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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破六 直角三角形常考三个性质（三大题型30道）
题型一：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半
1．(2025·浙江省杭州市·一模)如图，在中，，D是的中点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据直角三角形的性质得到，得到为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：，
，
∵D是的中点，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
故选：C．
2．(24-25八下·河北张家口桥西区·期末)如图，在中，，点是的中点，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解．
【详解】解：中，是的中点，
，
故选：B．
3．(24-25八下·广东广州天河区·期末)如图，在中，，于点，若，是斜边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，先求得，由题意得，结合三角形的外角的性质，推出，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴，
∵是斜边的中点，
∴，
又∵，
∴，
故选：B
4．(2025·浙江省杭州市·模拟)如图，在中，点D在边上， ，点E，点F分别是的中点， ，则的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查三线合一，直角三角形的性质，连接，三线合一得到，由直角三角形的性质得到，即可得出结果．
【详解】解：连接，
∵，F是的中点，
∴，
又∵E是的中点，
∴ (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
∴，
∵，
∴．
故答案为∶5．
5．(24-25八上·江苏南京玄武区·月考)如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用“直角三角形斜边中点到三顶点距离相等”得出等腰三角形，再结合等腰三角形底角相等和三角形外角等于不相邻两内角和推导角度．
由且E为中点，得，故；由得，再利用三角形外角性质得，，计算得角度．
【详解】解：由条件可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
6．(2025·黑龙江省哈尔滨市·模拟)如图，和是一对三角板，点、、共线，点是的中点，点是的中点，连接、、，若，则的度数为 度．
【答案】
【分析】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质和三角板的相关知识．
连接，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可得的度数，从而可得的度数，由三角形的内角和定理，可得的度数，从而可得是等腰直角三角形，可得，减去的度数，即可得的度数．
【详解】解：∵如图，和是一对三角板，
∴，，，，，，
连接，
∵，，点是的中点，
∴，，
∵，点是的中点，
∴
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．(24-25八下·北京西城区·期末)如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ．
【答案】77
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出．
由直角三角形斜边中线的性质推出，，得到，推出．
【详解】解：，为边的中点，
，，
，
，
．
故答案为：77．
8．(24-25八下·湖北武汉南湖中学·期中)如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，若，则 ．
【答案】/60度
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
根据题意先求出，，利用直角三角形两锐角互余求得，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，求得的度数，进而得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
又∵E是斜边的中点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
9．(24-25七下·上海崇明区·期末)如图，在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，．若，则的度数为 ．
【答案】/110度
【分析】本题考查了三角形外角的性质，直角三角形斜边中线的性质．
利用三角形外角性质求出，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，证得，，求出，利用四边形内角和求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴P为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
10．(23-24八上·湖北宜昌第十六中学·期中)中，是高，E是的中点，且线段平分的周长，若，则 ．
【答案】/64度
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质；在边上截取，由直角三角形的性质得到，再由线段平分的周长得到，进而可证明，则，再由三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图所示，在边上截取，
是高，
，
，
是AC的中点，
，
线段平分的周长，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
题型二：含30度角的直角三角形
1．如图，在中，为边上的垂直平分线，，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
由题意易得，则有，然后问题可求解．
【详解】解：∵为边上的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：4．
2．在中，，，，垂足为．若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查直角三角形的性质．先根据直角三角形两锐角互余及已知角的关系求出的度数，再根据在中利用角所对直角边是斜边一半的性质求出的长度．
【详解】解：如图：
∵在中，，
∴，
即：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
3．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期末)如图，为等边三角形，于点，点是线段上的一点，过点作的垂线分别交和延长线于点，过点作，垂足为，若，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了含有角的直角三角形的性质．利用等边三角形的性质求出相关角度，通过角度关系得到边的关系，进而求出线段长度．
【详解】∵为等边三角形，，
又∵，
，
又
故答案为：6．
4．(24-25八上·辽宁鞍山海城西部、北部集团·期中)如图，在中，，F是高和的交点，，， 则线段的长度是 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握含30度直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴；
故答案为12．
5．(23-24八上·江苏南通如皋·期末)如图，在中，，．将沿直线折叠，得，延长，相交于点D．若，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等．作于点E，根据折叠前后对应边相等、对应角相等，可得，再证，，求出和，根据即可求解．
【详解】解：作于点E，则，
∵，，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
6．(24-25八下·山东济南天桥区泺口实验学校·月考)如图，在中，， 垂直平分，分别交 、 于点D、E，平分，， ，则 的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，中垂线的性质，等腰三角形的性质，根据中垂线的性质，得到，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
7．(24-25八上·江苏南通海安紫石中学·调研)在等腰中，，，点，分别是边，上的动点，与关于直线对称，点的对称点为．若且，，则的面积 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，以及“直角三角形中30度的角所对的直角边等于斜边的一半” ，作出辅助线且能证明是等边三角形是解题的关键．作于D点，由轴对称的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，由此得．再证是等边三角形，则可得，进而得，由此得．根据三角形的面积公式，再结合即可求出的面积．
【详解】解：如图，作于D点，
∵与关于直线对称，
．
又，
．
中，，
，
．
又，
是等边三角形，
，
，
，
又∵，
．
故答案为：．
8．如图，为等边三角形，垂直平分，垂直平分，与交于点O，若，则点O到的距离为
【答案】2
【分析】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，过点作于，由等边三角形的性质并结合题意可得，，平分，平分，求出可得，由角平分线的性质定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
，
∵是等边三角形，
∴，，
∵垂直平分，垂直平分，
∴平分，平分，
∴，
∴，
∵，，平分，
∴，
∵，
∴，即点O到的距离为 ，
故答案为：．
9．(24-25八上·安徽合肥包河区·期末)如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且．与相交于点P，于点F，若，，则的长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，证，推出，求出，得出，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：7．
10．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·月考)如图，，P是平分线上一点，交于M，于D，若，则 ．
【答案】20
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并作辅助线构造出含角的直角三角形是解题的关键．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，从而得到，然后根据等角对等边可得．
【详解】解：如图，过点作于，
是平分线上一点，，
，
，
，
，
是平分线上一点，
，
，
，
，
．
故答案为：．
题型三：直角三角形两锐角互余
1．(24-25八·广东兴宁沐彬中学·月考)如图，在中，，于点D，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余等知识点，掌握等腰三角形两个底角相等成为解题的关键．
先求出等腰三角形的底角度数，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
2．(23-24七下·江苏沭阳县怀文中学·期末)如图，是的边上的高，平分，若，，则
【答案】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余．
由三角形的内角和定理可得，由角平分线的定义可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，减去即可得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
3．将一副直角三角板如图放置，已知，，则
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的外角定理，平行线的性质等知识点．
由直角三角形的性质得出，由平行线的性质得出，再由三角形外角性质即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
4．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属实验中学·月考)如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查折叠，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键．
根据长方形的性质，折叠的性质得到，根据平行线的性质，直角三角形两锐角互余得到，化简即可求解．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
解得，，
故答案为：．
5．(23-24七下·黑龙江哈尔滨博雅中学校·期中)如图，，，，，垂足分别为D、E，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形外角的性质，余角的含义，由三角形外角的性质求出是解答本题的关键. 由得，由得，从而，又因为，所以根据三角形外角的性质求出即可求解.
【详解】解：∵，
∴，即，
又∵，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：
6．(24-25七下·广西柳州鹿寨县初级实验中学·期中)如图所示，长方形纸片中，，现将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，与交于点E；再将三角形沿折叠，使点D落在点处．则 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查折叠的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.由题意得，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：由折叠的性质可得：，
在长方形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
7．如图，中，，，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据等腰直角三角形的两个锐角都是，可知，根据等腰三角形的两个底角相等和，可知，根据三角形内角和定理可知，可以求出，再根据等腰三角形的性质求出的度数即可．
【详解】解：，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
8．(24-25八下·陕西咸阳永寿县常宁镇中学·月考)如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，交于点O，若，则的度数为 ．
【答案】/52度
【分析】本题考查了直角三角形锐角互余，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的定义，正确添加辅助线是解题的关键．
延长至点，使得，连接，先证明，再证明，，那么，再由直角进行锐角互余求解即可．
【详解】解：延长至点，使得，连接
∵的垂直平分线是，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
故答案为：．
9．如图，在中，，是的角平分线，过点作的垂线，交的延长线于点，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】先利用对顶角相等，垂直的意义得出，，再求得，然后利用角平分线的意义，求得，再利用直角三角形的两个锐角互余求得．
【详解】解：∵过点作的垂线，交的延长线于点，
∴，，
∵，
∴，
即，
又是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的意义，直角三角形的两个锐角互余，对顶角相等，垂直的意义，解题关键是掌握角平分线的意义．
10．(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期末)如图，在中，是的平分线，P为线段上一个动点，于点P，交的延长线于点E．若，则 ．
【答案】/24度
【分析】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，角平分线的定义，解题关键是熟记三角形内角和定理，准确进行计算．
根据三角形内角定理可得的度数，再由角平分线的定义，可得的度数，然后根据三角形外角的性质，可求出的度数，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，即，
∴．
故答案为：
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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破六 直角三角形常考三个性质（三大题型30道）
题型一：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半
1．(2025·浙江省杭州市·一模)如图，在中，，D是的中点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25八下·河北张家口桥西区·期末)如图，在中，，点是的中点，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
3．(24-25八下·广东广州天河区·期末)如图，在中，，于点，若，是斜边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．(2025·浙江省杭州市·模拟)如图，在中，点D在边上， ，点E，点F分别是的中点， ，则的长为 ．
5．(24-25八上·江苏南京玄武区·月考)如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于 ．
6．(2025·黑龙江省哈尔滨市·模拟)如图，和是一对三角板，点、、共线，点是的中点，点是的中点，连接、、，若，则的度数为 度．
7．(24-25八下·北京西城区·期末)如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ．
8．(24-25八下·湖北武汉南湖中学·期中)如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，若，则 ．
9．(24-25七下·上海崇明区·期末)如图，在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，．若，则的度数为 ．
10．(23-24八上·湖北宜昌第十六中学·期中)中，是高，E是的中点，且线段平分的周长，若，则 ．
题型二：含30度角的直角三角形
1．如图，在中，为边上的垂直平分线，，则的长为 ．
2．在中，，，，垂足为．若，则 ．
3．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期末)如图，为等边三角形，于点，点是线段上的一点，过点作的垂线分别交和延长线于点，过点作，垂足为，若，则的长为 ．
4．(24-25八上·辽宁鞍山海城西部、北部集团·期中)如图，在中，，F是高和的交点，，， 则线段的长度是 ．
5．(23-24八上·江苏南通如皋·期末)如图，在中，，．将沿直线折叠，得，延长，相交于点D．若，则 ．
6．(24-25八下·山东济南天桥区泺口实验学校·月考)如图，在中，， 垂直平分，分别交 、 于点D、E，平分，， ，则 的长为 ．
7．(24-25八上·江苏南通海安紫石中学·调研)在等腰中，，，点，分别是边，上的动点，与关于直线对称，点的对称点为．若且，，则的面积 ．
8．如图，为等边三角形，垂直平分，垂直平分，与交于点O，若，则点O到的距离为
9．(24-25八上·安徽合肥包河区·期末)如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且．与相交于点P，于点F，若，，则的长为 ．
10．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·月考)如图，，P是平分线上一点，交于M，于D，若，则 ．
题型三：直角三角形两锐角互余
1．(24-25八·广东兴宁沐彬中学·月考)如图，在中，，于点D，则 ．
2．(23-24七下·江苏沭阳县怀文中学·期末)如图，是的边上的高，平分，若，，则
3．将一副直角三角板如图放置，已知，，则
4．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属实验中学·月考)如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ．
5．(23-24七下·黑龙江哈尔滨博雅中学校·期中)如图，，，，，垂足分别为D、E，，则 ．
6．(24-25七下·广西柳州鹿寨县初级实验中学·期中)如图所示，长方形纸片中，，现将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，与交于点E；再将三角形沿折叠，使点D落在点处．则 ．
7．如图，中，，，，，则的度数为 ．
8．(24-25八下·陕西咸阳永寿县常宁镇中学·月考)如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，交于点O，若，则的度数为 ．
9．如图，在中，，是的角平分线，过点作的垂线，交的延长线于点，若，则的度数为 ．
10．(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期末)如图，在中，是的平分线，P为线段上一个动点，于点P，交的延长线于点E．若，则 ．
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