浙教版九年级上 第1章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中，是二次函数的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：．是二次函数，故本选项符合题意；
．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
．等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：．
2．抛物线开口方向是
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【分析】根据当时，抛物线的开口向上，当时，抛物线的开口向下即可判定；
【解答】解：，
抛物线的开口向下，
故选：．
3．抛物线与轴的交点坐标为
A． B． C． D．
【分析】令，求出的值即可求解．
【解答】解：当时，，
抛物线与轴的交点坐标为．
故选：．
4．将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为
A． B． C． D．
【分析】原抛物线的顶点坐标为，根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为，根据抛物线的顶点式求解析式．
【解答】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为，
平移后抛物线解析式为．
故选：．
5．如图，直线与抛物线交于，两点，那么当时，的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】结合函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方自变量的取值范围即可．
【解答】解：当时，．
故选：．
6．已知二次函数、为常数，且的图象在轴上方，则二次函数的图象可能是
A． B．
C． D．
【分析】根据题意得出，，、异号，然后判断即可．
【解答】解：、为常数，且的图象在轴上方，
，，、异号，
根据题意得出，，、异号，然后判断可得：
二次函数的图象开口向上，则与轴正半轴相交，对称轴在轴右侧，
故选：．
7．若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数的增减性进行判断即可．
【解答】解：，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，
抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
，，，
，
．
故选：．
8．如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程有两个不相等的实数根；④．其中正确的有
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①抛物线开口方向向下，
．
抛物线对称轴位于轴右侧，
．
抛物线与轴交于正半轴，
，
，故①正确；
②时，，
，故②正确；
③抛物线的最大值为4，
抛物线与直线无交点，
关于的方程无实数根，故③错误；
④抛物线对称轴为直线，
，即，故④错误，
综上所述，正确的有①②．
故选：．
9．已知二次函数是实数）．对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．则的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】根据题意得到，根据成立，得到，，整理得，，令，所以，结合题意即可求解．
【解答】解：二次函数解析式化为一般式得，
，
函数图象上的两点，，
当时，，
当时，，
由条件可知，
，整理得，，
令，
，
关于的二次函数图象开口向上，对称轴为直线；
当时，，当时，，
由条件可知，
，
解得，，
，
，
故选：．
10．如图，在平面直角坐标系中，经过、的二次函数的图象交轴于点，经过的一次函数的图象交轴于点．若，则函数的图象是
A． B．
C． D．
【分析】利用抛物线的交点式求得，得到，即可求得，则函数，由函数是直线，且过点，判断即可．
【解答】解：由题意可知二次函数，
，
，
，
，
设一次函数，
经过，
，
，
，
函数，
函数是直线，且过点，，
函数的图象是，
故选：．
11．定义：抛物线，，为常数，中存在一点，使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为4，则的值为
A． B．1 C．2 D．4
【分析】把所给抛物线解析式整理成顶点式，可得和的值，易得，则可得用表示的的值及的值，进而可得用表示的的式子，把用表示的，代入抛物线解析式，可得的值．
【解答】解：，
，，
抛物线的“相对深度”为4，
，
，
，
，
，
，
解得：．
故选：．
12．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连结交于点，则的最大值为
A． B． C． D．1
【分析】先解方程得到，，再确定，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，设，，再利用轴表示出，，所以，然后证明△△，利用相似三角形的性质得到，于是根据二次函数的性质得到的最大值．
【解答】解：当时，，
解得，，
，，
当时，，
，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
设，，
轴，
，，
，
，
△△，
，
当时，有最大值．
故选：．
二．填空题（共5小题）
13．二次函数的图象的顶点坐标是 ．
【分析】根据抛物线顶点式直接可求顶点坐标．
【解答】解：二次函数的顶点式为，
故顶点坐标为．
故答案为：．
14．已知二次函数的表达式为．则该二次函数的对称轴为 ．
【分析】直接利用对称轴公式求即可．
【解答】解：，
对称轴为．
故答案为：．
15．抛物线的图象如图所示，则当时，的取值范围是 ．
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在轴上方图象所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：由题中图象中给出的信息可知：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
则另一个交点坐标为，
抛物线开口向下，
当时，，
故答案为：．
16．已知两个不同的点，都在二次函数的图象上，则代数式的值为 1 ．
【分析】利用根与系数的关系求出，根据抛物线对称轴求出，最后化简所求代数式即可得到结果．
【解答】解：、是方程两个根，
，
点，纵坐标相等，
即．
点，都在二次函数的图象上，
，即，，即，
．
故答案为：1．
17．定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是 ．
【分析】先求出平移后的函数解析式，再分类讨论即可．
【解答】解：将函数向上平移个单位后，
得到新函数，取值范围为：，
边界值是该函数在区间上的最大值和最小值的绝对值中的较大者，需分析两种情况：顶点是否在取值范围内．
①当时：最大值在顶点处为．最小值在端点或处，
当时，最小值在处，值为；
当时，最小值在处，值为，
②当时：函数在区间上单调递减，最大值在左端点，值为，最小值在右端点，值为，通过分析边界值的范围，
当时，，满足；
当时，由或决定，均满足条件．
的取值范围为：，
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
18．晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米．
（1）设这个苗圃园的面积为，求与之间的函数关系，并直接其自变量的取值范围；
（2）当矩形场地的面积为时，求垂直于墙的一边的长．
【分析】（1）由长方形的面积公式建立二次函数即可，并根据实际意义求出自变量的取值范围；
（2）把代入（1）中解析式，解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米，平行于墙的一边长为米，
根据题意得：，
，
解得，
与之间的函数关系为；
（2）根据题意得：，
解得，，
，
，
垂直于墙的一边的长为10米．
19．作出二次函数的图象，并根据图象回答：
（1）取何值时，的值随值的增大而增大？取何值时，的值随值的增大而减小？
（2）函数有最大值还是最小值？最值是多少？
（3）当，，时，的取值范围分别是什么？
【分析】（1）将抛物线的一般式化为顶点式，就可以确定对称轴，顶点，要求抛物线与轴的交点，就要把解析式化为交点式，即可得到与坐标轴交点的坐标；
（2）根据对称轴左右两侧图象的上升和下降趋势确定函数的增减性；
（3）根据图象与轴的交点坐标，可确定，，时，的取值范围．
【解答】解：如图，
（1）对称轴，抛物线开口向下，
当时，的值随值的增大而增大；
当时，随的增大而减小．
（2）
，
当时，有最大值为；
（3）由图象可知：
当时，或；
当时，；
当时，或．
20．如图，已知抛物线经过点和点，顶点为，点在对称轴上且位于点下方，将线段绕点按顺时针方向旋转，点恰好落在抛物线上的点处．
（1）求这条抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）求线段的长．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，再利用配方法求出顶点坐标．
（2）利用（1）中点的坐标可得出抛物线的对称轴为，设，则，根据旋转性质得，，则代入得到关于的方程，从而解方程可得到 的长．
【解答】解：（1）把和代入，
得，
解得：，
抛物线的解析式：，
配成顶点式为：，
顶点的坐标为：，
（2）由（1）知：抛物线的对称轴为直线，
设，则，
线段绕点按顺时针方向旋转，点恰好落在抛物线上的点处，
，，
，
将代入得
，
整理得：，
解得：，（舍去）
线段的长为2．
21．我们知道：抛出的物体在空中运动的路线可视为二次函数的图象．如图1，为了研究羽毛球的发球与接球问题，现将以一个单位长度代表1米，以地面为轴，以甲同学站立的位置为轴建立平面直角坐标系．甲同学在点处发出的羽毛球看成点，羽毛球运动路线为二次函数的图象的一部分，如图2．（1）求的值，并求羽毛球到最高点时的坐标（用含有的代数式表示）；
（2）若乙同学准备在点处接球．
①乙同学观察到甲同学发过来的球，决定由点向正前方前进1米，再竖直向上跳0.5米去接球，结果刚好接到羽毛球，求出此时的值；
②乙同学观察发现：在与点正前方1米处，且竖直方向的距离上下均不超过1米的范围内都可以接到羽毛球．若甲同学发出的球，乙同学可以接到，求的取值范围．
【分析】（1）依据题意，由点在函数的图象上，则，又二次函数的顶点横坐标为：，从而可得顶点的纵坐标：，进而可以判断得解；
（2）①依据题意，由点，又点向正前方前进1米，再竖直向上跳0.5米去接球，则乙同学移动到点，可得，进而计算可以得解；
②依据题意，由在与点正前方1米处，且竖直方向的距离上下均不超过1米的范围内都可以接到羽毛球．可得当时，，故，可得，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，点在函数的图象上，
．
二次函数的顶点横坐标为：．
顶点的纵坐标：．
最高点坐标为．
（2）①由题意，点，又点向正前方前进1米，再竖直向上跳0.5米去接球，
乙同学移动到点．
．
．
②由题意，在与点正前方1米处，且竖直方向的距离上下均不超过1米的范围内都可以接到羽毛球．
当时，的取值范围为．
．
．
综上，的取值范围为．
22．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线，，为常数，且与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2），两点均在抛物线上，轴于点，轴于点，与轴交于点．已知，两点的横坐标分别为和，且．
分别记△和△的面积为，，求的最小值．
分别记△和△的面积为，，若，求的值．
【分析】（1）把，，点代入，再建立方程组求解即可；
（2）（ⅰ）如图1，设，求解直线的函数表达式为，表示，，再进一步利用二次函数的性质解题即可；
（ⅱ）如图2，表示，，可得，，再建立方程求解即可．
【解答】解：（1）抛物线，，为常数，且与轴交于，两点，与轴交于点，
由题意得，，
解得．
；
（2）（ⅰ）如图1，设，
直线的函数表达式为．
直线经过，，
．
，
即．
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
的最小值为．
（ⅱ）如图2，
，，，即．
，，
，
，
即，
，
，
．
解得．
第1页（共1页）浙教版九年级上 第1章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中，是二次函数的是
A． B． C． D．
2．抛物线开口方向是
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
3．抛物线与轴的交点坐标为
A． B． C． D．
4．将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为
A． B． C． D．
5．如图，直线与抛物线交于，两点，那么当时，的取值范围是
A． B． C． D．
6．已知二次函数、为常数，且的图象在轴上方，则二次函数的图象可能是
A． B．
C． D．
7．若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
8．如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程有两个不相等的实数根；④．其中正确的有
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③
9．已知二次函数是实数）．对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．则的取值范围为
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，经过、的二次函数的图象交轴于点，经过的一次函数的图象交轴于点．若，则函数的图象是
A． B．
C． D．
11．定义：抛物线，，为常数，中存在一点，使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为4，则的值为
A． B．1 C．2 D．4
12．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连结交于点，则的最大值为
A． B． C． D．1
二．填空题（共5小题）
13．二次函数的图象的顶点坐标是 ．
14．已知二次函数的表达式为．则该二次函数的对称轴为 ．
15．抛物线的图象如图所示，则当时，的取值范围是 ．
16．已知两个不同的点，都在二次函数的图象上，则代数式的值为 ．
17．定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
18．晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米．
（1）设这个苗圃园的面积为，求与之间的函数关系，并直接其自变量的取值范围；
（2）当矩形场地的面积为时，求垂直于墙的一边的长．
19．作出二次函数的图象，并根据图象回答：
（1）取何值时，的值随值的增大而增大？取何值时，的值随值的增大而减小？
（2）函数有最大值还是最小值？最值是多少？
（3）当，，时，的取值范围分别是什么？
20．如图，已知抛物线经过点和点，顶点为，点在对称轴上且位于点下方，将线段绕点按顺时针方向旋转，点恰好落在抛物线上的点处．
（1）求这条抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）求线段的长．
21．我们知道：抛出的物体在空中运动的路线可视为二次函数的图象．如图1，为了研究羽毛球的发球与接球问题，现将以一个单位长度代表1米，以地面为轴，以甲同学站立的位置为轴建立平面直角坐标系．甲同学在点处发出的羽毛球看成点，羽毛球运动路线为二次函数的图象的一部分，如图2．（1）求的值，并求羽毛球到最高点时的坐标（用含有的代数式表示）；
（2）若乙同学准备在点处接球．
①乙同学观察到甲同学发过来的球，决定由点向正前方前进1米，再竖直向上跳0.5米去接球，结果刚好接到羽毛球，求出此时的值；
②乙同学观察发现：在与点正前方1米处，且竖直方向的距离上下均不超过1米的范围内都可以接到羽毛球．若甲同学发出的球，乙同学可以接到，求的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线，，为常数，且与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2），两点均在抛物线上，轴于点，轴于点，与轴交于点．已知，两点的横坐标分别为和，且．
分别记△和△的面积为，，求的最小值．
分别记△和△的面积为，，若，求的值．
第1页（共1页）
