1.7 角平分线的性质 课件（共15张PPT）-初中数学浙教版（2024）八年级上册

(共15张PPT)
1.7　角平分线的性质
第1章 三角形的初步知识
学习目标
1.理解角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.
2.能利用角平分线的性质解决问题.
课程引入
工人师傅用角尺来平分一个角.如图，∠AOB是任意角，在OA，OB上分
别取OM=ON.移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角
尺顶点C的射线OC就是∠AOB的平分线.想一想，这种方法的依据是什么？
由此你能想到怎样作一个角的平分线？
课本例题
例1.已知∠BAC，如图，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD.
分析：如果能找到∠BAC的平分线上一点D，那么射线AD就是∠BAC的
平分线.由于角平分线把角分成两个相等的角，因此可以想象通过作两个
全等三角形来作出点D.
C
B
A
自己尝试在草纸上作图，和大家一起讨论你的作法.
课本例题
1.以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点.
解：作法如下，
射线AD就是所求作的∠BAC的平分线.
D
E
F
2.分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两条弧交于∠BAC内一点D.
3. 作射线AD.
由作法可得△ADF≌△ADE（为什么？），
所以∠1=∠2（全等三角形的对应角相等），
即AD平分∠BAC.
事实上，如图，连结DE，DF.
归纳新知
角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的性质定理：
且PB⊥AB，PC⊥AC（已知）.
∴PB=PC（角平分线的性质）.
∵AP是∠BAC的角平分线，
几何语言：
A
B
C
P
课本例题
例2.已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.求证：PA=PD.
分析：由AB∥CD，AD⊥AB，可得AD⊥CD，则PA，PD的长分别是点P到
AB，CD的距离.根据角平分线的性质定理知，它们与点P到BC的距离相等.
因此，可先作出点P到BC的垂线段.
问题探究
∵AB∥CD（已知），∴∠BAD+∠CDA=180°.
∵AD⊥AB. ∴∠BAD=90°（垂直的定义）.
∴∠CDA=180°-∠BAD=180°-90°=90°.
∴AD⊥CD（垂直的定义）.
∵PB平分∠ABC（已知），
∴PA=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
同理，PD=PE. ∴PA=PE=PD.
E
证明：如图，作PE⊥BC于点E.
课堂练习
1.如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，
添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是(　　)
A.PC⊥OA，PD⊥OB B.OC=OD
C.∠OPC=∠OPD D.PC=PD
D
2.如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线MN，如果要在MN上找出与
AB、CD距离相等的点，则这样的点至少有____个，最多有____个.
2
1
课堂练习
3.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D.
下列结论错误的是(　　)
A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
B
课堂练习
4.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的.
如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，
△ABC的周长为10，则△ABC的面积为____.
5
课堂练习
课堂练习
5.直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，AB=10，CD=3.
回答：（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积.
解：（1）∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠EAD，
∵DE⊥AB，∠C＝90°，∴∠C=∠DEA=90°，
又∵AD为公共边，∴△ACD≌△AED，∴CD=DE.
∵CD=3，∴DE=3.
（2）∵AB=10，DE=3 ∴△ADB的面积为15.
课堂练习
6.如图，已知△ABC，求作点P，使点P到B，C两点的距离相等，且点
P到∠BAC 两边的距离也相等（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，
不写作法）.
A
B
C
解：如图，点P即为所求.
P
本课结束