中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破七 勾股定理综合之勾股树问题（四大题型32道）
题型一：与正方形的面积问题
1．如图，以直角三角形两直角边为边长的两个正方形面积分别为25和144，则以斜边为边长的正方形面积为（ ）
A．60 B．119 C．169 D．289
2．如图所示，直线上有三个正方形，若的面积分别为2和4，则正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
3．(25-26八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末)如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（ ）
A．48 B．40 C．36 D．32
4．(24-25八下·河北沧州第十四中学·月考)如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．10 C．6 D．8
5．(24-25七下·黑龙江大庆靓湖学校·期末)如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25八下·浙江台州天台县·期末)如图，分别以三边为边向外作正方形，连接，若，则正方形的面积为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
7．(24-25九·陕西汉中勉县·期末)如图，在中，，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若，，则的值为 ．
8．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，按此规律继续摆放，则 ．
9．(2025·广东省深圳市·模拟预测)如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
题型二：与三角形的面积问题
1．(25-26九上·陕西西安新城区·期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图是由、组成的图形，其中，已知，，，则的面积为 ．
2．(2025·黑龙江省佳木斯市富锦市·模拟预测)如图，是直角边长为的等腰直角三角形，以等腰直角三角形的斜边为直角边作第二个等腰直角三角形，连接，得到；再以等腰直角三角形的斜边为直角边作第三个等腰直角三角形，连接，得到；再以等腰直角的斜边为直角边作第四个等腰直角三角形，连接，得到，记的面积分别为，，，如此下去，则 ．
3．(24-25七下·陕西西安交通大学附属中学·期末)如图，为直角三角形，，分别以的三边为直角边，向外侧作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 ．
4．(23-24八下·安徽淮北西园中学·期中)如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则 ．
5．(24-25八上·江苏宿迁宿城区新区教学共同体·期中)如图，以的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，，当 时，．
6．(24-25八上·江苏南京第二十九中学·月考)如图，中，，以的三边为边长向外作等边三角形，已知10， 6，则 ．
7．(24-25八上·浙江温州七校联考·期中)如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为斜边，向外作四个等腰直角三角形，记阴影部分面积分别为，，和，若，，，则的值是 ．
8．(24-25八上·四川成都青羊实验学校·期中)如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，且，则 ．
9．(2024·广西壮族自治区梧州市·二模)图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，会徽的主题图案是由图2中七个直角三角形演化而成的，其中．则组成会徽的七个直角三角形的面积的平方和为 ．
题型三：与圆的面积问题
1．(23-24八下·黑龙江大庆第三十六中学·期中)如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为 ．
2．(23-24八下·广西防城港防城区·期中)张老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题（）”：如图在中，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为 ．
3．如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为，则的值为 ．（结果保留）
4．(23-24八上·陕西咸阳乾县注泔初中·月考)如图，在中，，，，则阴影部分的面积是 ．
5．(24-25九上·重庆巫山县高唐初级中学·期中)如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是 ．
6．(24-25八上·河南新乡封丘县·期末)如图，在中，，以斜边的长为直径作半圆，当，时，半圆的面积为 ．（结果保留）
7．(23-24八下·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则 ．
8．(23-24八上·江苏南京建邺区·期末)如图，以Rt的两边为边向外所作正方形的面积分别是，则以另一边为直径向外作半圆的面积为 ．
题型四：勾股（树）的相关求解
1．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ．
2．(24-25八下·四川广元苍溪县·期中)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ．
2．(2024·广东省佛山市·模拟)如图所示，正方形的边长为1，其面积标记为 ，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则 的值为 ．
3．(24-25八上·山西晋中左权县·期末)如图①，在中，，，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形分别向外作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形，，按此规律，如果图①中直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ．
4．(24-25八上·江苏徐州丰县·期中)如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是a，b，则的值为 ．（用含a，b的代数式表示）
5．(2024·黑龙江省大庆市·期末)如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破七 勾股定理综合之勾股树问题（四大题型32道）
题型一：与正方形的面积问题
1．如图，以直角三角形两直角边为边长的两个正方形面积分别为25和144，则以斜边为边长的正方形面积为（ ）
A．60 B．119 C．169 D．289
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．根据正方形面积得出，，根据勾股定理得出即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
由题意知，，，且，
∴．
∴以斜边为边长的正方形的面积是169．
故选：C．
2．如图所示，直线上有三个正方形，若的面积分别为2和4，则正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，
∵，
∴，
∴在与中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积分别为2和4，
∴，，
∴，
即正方形的面积为6．
故选：C．
3．(25-26八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末)如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（ ）
A．48 B．40 C．36 D．32
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，熟悉相关知识点是正确解答此题的关键．
由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可．
【详解】解：∵在中，，
由勾股定理得，,
结合正方形的面积可知，即，
又∵阴影部分面积为12，阴影部分与以为边的正方形等底等高，
∴，
∴，
故选：A．
4．(24-25八下·河北沧州第十四中学·月考)如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．10 C．6 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可．
【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，，
又∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
故选：A．
5．(24-25七下·黑龙江大庆靓湖学校·期末)如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、图形类规律探索，由题意可得，由等腰直角三角形的性质并结合勾股定理可得，即可得出，同理可得，从而得出规律，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵正方形的边长为2，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
故选：D．
6．(24-25八下·浙江台州天台县·期末)如图，分别以三边为边向外作正方形，连接，若，则正方形的面积为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，正确地识别图形是解题的关键．设，，根据三角形的面积公式得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：设，，
∵，
∴，，
∴（负值舍去），
∴，
∴正方形的面积，
故选：D．
7．(24-25九·陕西汉中勉县·期末)如图，在中，，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形全等，勾股定理，正方形的性质：过作，交的延长线于，构造，得到，根据，，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，
过作，交的延长线于，则，
又∵，
∵四边形和四边形是正方形，
中，
故答案为：．
8．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，按此规律继续摆放，则 ．
【答案】25
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，可证明得到，利用勾股定理推出，则，同理可得，……，，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，由正方形的性质可得
，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
同理可得，
……，
，
∴，
故答案为：．
9．(2025·广东省深圳市·模拟预测)如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题考查求阴影部分的面积，全等三角形的性质和判定，勾股定理．勾股定理求出，根据条件证明，利用全等三角形的性质即可得到，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，，，
∴，
∴，
∵是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴阴影部分的面积，
故答案为：12．
题型二：与三角形的面积问题
1．(25-26九上·陕西西安新城区·期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图是由、组成的图形，其中，已知，，，则的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，先求解，可得，结合，再进一步可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
的面积为．
故答案为：6．
2．(2025·黑龙江省佳木斯市富锦市·模拟预测)如图，是直角边长为的等腰直角三角形，以等腰直角三角形的斜边为直角边作第二个等腰直角三角形，连接，得到；再以等腰直角三角形的斜边为直角边作第三个等腰直角三角形，连接，得到；再以等腰直角的斜边为直角边作第四个等腰直角三角形，连接，得到，记的面积分别为，，，如此下去，则 ．
【答案】
【分析】首先求出、、，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算、规律型等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质与三角形面积的计算，找出规律是解题的关键．
【详解】解：是直角边长为的等腰直角三角形，
，，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
故．
故答案为：．
3．(24-25七下·陕西西安交通大学附属中学·期末)如图，为直角三角形，，分别以的三边为直角边，向外侧作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质与判定，由题意得，，由勾股定理可得，则可推出，据此可得，证明，则．
【详解】解：由题意得，，
在中，，则由勾股定理可得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
4．(23-24八下·安徽淮北西园中学·期中)如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，得出．设分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案．
【详解】解：如图，设分别交、于点、点，
∵，，均是等腰直角三角形，
∴，，，
设，，，，，
∵，，，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：38．
5．(24-25八上·江苏宿迁宿城区新区教学共同体·期中)如图，以的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，，当 时，．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质．根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得、，如果是等腰直角三角形，则有，根据等腰直角三角形的性质可得，根据三角形的面积公式可求．
【详解】解：如下图所示，
若，则有，
是等腰直角三角形，
，，
又，
，
，
，
同理可得：，
，
是等腰直角三角形，
，，
．
故答案为： ．
6．(24-25八上·江苏南京第二十九中学·月考)如图，中，，以的三边为边长向外作等边三角形，已知10， 6，则 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了等边三角形性质和勾股定理．
根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形面积由此即可解题．
【详解】解：过点D作，垂足为，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
同理可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵10， 6，
∴，
故答案为4．
7．(24-25八上·浙江温州七校联考·期中)如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为斜边，向外作四个等腰直角三角形，记阴影部分面积分别为，，和，若，，，则的值是 ．
【答案】11
【分析】本题考查了勾股定理以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
连接，由勾股定理和等腰直角三角形的性质得，，，，，，则，推出，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
，分别以四边形的四条边为斜边，向外作四个等腰直角三角形，
，，，，，，
，
，
．
故答案为：
8．(24-25八上·四川成都青羊实验学校·期中)如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键．
根据为直角三角形且，可得到，同理可得到及，在中，由勾股定理得出：，继而可得，代入计算即可．
【详解】解：∵为直角三角形，且，
∴在中，有，
∴，即，
∴，即
同理可得：，，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
9．(2024·广西壮族自治区梧州市·二模)图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，会徽的主题图案是由图2中七个直角三角形演化而成的，其中．则组成会徽的七个直角三角形的面积的平方和为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了勾股定理．利用勾股定理依次计算出，，，，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答即可得到结论．
【详解】解：由题意得，
，
，
，
，
；；；；；
∴
，
故答案为：7．
题型三：与圆的面积问题
1．(23-24八下·黑龙江大庆第三十六中学·期中)如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为 ．
【答案】30
【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
首先根据勾股定理求出，然后根据阴影部分面积等于以为直径的2 个半圆的面积加上减去为半径的半圆面积即，然后代数求解即可．
【详解】解：在中，，
，
．
故答案为：30．
2．(23-24八下·广西防城港防城区·期中)张老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题（）”：如图在中，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理、根据圆的面积公式和直角三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴图中两个“月牙”即阴影部分面积为
，
故答案为：．
3．如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为，则的值为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查勾股定理、圆的面积问题．由勾股定理可得，再根据即可求解．
【详解】解： 中，，
，
，
故答案为：．
4．(23-24八上·陕西咸阳乾县注泔初中·月考)如图，在中，，，，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、圆的面积公式，利用勾股定理求出，即为半径的直径，利用圆的面积公式即可求出阴影的面积．
【详解】解：在中，，，，
，
．
故答案为： ．
5．(24-25九上·重庆巫山县高唐初级中学·期中)如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
，
，
，
，
（负值舍去），
的周长，
故答案为：．
6．(24-25八上·河南新乡封丘县·期末)如图，在中，，以斜边的长为直径作半圆，当，时，半圆的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，圆的面积的计算，掌握勾股定理，半圆面积的计算方法是解题的关键．
根据题意，运用勾股定理得到，再根据半圆面积的计算即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵以斜边的长为直径作半圆，
∴半圆的面积，
故答案为： ．
7．(23-24八下·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查的是勾股定理及其应用，根据圆的面积公式得到，，根据勾股定理得到，，计算即可．
【详解】解：连接，如图，
由题意得，，
，
，
，
∴，，
∵，
∴，，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：3．
8．(23-24八上·江苏南京建邺区·期末)如图，以Rt的两边为边向外所作正方形的面积分别是，则以另一边为直径向外作半圆的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式，根据题意得出的值，再根据半圆面积公式求解即可．
【详解】解：以的两边，为边向外所作正方形的面积分别是，，，
，
以另一边为直径向外作半圆的面积为，
故答案为：．
题型四：勾股（树）的相关求解
1．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ．
【答案】2026
【分析】本题考查了勾股定理规律问题．根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和．
【详解】解：如图，
由题意得：，
由勾股定理得：，
则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，
……
“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2026．
故答案为：2026．
2．(24-25八下·四川广元苍溪县·期中)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ．
【答案】2026
【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第代勾股树中所有正方形的面积为进行分析计算．
【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为；
第二代勾股树中所有正方形的面积为；
第三代勾股树中所有正方形的面积为……，
则第代勾股树中所有正方形的面积为，
∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为．
故答案为：2026．
2．(2024·广东省佛山市·模拟)如图所示，正方形的边长为1，其面积标记为 ，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，推导出前几个正方形的面积得出面积变化的规律是解题的关键.
根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到的值．
【详解】解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形的边长为1，为等腰直角三角形，
∴，
∴．
观察，发现规律：，，
∴ ．
当 时，．
故答案为：．
3．(24-25八上·山西晋中左权县·期末)如图①，在中，，，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形分别向外作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形，，按此规律，如果图①中直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ．
【答案】300
【分析】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，图形类规律探索，根据题意找出一般规律是解题关键．根据题意设，，由勾股定理的得到，再结合周长得到三边长，分别计算出图①、图②和图③的面积，得出次操作后图形中所有正方形的面积和为，即可求解．
【详解】解：，
设，，
，
，
图①中直角三角形的周长为12，
，
，
，，，
图①中所有正方形的面积和为，且直角三角形两直角边向外作的小正方形面积之和等于斜边向外作的小正方形面积，
1次操作后，图②中所有正方形的面积和为，
2次操作后图③中所有正方形的面积和为，
……
观察发现，次操作后图形中所有正方形的面积和为，
10次操作后的图形中所有正方形的面积和为，
故答案为：．
4．(24-25八上·江苏徐州丰县·期中)如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是a，b，则的值为 ．（用含a，b的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，，，然后列式解答即可．
【详解】解：建立如图的数据，
由题意得，，，，，，
∴
，
故答案为：．
5．(2024·黑龙江省大庆市·期末)如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
【答案】48
【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解．
【详解】解：图①中，∵，
根据勾股定理得，，
∴图①中所有正方形面积和为：，
图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
，
图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
，
∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为，
∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为，
故答案为：48．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
