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三角形（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·湛江月考）如图，是我们七上学过的利用尺规“作一个角等于已知角”的过程，爱思考的小明一直不知道这样作出的角和已知角为何相等，在学习了三角形全等的证明之后，终于解开了谜团，原来只要证明，就能得出，那么小明证明的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·涪城月考）如图，在中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．1 D．2
3．（2024八上·播州期末）如图，在中，是高，平分，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·湖州期末）如图、相交于点，，若用“”证还需（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·嘉兴期末）如图，的面积为平分于点P，连结，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·柳州期末）如图，在中，画出边上的高（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·南湖月考）数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度可取（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·乐清期中）一幅三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022八上·台州月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021八上·铁锋期末）如图，已知在正方形中，厘米，，点E在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（ ）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·拱墅月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，DC=AD，BD平分∠ABC，求D到AB的距离等于 ．
12．（2024八上·余姚期中）如图，的周长为24，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是
13．（2024八上·娄底期末）如图，Rt△ABC中，∠C=100°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是 ．
14．（2024八上·舟山期末）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长 ．
15．（2023八上·义乌月考）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为 度．
16．（2023八上·应城期中）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＜60°，三条角平分线AD，BE，CF交于点O，OH⊥BC于点H．下列结论：①∠BOC＝120°，②∠DOH＝∠OCB－∠OBC，③OD平分∠BOC，④OE＝OF，其中正确的结论序号有 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·潮南月考） 已知， 中， ， 一直线过顶点 ， 过 分别作其垂线，垂足分别为 .
（1） 如图 1， 求证： ；
（2） 如图 2， 请直接写出 之间的数量关系 ；
（3） 在 (2) 的条件下， 若 ， 求 的面积.
18．（2022八上·北仑期中）已知，如图，点、、、在同一直线上，，，
（1）求证：≌；
（2）当，求的度数.
19．（2023八上·陇西期中）如图，在四边形ABCD中， ，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
20．（2023八上·仪陇月考）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F，
（1）求证：CF∥AB，
（2）求∠DFC的度数.
21．（2023八上·永城期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得.
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长.
22．（2023八上·涪城月考） 如图所示，已知于点，≌．
（1）若，，求的长．
（2）求证：．
23．（2025八上·慈溪期末）如图，在等腰锐角△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连结BE交CD于点F，设∠BCD=α。
（1）用含α的代数式表示∠A：
（2）若 CE=CF，求∠EBC 的度数；
（3）在（2）的条件下，若E为AC中点，AB=AC=2，求△ABC的面积。
24．（2024八上·天河期末）如图，已知为的角平分线，延长到，使得，连接，若，且．
（1）求证：平分；
（2）求的取值范围；
（3）若延长，相交于点，求的度数．
25．（2022八上·滨海期中）探究：
（1）如图1，在中，平分平分．求证：．
（2）如图2，在中，平分平分外角．猜想和有何数量关系，并证明你的结论．
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三角形（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·湛江月考）如图，是我们七上学过的利用尺规“作一个角等于已知角”的过程，爱思考的小明一直不知道这样作出的角和已知角为何相等，在学习了三角形全等的证明之后，终于解开了谜团，原来只要证明，就能得出，那么小明证明的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题可知，，，
所以证明的依据是"SSS"．
故选：A．
【分析】结合已知条件，根据全等三角形的判定定理SSS即可求解．
2．（2024八上·涪城月考）如图，在中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．1 D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
则，故C正确．
故选：C．
【分析】根据等角的余角相等得出，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证明与全等，根据全等三角形的对应边相等得到，即可求解.
3．（2024八上·播州期末）如图，在中，是高，平分，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=80°，
∴∠CAD=∠BAD=40°，
∵AF是高，
∴∠AFC=90°，
∴∠C+∠CAF=90°，
∵∠C= 60°，
∴∠CAF=30°，
∴∠DAF=∠CAD-∠CAF=40°-30°=10°.
故答案为：A.
【分析】在△AFC中，根据角平分线的定义求出∠CAD的度数，根据三角形内角和定理求出∠CAF的度数，再相减即可求出∠DAF的度数.
4．（2024八上·湖州期末）如图、相交于点，，若用“”证还需（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：因为用ASA证明 ，已知∠AOB=∠DOC，AO=DO，
所以还需要一组角对应相等，故可以排除AB.
C、∠A=∠D，此时可以用ASA证明 ，C符合题意；
D、 ，两个角为对顶角，一定相等，属于隐含的已知条件，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据题意利用ASA证明 ，已知一组边和一组角对应相等，还需要一组角对应相等，可以排除AB，再判断CD即可.
5．（2024八上·嘉兴期末）如图，的面积为平分于点P，连结，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图：
延长AP交BC于点D.
∵BP⊥AP，
∴∠BPD=∠BPA=90°
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBD=∠PBA，
又∵BP=BP，
∴△BPD≌△BPA（ASA），
∴PD=PA.
∴S△BPD=S△BPA，S△CPD=S△CPA，
∴S△BPC=S△BPD+S△CPD=S△BPA+S△CPA.
∴（cm2）.
故答案为：B.
【分析】根据BP平分∠ABC，BP⊥AP考虑延长AP构造全等三角形解决问题，由全等得到AP=DP，
于是根据等底同高可得S△BPD=S△BPA，S△CPD=S△CPA，进而得到S△BPC的面积是△ABC面积的一半，问题得到解决.
6．（2024八上·柳州期末）如图，在中，画出边上的高（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：
AC边上的高为：过点B作BD⊥AC于点D
故答案为：D
【分析】根据三角形边上的高的定义即可求出答案。
7．（2024八上·南湖月考）数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度可取（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得， 现有两根长度分别为和的木棒 ，
∴设第三根木棒的长度为x，
∴，
∴第三根木棒的长度可能取4，5，6.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边之间的关系，第三边大于其中两边之差小于两边之和即可求出答案.
8．（2024八上·乐清期中）一幅三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得，
，
.
故答案为：D.
【分析】由题意可得，利用三角形的内角和定理求得的度数.
9．（2022八上·台州月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，
∵2∠OBC+2∠OCB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A；
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+∠A=90°+∠A，故①正确；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，
∵∠AEF=∠EOB+∠EBO=2∠EBO
∴∠EBO=∠AEF，故②正确；
∵OD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DOC+∠OCB=90°，故③正确；
连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，
∵OB，OC是△ABC的角平分线，
∴OA平分∠BAC，
∴OG=OD=m
∴S，故④正确；
∴正确结论有4个.
故答案为：D.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，利用三角形的内角和定理可推出∠OBC+∠OCB=90°-∠A；再利用三角形的内角和定理可得到∠BOC和∠A的数量关系，可对①作出判断；利用平行线的性质去证明∠EOB=∠OBC=∠EBO，利用三角形的外角的性质可证得∠EBO和∠AEF的数量关系，可对②作出判断；利用垂直的定义可证得∠ODC=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠DOC+∠OCB=90°，可对③作出判断；易证OA平分∠BAC，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得OG=OD=m，然后三角形的面积公式表示出△AEF的面积，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
10．（2021八上·铁锋期末）如图，已知在正方形中，厘米，，点E在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（ ）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
【答案】D
【解析】【解答】解：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∴厘米，
∴运动时间（秒）；
②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，只要厘米，厘米即可．
∴点P，Q运动的时间（秒），
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，再利用全等三角形的性质求解即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·拱墅月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，DC=AD，BD平分∠ABC，求D到AB的距离等于 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
∵AC＝8cm，DC＝AD，∴DC＝AC＝ 2cm，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝2cm，
∴点D到AB的距离等于2cm，
故答案为：2cm.
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得CD=DH，即可求解.
12．（2024八上·余姚期中）如图，的周长为24，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是
【答案】18
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点D，垂足为E，，
∴，
∵的周长为24，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长公式得到，则的周长．
13．（2024八上·娄底期末）如图，Rt△ABC中，∠C=100°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是 ．
【答案】20°
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=100°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=50°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=20°，
故答案为20°.
【分析】根据内角和定理求得∠BAC=50°，由尺规作图得到MN为AB的中垂线，再根据中垂线的性质知DA= DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案.
14．（2024八上·舟山期末）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长 ．
【答案】19
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，，
∴
∵的周长为，
∴
的周长为：
故答案为：19.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到：然后根据题意得到：进而根据线段间的等量代换即可求解.
15．（2023八上·义乌月考）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为 度．
【答案】65
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
OD垂直平分AB，
AO=BO，
∠OAB=∠OBA.
AB=AC，∠BAC=50°，
∠ABC=∠ACB=65°.
OA平分∠BAC，
∠BAO=∠CAO=∠BAC=25°，
∠OBA=25°，
∠OBC=40°.
在△ABO和△ACO中AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO=AO，
△ABO≌△ACO（SAS），
BO=CO，
∠OBC=∠OCB=40°.
△EOF与△ECF关于EF对称，
OF=CF，∠OFE=∠CFE=∠OFC，
∠FCO=∠FOC=25°， ∴∠OFC=130°， ∴∠CFE=65°.
故答案为：65.
【分析】本题考查了三角形的折叠问题，在解题过程中我们先连接OB、OC，然后根据垂直平分线的性质和已知条件来进行解题，求得一部分角和边得关系去证全等，再用全等得到BO=CO，最后利用对称关系和三角形内角和知识来求解。
16．（2023八上·应城期中）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＜60°，三条角平分线AD，BE，CF交于点O，OH⊥BC于点H．下列结论：①∠BOC＝120°，②∠DOH＝∠OCB－∠OBC，③OD平分∠BOC，④OE＝OF，其中正确的结论序号有 ．
【答案】①②④
【解析】【解答】解：①∵，∴，∴.
∵，，
∴，故①正确；
②∵于H，∴，
∴，
∵，
∴，
∵，∴，故②正确；
③∵，，∴，∴，
∵，∴，，∴，
∵，∴，∴，故③错误；
④如图，过点O作于点M，于点N，
∵平分，∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∵，，∴.
∵，，∴，∴，故④正确.
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【分析】由得，即可求得，可判断①正确；
由，，可推导出，可判断②正确；
由，得，再由推导出，即可证明，可判断③错误；
过点O作于点M，于点N，证明，得出，可判断④正确．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·潮南月考） 已知， 中， ， 一直线过顶点 ， 过 分别作其垂线，垂足分别为 .
（1） 如图 1， 求证： ；
（2） 如图 2， 请直接写出 之间的数量关系 ；
（3） 在 (2) 的条件下， 若 ， 求 的面积.
【答案】（1）证明：证明： ，
又 ，
，
，
在 和 中，
，
，
（2）
（3）解： 由 (2) 得 且
4，
由 (1) 可知
的面积 .
【解析】【解答】（2）解：∵∠ACB＝90°
∴∠ECA+∠FCB=90°
又∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴ ∠AEF = ∠BFC=90°，
∴∠ECA+ ∠EAC=90°，
∴∠FCB= ∠EAC，
在△ACE和△ CBF中，
∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴AE=CF，CE=BF
∵EF=EC+CF
∴EF= BF-AE
【分析】（1）根据角的关系可得∠FCB=∠EAC，可证△ACE≌△CBF，推导边的关系可得EF=AE+BF；
(2)证得△ACE≌△CBF后推导边的关系可得EF= BF-AE；
（3）根据边的关系可得BF=6，由（2）中的三角形全等得到CF=2，根据三角形面积公式即可得到S△BFC=6。
18．（2022八上·北仑期中）已知，如图，点、、、在同一直线上，，，
（1）求证：≌；
（2）当，求的度数.
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
≌；
（2）解≌，
，
，
.
【解析】【分析】（1）由AD=BE可得AB=ED，根据SAS证明△ABC≌△EDF；
（2）由全等三角形的对应角相等可得∠HDB=∠HBD，由三角形外角的性质可知∠CHD=∠HDB+∠HBD=120°，据此即可求解.
19．（2023八上·陇西期中）如图，在四边形ABCD中， ，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
【答案】（1）证明： ，
，
点E是CD的中点，
，
在 和 中， ，
，
；
（2）证明：由（1）已证： ，
，
又 ，
是线段AF的垂直平分线，
，
由（1）可知， ，
．
【解析】【分析】（1）根据AD//BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可。
20．（2023八上·仪陇月考）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F，
（1）求证：CF∥AB，
（2）求∠DFC的度数.
【答案】（1）证明：∵CF平分∠DCE，
∴∠1=∠2= ∠DCE.
∵∠DCE=90°，
∴∠1=45°.
∵∠3=45°，
∴∠1=∠3.
∴AB∥CF
（2）解：∵∠D=30°，∠1=45°，
∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°.
【解析】【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF；
（2）利用三角形内角和定理进行计算即可.
21．（2023八上·永城期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得.
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：，
，
在与中
≌；
（2）解：≌，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得∠ABC=∠DEF，从而利用ASA判断出△ABC≌△DEF；
（2）根据全等三角形的对应边相等得BC=EF，根据等式的性质可得BF=EC，最后根据FC=BE-BF-CE即可算出答案.
22．（2023八上·涪城月考） 如图所示，已知于点，≌．
（1）若，，求的长．
（2）求证：．
【答案】（1）解：≌，
，
，
，
的长为；
（2）解：证明：，
，
，
≌，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算求出，即可得到.
23．（2025八上·慈溪期末）如图，在等腰锐角△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连结BE交CD于点F，设∠BCD=α。
（1）用含α的代数式表示∠A：
（2）若 CE=CF，求∠EBC 的度数；
（3）在（2）的条件下，若E为AC中点，AB=AC=2，求△ABC的面积。
【答案】（1）解：∵CD为AB边上的高线， ∠BCD=α，
∴∠ABC=90°-α，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=90°-α，
∴∠A=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-(90°-α+90°-α)=2α；
（2）解：∵CD为AB边上的高线， ∠A=2α，
∴∠ACD=90°-2α，
∵CE=CF，
180°-90°+2α)=45°+α，
∵∠CFE是△BCF的一个外角，
∴∠CFE=∠EBC+∠BCD=∠EBC+α，
∴∠EBC+α=45°+α，
∴∠EBC =45°；
（3）过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM，如图所示：
∵AB=AC， ∠A=2α，
∴∠EAM=α，
∴∠EAM =∠BCD =α，
∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF+∠MEA=180°，
∠CFE+∠BFC=180°，
∴∠MEA=∠BFC，
∵若E为AC中点，
∴AE=CE=CF=
在△AEM和△CFB中，
∴△AEM≌△CFB(SAS)，
∴设ME=BF =x，
∵AB= AC， AN⊥BC，
∴AN是BC的垂直平分线，
∴MC= MB，
∵∠EBC =45°，
∴∠MCB=∠EBC =45°，
即△BCM是等腰直角三角形，
∴∠BMC=90°，
即CM⊥EF，
∵CE=CF，
∴ME=MF=BF=x，
∴MC =MB=BF+MF=2x，在Rt△CME中， ME=x， CM =2x，CE=，
由勾股定理得：
∴x=1，
，
在 中， 由勾股定理得：
在 中， 由勾股定理得：
【解析】【分析】(1)先求出. 进而得，再根据三角形的内角和定理即可得出答案；
(2)先求出∠ACD=90°-2α， 根据CE=CF得∠CFE=∠CEF =45°+α， 再根据三角形外角性质得∠CFE=∠EBC+α， 由此可得出∠EBC的度数；
(3)过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM， 证明△AEM和△CFB全等得设ME= BF =x， 结合 (2) 的结论证明△BCM是等腰直角三角形得∠BMC=90°，进而得ME=MF =BF =x， 则MC =MB=2x，在Rt△CME中， 由勾股定理得x = 1， 则 进而得 由此可得出△ABC的面积.
24．（2024八上·天河期末）如图，已知为的角平分线，延长到，使得，连接，若，且．
（1）求证：平分；
（2）求的取值范围；
（3）若延长，相交于点，求的度数．
【答案】（1）证明：在上截取，
平分，
，且，，
≌，
，
，
，
，，
，
∵CD=CD，
≌，
，
平分；
（2）解：由得≌，≌，
，，
，
，
，
，
，
，
的取值范围为；
（3）解：由知，，，
，
，
，
，
，
，
，
由得≌，≌，
，，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）在上截取，根据角平分线的定义和三角形全等（边角边），求出AD=DF，利用BC=AB+EC，通过等量代换求出CF=CE，在最后根据边边边推出△CDF和△CDE全等，从而求出∠DCF=∠DCE，结合角平分线的判定即可证明。
（2）利用第一问的两个三角形全等和∠BAD的度数，通过等量代换用表示∠CED，再根据的取值范围即可求出∠CED取值范围。
25．（2022八上·滨海期中）探究：
（1）如图1，在中，平分平分．求证：．
（2）如图2，在中，平分平分外角．猜想和有何数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵中，
又∵平分平分，
，，
，
根据三角形内角和定理可知
（2）解：，理由如下：
∵平分平分外角，
∵是的外角，是的外角，
∴．
【解析】【分析】（1）由三角形内角和可得， 由角平分线的定义可得，即得， 再根据三角形内角和定理即证结论；
（2），理由：由角平分线的定义可得根据三角形外角的性质可得即得从而推出结论.
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