第二章 特殊三角形 章末复习(3)------等腰三角形、直角三角形----定义、性质、判定

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浙教版八上数学
第二章 特殊三角形章末复习（3）
-------等腰三角形、直角三角形：定义、性质、判定
等腰三角形
(1)定义：
有两边相等的三角形叫做等腰三角形．
(2)性质：
①等腰三角形是___________图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴．
轴对称
②等腰三角形的两个底角相等．
也可以说成在同一个三角形中，______________.
等边对等角
③等腰三角形的顶角___________、底边上的___________和高线互相重合，
简称等腰三角形三线合一．
平分线
中线
④等腰三角形的顶角的外角是底角的 _______倍．
2
x
x
2x
(
（3）判定
两
等角对等边
①如果一个三角形有____个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
可以简单地说成：在同一个三角形中，_______________.
②一边上的高线与该边上的中线_________的三角形是等腰三角形．
重合
③一边上的高线与该边所对角的平分线_______的三角形是等腰三角形．
重合
④一边上的中线与该边所对角的平分线_____的三角形是等腰三角形．
重合
A
B
C
D
1
2
A
B
C
D
1
2
A'
相等
60
等边三角形
(1)定义：
三边都___________的三角形叫做等边三角形．
(2)性质：
等边三角形的各内角都等于___________°.
A
C
B
60°
60°
60°
A
C
B
=
=
=
A
C
B
60°
A
C
B
60°
=
=
=
=
②有一个角是60°的___________三角形是等边三角形．
相等
等腰
（3）判定：
①三个角都___________的三角形是等边三角形．
直角三角形
直角
互余
一半
一半
互余
a2＋b2＝c2
(1)定义：
有一个角是_________的三角形叫做直角三角形．
(2)性质：
①直角三角形的两个锐角___________.
③直角三角形斜边上的中线等于斜边的___________.
②如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，那么__________
④ 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的________.
(3)判定：
①有两个角___________的三角形是直角三角形．
②如果三角形的三边长分别为a，b，c(a≤b＜c)，并且满足_____________，那么这个三角形是直角三角形．
a2＋b2＝c2
③一边上的中线等于该边的________的三角形是直角三角形
一半
A
B
C
c
a
b
O
推理有哪几种形式？
逆推（分析法）：从结论出发，逆溯其成立的条件，再就这些条件分别研究，
看它的成立又需要什么条件，继续逐步逆溯直至达到已知条件为止，
简称“执果索因”-------由结果去寻找原因
顺推（综合法）：从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步推理直到要证明的结论， 简称“执因索果”---------由原因去寻找结果
两头凑法（顺推逆推两头凑）：先从已知条件出发，看可以得出什么结果，再从要证明的结论开始寻求，看它的成立需要具备哪些条件，最后看它们的差距在哪里，从而找出正确的证题途径
逆推顺证：在证明几何题的过程中，往往是用分析法去分析问题，用综合法证明问题。其一般步骤是先用分析的方法，对所要求证的结论按照“欲证-------需证------只要证”的思路进行分析，然后再用综合的方法规范的书写出证题过程。
齐声朗读：
用分析法“思”
用综合法“解”
1.如 图 , 在 △ ABC 和 △ DCB 中 , ∠A=∠D=90°, AC=DB,
AC与DB相交于点O．求证：△OBC是等腰三角形．
1
2
请用逆推法（分析法）讲解你的思路
从“要证”开始
如 图 , 在 △ ABC 和 △ DCB 中 , ∠A=∠D=90°, AC=DB,
AC与DB相交于点O．求证：△OBC是等腰三角形．
1
2
分析法（执果索因）：探究思路
△OBC是等腰三角形．
要证
需证
∠1=∠2
只要证
Rt△ABC ≌Rt△DCB
AC=DB
（已知）
∠A=∠D=90°
（已知）
（公共边）
分析法（逆推）：执果索因
问渠那得清如许？为有源头活水来
由结果追溯原因，寻求结果成立的条件
要证----只需证----逐步靠拢已知
如 图 , 在 △ ABC 和 △ DCB 中 , ∠A=∠D=90°, AC=DB,
AC与DB相交于点O．求证：△OBC是等腰三角形．
1
2
请用顺推法（综合法）表达：
∵ ∴
如 图 , 在 △ ABC 和 △ DCB 中 , ∠A=∠D=90°, AC=DB,
AC与DB相交于点O．求证：△OBC是等腰三角形．
证明：
在Rt△ABC 和Rt△DCB中，
.
∴Rt△ABC ≌Rt△DCB (HL)
1
2
∴∠1=∠2
∴OB=OC
∴△OBC是等腰三角形
综合法（顺推）：由因导果
瞎子摘葫芦----------顺藤摸瓜（顺着藤，摸到瓜）：
=已知-------可知-------推向未知
顺着已知条件，推出要证的结论
2.如图，在△ABC中，AD是角平分线，且BD = CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E , F. 求证：EB=FC.
分析法（执果索因）：探究思路
欲证
EB=FC
需证
Rt△BED ≌Rt△CFD
A
B
C
D
E
F
┓
┓
BD= CD
（已知）
只要证
DE=DF
AD是角平分线
(已知）
DE⊥AB, DF⊥AC
(已知）
综合法（由因导果）：解答问题
证明：
∵ AD是角平分线
DE⊥AB, DF⊥AC
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等)
在Rt△BDE 和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE ≌Rt△CDF (HL)
EB=FC
逆推顺证
.
3.如图, AD平分∠BAC, AD⊥BD, 垂足为D, DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
分析法：执果索因逆推溯源
欲证
△BDE是等腰三角形．
需证
∠1=∠2
1
2
只要证
∠EAD=∠DAC
AD平分∠BAC(已知）
DE∥AC（已知）
∠DAC=∠EDA
两头凑法：（顺推逆推两头凑）
综合法：由因导果顺藤摸瓜
证明：
∵ AD平分∠BAC
∴BE=DE
△BDE是等腰三角形．
∠EAD=∠DAC
.
DE∥AC
.
∠DAC=∠EDA
.
.
AD⊥BD
.
∠1=900-∠EAD，
.
∠2=900-∠EDA，
.
∠1=∠2
.
4.如图：∠C=90°, ∠B=30°, AD是△ABC的角平分线.
求证：BD=2CD.
B
C
A
D
┓
30°
30°
30°
证明：
∠C=90°, ∠B=30°
AD是△ABC的角平分线.
∠B= ∠B=
30°
在Rt△AC D中，
BD=2CD.
请谈谈你的收获
上联：
由因导果顺藤摸瓜（综合法）
下联：执果索因逆推溯源（分析法）
横批：得心应手
5.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，求证：GE=BE+GD
在正方形ABCD中， BC=CD，∠B=∠CDF=900，
∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS）
（1）证明：
∴CE=CF．
（2）
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
∵△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF，
又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF, GC=GC，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=GF． ∴GE=DF+GD=BE+GD．
6.在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF，
（2）如图2，连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH．若AB 2＝AE 2+BD 2，证明CD=CH．
∴BD⊥AF，
（1）证明：在△BCD和△FCE中，
.
∴△BCD≌△FCE（SAS），
∴∠DBC＝∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
(2) 证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，
∵AC⊥BF，BC＝CF，
∴AB＝AF，
由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，
∵AB2＝AE2+BD2，
∴AF2＝AE2+EF2，
∴∠AEF＝90°，
∴AE⊥EF，
∴∠DHE＝90°，
又∵CD＝CE，
∴CH＝CD＝CE．
谢谢
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