ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级上·云南西双版纳·阶段练习）在中，已知，是上的高，是上的高，H是和的交点，求的度数．
18．（24-25广东·八年级校考期末）（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系： ；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 个；（3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数；（4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．
19.（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动．
独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 ，请说明理由；
深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由；
结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，．的度数为 ；
20.（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）实验探究：
（1）动手操作：①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，且，已知，则 ；
②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，已知，那么 ；
（2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由；
（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：
①如图4，平分，平分，若，，求的度数；
②如图5，，的10等分线相交于点、、…、，若，，则的度数为 .
21．（24-25·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．(1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：______，结论：______．（填序号） 证明：
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示）
22．（2025·山西临汾·二模）阅读与思考 在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程：
角平分线分线段成比例定理 内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则． 下面是小宇对这个定理的证明过程．证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．则，且（依据1），又平分，（依据2），．
任务：(1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______；
(2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程；
(3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______．
23．（23-24八年级上·福建莆田·期中）阅读下面的材料，并解决问题．
(1)已知在中，，图的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．如图1， ；如图2， ；如图3， ；
如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ．
(2)如图5，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数．
24.（24-25八年级·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究：
如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E．
小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想．
(1)请补全下表：
……
……
______ ______ ……
(2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明；
(3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______．
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专题1.8 三角形中的九类倒角模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 模型1：双角平分线模型-双内角模型 2
模型2：双角平分线模型-内外角模型 6
模型3：双角平分线模型-双外角模型 9
模型4：角平分线第二定理模型 12
模型5：燕尾模型与风筝模型 16
模型6：8字模型与A字模型 21
模型7：高分线模型 24
模型8：同双垂直模型 28
模型9：子母型双垂直模型（射影模型） 30
模块3：培优训练 33
1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和是 180° 。
2．三角形的外角性质
①三角形的一个外角等于和它 不相邻 的两个内角的和；②三角形的一个外角 大于 和它不相邻的任何一个内角；③三角形的外角和为360°。
3. 三角形角平分线：如图，三角形的一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 线段 是三角形的角平分线。性质：若AD是三角形的角平分线∠1 = ∠2。
4.三角形高线：如图，从三角形的顶点向它的对边所在的直线作 垂线 ， 顶点 与 垂足 之间的线段是三角形的高线。 性质：BD是△ABC的高BD ⊥ AC。
模型1：双角平分线模型-双内角模型
例1．（24-25·江苏·八年级统考期末）如图，在中，，的平分线相交于点I．若，，则的度数是 ．
【答案】
【详解】解：∵，的平分线相交于点I，，，
∴，，
∴．故答案为：
变式1．（24-25·河南郑州·七年级校考期末）如图，已知在中，．
(1)分别作，的平分线，它们交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)当时，的度数为 ．(3)当时，的度数为 ．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2），平分，平分，
，
．故答案为：；
（3），平分，平分，
，
．故答案为：．
变式2．（24-25八年级·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探例3．（24-25八年级上·广东韶关·期中）小亮学习了“多边形及其内角和”后，对几何学习产生了浓厚的兴趣，三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系．
【探究发现】(1)如图①，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系．并说明理由．
【拓展延伸】(2)如图②，在四边形中，分别平分和，请你探究与之间的数量关系，并说明理由．
【类比迁移】(3)若将（2）中的四边形改为六边形，如图③，请你探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)．理由见解析 (2)．理由见解析
(3)．理由见解析
【详解】（1）解：．理由如下：
、分别平分和，，
，
即；
（2）解：．理由如下：
、分别平分和，
，，，
，，即；
（3）解：．理由如下：六边形的内角和为：，
、分别平分和，，
，，，
，
即．
变式3．（24-25八年级·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系；
【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______；
【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______；
【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______；
【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______．
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105
【详解】解：（1）∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴
．
（2）∵、是的三等分线，、是的三等分线，
∴，，
∴
．故答案为：
（3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线，
∴，，
∴
．故答案为：
（4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，∴，，，，
∴
，
，
∴．
故答案为：
（5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，
∴，，，，
∴
，
，
∴，
∵∴，∴，
同理可得．故答案为：105
模型2：双角平分线模型-内外角模型
例1．（24-25·河北·八年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析
【详解】（1）解：如图2，是等边三角形，，，
平分，平分．，，
，；
如图3，是等腰三角形，，，，
平分，平分．，，
，；故答案为，，；
（2）解：成立，如图1，在中，，
在中，，（1）
平分，平分，，，
又，，（2）
由（1）（2），，．
变式1．（24-25·浙江·八年级期中）如图，平分，点是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：
①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；
③作射线，交于点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由作法得平分，∴，
∵平分，∴，
∵，∴．故选B．
变式2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ．
【答案】①②③
【详解】解：为外角的角平分线，平分，，，
又是的外角，，故①正确；
，分别平分，，∴，
则，∴，故②是正确的．连接，如图所示：
，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点，
∴点在的角平分线上，故③是正确的．
∵，平分， ∴
平分， ∴∴故④是错误的，
∵，分别平分，，∴点到的距离点到的距离点到的距离，
∴，
故⑤是错误的，故答案为：①②③．
变式3．（24-25·浙江·七年级专题练习）∠ACD是△的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点An． 设∠A＝．则＝ ，∠A2021＝ ．
【答案】
【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1∴∠A1=∠A，
∵∠A=，∴∠A1=，同理可得：∠An=，∴∠A2021=，故答案为：，．
模型3：双角平分线模型-双外角模型
例1．（24-25·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图（1），，是的外角，的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的平分线交于点E．(1)若，则 度；(2)若，求∠E的度数；(3)在图（1）的条件下，沿作射线，连接，如图（2）．求证：平分．
【答案】(1)(2)(3)见解析
【详解】（1）解：∵平分，平分，∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴；故答案为：
（2）∵平分，平分，∴，，
∴，∴，
∵，∵，∴，∴；
（3） 如图2，过点D作于点H，于点K，于点I，
∵平分，平分，∴，，∴，
∵于点K，于点I，∴平分．
变式1．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，的两个外角的平分线交于点P．若，则 ．
【答案】/52度
【详解】解：根据题意得：，
，，，
即，,故答案为：．
变式2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，，分别平分的内角、外角、外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②③④
【详解】解：①平分，，，，
，，，故①正确，
②，，平分，，
，故②正确；
③，，，
，，，
，，，故③正确；
④平分，，，，，
平分，，，，
，，
，，故④正确；
⑤由④得，，，，
，故⑤不正确．故答案为：①②③④．
变式3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）小明完成了下面的探究过程，请你也探究一下，看看你的结论是否跟他一样．(1)探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度：(2)探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由．
(3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设．
①直接写出与的数量关系；②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）．
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)①；②当时，则是钝角三角形；当时，则是直角三角形；当时，则是锐角三角形.
【详解】（1）∵，∴.
∵是的内角与的平分线和的交点，
∴，∴
∵，∴.故答案为：
（2）.理由：∵是的外角与外角的平分线和的交点，
∴在中，.
（3）如图，①，延长交于点Q，
由（2）可知，，∴，
∴.∴.
②当时，则，则是钝角三角形;
当时，则，则是直角三角形;
当时，则，
∵是四边形的外角与的平分线和的交点，
∴∴是锐角三角形.
模型4：角平分线第二定理模型
例1.（2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
(1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：．
小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，
∵是的角平分线，且，，∴ ．
∵，，∴；
(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：；
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）解：∵是的角平分线，且，，∴，故答案为：；
（2）证明：过点D作于N，于M．过点A作于点P．
∵是的角平分线，∴．
∴，，∴；
变式1.（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）
A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7
【答案】D
【详解】解∶过点O作于D，于E，于F，点O是内心，．
故选：D．
变式2.（24-25·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D．
(1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2
【详解】（1）作，作DHAB垂足分别为F，H
∵BD是的角平分线． ∴DF=DH 则有：= =
（2）作BECA垂足为E；则有： = = ∴=
（3）由（2）知，= BC=4，AB=6，AC=5，
故答案为：2
变式3.（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例．
如图1，中，是角平分线，则．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成．
已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点F．求证：．
(1)尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点F，在射线上截取，连接（不写作法保留作图痕迹）
(2)证明：
是的角平分线， ______①， ；______② ，___③ 是的角平分线______ ④ ；，
结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边______ ⑤．
【答案】(1)见解析(2)；；；；成比例
【详解】（1）解：所作图形，如图所示，
（2）证明：是的角平分线，
，，，
，，是的角平分线，，
，，．
∴三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例．
故答案为：；；；；成比例．
模型5：燕尾模型与风筝模型
例1.（24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即．
【探究推理】方法一：如图②，连结．
∵在中，，∴．
又∵在中，，∴，
∴，∴．即．
方法二：如图③，连结并延长至F．∵与分别为和的外角，…
（1）“方法一”主要依据的数学定理是 ；（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程．
【迁移应用】（3）如图④， ；（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度．
【答案】（1）三角形的内角和等于 ；（2）推理过程见解析；（3）；（4）减少，10
【详解】解：（1）三角形的内角和等于 ，故答案为：三角形的内角和等于；
（2）∵，∴，
∵，∴；
（3）如图，延长交于点F，∵，
∴，故答案为：；
（4）延长，交于点G，如图：∵，∴．
∵，∴．
∵，∴，∴．
而图中，∴应减少．故答案为：减少，10．
变式1.（24-25·湖北·七年级校考期中）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，．
“智慧小组”通过互学证明了这个结论：
方法一：如图2，连接，则在中，，即，
又：在中，，∴，即．
“创新小组”想出了另外一种方法
方法二：如图3，连接并延长至F，
∵和分别是和的一个外角，…………
任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______；
(2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．
【答案】(1)三角形的内角和定理（或三角形的内角和是180度） (2)见解析
【详解】（1）故答案为：三角形的内角和定理（或三角形的内角和是180度）
（2）证明：如图3，连接并延长至F，
∵和分别是和的一个外角，∴，，
∴，即．
变式2.（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ．
【答案】/125度
【详解】解：连接，∵是的一个外角，是的一个外角，
∴，∵，
∴，
∴．故答案为：．
变式3.（24-25山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理．
（1）【定理证明】
已知：如图①，求证：．
（2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点．
（3）若，，则_______．（4）若，则_______．
【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点．
（5）若，，则_________．
（6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________．
（7）分别作和平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），理由见解析
【详解】（1）证明：如图，过点作，∵，，，
，．
（2），，．故答案为：．
（3），，，；答案：；
（4），，，
，，
．故答案为：．
（5）如图，连接，，，
，
，，
．故答案为：．
（6）如图，过点作，则，
由（1）知，，，
，，，，
、分别是和，，
，．故答案为：．
（7），理由如下：由（1）知，，，、分别为和的角平分线，
，，
，，
，即．
变式4.（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）【原题再现】课本有这样一道题：如图1，将纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置．试探索与之间的数量关系，并说明理由．
小明提出一种正确的解题思路：连接，则、分别为、的外角，……
请你按照小明的思路解决上述问题．
【变式探究】如图2，若将原题中“点A落在四边形内点的位置”变为“点A落在四边形外点的位置”，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由．
【结论运用】将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数．
【答案】[原题再现] ，理由见解析；[变式探究] ，理由见解析；[结论运用]
【详解】解：[原题再现]图1中，结论：，理由是：连接．
沿折叠和重合，，
，，
[变式探究]如图2，结论：．
理由：设交于．，，
，．
[结论运用]如图3中，延长交的延长线于．
由上面结论可知：，，，，．
模型6：8字模型与A字模型
例1.（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：；
(2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，．
①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______；
②若，，求的度数（用含，的代数式表示）；
(3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)①，；②
(3)
【详解】（1）证明：，，；
（2）①，，；
，，；
故答案为：，；
②如图所示：和的平分线和相交于点，，，
由(1)得，，，．，，；
（3）解：，理由如下：与分别平分与，
，，
和的平分线和相交于点，，，
，，
，，
，，，
四边形，，
，，
，，，
，，．
变式1.（2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．无法比较和的大小
【答案】A
【详解】解：∵，，∴，即，
故选：．
变式2.（24-25八年级上·广东惠州·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，∵，∴，
∵，∴，∴，故选：B．
变式3.（24-25七年级下·广东·期末）如图，的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，∵，
又∵，∴．故选：A．
变式4.（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于___________
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由．
【答案】（1）C；（2）220°；（3）∠1+∠2=180°+∠A；（4）∠1+∠2=2∠A，证明见解析
【详解】解：（1）∵△ABC为直角三角形，∠C=90°，∴∠B+∠A=180°-90°=90°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠A）=270°．故选：C；
（2）∵△ABC中，∠A=40°，∴∠B+∠C=180°-40°=140°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=220°．故答案是：220°；
（3）∵△ABC中，∠B+∠C=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A．故答案是：∠1+∠2=180°+∠A；
（4）∠1+∠2=2∠A，理由如下：如图：
∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，
∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF，∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF），
又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．
模型7：高分线模型
例1．（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，中，，平分，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵中，，∴设，那么，∴，
∵平分，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴．故选：B．
变式1．（24-25八年级上·重庆·期中）已知：如图①所示，在中，为的高，为平分线交于点E，．(1)求的度数；(2)与之间有何数量关系？(3)若将题中的条件“”改为“”（如图②），其他条件不变，则与之间又有何数量关系？请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)，理由见解析
【详解】（1）解：∵，，∴
又∵为的平分线，∴
∵为的高，∴，，∴；
（2）解：由图知；
（3）解： 理由如下：由三角形内角和知，
∵为的平分线，∴
∵为的高，∴
又∵，∴
∴．
变式2．（24-25八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点．(1)如图①，于点，若，求的度数；
(2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．
【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析
【详解】（1）解：∵在中，，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∴，
当时，；
（2）由（1）可知，，∴当时，∴；
（3）∵，而，∴，
∵，，∴，∴；
（4）的度数大小不发生改变．理由如下：
∵，，∴，∴．
变式3．（24-25·河南新乡·七年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．(1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点．
①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数；
②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数；
(2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由；
(3)【拓展应用】如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．
【答案】(1)①；②(2)不变，理由见解析
(3)对于图3；对于图4
【详解】（1）解：①如图所示：
在中，，，，
是的平分线，，
是的一个外角，，
用三角尺作边上的高，垂足为点，；
②如图所示:是的一个外角，，
，；
（2）解：不变，理由如下：
由（1）可知，，是的一个外角，
，，；
（3）解：如图所示：在中，，，，
是的平分线，，
是的一个外角，，
，；如图所示：
在中，，，，
是的平分线，，
，
，；
综上所述，对于图3；对于图4．
模型8：同双垂直模型
例1．（2025·陕西·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵是边上的高，∴，∵，∴，
∵是边上的高，∴，∴，故选：A．
变式1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，是它的两条高，直线交于点F， ．
【答案】或
【详解】解：当为锐角三角形时，如图，
∵，是它的两条高，∴；
当为钝角三角形时，如图，∵，是它的高，∴，
∵是的高，∴，综上所述：或，故答案为：或．
变式2．（24-25·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，∴，∴．故选B．
变式3．（2024·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，∴，
∴，，∴，
在与中，， ∴，∴，
∵，∴的面积，故答案为：．
模型9：子母型双垂直模型（射影模型）
例1．（24-25·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．
【答案】50或25/25或50
【详解】解：∵，∴
∵平分 ∴；当为直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1，∵，∴；
②当时，如图2，∴，
∵，∴，
综上，的度数为或．故答案为：50或25．
变式1．（24-25·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，于D，求证：．
【答案】见解析
【详解】证：∵，∴
又∵，∴
又∵，∴∴
变式2．（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度数；(2)试说明：．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）解：，，，
平分交于，，；
（2）证明：，，
，，，
平分交于，，，，．
变式3．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．
(1)求证：
证明：∵在中，（已知）
∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换），
∵（___________），∴，∴．
(2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：；
(3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，．
①___________；（用含m的代数式表示）
②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示）
【答案】(1)直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；(2)见解析；(3)①；②．
【详解】（1）证明：∵在中，（已知），
∴（直角三角形两锐角互余），
又∵（已知），∴（等量代换），
∵（三角形内角和定理），∴，∴．
故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；
（2）证明：∵平分，∴，
∵，∴，，∴，
又∵，∴；
（3）解：①∵，∴，
∵，∴，∴，故答案为：；
②连接，设，则，∵，∴，
∵，∴，
∵，∴解得：，
∴四边形的面积，故答案为：．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1.（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图：由折叠的性质可知：，
根据外角的性质可知：，∴，
∴，故选：C．
2.（24-25七年级下·成都·校考期中）如图，与相交于点O，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、对顶角相等可得，A说法正确，不符合题意；
B、，，说法正确，不符合题意；
C、与是对顶角，，不能得出，说法错误，符合题意；
D、，，，，
，说法正确，不符合题意；故选：C．
3.（24-25八年级下·广西桂林·期中）有一张直角三角形纸片，记作，其中， 按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形 中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，∵，∴，故选：．
4.（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，那么等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示 ∵∴，
∵∴故选：C．
5．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线和的外角平分线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，的角平分线和的外角平分线交于点，
，，
，，，
是的外角，，，
即，解得：．故选：．
6．（24-25江苏·七年级专题练习）如图，在中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得：
解得故选：A．
7．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，于点平分交于点．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC=×100°=50°，
∵∠C=25°，∴∠AED=∠C+∠EAC=25°+50°=75°，
∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°，∴∠DAE=90°-75°=15°，故选：A．
8.（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据折叠可知，
即．∵，
∴，即，∴．故选：B．
9．（24-25·浙江八年级专题练习）如图，的角平分线、、交于点，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．三条高的比为
【答案】B
【详解】解：∵的角平分线、、交于点，
∴点到三角形三边的距离相等，设点到三角形三边的距离为x
；
故选：B
10．（24-25八年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③；④点在的角平分线上；⑤一定成立的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．多于3
【答案】C
【详解】解：为外角的角平分线，平分，，，
又是的外角，，故①正确；
，分别平分，，∴，
则，∴，故②是正确的．连接，如图所示：
，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点，
∴点在的角平分线上，故④是正确的．
∵题干提供的信息都是角的条件，且三点共线，无法通过等角对等角得出，
故③是错误的．∵，
平分， ∴
平分， ∴∴故⑤是错误的．故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11.（24-25七年级下·成都·随堂练习）如图，在中，，的平分线相交于点I．若，，则的度数是 ．
【答案】
【详解】解：∵，的平分线相交于点I，，，
∴，，
∴．故答案为：
12.（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，是一个缺角的三角板模型，现要知道的大小.数学活动课上，小李没有采用先直接量得和的度数，再求得的度数，而是分别画出的角平分线与的外角平分线相交于点，测得，请告知 °.
【答案】
【详解】解：∵的角平分线与的外角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∵，∴，
∴，∴，故答案为：；
13．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点D，连接，则的度数为 ．
【答案】/52度
【详解】解：作，垂足分别为点，
平分，，，
平分，，，，平分，
，，，，
，，
，故答案为：
14．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则 ．
【答案】
【详解】解：，，，
是的角平分线，，
是的高线，，
．故答案为：．
15．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是 ．
【答案】/42度
【详解】解：如图，连接，
∵线段、的垂直平分线交于点，∴，∴，
∴，∴，即，
∵，∴，
∵，，，∴，
∴，故答案为：．
16．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，是它的两条高，直线交于点F， ．
【答案】或
【详解】解：当为锐角三角形时，如图，
∵，是它的两条高，∴；
当为钝角三角形时，如图，
∵，是它的高，∴，
∵是的高，∴，
综上所述：或，故答案为：或．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级上·云南西双版纳·阶段练习）在中，已知，是上的高，是上的高，H是和的交点，求的度数．
【答案】
【详解】解：∵，∴．
又∵是边上的高，是边上的高，∴，
∴．
又∵是的一个外角，∴．
18．（24-25广东·八年级校考期末）（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系： ；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 个；
（3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数；
（4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】解：（1）结论为：，理由如下：∵，
又∵，∴；故答案为：
（2）交点有点、、，以为交点有1个，为与，
以为交点有4个，为与，与，与，与，
以为交点有1个，为与，综上所述，“8字形”图形共有6个；故答案为：
（3）由（1）可知：，，
∵和的平分线和相交于点，∴，，
得：，∴，
又∵，，∴，∴；
（4）关系：，由（1）可知：，，
∴，，
∵、分别是和的角平分线，∴，
∴，即，
∴，整理得，．
19.（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动．
独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 ，请说明理由；
深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由；
结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，．的度数为 ；
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）；
【详解】解：（1），理由如下：连接，如图①，
将三角形纸片沿折叠，点落在四边形内点的位置，．
，，，
即；故答案为：；
（2），理由如下：设与交于点，如图②，
，，，；
（3）延长交的延长线于，由（2）中结论可知，如图③，
，．，．故答案为：；
20.（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）实验探究：
（1）动手操作：①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，且，已知，则 ；
②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，已知，那么 ；
（2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由；
（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：
①如图4，平分，平分，若，，求的度数；
②如图5，，的10等分线相交于点、、…、，若，，则的度数为 .
【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）①；②
【详解】解：（1）①∵，∴，
∵，∴，∴，故答案为：；
②∵，∴，
∴，故答案为：；
（2），理由如下：如图3，过点D作射线．
根据三角形外角的性质，可得，，
又∵，，∴；
（3）①如图4，由（2）可得，
∵，，∴，
∵平分，平分，∴，
∴
∵，∴；
③如图5，设，，则，，
∵，∴，，解得，
∴，即的度数为．
21．（24-25·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．(1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：______，结论：______．（填序号） 证明：
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)①②；③；见解答(2)
【详解】（1）条件：①②，结论：③，
证明：∵是的角平分线，∴，
∵，∴，
∵，
∴，∴是的高．
条件：①③，结论：②，
证明：∵是的高，∴，∴，
∵，，，
∴， ∴是的角平分线；
条件：②③，结论：①，
证明：∵是的角平分线，∴，
∵是的高，∴，
∴，
∵，，
∴； 故答案为：①②；③；
证明：见解答；
（2）∵，∴，∵是的角平分线，∴，
∵，∴．
22．（2025·山西临汾·二模）阅读与思考 在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程：
角平分线分线段成比例定理 内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则．下面是小宇对这个定理的证明过程．证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．则，且（依据1），又平分，（依据2），．
任务：(1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______；
(2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程；
(3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______．
【答案】(1)平行线分线段成比例定理，等角对等边(2)见解析(3)
【详解】（1）解：方法1中的依据1是：平行线分线段成比例；依据2指的是：等角对等边；
故答案为：平行线分线段成比例；等角对等边；
（2）证明：过点A作于点H，过D点作于点E，作于点F，
∴，∵平分，∴，∴，∴．
（3）解：∵中，是角平分线，∴
∵，∴，∴．
23．（23-24八年级上·福建莆田·期中）阅读下面的材料，并解决问题．
(1)已知在中，，图的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．如图1， ；如图2， ；如图3， ；
如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ．
(2)如图5，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数．
【答案】(1)，，，；(2)
【详解】（1）解：如图1，∵平分，平分∴，
∴∴；
如图2，∵平分，平分∴，
∵∴
∵∴；
如图3，∵平分，平分∴，
∴
∴；
如图4，∵，的三等分线交于点， ∴，
∵平分，平分，平分
∴
∴ ∴；
（2）证明：如图5∵，，∴
∵的三等分线分别与的平分线交于点，，
∴，，∴
∴∴．
24.（24-25八年级·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究：
如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E．
小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想．
(1)请补全下表：
……
……
______ ______ ……
(2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明；
(3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______．
【答案】(1)见解析(2)，证明见（1）(3)
【详解】（1）解：∵，∴，∴，
∵，的平分线交边于点D，
∴，
∴，
当时， ；
当时， ；
填表如下：
……
……
……
（2）解：由（1）可得，
∵，，∴；
（3）解：由（1）可得，
∵，∴，∴；
由线段垂直平分线的性质可得，∴，
∵，的平分线交边于点D，
∴，∴．
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