3.3《 垂径定理》（1）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2024·长沙）如图，在中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离，则的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
2．（2024九上·襄阳期中）如图，的半径是3，点O到的距离是2，弦的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·凉州模拟）如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
4． 如图所示，⊙O的半径OB 垂直弦AC 于点D.若AC=16，OD=6，则BD的长为 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（2023九上·双鸭山期末）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·钱塘期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的直径为，截面圆的圆心到水面的距离为，则水面宽为 ．
7．（2024九上·秀洲期中）如图所示，已知的半径为10，，，则线段的长为 ．
8．（2023九上·杭州开学考）如图，在中的半径，圆心到弦的距离为，则弦的长度为 ．
9．（2018九上·衢州期中）如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
二、能力提升
10．（2023九上·宁波期末）如图，在中，是直径，是弦，于M，，则的长为 .
11．（2025九上·东阳竞赛）如图，点 是以原点 为圆心的圆与 轴的一个交点，直线 交 于 两点，已知弦 的最小值为 2，则点 的坐标为( )
A．(2，0) B． C．(3，0) D．
12．（2025·柯桥模拟）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
13．（2024九上·瑞安期末）如图，已知的半径为，弦与弦位于圆心的异侧，，，在上取点，连结并延长交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
14．（2025九上·新昌期末）清康熙《新昌县志》载“光霁桥，在县治东北”，今其遗址位于新昌岙桥里，光霁桥为单孔圆弧石拱桥，如图1，已知桥净跨度约6米；矢高约2.5米，如图2，则光霁桥桥拱圆弧的半径为（ ）
A．米 B．3米 C．米 D．米
15． 如图，水暖管横截面是圆，半径r=5mm的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为8 mm，则积水的最大深度 CD（CD16．（2024九上·鄞州期中）已知的半径为，弦，，，则、之间的距离为 ．
17．如图，⊙O的半径为10，P是弦AB上一动点，若AB=16，则OP的取值范围是
18．（2024·诸暨模拟）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系.
（1）过，，三点的圆的圆心坐标为 ；
（2）请通过计算判断点与的位置关系.
19．（2024九上·杭州月考）如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
20．（2022九上·拱墅期中）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8.
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长.
三、综合拓展
21．（2021九上·江干期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米.
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
22．（2024九上·拱墅月考）根据以下情境信息，探索完成任务．
公路涵洞改造方案的设计与解决
情境1 图1是某公路涵洞，图2是其截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．测得公路宽，涵洞直壁高，涵洞顶端高出道路（）（即）．
情境2 现需对公路进行拓宽，改造成双向隔离车道，并同步拓宽涵洞，中间设置宽为的隔离带，两边为机动车道．如图3，改造后的公路宽，涵洞直壁高和涵洞顶端到的距离保持不变．
改造方案
方案一 如图4，将涵洞上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式．
方案二 如图5，将涵洞上半部分劣弧改造成仍为劣弧的形式
问题解决
任务1 按方案一改造 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 按方案二改造 求涵洞上半部分劣弧所在圆的半径．
任务3 隔离带最大宽度的确定 要使高，宽的货运车能通过此公路涵洞，分别求出两种改造方案下的最大值（，，结果精确到）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB，
∴AE=，
∵OE=4，
∴OA=，
即的半径长为.
故答案为：B.
【分析】首先根据垂径定理得出AE=，然后再根据勾股定理得出OA的长度，也就是的半径长。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，过O点作于C，如图，
于C，
，
在中，
，，
，
．
故答案为：B．
【分析】连接，过O点作于C，如图，根据勾股定理可求得，再根据垂径定理可得．
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，
∵的直径，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：D。
【分析】连接，根据题干已知条件，可求出OP的值，然后再根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出的值。
4．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AC⊥OB，AC＝16，
∴AD＝CD＝AC＝8，
在Rt△AOD中，，
即半径的长为10，
∴BD=OA-OD=4．
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理得到AD＝CD＝AC＝8，再根据勾股定理即可求出答案．
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接交于点D，
由题意得，，则，
设圆的半径为，则，
在中，，
即，
解得：，
则该铁球的直径为，
故选：D．
【分析】连接交于点D，根据垂径定理可得，设圆的半径为，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
6．【答案】16
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点作于点，如图：
∴，
∵排水管的直径为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：16．
【分析】过点作于点，由垂径定理可得，然后在中根据勾股定理求出即可解题．
7．【答案】6
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图
∵，，
∴，
∵的半径为10，
∴OA=10，
∴由勾股定理，得 ，
故答案为：6．
【分析】连接，根据垂径定理求出AM的值，然后利用勾股定理即可求得的长．
8．【答案】8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：的半径，圆心到弦的距离为，弦的长度为.
故答案为：8.
【分析】根据圆的弦长定义，求解弦的长度 .
9．【答案】（1）证明：过点O作 OE⊥AB于 E，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD
（2）解：由(1)知 OE=6，OA=10，∴AE=8，∵OE=6，OC=8∴ CE =
∴AC=AE-CE=8-2
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）过点O作 OE⊥AB于 E，根据垂径定理得出AE=BE，CE=DE，再根据等式的性质，将两个等式相减即可得出答案；
（2）连接OA，OC，根据勾股定理分别算出AE，CE，再根据线段的和差即可算出答案。
10．【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵过O，，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
即，
故答案为：2.
【分析】连接OB，根据垂直定理，AM=BM=4，在Rt△OBM中利用勾股定理算出OM的长，进而根据MD=OD-OM即可算出答案.
11．【答案】C
【知识点】垂径定理；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：因为 ，所以此直线必过定点p(-2，2)，
∴．
根据题意，直线y＝kx＋2k＋2交⊙O于B、C两点，弦BC的最小值为2，如图所示．
∵点P如果在⊙O外，弦BC的最小值为0，
∴点P（ 2，2）应为⊙O内一点．
连接OP，当直线BC⊥OP时，点O到直线BC的距离最大．
∴在Rt△BPO中，由于，故此时BP长度最小．
根据垂径定理，PC＝BP，即BC长度最小．
∴BP＝BC＝1，
∴
∴OA＝OB＝3．
故答案为：C.
【分析】先由直线关系式得出其始终经过点P（ 2，2），然后由弦BC的最小值为2推断出点P在⊙O内，然后由OP⊥直线BC时，点O到直线BC的距离最大，进而根据垂径定理求出BP的长度，即可由勾股定理得出OB的长度并确定点A的坐标．
12．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，作，
，
，，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用垂径定理求得EF的长度，再通过勾股定理计算出OF的长度.
13．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，，过点O作作于点，交AB于点M，
，
，
在中，，
，
，，
，
，
在中，
，
，
故答案为：B.
【分析】连接，，过点O作作于点，交AB于点M，先根据垂径定理求出ND的长，再在Rt△ODN中利用勾股定理算出ON的长；根据平行于三角形一边的直线截其它两边得延长线，所截三角形与原三角形相似可得，即可得到，进而求得、的长度，再利用勾股定理及垂径定理即可求解.
14．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接，由题意可知，三点共线，设光霁桥桥拱圆弧的半径为，
，
∵是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】连接，可知三点共线，设圆弧的半径为，利用垂径定理可得，然后根据勾股定理解题即可．
15．【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，AB=8mm，
∴，
∴(mm)，
∴水的最大深度CD=OD-OC=5-3=2(mm)
故答案为：2.
【分析】由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论.
16．【答案】或
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，当弦和在圆心同侧时，作于，交于，连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵的半径为，
∴，
∴，，
∴；
如图：当弦和在圆心异侧时，作于，交于，连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵的半径为，
∴，
∴，，
∴；
综上所述，、之间的距离为或，
故答案为：或．
【分析】
由于弦AB与CD的位置不确定，因此可分两种情况讨论，即两弦在圆心同侧或两侧，再分别过圆心向两弦作垂线段，再利用垂径定理和勾股定理分别计算即可．
17．【答案】6≤OP≤10
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过O点作OC⊥AB于C，并连接OA.
∴.
∵⊙O的半径为10，
∴在Rt△OCA中，.
∴当P与A或B重合时，OP最长为10，
当P与C重合时，OP最短为6，
∴线段OP长度的取值范围是：6≤OP≤10.
故答案为：6≤OP≤10.
【分析】先过O点作OC⊥AB于C，并连接OA，然后根据垂径定理得到AC长，并且通过Rt△OCA解出OC长. 而通过P点的运动轨迹可知，OP最长为OA，最短为OC，据此即得到OP的取值范围.
18．【答案】（1）
（2）解：计算得，，，点在圆外.
【知识点】垂径定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，
是过，，三点的圆的圆心，
．
（2），，，
，，
，
点在的外部．
【分析】本题考查垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系．
（1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，观察图形可求出点的坐标；
（2）利用两点间的距离公式可求出，利用勾股定理可求出的长度，再进行比较两个长度可得：，利用点与圆的位置关系可作出判断．
19．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴
设的半径是，
，
，
，
的半径是．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可得CF=DF；根据等腰三角形的性质，可得AF=BF；根据等量关系，即可得AC=BD；
（2）根据垂径定理，可得CF=CD；根据勾股定理，列一元二次方程，解方程即可求出圆的半径.
20．【答案】（1）解：连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，
∵AB⊥CD，
∴∠OED＝90°，DE＝CE＝CD＝×8＝4，
在Rt△ODE中，
∵OE＝r-3，OD＝r，DE＝4，
∴（r-2）2+42＝r2，
解得r＝5，
即⊙O的半径长为5；
（2）解：在Rt△BCE中，
∵CE＝4，BE＝AB-AE＝8，
∴BC＝＝4，
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，
在Rt△OBF中，OF＝＝，
即OF的长为.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）连接OD，设⊙O的半径长为r，由垂径定理可得DE＝CE＝CD＝4，然后利用勾股定理计算即可；
（2）利用勾股定理可得BC的值， 由垂径定理可得BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，再在Rt△OBF中，利用勾股定理计算即可.
21．【答案】（1）解：连接OA，
由题意得：AD AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）解：连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）.
∴A′B′＝32（米）.
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）连接OA，由垂径定理得AD=AB=30（米），AD⊥AB，然后在Rt△ADO中，由勾股定理求解即可；
（2）连接OA′，则OE＝OP-PE＝30米，由垂径定理得A'B'=2A'E，AE⊥A'B'在Rt△A′EO中，由勾股定理可得A′E，从而得出A'B'的长然后与30进行比较即可判断.
22．【答案】任务一：解：如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
，
，
故设抛物线的表达式为，
把点代入得：，
解得：．
．
任务二：解：如图，设圆心为，劣弧所在圆的半径为，连结交于点，连结．
由题意得垂直平分，
，
，
，
，
．
在中，由勾股定理，得，
即，解得．
即劣弧所在圆的半径为．
任务三：
（1）按方案一改造．
解：当时，，
解得：．
．
从而的最大值为2.4．
（2）按方案二改造．
解：如图，由题意易知改造后为双向车道，且隔离带宽为，
，
作于点．
由任务二知半径．
当时，．
在中，由勾股定理得：，
，
解得．
从而的最大值为2.9．
综上所述，的最大值分别为2.4和2.9．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】任务一：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，得出，结合算出抛物线的表达式；
任务二：设圆心为，劣弧所在圆的半径为，连结交于点，连结．得出垂直平分，，，在中用勾股定理即可求解；
任务三：（1）按方案一改造．当时，求出，即可求解．
（2）按方案二改造．由题意知改造后为双向车道，且隔离带宽为，作于点．由任务二知半径．求出时，的值，在中由勾股定理求出，即可.
1 / 13.3《 垂径定理》（1）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2024·长沙）如图，在中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离，则的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB，
∴AE=，
∵OE=4，
∴OA=，
即的半径长为.
故答案为：B.
【分析】首先根据垂径定理得出AE=，然后再根据勾股定理得出OA的长度，也就是的半径长。
2．（2024九上·襄阳期中）如图，的半径是3，点O到的距离是2，弦的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，过O点作于C，如图，
于C，
，
在中，
，，
，
．
故答案为：B．
【分析】连接，过O点作于C，如图，根据勾股定理可求得，再根据垂径定理可得．
3．（2025·凉州模拟）如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，
∵的直径，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：D。
【分析】连接，根据题干已知条件，可求出OP的值，然后再根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出的值。
4． 如图所示，⊙O的半径OB 垂直弦AC 于点D.若AC=16，OD=6，则BD的长为 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AC⊥OB，AC＝16，
∴AD＝CD＝AC＝8，
在Rt△AOD中，，
即半径的长为10，
∴BD=OA-OD=4．
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理得到AD＝CD＝AC＝8，再根据勾股定理即可求出答案．
5．（2023九上·双鸭山期末）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接交于点D，
由题意得，，则，
设圆的半径为，则，
在中，，
即，
解得：，
则该铁球的直径为，
故选：D．
【分析】连接交于点D，根据垂径定理可得，设圆的半径为，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
6．（2025九上·钱塘期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的直径为，截面圆的圆心到水面的距离为，则水面宽为 ．
【答案】16
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点作于点，如图：
∴，
∵排水管的直径为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：16．
【分析】过点作于点，由垂径定理可得，然后在中根据勾股定理求出即可解题．
7．（2024九上·秀洲期中）如图所示，已知的半径为10，，，则线段的长为 ．
【答案】6
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图
∵，，
∴，
∵的半径为10，
∴OA=10，
∴由勾股定理，得 ，
故答案为：6．
【分析】连接，根据垂径定理求出AM的值，然后利用勾股定理即可求得的长．
8．（2023九上·杭州开学考）如图，在中的半径，圆心到弦的距离为，则弦的长度为 ．
【答案】8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：的半径，圆心到弦的距离为，弦的长度为.
故答案为：8.
【分析】根据圆的弦长定义，求解弦的长度 .
9．（2018九上·衢州期中）如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
【答案】（1）证明：过点O作 OE⊥AB于 E，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD
（2）解：由(1)知 OE=6，OA=10，∴AE=8，∵OE=6，OC=8∴ CE =
∴AC=AE-CE=8-2
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）过点O作 OE⊥AB于 E，根据垂径定理得出AE=BE，CE=DE，再根据等式的性质，将两个等式相减即可得出答案；
（2）连接OA，OC，根据勾股定理分别算出AE，CE，再根据线段的和差即可算出答案。
二、能力提升
10．（2023九上·宁波期末）如图，在中，是直径，是弦，于M，，则的长为 .
【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵过O，，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
即，
故答案为：2.
【分析】连接OB，根据垂直定理，AM=BM=4，在Rt△OBM中利用勾股定理算出OM的长，进而根据MD=OD-OM即可算出答案.
11．（2025九上·东阳竞赛）如图，点 是以原点 为圆心的圆与 轴的一个交点，直线 交 于 两点，已知弦 的最小值为 2，则点 的坐标为( )
A．(2，0) B． C．(3，0) D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：因为 ，所以此直线必过定点p(-2，2)，
∴．
根据题意，直线y＝kx＋2k＋2交⊙O于B、C两点，弦BC的最小值为2，如图所示．
∵点P如果在⊙O外，弦BC的最小值为0，
∴点P（ 2，2）应为⊙O内一点．
连接OP，当直线BC⊥OP时，点O到直线BC的距离最大．
∴在Rt△BPO中，由于，故此时BP长度最小．
根据垂径定理，PC＝BP，即BC长度最小．
∴BP＝BC＝1，
∴
∴OA＝OB＝3．
故答案为：C.
【分析】先由直线关系式得出其始终经过点P（ 2，2），然后由弦BC的最小值为2推断出点P在⊙O内，然后由OP⊥直线BC时，点O到直线BC的距离最大，进而根据垂径定理求出BP的长度，即可由勾股定理得出OB的长度并确定点A的坐标．
12．（2025·柯桥模拟）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，作，
，
，，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用垂径定理求得EF的长度，再通过勾股定理计算出OF的长度.
13．（2024九上·瑞安期末）如图，已知的半径为，弦与弦位于圆心的异侧，，，在上取点，连结并延长交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，，过点O作作于点，交AB于点M，
，
，
在中，，
，
，，
，
，
在中，
，
，
故答案为：B.
【分析】连接，，过点O作作于点，交AB于点M，先根据垂径定理求出ND的长，再在Rt△ODN中利用勾股定理算出ON的长；根据平行于三角形一边的直线截其它两边得延长线，所截三角形与原三角形相似可得，即可得到，进而求得、的长度，再利用勾股定理及垂径定理即可求解.
14．（2025九上·新昌期末）清康熙《新昌县志》载“光霁桥，在县治东北”，今其遗址位于新昌岙桥里，光霁桥为单孔圆弧石拱桥，如图1，已知桥净跨度约6米；矢高约2.5米，如图2，则光霁桥桥拱圆弧的半径为（ ）
A．米 B．3米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接，由题意可知，三点共线，设光霁桥桥拱圆弧的半径为，
，
∵是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】连接，可知三点共线，设圆弧的半径为，利用垂径定理可得，然后根据勾股定理解题即可．
15． 如图，水暖管横截面是圆，半径r=5mm的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为8 mm，则积水的最大深度 CD（CD【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，AB=8mm，
∴，
∴(mm)，
∴水的最大深度CD=OD-OC=5-3=2(mm)
故答案为：2.
【分析】由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论.
16．（2024九上·鄞州期中）已知的半径为，弦，，，则、之间的距离为 ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，当弦和在圆心同侧时，作于，交于，连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵的半径为，
∴，
∴，，
∴；
如图：当弦和在圆心异侧时，作于，交于，连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵的半径为，
∴，
∴，，
∴；
综上所述，、之间的距离为或，
故答案为：或．
【分析】
由于弦AB与CD的位置不确定，因此可分两种情况讨论，即两弦在圆心同侧或两侧，再分别过圆心向两弦作垂线段，再利用垂径定理和勾股定理分别计算即可．
17．如图，⊙O的半径为10，P是弦AB上一动点，若AB=16，则OP的取值范围是
【答案】6≤OP≤10
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过O点作OC⊥AB于C，并连接OA.
∴.
∵⊙O的半径为10，
∴在Rt△OCA中，.
∴当P与A或B重合时，OP最长为10，
当P与C重合时，OP最短为6，
∴线段OP长度的取值范围是：6≤OP≤10.
故答案为：6≤OP≤10.
【分析】先过O点作OC⊥AB于C，并连接OA，然后根据垂径定理得到AC长，并且通过Rt△OCA解出OC长. 而通过P点的运动轨迹可知，OP最长为OA，最短为OC，据此即得到OP的取值范围.
18．（2024·诸暨模拟）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系.
（1）过，，三点的圆的圆心坐标为 ；
（2）请通过计算判断点与的位置关系.
【答案】（1）
（2）解：计算得，，，点在圆外.
【知识点】垂径定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，
是过，，三点的圆的圆心，
．
（2），，，
，，
，
点在的外部．
【分析】本题考查垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系．
（1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，观察图形可求出点的坐标；
（2）利用两点间的距离公式可求出，利用勾股定理可求出的长度，再进行比较两个长度可得：，利用点与圆的位置关系可作出判断．
19．（2024九上·杭州月考）如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴
设的半径是，
，
，
，
的半径是．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可得CF=DF；根据等腰三角形的性质，可得AF=BF；根据等量关系，即可得AC=BD；
（2）根据垂径定理，可得CF=CD；根据勾股定理，列一元二次方程，解方程即可求出圆的半径.
20．（2022九上·拱墅期中）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8.
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长.
【答案】（1）解：连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，
∵AB⊥CD，
∴∠OED＝90°，DE＝CE＝CD＝×8＝4，
在Rt△ODE中，
∵OE＝r-3，OD＝r，DE＝4，
∴（r-2）2+42＝r2，
解得r＝5，
即⊙O的半径长为5；
（2）解：在Rt△BCE中，
∵CE＝4，BE＝AB-AE＝8，
∴BC＝＝4，
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，
在Rt△OBF中，OF＝＝，
即OF的长为.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）连接OD，设⊙O的半径长为r，由垂径定理可得DE＝CE＝CD＝4，然后利用勾股定理计算即可；
（2）利用勾股定理可得BC的值， 由垂径定理可得BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，再在Rt△OBF中，利用勾股定理计算即可.
三、综合拓展
21．（2021九上·江干期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米.
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【答案】（1）解：连接OA，
由题意得：AD AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）解：连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）.
∴A′B′＝32（米）.
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）连接OA，由垂径定理得AD=AB=30（米），AD⊥AB，然后在Rt△ADO中，由勾股定理求解即可；
（2）连接OA′，则OE＝OP-PE＝30米，由垂径定理得A'B'=2A'E，AE⊥A'B'在Rt△A′EO中，由勾股定理可得A′E，从而得出A'B'的长然后与30进行比较即可判断.
22．（2024九上·拱墅月考）根据以下情境信息，探索完成任务．
公路涵洞改造方案的设计与解决
情境1 图1是某公路涵洞，图2是其截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．测得公路宽，涵洞直壁高，涵洞顶端高出道路（）（即）．
情境2 现需对公路进行拓宽，改造成双向隔离车道，并同步拓宽涵洞，中间设置宽为的隔离带，两边为机动车道．如图3，改造后的公路宽，涵洞直壁高和涵洞顶端到的距离保持不变．
改造方案
方案一 如图4，将涵洞上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式．
方案二 如图5，将涵洞上半部分劣弧改造成仍为劣弧的形式
问题解决
任务1 按方案一改造 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 按方案二改造 求涵洞上半部分劣弧所在圆的半径．
任务3 隔离带最大宽度的确定 要使高，宽的货运车能通过此公路涵洞，分别求出两种改造方案下的最大值（，，结果精确到）．
【答案】任务一：解：如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
，
，
故设抛物线的表达式为，
把点代入得：，
解得：．
．
任务二：解：如图，设圆心为，劣弧所在圆的半径为，连结交于点，连结．
由题意得垂直平分，
，
，
，
，
．
在中，由勾股定理，得，
即，解得．
即劣弧所在圆的半径为．
任务三：
（1）按方案一改造．
解：当时，，
解得：．
．
从而的最大值为2.4．
（2）按方案二改造．
解：如图，由题意易知改造后为双向车道，且隔离带宽为，
，
作于点．
由任务二知半径．
当时，．
在中，由勾股定理得：，
，
解得．
从而的最大值为2.9．
综上所述，的最大值分别为2.4和2.9．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】任务一：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，得出，结合算出抛物线的表达式；
任务二：设圆心为，劣弧所在圆的半径为，连结交于点，连结．得出垂直平分，，，在中用勾股定理即可求解；
任务三：（1）按方案一改造．当时，求出，即可求解．
（2）按方案二改造．由题意知改造后为双向车道，且隔离带宽为，作于点．由任务二知半径．求出时，的值，在中由勾股定理求出，即可.
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