3.1 《圆》（2）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2021九上·余杭期中）下列命题正确的是（ ）
A．三个点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．同弧或等弧所对的圆周角相等
D．圆内接平行四边形一定是正方形
2．（2023九上·丰县期中）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④
3．（2024·余姚期中）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点
C．等弧就是长度相等的两条弧
D．圆中最长的弦是直径
4．（2023九上·义乌月考）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点是下列哪个三角形的外心（ ）.
A． B． C． D．
5．（2024九上·秀洲期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个
6．（2024九上·杭州期中）如图在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆心坐标是 ．
7．如图，写出⊙O的内接三角形： .
8．（2021九上·宁波期中）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 .
9．（2022九上·秀洲期中）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，
（1）画出平面直角坐标系．
（2）仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心并直接写出圆心的坐标．（不写作法，保留作图痕迹）
二、能力提升
10．根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，可以判断平面直角坐标系内的三个点A(3，0)，B(0，-4)，C(2，-3) 确定一个圆．(填“能”或“不能”)
11．（2024九上·拱墅月考）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020九上·灌云月考）如图， 外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4） D．(0，0)
13．下列命题不正确的是（ ）
A．过一点有无数个圆
B．过三点能作一个圆
C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
14．（2022九上·南开期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022九上·金东月考）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（ ）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
16．（2021九上·金华期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为 ．
17．如图，在△ABC中，点I是外心，∠BIC=110°，则∠A= ．
18．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为
19．（2024九上·杭州期中）如图，以已知线段为弦作⊙O，使其经过已知点C．利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不必写出作法）．
20．（2024九上·瑞安期末）如图，在的方格纸中，已知是格点三角形（顶点均在格点上），请按要求作图．
（1）在图1中标出外接圆的圆心．
（2）在图2中画格点线段，使得把分为的两条线段．
注：图1，图2在答题纸上．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原命题错误，不符合题意；
C、同弧或等弧所对的圆周角相等，正确，符合题意；
D、圆内接平行四边形一定是矩形，但不一定是正方形，故原命题错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】不在同一直线上的三个点确定一个圆，据此判断A；根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧可判断B；同弧或等弧所对的圆周角相等，据此判断C；根据圆内接四边形的对角互补以及平行四边形的对角相等可判断D.
2．【答案】B
【知识点】圆的相关概念；确定圆的条件；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：①半径相等的圆是等圆，故①正确；
②同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故②不正确；
③以长为半径的圆有无数个，没有指定圆心，故③正确；
④平面上不共线的三点能确定一个圆，故④不正确，
综上，正确的有①③.
故答案为：B．
【分析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，能完全重合的圆就是等圆，据此可判断①；能重合的弧就是等弧，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧，据此可判断②；给出半径长度，没有确定圆心位置的圆可以画出无数个，且这些圆是等圆，据此判断③；平面上不共线的三点能确定一个圆，过同一直线上的三点不作出圆，据此判断④.
3．【答案】D
【知识点】圆的相关概念；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A.三个不在一条直线上的点可以确定一个圆，原说法错误，故此选项不符合题意；
B.三角形的外心是这个三角形三边垂直平分线的交点，原说法错误，故此选项不符合题意；
C.长度相等的两条弧不一定是等弧，原说法错误，故此选项不符合题意.
D.圆中最长的弦是直径，正确，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别利用确定圆的方法以及垂径定理及其推论进而判断得出即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如下图： 由勾股定理得：PC=PE=PB=，∴P到B、C、E的距离相等，∴P是△BCE的外心．
故答案为：D.
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，关键是掌握三角形外心的性质．由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，即可判断．
5．【答案】D
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：当A，B，C三点共线，则过三点不能作出一个圆；当A，B，C三点不共线，则过这三点能作出1个圆，
∴过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0或1个，
故答案为：D．
【分析】根据确定圆确定圆的条件：若平面内三点共线，则过三点作不出圆，若平面内三点不共线，则过三点有且只有1个圆，据此即可求解.
6．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：如图，连接，分别作的垂直平分线交于点，
∴，
故答案为： ．
【分析】根据三角形外接圆圆心为三边垂直平分线的交点，可分别连接，并作的垂直平分线，两线的交点即为圆心，再结合坐标与图形的特点即可求解．
7．【答案】△ABC，△DBC
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由图知：⊙O的所有内接三角形有△ABC和△DBC，
故答案为：△ABC和△DBC.
【分析】 根据圆内接三角形的定义即可得到结论．
8．【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5.
【分析】分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，根据网格图的特征和点与圆的位置关系可判断求解.
9．【答案】解：（1）直角坐标系如图
（2）画法如上图：
结论：点P就是所求圆心．
圆心坐标为（-2，-1）．
【知识点】确定圆的条件；平面直角坐标系的构成；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标为（-3，2），确定坐标原点，即可画出平面直角坐标系；
（2）利用方格画出线段AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P，点P即为圆心，进而写出圆心坐标（-2，-1）．
10．【答案】能
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：设经过A，B两点的直线表达式为y=kx+b，
由A(3，0)，B(0，-4)，
得
解得
∴经过A，B两点的直线表达式为y=x-4．
当x=2时，y=x-4=-≠-3，
所以点C(2，-3)不在直线AB上，
即A，B，C三点不在同一条直线上．
所以A，B，C三点可以确定一个圆．
故答案为“能”．
故答案为：能.
【分析】根据题意，首先确定三个点不在同一直线上，然后根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”即可得到答案.
11．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；确定圆的条件
【解析】【解答】解：设直线的解析式为，
∵M（1，2），N（3，-3），
，
解得：，
，
A、当时，，∴不在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，此选项不符合题意；
B、当时，，∴（-3，5）不在直线MN上，根据不在同一直线三点确定一个圆得（-3，5）与，可以确定一个圆，此选项不符合题意；
C、当时，，∴在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得（-1，7）与，不能确定一个圆，此选项符合题意；
D、当时，，∴（1，-3）不在直线MN上，根据不在同一直线三点确定一个圆得（1，-3）与，可以确定一个圆，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】由题意，用待定系数法求出直线的解析式，再把各选项中的点的横坐标代入函数解析式计算求出对应的纵坐标，与已知的纵坐标比较可判断点是否在直线MN上，然后根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可判断求解．
12．【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，作AB，BC的中垂线，交于点D，点D即为 外接圆的圆心，坐标为（5，2）.
故答案为：A.
【分析】根据三角形各边的中垂线的交点为三角形外接圆的圆心，作出 外接圆的圆心，进而即可得到坐标.
13．【答案】B
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A、过一点有无数个圆，故A选项是正确的．
B、过不在同一条直线上的三点能作一个圆，故B选项是不正确的．
C、三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，故C选项是正确的．
D、直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边，故D选项是正确的．
故答案为：B.
【分析】由确定圆的条件和三角形外接圆、外心的定义和性质即可判断解答.
14．【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：连接，作的垂直平分线，如图所示：
在的垂直平分线上找到一点，则满足：
，
点是过、、三点的圆的圆心，
即的坐标为，
故答案为：C．
【分析】分别作出线段BD和AB的垂直平分线，它们的交点即是点D的坐标。
15．【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：如图，
当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．
故答案为：C.
【分析】当四点在同一条直线上时，不能确定圆；当四点共圆时，只能作一个圆；当三点在同一直线上时，可以作三个圆；当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆.
16．【答案】（1，4）或（6，5）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：因为点P是钝角△ABC的外心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，如图，
∵第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，
∴点C为圆P与格点的交点，
∵△ABC为钝角三角形，
∴由图知，满足条件的点C坐标为：（1，4）或（6，5），
故答案为：（1，4）或（6，5）；
【分析】三角形的外心是三角形的外接圆圆心，依此得出PA=PB=PC，则以点P为圆心，PA为半径画圆， 只需点C为圆与格点的交点，且满足△ABC是钝角三角形即可.
17．【答案】55°
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵点I是外心，∠BIC=110°，
∴∠A=∠BIC=×110°=55°；
故答案为：55°．
【分析】由已知条件点I是△ABC的外心，根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可得出结果．
18．【答案】（2，1）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，
∵点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），
∴O1的坐标是（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
19．【答案】解：如图，
为所求作的图形
【知识点】尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】本连接，分别作、的垂直平分线，交于，连接，以为圆心，长为半径画圆即可.
20．【答案】（1）解：如图，点即为所求，
（2）解：如图，线段即为所求，
．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）由三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离，可得三角形的外心就是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格及垂直平分线的定义即可求解；
（2）根据“相似三角形对应边成比例”及“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，利用网格，在过点C且平行于AB的网格线上找到点D，使得CD=4，即点C向上4个单位的点D，连接BD即可.
（1）解：如图，点即为所求，
；
（2）解：如图，线段即为所求，
．
1 / 13.1 《圆》（2）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2021九上·余杭期中）下列命题正确的是（ ）
A．三个点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．同弧或等弧所对的圆周角相等
D．圆内接平行四边形一定是正方形
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原命题错误，不符合题意；
C、同弧或等弧所对的圆周角相等，正确，符合题意；
D、圆内接平行四边形一定是矩形，但不一定是正方形，故原命题错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】不在同一直线上的三个点确定一个圆，据此判断A；根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧可判断B；同弧或等弧所对的圆周角相等，据此判断C；根据圆内接四边形的对角互补以及平行四边形的对角相等可判断D.
2．（2023九上·丰县期中）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】圆的相关概念；确定圆的条件；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：①半径相等的圆是等圆，故①正确；
②同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故②不正确；
③以长为半径的圆有无数个，没有指定圆心，故③正确；
④平面上不共线的三点能确定一个圆，故④不正确，
综上，正确的有①③.
故答案为：B．
【分析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，能完全重合的圆就是等圆，据此可判断①；能重合的弧就是等弧，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧，据此可判断②；给出半径长度，没有确定圆心位置的圆可以画出无数个，且这些圆是等圆，据此判断③；平面上不共线的三点能确定一个圆，过同一直线上的三点不作出圆，据此判断④.
3．（2024·余姚期中）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点
C．等弧就是长度相等的两条弧
D．圆中最长的弦是直径
【答案】D
【知识点】圆的相关概念；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A.三个不在一条直线上的点可以确定一个圆，原说法错误，故此选项不符合题意；
B.三角形的外心是这个三角形三边垂直平分线的交点，原说法错误，故此选项不符合题意；
C.长度相等的两条弧不一定是等弧，原说法错误，故此选项不符合题意.
D.圆中最长的弦是直径，正确，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别利用确定圆的方法以及垂径定理及其推论进而判断得出即可.
4．（2023九上·义乌月考）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点是下列哪个三角形的外心（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如下图： 由勾股定理得：PC=PE=PB=，∴P到B、C、E的距离相等，∴P是△BCE的外心．
故答案为：D.
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，关键是掌握三角形外心的性质．由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，即可判断．
5．（2024九上·秀洲期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个
【答案】D
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：当A，B，C三点共线，则过三点不能作出一个圆；当A，B，C三点不共线，则过这三点能作出1个圆，
∴过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0或1个，
故答案为：D．
【分析】根据确定圆确定圆的条件：若平面内三点共线，则过三点作不出圆，若平面内三点不共线，则过三点有且只有1个圆，据此即可求解.
6．（2024九上·杭州期中）如图在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆心坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：如图，连接，分别作的垂直平分线交于点，
∴，
故答案为： ．
【分析】根据三角形外接圆圆心为三边垂直平分线的交点，可分别连接，并作的垂直平分线，两线的交点即为圆心，再结合坐标与图形的特点即可求解．
7．如图，写出⊙O的内接三角形： .
【答案】△ABC，△DBC
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由图知：⊙O的所有内接三角形有△ABC和△DBC，
故答案为：△ABC和△DBC.
【分析】 根据圆内接三角形的定义即可得到结论．
8．（2021九上·宁波期中）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 .
【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5.
【分析】分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，根据网格图的特征和点与圆的位置关系可判断求解.
9．（2022九上·秀洲期中）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，
（1）画出平面直角坐标系．
（2）仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心并直接写出圆心的坐标．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：（1）直角坐标系如图
（2）画法如上图：
结论：点P就是所求圆心．
圆心坐标为（-2，-1）．
【知识点】确定圆的条件；平面直角坐标系的构成；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标为（-3，2），确定坐标原点，即可画出平面直角坐标系；
（2）利用方格画出线段AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P，点P即为圆心，进而写出圆心坐标（-2，-1）．
二、能力提升
10．根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，可以判断平面直角坐标系内的三个点A(3，0)，B(0，-4)，C(2，-3) 确定一个圆．(填“能”或“不能”)
【答案】能
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：设经过A，B两点的直线表达式为y=kx+b，
由A(3，0)，B(0，-4)，
得
解得
∴经过A，B两点的直线表达式为y=x-4．
当x=2时，y=x-4=-≠-3，
所以点C(2，-3)不在直线AB上，
即A，B，C三点不在同一条直线上．
所以A，B，C三点可以确定一个圆．
故答案为“能”．
故答案为：能.
【分析】根据题意，首先确定三个点不在同一直线上，然后根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”即可得到答案.
11．（2024九上·拱墅月考）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；确定圆的条件
【解析】【解答】解：设直线的解析式为，
∵M（1，2），N（3，-3），
，
解得：，
，
A、当时，，∴不在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，此选项不符合题意；
B、当时，，∴（-3，5）不在直线MN上，根据不在同一直线三点确定一个圆得（-3，5）与，可以确定一个圆，此选项不符合题意；
C、当时，，∴在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得（-1，7）与，不能确定一个圆，此选项符合题意；
D、当时，，∴（1，-3）不在直线MN上，根据不在同一直线三点确定一个圆得（1，-3）与，可以确定一个圆，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】由题意，用待定系数法求出直线的解析式，再把各选项中的点的横坐标代入函数解析式计算求出对应的纵坐标，与已知的纵坐标比较可判断点是否在直线MN上，然后根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可判断求解．
12．（2020九上·灌云月考）如图， 外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4） D．(0，0)
【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，作AB，BC的中垂线，交于点D，点D即为 外接圆的圆心，坐标为（5，2）.
故答案为：A.
【分析】根据三角形各边的中垂线的交点为三角形外接圆的圆心，作出 外接圆的圆心，进而即可得到坐标.
13．下列命题不正确的是（ ）
A．过一点有无数个圆
B．过三点能作一个圆
C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
【答案】B
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A、过一点有无数个圆，故A选项是正确的．
B、过不在同一条直线上的三点能作一个圆，故B选项是不正确的．
C、三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，故C选项是正确的．
D、直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边，故D选项是正确的．
故答案为：B.
【分析】由确定圆的条件和三角形外接圆、外心的定义和性质即可判断解答.
14．（2022九上·南开期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：连接，作的垂直平分线，如图所示：
在的垂直平分线上找到一点，则满足：
，
点是过、、三点的圆的圆心，
即的坐标为，
故答案为：C．
【分析】分别作出线段BD和AB的垂直平分线，它们的交点即是点D的坐标。
15．（2022九上·金东月考）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（ ）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：如图，
当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．
故答案为：C.
【分析】当四点在同一条直线上时，不能确定圆；当四点共圆时，只能作一个圆；当三点在同一直线上时，可以作三个圆；当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆.
16．（2021九上·金华期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为 ．
【答案】（1，4）或（6，5）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：因为点P是钝角△ABC的外心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，如图，
∵第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，
∴点C为圆P与格点的交点，
∵△ABC为钝角三角形，
∴由图知，满足条件的点C坐标为：（1，4）或（6，5），
故答案为：（1，4）或（6，5）；
【分析】三角形的外心是三角形的外接圆圆心，依此得出PA=PB=PC，则以点P为圆心，PA为半径画圆， 只需点C为圆与格点的交点，且满足△ABC是钝角三角形即可.
17．如图，在△ABC中，点I是外心，∠BIC=110°，则∠A= ．
【答案】55°
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵点I是外心，∠BIC=110°，
∴∠A=∠BIC=×110°=55°；
故答案为：55°．
【分析】由已知条件点I是△ABC的外心，根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可得出结果．
18．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为
【答案】（2，1）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，
∵点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），
∴O1的坐标是（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
19．（2024九上·杭州期中）如图，以已知线段为弦作⊙O，使其经过已知点C．利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不必写出作法）．
【答案】解：如图，
为所求作的图形
【知识点】尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】本连接，分别作、的垂直平分线，交于，连接，以为圆心，长为半径画圆即可.
20．（2024九上·瑞安期末）如图，在的方格纸中，已知是格点三角形（顶点均在格点上），请按要求作图．
（1）在图1中标出外接圆的圆心．
（2）在图2中画格点线段，使得把分为的两条线段．
注：图1，图2在答题纸上．
【答案】（1）解：如图，点即为所求，
（2）解：如图，线段即为所求，
．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）由三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离，可得三角形的外心就是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格及垂直平分线的定义即可求解；
（2）根据“相似三角形对应边成比例”及“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，利用网格，在过点C且平行于AB的网格线上找到点D，使得CD=4，即点C向上4个单位的点D，连接BD即可.
（1）解：如图，点即为所求，
；
（2）解：如图，线段即为所求，
．
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