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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破二 “等边对等角”综合（三大题型20道）
题型一：等边对等角与外角结合问题
1．(24-25八上·浙江宁波北仑区五校联考·期中)如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是 ．
2．(24-25八上·江苏扬州邗江实验学校·月考)如图，点在线段上，且，如果，那么 ．
3．如图，已知分别是射线、线段上的点，且；分别是射线、线段上的点，且；分别是射线线段上的点，且以此类推，则的度数为 °．
4．(24-25八上·山东威海文登区·期末)如图，，，则的度数为 ．
5．(24-25八上·山东东营垦利区·期末)如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是 ．
6．(24-25八下·黑龙江绥化第四中学校·期中)如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到点，使，连接，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个按此作法继续下去，则第2023个三角形的底角度数是 ．
7．(24-25八下·辽宁沈阳于洪区·期中)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是 ．
8．(24-25八上·河南安阳第五中学·期中)如图，若，，在上，，在上，且，，则 ．
题型二：等边对等角中需分情况讨论问题
1．(23-24八上·广东珠海香洲区珠海第九中学·期中)在中，，边的中垂线与直线所成的角为，则等于（ ）
A． B．或 C．或 D．或
2．如图，在中 ，，，平分，M 为射线上的一动点． 当为等腰三角形时，的度数为
3．(24-25八下·陕西西安交通大学附属中学分校·期中)在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为 ．
4．△的两边、的垂直平分线分别交直线于、，且，则的度数 ．
5．(24-25八上·黑龙江哈尔滨巴彦县华山乡中学·月考)中，，边的垂直平分线交直线于点M，交于点D，若，则的度数为 ．
6．(24-25八上·湖北武汉武昌区·期末)在中，，平分交于点D，作交直线于点E．若，则的度数为 ．
7．(24-25八下·江西上饶鄱阳县四十里街镇第二中学·月考)如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．
8．(24-25八上·江苏无锡新吴区·期末)如图，在中，，，是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点．若是等腰三角形，则的度数为 °．
9．(24-25八上·江西赣州南康区·期末)如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是 ．
10．(24-25八上·河南新乡获嘉县·期末)如图，在中，，点是边上的动点，分别以为折痕折叠和，恰好边的对应边与的对应边重合于．当为直角三角形时，的度数为 ．
题型三：等边对等角中动点问题
1．(24-25八上·广东揭西县宝塔实验学校·期末)中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为 ．
2．(23-24七下·甘肃兰州第三十五中学·期末)如图，已知中，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段上由点A向C点以的速度运动，经过 秒后，与全等．
3．(24-25八上·湖南永州柳子中学·期中)如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动时间为 秒时，与全等．
4．(24-25八上·四川德阳第五中学·期中)中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米秒，则当与全等时，的值为 ．
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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破二 “等边对等角”综合（三大题型20道）
题型一：等边对等角与外角结合问题
1．(24-25八上·浙江宁波北仑区五校联考·期中)如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是 ．
【答案】50
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质，逐步推导得出角度．此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．
【详解】解：，，，，
，，，，
，
，
，
．
故答案为：50．
2．(24-25八上·江苏扬州邗江实验学校·月考)如图，点在线段上，且，如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其外角性质，熟练掌握等边对等角是解答的关键．根据等边对等角求得，再根据三角形的外角定理得，进一步推论，即可求得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
同理：，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
3．如图，已知分别是射线、线段上的点，且；分别是射线、线段上的点，且；分别是射线线段上的点，且以此类推，则的度数为 °．
【答案】10
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，即可求解
【详解】解：，，
．
，
．
，
．
，．
故答案为10．
4．(24-25八上·山东威海文登区·期末)如图，，，则的度数为 ．
【答案】/18度
【分析】本题考查了等边对等角、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．设，先根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，，再根据等边对等角和外角的性质求解即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．(24-25八上·山东东营垦利区·期末)如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
6．(24-25八下·黑龙江绥化第四中学校·期中)如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到点，使，连接，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个按此作法继续下去，则第2023个三角形的底角度数是 ．
【答案】
【分析】先根据等腰三角形的性质求得的度数，再根据三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角和，分别求出的度数，找出规律即可得到第个三角形中以为顶点的底角度数．
【详解】解：在中，
是的外角，
同理得，
第个三角形中以为顶点的底角度数是
第2023个三角形的底角度数是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、规律型—图形的变化类等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
7．(24-25八下·辽宁沈阳于洪区·期中)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是 ．
【答案】/105度
【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角，根据等边对等角，求出，外角的性质，得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
8．(24-25八上·河南安阳第五中学·期中)如图，若，，在上，，在上，且，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的一个外角和的性质等知识点，正确运用三角形外角的性质成为解题的关键．
根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得、，进而得到，最后根据平角的定义求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
题型二：等边对等角中需分情况讨论问题
1．(23-24八上·广东珠海香洲区珠海第九中学·期中)在中，，边的中垂线与直线所成的角为，则等于（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质， 熟知线段垂直平分线上任意一点， 到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 ．由于的形状不能确定， 故应分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论 ．
【详解】解： 如图①， 当的中垂线与线段相交时， 则可得，
，
，
，
；
如图②， 当的中垂线与线段的延长线相交时， 则可得，
，
，
，
，
．
为或．
故选：B．
2．如图，在中 ，，，平分，M 为射线上的一动点． 当为等腰三角形时，的度数为
【答案】或或
【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论．根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，，根据角平分线的定义求出．分三种情况：当时，当时，当时，画出图形，求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
又，
即，
解得，
∴，
∵平分，
∴．
①如图，当时，
，
∴；
② 如图 ，当时，
∴；
③如图，当时，
∴．
综上分析可知：的度数为：或或
故答案为：或或．
3．(24-25八下·陕西西安交通大学附属中学分校·期中)在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形内角和定理、分类讨论的思想、等腰三角形的性质、三角形外角定理．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．分两种情况：一种情况是把分成两个等腰三角形，且、；另一种情况是把分成两个等腰三角形，且、，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时，
设，则，
，
三角形内角和为，
，
，
解得：，
；
如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时，
设，
则，，
三角形内角和为，
，
，
解得：，
；
综上所述，的度数可以是或．
故答案为： 或．
4．△的两边、的垂直平分线分别交直线于、，且，则的度数 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，
分三种情况：当是锐角时，根据线段垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质得，然后表示，最后根据三角形的内角和定理得出答案；当是直角，不符合题意；当是钝角时， 先表示出，再表示出，然后根据三角形内角和定理得出答案.
【详解】解：当是锐角时，如图所示，
∵的两边的垂直平分线分别交于直线于点D，E，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
解得.
当是直角，不符合题意；
当是钝角时，如图所示，
∵的两边的垂直平分线分别交于直线于点D，E，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
解得.
所以的度数是或.
故答案为：或.
5．(24-25八上·黑龙江哈尔滨巴彦县华山乡中学·月考)中，，边的垂直平分线交直线于点M，交于点D，若，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点，根据题意画出示意图是解题的关键．根据题意，分2种情况①点M在边上，②点M在延长线上，连接，利用线段垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形的性质分别得到，，，设，结合图形利用三角形内角和定理列出方程，解出的值即可得出答案．
【详解】解：①若点M在边上，如图，连接，
，
，
是边的垂直平分线，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
解得：，
；
②若点M在延长线上，如图，连接，
，
，
是边的垂直平分线，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
解得：，
；
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
6．(24-25八上·湖北武汉武昌区·期末)在中，，平分交于点D，作交直线于点E．若，则的度数为 ．
【答案】105度或15度
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．由题可知需要分类讨论，当点E在点B左侧时，当点E在点C右侧时，根据可利用截长补短思路作辅助线，延长到点K，使，连接，证，即可得解．
【详解】解：①如图，当点E在点B左侧时，
延长到点K，使，连接，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
②如图，当点E在点C右侧时，
延长到点K，使，连接，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
综上，的度数为或．
故答案为：或．
7．(24-25八下·江西上饶鄱阳县四十里街镇第二中学·月考)如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．
【答案】或或
【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质．令，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用表示出三个内角的度数，再对等腰进行分类讨论即可解决问题．
【详解】解：，，
．
令，
和关于直线对称，
，，
．
，且平分，
．
，，
．
同理可得，，
．
当时，
，即，
解得：；
当时，，
解得：；
当时，，
．
综上所述，的度数为：或或．
故答案为：或或．
8．(24-25八上·江苏无锡新吴区·期末)如图，在中，，，是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点．若是等腰三角形，则的度数为 °．
【答案】或或
【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．设，由折叠的性质可求，，，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解．
【详解】解：设，
将沿翻折至处，如图１，
，，，
，，
当，则，
，
；
当，则，
，
；
如图2，
由折叠可知，，，，
显然此时为钝角，，
若是等腰三角形，则只能，即，
，
．
综上所述，的度数或或．
故答案为：或或．
9．(24-25八上·江西赣州南康区·期末)如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是 ．
【答案】或或
【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论．
先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得的度数，再分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论继续运用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
①当，即D点在处时，
此时
；
②当时，即D点在处时，
此时，
③当时，即D点在处时，
此时，
综上所述的度数是或或．
故答案为：或或．
10．(24-25八上·河南新乡获嘉县·期末)如图，在中，，点是边上的动点，分别以为折痕折叠和，恰好边的对应边与的对应边重合于．当为直角三角形时，的度数为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要查了等腰三角形的性质以及折叠的性质．根据等腰三角形的性质以及折叠的性质，可得，然后分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：∵ ．
，
由折叠的性质，得： ，
．
分两种情况进行讨论：
①如图 1，当 时， ，则 ，
，
；
②如图 2，当 时，则 ．
，
．
．
．
综上所述， 的度数为 或 ．
故答案为： 或
题型三：等边对等角中动点问题
1．(24-25八上·广东揭西县宝塔实验学校·期末)中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为 ．
【答案】2或3
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，此题要分两种情况：①当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v．
【详解】解：分以下两种情况：
当时，，
∵点D为的中点，
∴（厘米），
∵，
∴（厘米），
∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间是1秒，
∵，
∴（厘米），
∴（厘米/秒）；
当时，，
∵（厘米），，
∴（厘米），
∵（厘米），
∴（厘米），
∴运动时间为（秒），
∴（厘米/秒），
故答案为：2或3．
2．(23-24七下·甘肃兰州第三十五中学·期末)如图，已知中，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段上由点A向C点以的速度运动，经过 秒后，与全等．
【答案】2
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．由于和不能同时成立，因此不存在的情况；当时，，计算得到P、Q运动的时间是，得到经过2秒后，与全等．
【详解】解：∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
（1）当时，，
∵，
∴P、Q运动的时间是，
∴，
∴，
∴不存在的情况；
（2）当时，，
∵，
∴，
∴P、Q运动的时间是，
∴，
∴，
∴经过2秒后，与全等．
故答案为：2．
3．(24-25八上·湖南永州柳子中学·期中)如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动时间为 秒时，与全等．
【答案】或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
根据等腰三角形的性质可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，即可求解．
【详解】解：∵点D为的中点，
∴，
∵在中，，
∴，
当时，，
∵，
∴，
∴运动时间为；
当时，，
∵，
∴，
∴运动时间为，
综上所述，点Q的运动时间为或
故答案为：或．
4．(24-25八上·四川德阳第五中学·期中)中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米秒，则当与全等时，的值为 ．
【答案】2或
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，当△与△全等时，设两点所用时间为，分为两种情况进行分析即可．分情况讨论是解题的关键．
【详解】解：当与全等时，设两点所用时间为，
则，，，
点为的中点，
厘米，
若，，
则，
解得：，
若，，
则，，
解得：，．
的值为2或，
故答案为：2或．
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