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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破三 等腰三角形的性质与判定解答题（20道）（基础题）
1．(25-26九上·陕西西安新城区·)如图，在中，，点E在边上，连接，过点C作，连接，，求证：．
2．(24-25八下·陕西咸阳永寿县豆家中学·月考)如图，在和中，与交于点E，．求证：是等腰三角形．
3．(23-24八上·北京师达中学·期末)如图所示，在中，，，平分交于D，求证：．
4．(24-25八下·安徽宿州第二初级中学·月考)如图，在中，，以为边在外作等边，作的平分线交于点，交于点求证：．
5．(24-25七下·上海华东师范大学第二附属中学前滩学校·月考)如图，在中，点在边上，，且，求证：．
6．已知，在中，，点D为的中点，，且．求证：是等边三角形．
7．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·模拟)如图，在中，，点在上，点在上，，与相交于点，求证是等腰三角形．
8．如图，在中，，点E在的延长线上，，垂足为点P，交于点F，，交于点D．求证∶是等腰三角形．
9．(24-25九下·广东韶关浈江区行之实验学校·二模)如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：是等腰三角形．
10．(24-25八下·贵州毕节大方县·期末)如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分．
11．(24-25八上·辽宁大连甘井子区大连博雅中学·月考)如图所示，P、Q是的边边上的两点，且，求证：是等腰三角形．
12．(24-25七上·山东淄博张店区铁山学校·月考)如图，点，在上，，，，，交于点．求证：．
13．(24-25八上·陕西西安西咸新区·期末)如图，在中，，是的角平分线，过点作于点，判断与之间的数量关系，并说明理由．
14．(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)如图，已知，是上一点，于，的延长线交的延长线于，求证：△是等腰三角形
15．如图，在中，于点，已知，．
(1)求证：；
(2)求证：．
16．(24-25七下·上海嘉定区·期末)如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且．
求证：
(1)；
(2)是等边三角形．
17．如图，在等边中，，，垂足为M，E是延长线上的一点，．求证：．
18．已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形．
19．如图，在中，D、E是上两点，且，，、分别平分、，、交于O点，求证：点O到的三个顶点的距离相等．
20．如图，在四边形中，，，为对角线延长线上一点，且，连接．若，求证：．
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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破三 等腰三角形的性质与判定解答题（20道）（基础题）
1．(25-26九上·陕西西安新城区·)如图，在中，，点E在边上，连接，过点C作，连接，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．由，可得，由，可得，结合已知条件，可证，从而题目可解．
【详解】证明：，
，
，
，
在与中，
，
．
．
2．(24-25八下·陕西咸阳永寿县豆家中学·月考)如图，在和中，与交于点E，．求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
根据全等三角形的判定和性质得出，，再由等角对等边即可判定．
【详解】证明：在和中，
∵
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
3．(23-24八上·北京师达中学·期末)如图所示，在中，，，平分交于D，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．在上截取，连接，证明，推出，，再证明，据此即可得到．
【详解】证明：在上截取，连接，
∵平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
4．(24-25八下·安徽宿州第二初级中学·月考)如图，在中，，以为边在外作等边，作的平分线交于点，交于点求证：．
【答案】见解析
【分析】先证明垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角得到，再利用等角的余角相等证得，然后利用等角对等边证得，
从而可得．
【详解】证明：是等边三角形，平分，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，等腰三角形的判定与性质等知识，证明垂直平分是解题的关键．
5．(24-25七下·上海华东师范大学第二附属中学前滩学校·月考)如图，在中，点在边上，，且，求证：．
【答案】详见解析
【分析】本题考查了主要全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确添加辅助线是解题的关键．
延长至点，使得，证明，再证明，等量代换即可求证．
【详解】证明：延长至点，使得，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
6．已知，在中，，点D为的中点，，且．求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，只要证明，推出，又，即可推出，进而证明．
【详解】证明：点D是中点，
．
在和中
，
，
，
，
，
是等边三角形．
7．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·模拟)如图，在中，，点在上，点在上，，与相交于点，求证是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应角相等，再利用等腰三角形的性质推导得出中两角相等，进而判定其为等腰三角形．
先根据得出是等腰三角形，得到；再利用判定和全等，得出对应角；最后用减去减去，得到，从而判定是等腰三角形．
【详解】证明：∵，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴是等腰三角形．
8．如图，在中，，点E在的延长线上，，垂足为点P，交于点F，，交于点D．求证∶是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线性质以及对顶角相等的知识点．解题的关键在于通过这些性质和定理，逐步推导出．
根据等边对等角得出，再根据得出，再根据对顶角相等得出，最后根据等角对等边即可得出答案．
【详解】证明∶，
．
，
，
，
．
，
，
，
又，
，
，
是等腰三角形．
9．(24-25九下·广东韶关浈江区行之实验学校·二模)如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：是等腰三角形．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定，解答本题的关键是证明，利用三线合一的性质进行证明．根据等腰三角形的三线合一，从而得出，根据证明，再得出，即可得证．
【详解】证明：∵，是的中点，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
10．(24-25八下·贵州毕节大方县·期末)如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，进而得到，再由，即可证明垂直平分．
【详解】证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分．
11．(24-25八上·辽宁大连甘井子区大连博雅中学·月考)如图所示，P、Q是的边边上的两点，且，求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可推出，则，据此得到，即是等腰三角形．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
12．(24-25七上·山东淄博张店区铁山学校·月考)如图，点，在上，，，，，交于点．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．由可证，可得，即可求解．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
，
，
．
13．(24-25八上·陕西西安西咸新区·期末)如图，在中，，是的角平分线，过点作于点，判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及同角的余角相等，先求出，，，进而证明，即可得出结论．
【详解】解：，理由如下：
，是的角平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
．
14．(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)如图，已知，是上一点，于，的延长线交的延长线于，求证：△是等腰三角形
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及判定的理解及运用,解决本题的关键是要熟练掌握等腰三角形的判定．根据等腰三角形的性质得到，再根据等角的余角相等得到，再由，根据等角对等边判定是等腰三角形．
【详解】证明：∵，
∴（等边对等角），
∵，
∴，
∴，
∴（等角的余角相等），
∵（对顶角相等），
∴，
∴是等腰三角形．
15．如图，在中，于点，已知，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）证明，得到，由可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等角对等边，掌握全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
，
，
又，，
；
（2）证明∵，
，
，
，
，
．
16．(24-25七下·上海嘉定区·期末)如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且．
求证：
(1)；
(2)是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理，等边三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质可得，再证明，据此可利用证明；
（2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论．
【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
17．如图，在等边中，，，垂足为M，E是延长线上的一点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，连接，即可证明，根据等腰三角形的性质可证明，再根据三角形外角的性质，可知，即可求出，最后即可证明．
【详解】证明：如图所示，连接．
是等边三角形，，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
．
18．已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
过点作于点，利用平行线的性质得出，进而利用得出，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．
【详解】证明：过点作于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
19．如图，在中，D、E是上两点，且，，、分别平分、，、交于O点，求证：点O到的三个顶点的距离相等．
【答案】见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．连接、、，设与相交于点M，与相交于点N，由等腰三角形的性质可得是的垂直平分线，是的垂直平分线，进而可得，据此即可求证．
【详解】证明：如图，连接、、，设与相交于点M，与相交于点N，
，
为等腰三角形．
平分，
，．
是的垂直平分线．
．
同理，，平分，
，．
．
，即点O到的三个顶点的距离相等．
20．如图，在四边形中，，，为对角线延长线上一点，且，连接．若，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，先根据平行线的性质得出，再证明是等边三角形，进而得出，，再证明，进而可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，
∴．
∴．
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