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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破四 等腰三角形的性质与判定解答题（20道）（培优题）
1．(25-26八上·河南信阳罗山县彭新镇一中·月考)如图所示，中，，于点E，于点D，交于F．
(1)若，求的度数；
(2)若点F是的中点，求证：.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，
（1）由，，可得，再利用三角形内角和定理计算即可得到答案；
（2）连接，利用等腰三角形的性质可得，，从而得到，进而得证．
【详解】（1）∵，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，F是的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
2．在中，，点在边上，连接，．
(1)如图①，求证：为等边三角形；
(2)如图②，点在边上，连接交于点，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)的度数是
【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、三角形内角和及全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键；
（1）由题意易得，则有，然后根据等边三角形的判定定理可进行求解；
（2）由（1）可得，则可证，然后问题可求解
【详解】（1）证明：如题图①，
，
．
，
，
．
，
，
∴是等边三角形．
（2）解：如题图②，
∵是等边三角形，
．
在和中，
，
，
，
的度数是．
3．如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G．
(1)求证：G为中点；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定；熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据等腰三角形的性质可进行求证；
（2）与交于点M，由（1）可得，然后可得，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵和为等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分，
又∵，
∴，
即G为的中点；
（2）解：如图，与交于点M，
由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
4．如图，已知等边三角形中，，的平分线相交于点O，，，分别交于点D，E．
求证：
(1)是等边三角形；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定，等角对等边的性质，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键，
（1）利用等边三角形的判定定理即可得证；
（2）利用角平分线定理和平行线的性质可得，，再根据是等边三角形，即可得证．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
，
∵，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
（2）解：∵平分，平分，
∴，．
∵，，
∴，，
∴，．
由（1）知是等边三角形，
∴．
5．(2025·浙江省杭州市·三模)如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F．
(1)证明：；
(2)若，求证：为等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质．
（1）利用证明可证得答案；
（2）由（1）易得，进而可求得，结合已知即可证明结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，，，
∴，
∴为等边三角形．
6．如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)已知，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质是解题的关键；
（1）由题意易得，，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求证；
（2）连接，由（1）可知垂直平分，则有，然后可得，则有，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵在和中，，，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：连接，如图所示：
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工业大学附属中学·期末)如图，与都是等边三角形，点，分别在，上，，与交于点．
(1)求的度数；
(2)连接，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确添加辅助线、证明三角形全等是解题关键．
（1）根据等边三角形的性质证得，则，利用三角形外角性质可求，进而可计算出的度数；
（2）延长至点，使，证明为等边三角形，得到，，证得，可得，即可得到结论．
【详解】（1）解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）证明：延长至点，使，如图，
，
为等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
而，
．
8．(24-25八上·广东广州番禺区桥兴中学·期中)如图，，，，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）根据即可证明；
（2）过点A作，垂足为G，由可得，则，那么平分，由角平分线性质定理得到，再由等腰三角形的判定与性质即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）证明：过点A作，垂足为G，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由可得，，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
9．(24-25八上·广东广州番禺区桥兴中学·期中)如图，已知点B，C，D在同一条直线上，和都是等边三角形．交于F，交于G，交于O．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：为等边三角形．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)详见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键．
（1）利用等边三角形的性质得出，进而即可得证；
（2）由三角形的外角性质和全等三角形的性质即可得解；
（3）由平角的性质和等边三角形的性质得出，再由得出，进而即可得证．
【详解】（1）证明：和均为等边三角形，
，
，
在与中，
，
；
（2）解：，
，
，，
．
（3）证明：，，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
是等边三角形．
10．(24-25八上·河北保定定州·期中)如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)32
【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行线的性质并结合角平分线的定义得出，即可得证；
（2）由（1）知，，再证明得出，最后求出，即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∴，
∴．
∴是等腰三角形．
（2）解：由（1）知，．
∵点F是的中点，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴的周长为．
11．(24-25八上·广西河池东兰县·期中)已知和都是等腰直角三角形，点D是直线上的一动点（点D不与重合），连接．
(1)在图1中，当点D在边上时，求证：；
(2)在图2中，当点D在边的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，并说明理由
【答案】(1)见解析
(2)不成立，应为，见解析
【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的概念得到，，证明，利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论；
（2）证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论．
【详解】（1）证明：和是等腰直角三角形，
，，
，
，即，
在和中，
，
，
；
（2）结论不成立，猜想，
理由如下：
，
，即，
在和中，
，
，
．
12．(24-25八·陕西汉中略阳县·期末)已知，D为等边的边上一点，E为直线上一点，．
(1)如图1，当点E在线段上时，求证：是等边三角形；
(2)如图2，当点E在的延长线上时，交于点P，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键；
（1）根据有一个角是度的等腰三角形是等边三角形即可证明；
（2）过点作，交于点，证明，得出可推出结果．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，，
又，
．
又，
是等边三角形；
（2）解：如图，过点作，交于点，
，，，
是等边三角形，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
又，
，
，
又，
．
13．(23-24八上·广东拨尖创新人才·期末)已知和中，，，，与交于点．
(1)如图当时求证：；
(2)如图，直接写出的度数为______（用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）利用角的和差关系可得，利用证明 ，然后根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）由已知条件得到，推出 ，根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和可得，根据平角定义可得．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且．
(1)求证：；
(2)延长交延长线于点，求证：；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）过点A作于点H，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可证明结论；
（2）根据折叠得出，根据；得出，
根据，得出，根据等腰三角形的判定得出结论；
【详解】（1）证明：过点A作于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：根据折叠可知：，
∵；
∴，
∵，
∴，
∴．
15．(23-24八下·陕西咸阳永寿县上邑中学·月考)如图，在中，，以为边作等边三角形．点E在外，．
(1)求的度数；
(2)求证：是等边三角形；
(3)连接，若，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)4
【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、含角的直角三角形的特征，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．
（1）利用等边三角形的性质及可得，进而可得，则可求解；
（2）利用可证得，进而可得，再根据等边三角形的判定即可证结论；
（3）连接，可得，进而可得，再根据即可求解．
【详解】（1）解：是等边三角形，
．
在和中，
，
，
，
．
（2）证明：，
．
，
．
在和中，
，
．
．
，
是等边三角形．
（3）连接，如图：
，
．
，
．
，
，
．
，
，
．
16．常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种：
(1)如图①，平分，，则；
(2)如图②，，平分，则是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边．
（1）由角平分线的定义求得，由平行线的性质求得，推出
，再根据等角对等边即可证明；
（2）由平行线的性质求得，，再由角平分线的定义求得，推出，即可证明是等腰三角形．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形．
17．如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点．
(1)求证：是线段的中点；
(2)求证：；
(3)连接，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)为等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）先证明，，进一步证明，再结合等腰三角形的性质可得结论；
（2）先证明，可得，结合，可得，进一步可得结论；
（3）先证明，结合，可得，可得，从而可得结论．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
∴，即E是线段的中点．
（2）证明：由（1）可得．
，D为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即．
（3）解： 为等腰三角形．
理由：如图，连接，
∵E是线段的中点，，
，
由（2），得，
，
，
∴为等腰三角形．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
18．(2024九·江西省九江市·期末)已知，，为中点，于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，将绕点逆时针旋转至；
(2)在图2中，将绕点顺时针旋转 至．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）延长、交于点，即为所求；
（2）连接、交于点，连接并延长交于，连接并延长交的延长线于，即为所求．
【详解】（1）解：如图，延长、交于点，即为所求，
，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴即为所求；
（2）解：如图，连接、交于点，连接并延长交于，连接并延长交的延长线于，即为所求，
，
∵在中，，
∴，
∵为中点，
∴，，
∴垂直平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴即为所求．
19．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解答本题的关键．
（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论；
（2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是进一步得到，利用即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
又平分，
，
又在和中
，
，
，
为等腰三角形；
（2）如图，连接，
平分，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
又中，，
，
，
．
．
20．(24-25八下·江西鹰潭余江区正源学校·月考)如图，在等边中，点D，E分别在边，上，，点在的延长线上，且，若，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用平行线性质得到角的关系以判定等边三角形，通过作垂线构造直角三角形，结合等腰三角形三线合一建立线段间的等量关系．
（1）由等边三角形的各角为，结合利用平行线的同位角相等可得，再结合即可证明是等边三角形；
（2）设由是等边三角形得结合可得过E作利用得，进而得由和得再通过建立关于x的方程，求解即可得的长．
【详解】（1）解：证明：∵是等边三角形
∴．
∵，
∴，，
∴是等边三角形．
（2）如图，过点作，垂足为点，则，设 ．由（1）得是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
即，解得，
∴线段的长为6．
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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破四 等腰三角形的性质与判定解答题（20道）（培优题）
1．(25-26八上·河南信阳罗山县彭新镇一中·月考)如图所示，中，，于点E，于点D，交于F．
(1)若，求的度数；
(2)若点F是的中点，求证：.
2．在中，，点在边上，连接，．
(1)如图①，求证：为等边三角形；
(2)如图②，点在边上，连接交于点，若，求的度数．
3．如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G．
(1)求证：G为中点；
(2)若，求的度数．
4．如图，已知等边三角形中，，的平分线相交于点O，，，分别交于点D，E．
求证：
(1)是等边三角形；
(2)．
5．(2025·浙江省杭州市·三模)如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F．
(1)证明：；
(2)若，求证：为等边三角形．
6．如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)已知，求的长．
7．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工业大学附属中学·期末)如图，与都是等边三角形，点，分别在，上，，与交于点．
(1)求的度数；
(2)连接，求证：．
8．(24-25八上·广东广州番禺区桥兴中学·期中)如图，，，，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)求证：．
9．(24-25八上·广东广州番禺区桥兴中学·期中)如图，已知点B，C，D在同一条直线上，和都是等边三角形．交于F，交于G，交于O．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：为等边三角形．
10．(24-25八上·河北保定定州·期中)如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，，求的周长．
11．(24-25八上·广西河池东兰县·期中)已知和都是等腰直角三角形，点D是直线上的一动点（点D不与重合），连接．
(1)在图1中，当点D在边上时，求证：；
(2)在图2中，当点D在边的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，并说明理由
12．(24-25八·陕西汉中略阳县·期末)已知，D为等边的边上一点，E为直线上一点，．
(1)如图1，当点E在线段上时，求证：是等边三角形；
(2)如图2，当点E在的延长线上时，交于点P，若，，求的长．
13．(23-24八上·广东拨尖创新人才·期末)已知和中，，，，与交于点．
(1)如图当时求证：；
(2)如图，直接写出的度数为______（用含的式子表示）．
14．如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且．
(1)求证：；
(2)延长交延长线于点，求证：；
15．(23-24八下·陕西咸阳永寿县上邑中学·月考)如图，在中，，以为边作等边三角形．点E在外，．
(1)求的度数；
(2)求证：是等边三角形；
(3)连接，若，求的长．
16．常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种：
(1)如图①，平分，，则；
(2)如图②，，平分，则是等腰三角形．
17．如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点．
(1)求证：是线段的中点；
(2)求证：；
(3)连接，试判断的形状，并说明理由．
18．(2024九·江西省九江市·期末)已知，，为中点，于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，将绕点逆时针旋转至；
(2)在图2中，将绕点顺时针旋转 至．
19．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，，求的长．
20．(24-25八下·江西鹰潭余江区正源学校·月考)如图，在等边中，点D，E分别在边，上，，点在的延长线上，且，若，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求线段的长．
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