第二章 特殊三角形章末复习（1）------线段垂直平分线 角平分线：定义、性质、判定

(共27张PPT)
浙教版八年级上册
第二章 特殊三角形 章末复习（1）
--------线段垂直平分线+角平分线：定义、性质、判定、画法、识别
定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个_____
的角的射线，叫作这个角的平分线.
相等
∵ OB平分∠AOC.
∴
角平分线
新知讲解
性质：
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE.
新知讲解
判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
P
A
O
B
D
E
C
画法：已知∠BAC，用直尺和圆规画∠BAC的平分线AD
B
A
C
射线AD为∠BAC的平分线
E
F
D
2.再过点M作OA的垂线
1.如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON
3.过点N作OB的垂线,两垂线交于点P
4.那么射线OP就是∠AOB的平分线.
A
B
O
●
●
●P
M
N
给你一块有刻度的三角板，作出∠AOB的平分线
在一张透明纸上任意画一个角∠AOB，把这张纸折叠，
使角的两边OA与OB重合，然后把纸展开，画出折痕OC．
C
O
B
A
折痕OC就是∠AOB的平分线
由折痕得：∠BOC=∠AOC=∠AOB
识别：
A
B
D
C
∵AD是△ABC的一条角平分线，
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC
定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形的角平分线：
1.锐角三角形
2.直角三角形
3.钝角三角形
性质：三角形的三条角平分线交于一点，
并且这点到三边的距离相等.
　　三角形三条角平分线的交点，
叫做三角形的内心。
A
B
C
N
M
D
E
F
P
P
P
P
定义：垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，
简称中垂线.如图,直线l⊥AB于点D,且AD=BD,直线l就是线段AB的垂直平分线.
性质:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
P
线段垂直平分线：
∵ 点P在线段AB的垂直平分线上 ,
∴ PA=PB.
P1
判定:
1.若一个点到线段两端的距离相等，
则该点必定位于该线段的垂直平分线上
P2
A
B
2.到线段两端点的距离相等的点的集合构成该线段垂直平分线.
m
∵ P1A=P1B
∴点P1在线段AB的垂直平分线上
∵ P2A=P2B
∴点P2在线段AB的垂直平分线上
∴直线m是线段AB的垂直平分线
A
B
C
已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线。
画法：
直线CD就是线段AB的垂直平分线。
D
A
B
C
D
BD=CD
∠BAD =∠CAD
∠ADB =∠ADC=900
1.AD是顶角∠BAC 平分线
2.AD是底边BC上的中线
3.AD是底边BC上的高线
.
.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合。
简称“等腰三角形三线合一”
识别：
对称轴直线AD是线段BC的垂直平分线
1.等腰三角形是轴对称图形，其___________所在的直线是它的对称轴．
顶角平分线
① 如图，点C在直线l上，试过点C画出直线l的垂线．
2.过定点作已知直线的垂线
D
C
A
B
l
识别：
直线AD是线段AB的垂直平分线
②.如图，如果点C不在直线l上，过点C画出直线l的垂线
A
B
D
1.若一个点到线段两端的距离相等，
则该点必定位于该线段的垂直平分线上
2.到线段两端点的距离相等的点的集合
构成该线段垂直平分线.
直线CD是线段AB的垂直平分线
3. 如图古代有一将军，每天都要从驻地A处出发，到河边饮马，
再到同岸的军营B处巡视，请问他应该怎么走才能使路程最短，画图说明.
A'
A·
B·
m
┐
=
=
直线m是线段AA’的垂直平分线
1.如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？
夯实基础，稳扎稳打
画线段AB的垂直平分线
　
2．如图，EFGH为矩形台球桌面，现有一白球A和一彩球B．应怎样击打白球A，才能使白球A碰撞台边EF，反弹后能击中彩球B？21·cn·jy·com
将直线EF看作线段AA’的垂直平分线
3.有 A, B ,C 三农户准备一起挖一口井，使它到三农户家的距离相等.
这口井应挖在何处？请在图中标出井的位置，并说明理由.
A
C
B
4.到△ A B C 三边的距离相等.请在图中标出位置，并说明理由.
A
C
B
5.已知线段a, h,用直尺和圆规作等腰三角形ABC,
使底边BC=a, BC边上的高为h.
h
a
作BC的中垂线m
D
B
C
h
A
若一个点到线段两端的距离相等，
则该点必定位于该线段的垂直平分线上
5.如图，已知∠AOB及M、N两点，
求作：点P，使点P到∠AOB的两边距离相等，且到M、N的两点也距离相等。
6.如图，AD垂直平分BC，D为垂足. DM⊥AC，DN⊥AB，M，N分别为垂足.
求证：DM=DN.
思路①：通过证两次三角形全等来得到.
AD垂直平分BC
∠ADC=∠ADB=90°
BD=CD
AD=AD
△ADC≌△ADB
∠CAD=∠BAD
∠C=∠B
△ADM≌△ADN
△MDC≌△NDB
DM=DN
DM=DN
(SAS)
(AAS)
(AAS)
连续递推，豁然开朗
思路②：通过证一次全等，再利用
角平分线性质来得到.
△ADC≌△ADB
∠CAD=∠BAD
DM⊥AC，DN⊥AB
DM=DN
一题多解
思路③：利用面积法来得到.
AD垂直平分BC
AB=AC
S△ADC=S△ADB
DM=DN
AB=AC
AD是ABC的中线
证明两条线段相等的新方法
——面积法（利用面积相等）
7.已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.求证：PA=PD.
分析
AB∥CD
AD过点P，且与AB垂直
∠BAD+∠CDA= 180°
∠BAD= 90°
∠CDA= 90°
BP平分∠ABC
CP平分∠DCB
PA ⊥ BA
PD⊥ CD
PA =
PD=
过点P作PE⊥BC于点E
谢谢
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