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二次函数（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·杭州期中）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为
C．函数图象经过点 D．当时，y随x的增大而减小
2．（2024九上·广州期中）把抛物线先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·嘉兴月考）二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（-2，-3） D．（2，-3）
4．（2024九上·哈尔滨月考）下列函数中，是的二次函数的为( )
A．y=-3x2 B．y=2x C．y=x+1 D．y=x3
5．（2024九上·余姚月考）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行12秒停止 B．小球滑行6秒停止
C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点
6．（2024九上·义乌月考）将二次函数转化为的形式，结果为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·余姚期中）抛物线y＝x2﹣8x+12与y轴的交点坐标是（ ）
A．（2，0） B．（6，0） C．（0，12） D．（0，﹣12）
8．（2024九上·怀化期末）二次函数为常数的图象如图所示，则方程有一正实数根和一负实数根的条件是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·东莞期末）九年级某学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．6米 B．10米 C．12米 D．15米
10．（2023九上·赤坎期末），，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·河东期末）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 .
12．（2024九上·防城期末）抛物线的顶点坐标是 .
13．（2024九上·靖宇期末）将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 ；
14．（2024九上·武汉月考）已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于 ．
15．（2024九上·新会开学考）已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接）
16．（2024九上·岳麓开学考）二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②时，y随x的增大而增大；③；④不等式的解集是；其中正确的是 ．（填序号）
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·上城期末）已知二次函数．
（1）求该二次函数的图象与轴交点的坐标；
（2）求该函数图象的对称轴，并写出在什么范围内，随的增大而增大．
18．（2024九上·密云期中）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）的面积．
19．（2024九上·杭州月考）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0）．
（1）求a的值．
（2）求二次函数图象与x轴的交点坐标．
20．（2023九上·义乌月考）已知二次函数．
（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值
（2）当时，求的值
（3）当时，求的值．
21．（2024九上·杭州月考）二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
… -4 -3 -2 -1 0 1 …
… 5 0 -3 -4 -3 …
（1） ；
（2）当时，的取值范围是 ；
（3）当在什么范围内时，随的增大而减小
22．（2024九上·伊犁哈萨克期末）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果每天获得元的利润，销售单价为多少元？
23．（2024九上·温州月考）如图，已知抛物线经过点．
（1）求m的值及此抛物线的顶点坐标．
（2）试判断点是否在此函数图象上．
24．（2024九上·柳州开学考）已知抛物线．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值．
25．（2024九上·怀化期末）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系，可以近似的看作一次函数．（利润售价制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（不必写出x的取值范围）
（2）当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
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二次函数（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·杭州期中）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为
C．函数图象经过点 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】C
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴对称轴为，顶点坐标为，故A、B都错误.
C、当时，，故C正确.
D、∵，
∴二次函数图象开口向下，
∵对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，故D错误，
故答案为：C.
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据得对称轴为，顶点坐标为，二次函数图象开口向下，当时，y随x的增大而增大，便可分别判断各选项正确与否.
2．（2024九上·广州期中）把抛物线先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解∶∵抛物线先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，
∴ ．
故答案为：B.
【分析】本题考查了二次函数的平移规律：“上加下减，左加右减”，根据二次函数的平移规律得便可得答案.
3．（2024九上·嘉兴月考）二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（-2，-3） D．（2，-3）
【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为y=(x-2)2+3，
∴二次函数图象的顶点坐标是(2，3)
故答案为：A.
【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标.
4．（2024九上·哈尔滨月考）下列函数中，是的二次函数的为( )
A．y=-3x2 B．y=2x C．y=x+1 D．y=x3
【答案】A
【解析】【解答】解：y=-3x2是二次函数，故A正确；
y=2x是正比例函数，故B错误；
y=x+1是一次函数，故C错误；
y=x3是三次函数，故D错误.
故选：A.
【分析】根据二次函数的定义进行分析即可.形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.
5．（2024九上·余姚月考）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行12秒停止 B．小球滑行6秒停止
C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点
【答案】B
【解析】【解答】根据题意可知，小球被推开后笔直滑行，
∴小球停止时，滑行距离最大值，
据图可知，t=6时，滑行距离最大，
∴小球滑行6秒后静止，
故答案为：B．
【分析】根据题意，结合函数图象即可得出答案．
6．（2024九上·义乌月考）将二次函数转化为的形式，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：y=x2+2x-1=(x2+2x+1)-2=(x+1)2-2，即y=(x+1)2-2.
故答案为：D.
【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式.
7．（2024·余姚期中）抛物线y＝x2﹣8x+12与y轴的交点坐标是（ ）
A．（2，0） B．（6，0） C．（0，12） D．（0，﹣12）
【答案】C
【解析】【解答】解：令 则
∴抛物线与y轴的交点坐标是(0，12).
故答案为：C.
【分析】令 ，即可求出抛物线的与y轴的交点坐标.
8．（2024九上·怀化期末）二次函数为常数的图象如图所示，则方程有一正实数根和一负实数根的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：方程有一正实数根和一负实数根，
直线y=m与二次函数的图像有两个交点，且分别交在y轴的左侧和右侧，
根据图像可知当m>5时符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据方程有一正实数根和一负实根，结合二次函数图象与y轴的交点坐标即可求解.
9．（2024九上·东莞期末）九年级某学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．6米 B．10米 C．12米 D．15米
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，铅球落地点y=0，
∴
解得：x＝-2（舍去），x=10，
则该生此次实心球训练的成绩为10米.
故答案为：B.
【分析】根据解析式和铅球的落地点y=0，可得，据此求出x的值再选择.
10．（2023九上·赤坎期末），，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-(x+1)2+a中，二次项系数为-1＜0，图象开口向下，对称轴直线为x=-1，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越大其函数值就小，
∵点A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，
∴|-2-（-1）|＜|1-（-1））＜|2-（-1）|，
∴y1＞y2＞y3.
故答案为：A.
【分析】利用抛物线的解析式可得二次项系数为-1＜0，图象开口向下，对称轴直线为x=-1，故抛物线上的点离对称轴的距离越大其函数值就小，进而求出A、B、C三点到对称轴的距离，再大小即可得出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·河东期末）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系进行解答即可．
12．（2024九上·防城期末）抛物线的顶点坐标是 .
【答案】
【解析】【解答】解： 抛物线的顶点坐标是（0，0） .
故答案为：（0，0） .
【分析】抛物线（a≠0）的顶点为原点.
13．（2024九上·靖宇期末）将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 ；
【答案】
【解析】【解答】解：∵抛物线向左平移2个单位，
∴平移后抛物线的解析式为
故答案为：
【分析】二次函数的平移规律：左加右减；上加下减．据此求解。
14．（2024九上·武汉月考）已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，可得点的横坐标为，
把代入，可得，所以，
所以水面与桥拱顶的高度等于，
故答案为：．
【分析】根据函数关系式，把直接代入解析式求得点B的坐标，进而得出 水面与桥拱顶的高，得到答案.
15．（2024九上·新会开学考）已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接）
【答案】
【解析】【解答】解：二次函数的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
∴在抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越小；
又，，，且，
．
故答案为：．
【分析】由抛物线的解析式可知其对称轴为直线x=-1，且开口向下，故在抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越小，据此求出A、B、C三点离对称轴距离，再比大小可得答案.
16．（2024九上·岳麓开学考）二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②时，y随x的增大而增大；③；④不等式的解集是；其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①
【解析】【解答】解：①中，因为抛物线图像开口向上，可得，
又因为对称轴在y轴右侧，所以a、b异号，可得，
由图知，所以，故①正确；
②由图知，当时，y随x的增大先减小后增大，故②错误；
③由图知时，，∴，故③错误；
④由图知或时，∴不等式的解集是或，
故④错误．
故答案为：①.
【分析】由抛物线图像开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点可确定a、b、c的符号，即可判断①；直接观察图像即可判断②；由图知时，，即可判断③；观察图像可得或时，即可判断④.
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·上城期末）已知二次函数．
（1）求该二次函数的图象与轴交点的坐标；
（2）求该函数图象的对称轴，并写出在什么范围内，随的增大而增大．
【答案】（1）解：令，
解得：，
∴二次函数的图象与轴交点的坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大．
【解析】【分析】（1）令，进行求解即可；
（2）利用对称轴公式求出对称轴，利用增减性进行判断即可．
（1）解：令，
解得：，
∴二次函数的图象与轴交点的坐标为；
（2）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大．
18．（2024九上·密云期中）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）的面积．
【答案】（1）解：令，则，
∴；
令，则，
解得：，，
∴；．
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征分别令x=0，y=0代入解析式即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：令，则，
∴；
令，则，
解得：，，
∴；．
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
19．（2024九上·杭州月考）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0）．
（1）求a的值．
（2）求二次函数图象与x轴的交点坐标．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0），
∴a（2-1）2-3＝0，
解得：a=3；
（2）解：∵a=3，
∴二次函数的表达式为y＝3（x-1）2-3，
当y=0时，3（x-1）2-3=0，
解得：x=2或x=0，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（0，0）．
【解析】【分析】（1）将（2，0）代入 y＝a（x﹣1）2﹣3 ，求出a值；
（2）先写出函数表达式，再求出当y=0时x的值．
（1）解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0），
∴0＝a（2-1）2-3，
解得：a=3；
（2）由（1）可知：二次函数的表达式为y＝3（x-1）2-3，
令y=0，则3（x-1）2-3=0，
解得：x=2或x=0，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（0，0）．
20．（2023九上·义乌月考）已知二次函数．
（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值
（2）当时，求的值
（3）当时，求的值．
【答案】（1）解：．
其中，，．
（2）解：当时，．
（3）解：当时，，解得或．
【解析】【分析】（1） 把二次函数化为一般式，即可得解；
（2）把代入，计算求解即可；
（3）把代入，计算求解即可.
21．（2024九上·杭州月考）二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
… -4 -3 -2 -1 0 1 …
… 5 0 -3 -4 -3 …
（1） ；
（2）当时，的取值范围是 ；
（3）当在什么范围内时，随的增大而减小
【答案】（1）0
（2）- 4＜x＜2
（3）由(1)对称轴是直线x=-1，结合表格数据，
∴当x<-1时，y随x的增大而减小
【解析】【解答】解：(1)由题意，∵根据表格数据，图象过(-2，-3)，(0，-3)，
∴对称轴是直线x=-1，
又∵1-(-1)=2，
∴-1-2=-3.
∴x=1时的函数值与x=-3函数值相等，
∴m=0.
故答案为：0.
(2)由题意，由(1)对称轴是直线x=-1，
又∵当x=-4时，y=5，
∴当x=2时，y=5.
根据表格，当x<-1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∴当y<5时，-4故答案为：-4【分析】(1)依据题意，由根据表格数据，图象过(-2，-3)，(0，-3)，可得对称轴是直线x=-1，从而根据对称性可以判断得解；
(2)依据题意，由(1)对称轴是直线x=-1，结合当x=-4时，y=5，故当x=2时，y=5，再根据表格，当x<-1时，y随x的增大而减小，进而可以判断得解；
(3)依据题意，由(1)对称轴是直线x=-1，结合表格数据，故可以判断得解.
22．（2024九上·伊犁哈萨克期末）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果每天获得元的利润，销售单价为多少元？
【答案】（1）设与的函数解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以与的函数解析式为；
（2）根据题意知
，
当时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为，
（3）根据题意知，
，（舍去）
答：销售单价为元
【解析】【分析】（1）设与的函数解析式为，根据待定系数法将点、代入解析式即可求出答案.
（2）根据“总利润==每件的利润销售量”可得函数解析式，转化为顶点式，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2024九上·温州月考）如图，已知抛物线经过点．
（1）求m的值及此抛物线的顶点坐标．
（2）试判断点是否在此函数图象上．
【答案】（1）解：拋物线经过点.
把代入，
得，
则，
顶点坐标为
（2）将代入得，，
点在函数图象上.
【解析】【分析】（1）将点（1，4）代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到函数解析式；然后将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
（2）将x=-1代入函数解析式，可求出对应的y的值，将其y的值与-4比较大小，可作出判断.
24．（2024九上·柳州开学考）已知抛物线．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值．
【答案】（1），
对称轴为直线；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，
新的抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：负值舍去．
【解析】【分析】（1）将一般式转化为顶点式，即可求得对称轴；
（2）根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，表示出新的抛物线的解析式，再将原点坐标代入求解即可．
25．（2024九上·怀化期末）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系，可以近似的看作一次函数．（利润售价制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（不必写出x的取值范围）
（2）当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意得，
；
故答案为：；
（2）解：当时，
，
解得：．
答：当销售单价为25元或43元时，厂商每月获得的利润为350万元．
，
当销售单价定为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元．
【解析】【分析】（1）根据总利润=单个利润×销售量，代入代数式化简即可得到利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式.
（2）把月利润=350万代入函数表达式中，解一元二次方程即可；根据（1）中的表达式，利用配方即可求得利润的最大值.
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