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二次函数（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·潮南期中）若二次函数配方后为，则b、k的值分别为（ ）
A．， B．，5 C．4， D．，
2．（2024九上·石林期末）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．
3．（2024九上·石家庄期末）已知二次函数，当时，则函数的最小值和最大值分别是（ ）
A．和5 B．和5 C．和 D．和5
4．（2024九上·昭阳期末）二次函数的部分对应值如下表，则二次函数在时，的值是（ ）
－3 －2 0 1 3 4
－8 －4.5 －0.5 0 －2 －4.5
A．－8 B．－4.5 C．－2 D．－0.5
5．（2024九上·贵州期末） 下面的四个问题中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程与行驶时间
B．当电压一定时，通过某用电器的电流与该用电器的电阻
C．圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积与底面圆的半径
D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积与一边长
6．（2024九上·交城期中） 如图，从正面看碗的轮廓近似一条抛物线，以顶点C为原点建立平面直角坐标系，若AB=16，CD=5，则此抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·三门期末）已知，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·五华模拟）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2025·东莞模拟）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024九上·惠州期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点.下列结论：
①；②；③若和是抛物线上两点，则；④对于任意实数，均有.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·乐清月考）二次函数 +c（ ，a、b、c为常数）的部分对应值列表如下：
… -2 -1 0 1 …
… -3 -1 …
则代数式 的值为 .
12．（2024八上·苏州开学考）二次函数y=ax2+c的图象与y=3x2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点(1，1)，则该二次函数的解析式为 .
13．（2024九上·九台期末）二次函数 的顶点坐标 ．
14．（2024九上·广州月考）已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1，则m的值是 ．
15．（2023九上·岳阳期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的序号有
①；②；③；④（为实数）；⑤．⑥不等式的解为．
16．（2024九上·宽城期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点.矩形的边在线段上，点C、D在抛物线上，则矩形周长的最大值为 .
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·磐石期末）已知二次函数的图象过原点，与x轴交于点.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在抛物线上存在点P，满足，请直接写出点P的坐标.
18．（2024九上·永吉期末）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次.第一档次（最低）的产品一天能生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件.
（1）若生产第档次的产品一天的总利润为元（其中为正整数，且），求出与之间的函数关系式；
（2）若生产第档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次；
19．（2024九上·永吉期末）用长的铁丝围成长方形.
（1）如果长方形的面积为，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？
（2）能否围成面积是的长方形？为什么？
（3）能围成的长方形的最大面积是多少？
20．（2024九上·潮南期末）鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验.如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线.水平距离与离地高度的鹰眼数据如表：
0 9 12 15 18 21 …
图1 图2 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …
（1）根据表中数据可得，当 时，达到最大值 ；
（2）求关于的函数解析式；
（3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明.
21．（2023九上·义乌月考）如图是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的形状是抛物线.平时水面的宽度OA为4m，在离水面高1.5m处，有一条航运船舶限高杠杆PD，杠杆PD长2m.以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系.
（1）求此抛物线的表达式.
（2）因为上游水库泄洪，水面上涨了0.5m，则此时水面的宽度是多少？，结果精确到
22．（2023九上·南昌月考）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率．
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．设该款吉祥物每件降价m元（m为正整数），当m为多少时，月销售利润能达到8400元？
（3）在（2）的条件下，设该款吉祥物每月销售利润为w元，当m为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少元？
23．（2025九上·金华竞赛）已知二次函数 .
（1）当 时，函数的最大值与最小值之差为 2，求 的值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
24．（2024九上·长沙开学考）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点已知二次函数．
（1）当，时，请求出该函数的完美点；
（2）已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，请求出该函数；
（3）在的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围．
25．（2024九上·鄞州期末）对任意实数，记，已知实数，函数．
（1）求使得等式成立的的取值范围；
（2）求函数的最小值．
（3）求函数当时的最大值．
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二次函数（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·潮南期中）若二次函数配方后为，则b、k的值分别为（ ）
A．， B．，5 C．4， D．，
【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴．
故选：A．
【分析】先把顶点式化为一般式，即可求出b的值，与k的值，即可求解.
2．（2024九上·石林期末）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据图象可得： ，
对称轴：直线
∵
∴ ，
∴， 故A正确；
把代入函数关系式中得
由题意知关于对称轴的对称点为
∴，故B错误；
由图象与性质可知当时，，故C正确；
由图象可知抛物线与轴有两个交点
∴的判根公式，故D正确；
故答案为：B
【分析】根据二次函数图象开口方向可得 ，根据图象与y轴交点可得，再根据二次函数的对称轴，结合a的取值可判定出，根据的正负即可判断出①的正误；把代入函数关系式中得，由题意知关于对称轴的对称点为，结合图象，可判断②③的正误；由图象可以直接看出抛物线与轴的交点个数，进而可判断④的正误．
3．（2024九上·石家庄期末）已知二次函数，当时，则函数的最小值和最大值分别是（ ）
A．和5 B．和5 C．和 D．和5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵二次函数为，
∴对称轴为，开口向上，
在对称轴处取得最小值，
∵距离对称轴比2距离对称轴的距离要小，
∴在处取得最大值为5，
∴当时，函数的最小值和最大值分别是和5，
故答案为：B
【分析】根据解绝对值不等式的方法可得，再求出一元二次方程的对称轴，结合二次函数开口方向以及x的取值范围即可求出函数的最值。
4．（2024九上·昭阳期末）二次函数的部分对应值如下表，则二次函数在时，的值是（ ）
－3 －2 0 1 3 4
－8 －4.5 －0.5 0 －2 －4.5
A．－8 B．－4.5 C．－2 D．－0.5
【答案】D
【解析】【解答】解：时，；时，，
二次函数图象的对称轴为直线，
和时的函数值相等，
时，．
故答案为：D.
【分析】观察表中的对应值得到x=-2和x=4时，函数值都是-4.5，根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=1，所以x=0和x=2时的函数值相等，
5．（2024九上·贵州期末） 下面的四个问题中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程与行驶时间
B．当电压一定时，通过某用电器的电流与该用电器的电阻
C．圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积与底面圆的半径
D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积与一边长
【答案】D
【解析】【解答】解：A．汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程是行驶时间的一次函数，图象应该是线段，A不符合题意；
B．当电压一定时，通过某用电器的电流与该用电器的电阻成反比例关系，图象应该是双曲线的一支，B不符合题意；
C．圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积与底面圆的半径成二次函数关系，开口向上，C不符合题意；
D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积与一边长成二次函数关系，开口向下，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据二次函数的图象结合题意对选项逐一分析即可求解。
6．（2024九上·交城期中） 如图，从正面看碗的轮廓近似一条抛物线，以顶点C为原点建立平面直角坐标系，若AB=16，CD=5，则此抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
设抛物线解析式为：，
则，
解得：，
∴抛物线的表达式为：，
故答案为：．
【分析】根据待定系数法求解。先确定B点坐标，代入设定的抛物线解析式建立方程求解。
7．（2024九上·三门期末）已知，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵函数的解析式是，
∴对称轴是，
∴点A关于对称轴的点是，
那么点B在对称轴上，点C 、的对称点都在对称轴的右边，
∵，
∴抛物线开口向上，并且在对称轴的右边y随x的增大而增大，
∵
∴
故答案为：D.
【分析】先得到对称轴为直线，根据二次函数的对称性得到点A的对称点，然后根据二次函数的增减性解答即可．
8．（2024·五华模拟）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限，
∴，
∴，
则一次函数经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故答案为：D
【分析】先根据题意结合点与象限的关系得到，则，再根据一次函数的图象与系数的关系即可求解。
9．（2025·东莞模拟）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：由题图可知，，
，故①正确；
当时，，即，故②正确；
二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线，
二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5，
多项式，故③错误；
当时，有最大值，即，
当时，抛物线与直线的图象无交点，
即关于x的方程无实数根，故④正确．
综上，①②④正确．
故选：C．
【分析】
①由二次函数图象的开口向下知a为负，对称轴在y轴右侧知b为正，由抛物线交y轴于正半轴知c为正，则abc<0；
②将点代入函数解析式可得，即；
③由二次函数的对称性可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；
④由对称轴为直线，得到，，将代入函数得，即抛物线的顶点坐标为，显然当时，该抛物线与直线的图象无交点．
10．（2024九上·惠州期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点.下列结论：
①；②；③若和是抛物线上两点，则；④对于任意实数，均有.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵对称轴为直线x==-1，∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∴abc＜0，故①正确；
∵ 抛物线的对称轴为直线，且经过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴当x=1时y=a+b+c=0，故②错误；
∵ 关于直线的对称点坐标为（2，y1），
又∵当x＞-1时，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故③错误；
由y=a+b+c=0，b=2a，则c=-3a，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴x=-1时，y有最小值，
∴a-b+c，
∴-4a，故④正确；
∴正确的结论有2个.
故答案为：B.
【分析】由抛物线的开口方向得a＞0，由对称轴为x=-1可得b=2a＞0，由抛物线与y轴交点位置得c＜0，据此判断①；由抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），可得当x=1时y=a+b+c=0，据此判断②；由 关于直线的对称点坐标为（2，y1），根据二次函数的性质可判定③；易求c=-3a，b=2a，当x=-1时，y有最小值， 则a-b+c，即得-4a，据此判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·乐清月考）二次函数 +c（ ，a、b、c为常数）的部分对应值列表如下：
… -2 -1 0 1 …
… -3 -1 …
则代数式 的值为 .
【答案】6.5
【解析】【解答】解：由表格数据可知，当x=-2或0时，y=；
∴（-1，-3）是抛物线的顶点，
∴ ，
把x=0，y= 代入得 ，
∴
∴ ，
∴ = .
故答案为：6.5.
【分析】由表格数据可知当x=-2或0时y值相同，根据抛物线的对称性可得出对称轴为直线x=-1，顶点坐标（-1，-3），可设，将（0，）代入求出a值即得解析式，即得a、b、c的值，代入计算即可.
12．（2024八上·苏州开学考）二次函数y=ax2+c的图象与y=3x2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点(1，1)，则该二次函数的解析式为 .
【答案】y=-3x2+4
【解析】【解答】解：由题意可设所求函数为： ，
∵所求函数经过点(1，1)，
∴ ，
∴c=4，
∴所求函数为： ，
故答案为 ： .
【分析】根据两抛物线形状相同，开口方向相反，可得a=-3，再将点(1，1)，代入解析式中求出c值即可.
13．（2024九上·九台期末）二次函数 的顶点坐标 ．
【答案】(6，3)
【解析】【解答】
由此可得，二次函数的顶点式为
则顶点坐标为(6，3)
故答案为：(6，3)．
【分析】利用配方法将二次函数的解析式化成顶点式即可得出答案．
14．（2024九上·广州月考）已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1，则m的值是 ．
【答案】10
【解析】【解答】由二次函数的性质可知当x= （对称轴）时，函数有最小值y=9-18+m=1，因此m=10.
【分析】根据二次函数的性质，由其最值，即可得到m的值。
15．（2023九上·岳阳期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的序号有
①；②；③；④（为实数）；⑤．⑥不等式的解为．
【答案】①②③⑤
【解析】【解答】解：①由二次函数图象得：抛物线开口方向向上且图像与轴交点在其负半轴上，
，，
由抛物线图像知：对称轴，
，
，
故①正确；
②由对称轴知：，
，
由图像知：当时，，
，即，代入得：
，
故②正确；
③由图像知：关于对称轴的对称点是，
时，，
故③正确；
④当时，的最小值为，
当时，，
，
（为实数），
故④不正确；
⑤由抛物线与轴有两个交点知：
，
，
故⑤正确；
⑥由抛物线图像知：图像与轴的两个交点分别为和，
不等式是轴上半部分的图像，
即或，
故⑥不正确．
故答案为①②③⑤．
【分析】由二次函数图象抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴交点判断与的关系，再利用图像已知的对称轴和图像与轴的交点，逐项进行判断即可求出答案.
16．（2024九上·宽城期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点.矩形的边在线段上，点C、D在抛物线上，则矩形周长的最大值为 .
【答案】13
【解析】【解答】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为，
∴AD=，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴点C的横坐标为3-（m-3）=6-m，
∴CD=2m-6，
∴矩形ABCD的周长=，
∴当m=5时，矩形周长有最大值为13，
故答案为：13.
【分析】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为，先求出矩形ABCD的周长为，再利用二次函数的最大值求解即可.
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·磐石期末）已知二次函数的图象过原点，与x轴交于点.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在抛物线上存在点P，满足，请直接写出点P的坐标.
【答案】（1）解：
（2），，
【解析】【解答】解：（1）由题意得
，
解得，
∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x；
（2）∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴AO=4，
设点P到x轴的距离为h，
则S△AOP=×4h=8，
解得h=4，
①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x=4，
解得x=﹣2，
所以，点P的坐标为（﹣2，4），
②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x=﹣4，
解得x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2，
所以，点P的坐标为（﹣2+2，﹣4）或（﹣2﹣2，﹣4），
综上所述，点P的坐标是：（﹣2，4）、（﹣2+2，﹣4）、（﹣2﹣2，﹣4）．
【分析】（1）把点A的坐标和原点的坐标代入函数解析式，根据待定系数法求二次函数解析式；
（2）由三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分两种情况求解：点P在x轴的上方和点P在x轴下方．
18．（2024九上·永吉期末）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次.第一档次（最低）的产品一天能生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件.
（1）若生产第档次的产品一天的总利润为元（其中为正整数，且），求出与之间的函数关系式；
（2）若生产第档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次；
【答案】（1）解：.
（2）解：由题意，得.
解得，（不合题意，舍去）.
答：该产品的质量档次为第5档次.
【解析】【分析】
(1) 生产第档次的产品 一天的产量是76-4(x-1)件，每件利润是10+2(x-1)，根据“一天的总利润 = 每件利润 ×生产的件数”列出关系式，再化简即可。
(2)根据(1)中所得关系式，计算当y=1080时的x值即可得出结果。
19．（2024九上·永吉期末）用长的铁丝围成长方形.
（1）如果长方形的面积为，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？
（2）能否围成面积是的长方形？为什么？
（3）能围成的长方形的最大面积是多少？
【答案】（1）解：设长方形一边长为，则另一边长为，
依题意，得，解得，.
当时，；
当时.
答：长为，宽为.
（2）解：由，得，
方程无解，不能用成面积为的长方形.
（3）解：设围成的长方形的面积为，
则，
，
当时，长方形有最大面积为9.
【解析】【分析】
(1) 设长方形一边长为，则另一边长为， 根据面积为5列方程进行求解。
(2) 设围成的长方形的面积为， 列出关系式，再根据关系式求出最大值。
20．（2024九上·潮南期末）鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验.如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线.水平距离与离地高度的鹰眼数据如表：
0 9 12 15 18 21 …
图1 图2 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …
（1）根据表中数据可得，当 时，达到最大值 ；
（2）求关于的函数解析式；
（3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明.
【答案】（1）15；5
（2）解：由（1）知，抛物线顶点坐标，设，
把代入解析式，，
解得，
（3）解：当，
，
守门员不能成功防守.
【解析】【解答】解：（1）当时，h达到最大值：
故答案为：15，5.
【分析】（1）根据表格中数据即可求解；
（2）由（1）知，抛物线顶点坐标，设，把代入即可求出函数解析式；
（3）令，求出h的值与2.6比较大小即可.
21．（2023九上·义乌月考）如图是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的形状是抛物线.平时水面的宽度OA为4m，在离水面高1.5m处，有一条航运船舶限高杠杆PD，杠杆PD长2m.以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系.
（1）求此抛物线的表达式.
（2）因为上游水库泄洪，水面上涨了0.5m，则此时水面的宽度是多少？，结果精确到
【答案】（1）解：∵ 平时水面的宽度OA为4m，在离水面高1.5m处，有一条航运船舶限高杠杆PD，杠杆PD长2m ，
∴点A（4，0），点P的横坐标为2+1=3，
∴点P（3，），
设抛物线的解析式为y=ax（x-4）
∴
解之：
拋物线的表达式为.
（2）解：由 (1) 知二次函数 ，
∵ 水面上涨了0.5m
∴当 时，即
解之：
∴
即此时水面的宽度是.
【解析】【分析】 （1）利用已知条件：平时水面的宽度OA为4m，在离水面高1.5m处，有一条航运船舶限高杠杆PD，杠杆PD长2m ，可求出点A、P的坐标，由此可求出抛物线的解析式.
（2）将y=0.5代入函数解析式，可得到关于x的一元二次方程，解方程求出方程的两个根，然后求出两根的差，即可求解.
22．（2023九上·南昌月考）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率．
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．设该款吉祥物每件降价m元（m为正整数），当m为多少时，月销售利润能达到8400元？
（3）在（2）的条件下，设该款吉祥物每月销售利润为w元，当m为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为25%．
（2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元
（3）解：由题意得，
，
∵，∴当时，w随m增大而增大，
当时，w随m增大而减小，又∵m为正整数，∴当或时，w最大，最大为，
∴当或时，月销售利润最大，最大利润是9240元．
【解析】【分析】（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，进而根据“2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件”即可列出一元二次方程，进而即可求解；
（2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，进而题意即可列出一元二次方程，从而即可求解；
（3）先根据利润的计算公式得到w，进而根据二次函数的性质结合题意即可求解。
23．（2025九上·金华竞赛）已知二次函数 .
（1）当 时，函数的最大值与最小值之差为 2，求 的值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）解： ，对称轴 ，
分类讨论： ① 当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 ，
不符合题意， 舍去.
② 当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 ，
不符合题意， 舍去.
③当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 或 不符合题意，舍去.
④当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，
解得 或 不符合题意，舍去.
综上， 或 .
（2）解：分类讨论：
① 当 时，即 ，当 时， ，即 ，解得 ，故 .
② 当 时，即 ，
当 时， ，即 ，解得 ，不符合题意，舍去.
③当 时，即 ，
当 时， ，即 ，解得 ，故 .
综上，
【解析】【分析】（1）利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，再分情况讨论：① 当 时，即 ，分别求出当x=-1时y的最小值和x=1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，再作出判断；② 当 时，即 ，分别求出当x=1时y的最小值和x=-1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范围作出判断；③当 时，即 ，分别求出当 时y的最小值和x=1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范围作出判断；④当 时，即 ，分别求出当 时y的最小值和x=-1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范围作出判断；综上所述可得到符合题意的a的值.
（2）分类讨论： 当 时，可求出当x=1时y的最小值，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集；② 当 时，求出当x=2时y的最小值，据此可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集；③当 时，可求出当 时y的最小值，据此可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集，综上所述可得到 恒成立的a的取值范围.
24．（2024九上·长沙开学考）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点已知二次函数．
（1）当，时，请求出该函数的完美点；
（2）已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，请求出该函数；
（3）在的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围．
【答案】（1）解：当，时，，
令，则，
解得：，，
该函数的完美点为，
（2）解：令，即，由题意可得，图象上有且只有一个完美点，，则．
又方程根为，
，，
该二次函数的解析式为
（3）解：，
该二次函数图象如图所示，顶点坐标为，
与轴交点为，根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点．在左侧，随的增大而增大；在右侧，随的增大而减小；
当时，函数的最小值为，最大值为，
【解析】【分析】（1） 根据完美点的定义，将纵坐标等于横坐标代入二次函数求解方程的根，从而得到完美点坐标；
（2）同样根据完美点定义得到方程，再利用方程有且只有一个解时判别式以及已知的完美点坐标来求解a和c的值；
（3）根据二次函数的图象与性质，结合给定的c的取值范围0≤x≤m，来确定m的取值范围使得函数能取到给定的最大值1和最小值-3.
25．（2024九上·鄞州期末）对任意实数，记，已知实数，函数．
（1）求使得等式成立的的取值范围；
（2）求函数的最小值．
（3）求函数当时的最大值．
【答案】（1）解：由题可知，
解得。
（2）解：当时，，
∵，
∴当时，有最小值，即；
当时；，
当时，，
∴当，最小值为，
当，最小值为；
（3）解：当，当时，，
当时，有最大值，即，
当时，，
∴当时，有最大值，即，
∴最大值为；
当，
当时，，当时，有最大值，即，
当时，，随x的增大而增大，
∴当时，有最大值，即，
∴最大值为；
当，
当时，当时，有最大值，即，
综上所述，函数当时的最大值为．
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握分类讨论是解题的关键．
（1）根据新定可列出不等式，解不等式可求出的取值范围；
（2）分两种情况：当时，当时，利用新定义可依次写成函数解析式为：或，利用二次函数的性质可求出的最小值；
（3）分为和、三种情况，可依次写成函数解析式为：；；，利用二次函数的性质可求出对应的最大值；再综合三种情况的最大值，据此可求出答案.
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