1.6 线段垂直平分线的性质 课件（共15张PPT）-初中数学浙教版（2024）八年级上册

1.6 线段垂直平分线的性质
第1章 三角形的初步知识
1.能描述垂直平分线的定义，掌握“垂直平分线上的任意一点到线段两端距离相等”这一性质，并能用几何语言表达.
2.能运用垂直平分线的性质解决简单的几何问题（如证明三角形全等、求线段长度或角度），并能结合尺规作图完成给定线段的垂直平分线操作.
3.通过例题，能理解性质与逆定理的关系.
学习目标
情境引入
情境1.村庄A和B在一条河流两侧，为了方便居民的生活，需要在两个村庄之间建立一个消防站，如图所示.
村庄A
村庄B
消防站
同桌讨论一下：应该把消防站建立在何处，才能使得它到两个村庄之间的距离相等呢？
河
情境引入
情境2.观察箭发射的过程中，两段弓弦AB，AC有什么关系？若箭所在的直线为AD，则AD与BC有什么关系？
归纳：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
AB=AC .
AD⊥BC，BD=DC.
探究.如图所示：直线l⊥AB于点O，且OA=OB.C是直线l上的任意一点.
求证：CA=CB
证明：∵l⊥AB，
∴∠COA=∠CBO.
∵在△CAO和△CBO中，
OA=OB(已知)，
∠COA=∠COB(已证)，
OC=OC (公共边)，
∴△CAO≌△CBO(SAS).
∴CA=CB (全等三角形的对应边相等).
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
探究新知
例1.要作线段AB的垂直平分线，只需找出线段AB的垂直平分线上的两个点，这两个点到点A，B的距离分别相等.
作法：
1.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两段弧相交于点C，D.
2.作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线.
例题精讲
1.如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，为了使其到A、B两块田地的距离相等.请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹.
作法：先分别以A，B为圆心，以大于12AB的半径画圆，然后连接两交点的直线交河面的点即为小水塘的位置.
?
变式训练
解：∵DE垂直平分AC，
∴AD=DC，
∴△BCD的周长为BC+BD+DC=BC+BD+AD=BC+AB=22cm.
∵AB=AC=12cm.
∴BC+12=22，解得BC=10cm.
∴底边BC的长为10cm.
例2.如图，在△ABC中，AB=AC=12cm，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，且△BCD的周长为22cm，求底边BC的长.
分析：由DE垂直平分AC，可得AD=DC，则可求出△BDC的周长为BC+AB，把AB的值代入即可求出BC.
例题精讲
证明：∵DE⊥AB，AC⊥BC，∴∠AED=∠ACB=90°
又∵AD是CE的垂直平分线，∴AE=AC、ED=DC，
∴在△AED和△ACD中，AE=AC，∠AEC=∠ACD，ED=DC.
∴△AED≌△ACD(SAS).
∴∠DAE=∠DAC，
∴AD平分∠BAC.
2.如图，在△ABC中，AC⊥BC，DE⊥AB于点E、AD是CE的垂直平分线，
求证：AD平分∠BAC.
分析：此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，先证明△AED≌△ACD(SAS)，得到∠DAE=∠DAC，即可得到结论.
变式训练
例3.如图，在△ABC中，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相
交于点M、N，作直线MN分别交BC、AC于点D、E.若AE=4cm，△ABD的周长
为14cm，则△ABC的周长为______cm.
例题精讲
解：由题意得到MN垂直平分AC，
∴CE=AE=4cm，DA=DC.
∵△ABD的周长为14cm，
∴AB+BD+AD=14cm，∴AB+BD+DC=14cm，
即AB+BC=14cm.
△ABC的周长=AB+BC+AC=14+4+4=22cm.
22
分析：主要考查作图和垂直平分线的性质，根据题意得到MN的垂直平分线AC，
利用等量代换即可得到答案.
3.如图，已知线段AB，分别以点A、B为圆心，5为半径作弧相较于C、D，连接
CD，点E在CD上，连CA、CB、EA、EB，若△ABC与△ABE的周长之差为4，
则AE的长为 _____.
解：根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，AE=BE.
∴△ABC与△ABE的周长之差为4，即2AC-2AE=4.
∵AC=5，∴10-2AE=4.
解得AE=3.
3
变式训练
分析：根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，△ABC与△ABE的周长之差为4，就是2AC-2AE=4，即可求解.
1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°.
（1）请用直尺和圆规作线段BC的垂直平分线，分别交线段BC、AC于点E、F
（2）连接BF，请找出图中和BF相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）.
解：（1）如图，分别以点B和点C为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线MN，分别交线段BC、AC与点E、F，点E、F即为所求.
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（2）∵EF是线段BC的垂直平分线.
∴CF=BF.
课堂练习
2.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点D，
连接CE. 若△ABC的周长为19，△BCE的周长为13，求AD的长.
解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，EC=EA.
∵△BCE的周长为13，∴BE+EC+BC=13.
∴BE+AE+BC=13，即AB+BC=13.
∵△ABC的周长为19，∴AB+BC+AC=19，
∴AC=6.
∵AD=CD，∴AD=3.
课堂练习
3.如图所示，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分线ME交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线NF交BC于点N，交AC于点F，求∠MAN的度数.
解：∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-130°=50°.
∵ME是线段AB的垂直平分线，NF是线段AC的垂直平分线，
∴MA=MB，NA=NC，
∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C.
∴∠MAB+∠NAC=∠B+∠C=50°.
∴∠MAN=130°-50°=80°.
课堂练习
本课结束