专题2 二次函数的最值—浙教版数学中考二轮培优专训
一、夯实基础
1．（2024九上·青县期中）已知二次函数，当时，y的值恒大于1，则m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；二次函数的最值
2．已知二次函数的图象经过点，且函数的最大值为4，则的值为（ ）
A． B．-1 C．-2 D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入得，
，
抛物线的对称轴为，
，
函数最大值为4，
且，
，
故答案为：B.
【分析】把（2，3）代入得到，则二次函数可化为，由函数最大值为4可求出．
3．（2024九下·湖南模拟）已知抛物线，现有以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，抛物线经过坐标原点；③不论为何值，；④若关于的一元二次方程在的范围内有实数根，则的取值范围是．其中，正确的结论有（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：依题意，，
∴，
∴，
则开口向上，
则当时，随的增大而增大；
故①是正确的；
∵，
∴，
当时，，
∴抛物线经过坐标原点；
故②是正确的；
∵的对称轴为直线，
∴把代入，
得，
∵，开口向上，在取到最小值，且为，
不论为何值，；
故③是错误的；
∵在时，随的增大而增大，且关于的一元二次方程在的范围内有实数根，
∴，
∴，
∴，
故④是错误的；
故答案为：A．
【分析】先求出对称轴为直线，根据开口向上，得到增减性判断①；把代入可得解析式，然后代入原点坐标检验即可判断②；根据开口向上得到抛物线在取到最小值判断③；根据增减性把和代入解析式求出t的取值范围判断④解题．
4．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 上一点，过点E作EF⊥AE，交DC于点F，连结AF，则AF的最小值是（ ）
A．5 B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠B=∠C=∠D=90°
∴∠BAE+∠AEB=90°，
设BE=x，则EC=BC-BE=4-x，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°
∴∠AEB+∠FEC=180°-∠AEF=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF
∴
∴
∴
∴当x=2时，CF最大=1，
此时DF最小=DC-CF=3，
在Rt△ADF中，，
∴当DF最小=3时，AF取最小值，
∴，
∴AF的最小值是5，
故答案为：5.
【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=CD=AD=4，∠B=∠C=∠D=90°，再设BE=x，则EC=BC-BE=4-x，根据一线三等角相似模型证明△ABE∽△ECF，从而可得，进而可得当x=2时，CF最大=1，然后可得DF最小=3，最后在Rt△ADF中，利用勾股定理求出AF的最小值，即可解答.
5．（2024·宁波模拟）已知：，，，则下列说法中正确的是 （ ）
A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值
C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
当时，m 有最小值，当时，m有最大值，
故当0≤a≤4时，；
，4＞0，
故当时，n随着b的增大而减小，
当时，n 有最小值1，当时，n有最大值4，
即当时，；
，
，
，
解得：，
，
，
n有最大值3，最小值1；
故选：C.
【分析】 先根据二次函数的性质得出：当0≤a≤4时，，根据反比例函数的性质得出：当时，，结合题意，即可推得，进一步确定n的取值范围，即可求解.
6．（2025八下·雨花期末） 函数的最小值是 .
【答案】-2
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
当x=-2时，又最小为-2，
故答案为：-2.
【分析】先把二次函数配方为顶点式，然后得到最值即可解题.
7．（2025九下·越秀期中）点在以轴为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：把代入，则，
∴，
∵
∴当时，有最大值，最大值为，
故答案为：．
【分析】把代入可得，再代入代数式，结合二次函数的性质即可求出答案.
8．（2025·射洪模拟）已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为 ．
【答案】1或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
二、能力提升
9．（2025·白银）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，
∴当时，水流喷出的最大高度是2.75m，
故答案为：B.
【分析】将函数解析式化为顶点式，然后由二次函数最值知识进行求解.
10．（2025·兴宁模拟）对于二次函数，下列说法正确的是( )
A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值
C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：，
∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，
A、当时随的增大而减小，
∴此选项不符合题意；
B、当时，有最大值，
∴此选项符合题意；
C、图象的顶点为（1，-3），而不是（-1，-3），
∴此选项不符合题意；
D、抛物线与轴没有交点，
∴此选项符合题意.
故答案为：B．
【分析】把二次函数化为顶点式；
A、根据顶点式可得对称轴为：直线x=1，根据"a=-1＜0，在对称轴的右侧，随的增大而减小"可求解；
B、根据顶点式可得，当时，有最大值；
C、根据顶点式可得，图象的顶点为（1，-3）；
D、根据解析式可得，抛物线与轴没有交点.
11．（2025·毕节模拟）抛物线交轴于两点，交轴的负半轴于点，对称轴与抛物线交于点，已知点坐标为，点的横坐标为1，根据以上信息得出下列结论：①；②点的坐标为；③；④当时，．其中结论正确的个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵对称轴与抛物线交于点，点的横坐标为1，
∴，即，故①错误；
∵对称轴为直线，点坐标为，
∴对称点点的坐标为，故②正确；
∵当时，函数值为正数，
∴，故③错误；
∵时，函数有最小值，
∴当，且时，，
∴，故④错误；
故选：D．
【分析】
因为抛物线的对称轴为直线，则，即；
由于抛物线上关于对称轴对称的两点到对称轴的距离相等，则A（-1，0）关于直线的对称点B的坐标为B(3，0)；
由于抛物线的开口向上，且抛物线交x轴于两点A（-1，0）和B(3，0)，则当或时函数值为正，显然当时，；
由于二次函数的开口向上，则当时函数y取最大值，则对任意不为1的实数n都存在，即．
12．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线 上的一个动点，将点Q绕点P(1，0)顺时针旋转 90°，得到点Q'，连结OQ'，则OQ'的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：作 轴于点M， 轴于N，
在 和 中.
设
当m=2时， 有最小值为5，
∴OQ'的最小值为
故答案为
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q'的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题.
13．（2025九上·海曙期末）若函数y=-2x2+bx+c的图象经过点（-1，1）和（1，-7），则当-3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（ ）
A．-8 B．-6 C．-3 D．0
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意，∵函数 的图象经过点
和
∴函数为
∴当 时， 当 时，y最大值为1；当 时，y取最小值为
∴函数的最大值与最小值之和是：
故答案为：B.
【分析】依据题意，代入 和 求出b，c的值，即可得到函数解析式，再由二次函数的性质，结合 进而可以判断得解.
14． 已知二次函数y=(x-1)(x+3)，当-2≤x≤1时，y的取值范围是 .
【答案】-4≤y≤0
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，∵二次函数为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3=(x+1)2-4，
∴当x=-1时，y取最小值为-4.
又当x=-2时，y=-3；当x=1时，y=0，
∴当-2≤x≤1时，-4≤y≤ 0.
故答案为：-4≤y≤0.
【分析】依据题意，由二次函数为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3=(x+1)2-4，进而结合二次函数的性质即可判断得解.
15．（2025·宿迁）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大．
【答案】5
【知识点】二次函数的最值；等腰直角三角形；二次函数的实际应用-几何问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，作于点H，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
矩形中，
是等腰直角三角形，
设，则，
矩形桌面的面积，
当时，S取最大值，
即当时，矩形桌面面积最大．
故答案为：5．
【分析】过点A作BC的垂线段AH，则由已知可证四边形AHCD是矩形，则CH＝AD、AH＝CD，即可求得BH＝AH，再由矩形的性质可证EF＝BF，此时可设BF＝x，则EF=x，CF＝10-x，则矩形EFCG的面积可转化为x的二次函数，且二次项系数为负，即面积有最大值，再利用二次函数的性质求出其最大值对应的自变量x的取值即可.
16．（2020九上·龙马潭期末）已知实数x，y满足 ，则x+y的最大值为 ．
【答案】4
【知识点】列式表示数量关系；二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴当x=-1时，x+y有最大值为4
故答案为4
【分析】用含x的代数式表示y，计算x+y并进行配方即可.
三、拓展创新
17．（2025·泰安） 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．当x≥1000时， y随x的增大而减小
B．当x=2000时， y有最大值
C．当y≥0.6时， x≥1000
D．当y=0.4时， x=600
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】
解： A、当x≥1000时，y随x的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意：
B、由函数图象可知：抛物线的对称轴为x == 2000， 即当x= 2000时， y有最大值，则B
选项正确，符合题意；
C、由函数图象可知：当y≥0.6时，1000≤x≤3000， 即C选项错误，不符合题意：
D、当y=0.4时， 由图象知，x对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的图像可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为x= 2000，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项逐一判断即可解答.
18．（2024八下·鄞州期末）若当时，二次函数的最小值为0，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：
，
∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∵，
当时，当时，y有最小值，则，
解得或（舍去）；
当时，当时，二次函数y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，则，
解得（舍去），
综上，m的值为．
故答案为：B．
【分析】先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，得出对称轴直线为x=m，由二次项的系数＞0，可得该二次函数的图象开口向上，由于m＞0，故分、两种情况，分别根据二次函数的增减性，结合x的取值范围表示出其最小值，结合最小值为0建立方程，求解即可.
19． 如图， 在 Rt 中， ． 矩形 的顶点 分别在边 上， 若 ， 则矩形 面积的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质；正切的概念；函数几何问题中的最值
【解析】【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H，
∴∠FHE=∠AHF=90°，
∴∠EFH+∠FEH=90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEC+∠FEH=90°，
∴∠DEC=∠EFH，
∵，
∴，
∴，
设EH=3x，FH=4x，CD=3y，CE=4y，
∴由勾股定理得，，，
又∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴∠A=45°，
∵∠AHF=90°，
∴∠AFH=∠A=45°，
∴AH=FH=4x，
∴AC=AH+EH+CE=4x+3x+4y=7x+4y=4，
∴，
∴矩形DEFG的面积为，
∵，
∴当时，矩形DEFG面积最大值为，
故答案为：D.
【分析】过点F作FH⊥AC于H，先由垂直的定义、矩形的性质证出∠DEC=∠EFH，从而根据正切的定义得，进而设EH=3x，FH=4x，CD=3y，CE=4y，由然后利用勾股定理求出EF=5x，DE=5y，接下来根据等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定得AH=FH=4x，从而求出AC=7x+4y=4，进而用含x的算式表示y，最后根据矩形的面积公式、二次函数的最值知识即可得到答案.
20．（2025·宁江模拟）如图，中，，，，为边上一动点，且满足，点在边上，点在边上，连接，以下结论：
①若为的中点，则的最小值为；②若，则的最大值为；③若，则的值为4；④若，则当时，有最小值．其中正确的为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
21．在平面直角坐标系中， 设二次函数 是实数， 的最小值分别为 和 ． 若 ， 则 的值为（ ）
A．0 B．-1 C．-2 D．-4
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】
解：由于 二次函数 的最小值分别为 ．
，
，
，
，
二次函数 的最小值分别为 ．
，
，
，即，
，
，
，，
；
故答案为：.
【分析】先把一般式转化为顶点式，求出和，再根据可得，整理可得，即可求出和，据此求解．
22．（2024九上·新洲月考）一元二次方程的两根是m和n，则的最大值为 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故，
∵，
∴有最大值，且1，
故答案为：1．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系定理，二次函数的最值．根据题意，利用一元二次方程根与系数的关系可得：，通过变形和配方可得，再利用二次函数的性质可求出mn的最大值.
23．（2023八下·玄武期末）如图，在矩形中，，，是边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转90°得到，连接，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点F作FH⊥AD，交AD的延长线于点H，则∠H=∠ADC=90°.
由旋转可得EF=EC，∠FEC=90°，
∴∠FEH+∠CED=∠CED+∠DCE=90°，
∴∠FEH=∠ECD.
∵∠FEH=∠ECD，∠H=∠EDC=90°，EF=EC，
∴△EFH≌△CED（AAS），
∴CD=EH=3，FH=ED.
设FH=ED=x，则AH=7-x，
∴BF==，
∴当x=2时，BF取得最小值为=.
故答案为：.
【分析】过点F作FH⊥AD，交AD的延长线于点H，则∠H=∠ADC=90°，由旋转可得EF=EC，∠FEC=90°，根据同角的余角相等可得∠FEH=∠ECD，利用AAS证明△EFH≌△CED，得到CD=EH=3，FH=ED，设FH=ED=x，则AH=7-x，由勾股定理表示出BF，然后利用二次函数的性质进行解答.
24．（2025八下·雨花期末）如图6，在直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵在中， AB=3，AC=4，BC=5
∴32+42=52
∴∠BAC=90°
∵，
∴∠PEA=90°，∠PEA=90°
∴四边形AEPF为矩形，
∴
∴
设PE=x，BE=y，则
∴
在矩形AEPF中，由勾股定理可知
记，该二次函数开口向上，对称轴为，自变量取值范围是
由二次函数性质可知，当时，w有最小值。
∴
∵为的中点
∴
故答案为：.
【分析】易证四边形AEPF为矩形，利用相似三角形的判定（平行线分线段成比例性质）可证，得到对应边的关系，设参数分别表示PE，BE的长度，建立起它们之间的数量关系，再用含参数的式子表示矩形AEPF对角线的长度为，分析被开方式的最小值，从而可以得到EF的最小值，而FM=，故可求FM的最小值。
1 / 1专题2 二次函数的最值—浙教版数学中考二轮培优专训
一、夯实基础
1．（2024九上·青县期中）已知二次函数，当时，y的值恒大于1，则m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数的图象经过点，且函数的最大值为4，则的值为（ ）
A． B．-1 C．-2 D．
3．（2024九下·湖南模拟）已知抛物线，现有以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，抛物线经过坐标原点；③不论为何值，；④若关于的一元二次方程在的范围内有实数根，则的取值范围是．其中，正确的结论有（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
4．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 上一点，过点E作EF⊥AE，交DC于点F，连结AF，则AF的最小值是（ ）
A．5 B． C．2 D．3
5．（2024·宁波模拟）已知：，，，则下列说法中正确的是 （ ）
A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值
C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值
6．（2025八下·雨花期末） 函数的最小值是 .
7．（2025九下·越秀期中）点在以轴为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ．
8．（2025·射洪模拟）已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为 ．
二、能力提升
9．（2025·白银）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
10．（2025·兴宁模拟）对于二次函数，下列说法正确的是( )
A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值
C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点
11．（2025·毕节模拟）抛物线交轴于两点，交轴的负半轴于点，对称轴与抛物线交于点，已知点坐标为，点的横坐标为1，根据以上信息得出下列结论：①；②点的坐标为；③；④当时，．其中结论正确的个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线 上的一个动点，将点Q绕点P(1，0)顺时针旋转 90°，得到点Q'，连结OQ'，则OQ'的最小值为( )
A． B． C． D．
13．（2025九上·海曙期末）若函数y=-2x2+bx+c的图象经过点（-1，1）和（1，-7），则当-3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（ ）
A．-8 B．-6 C．-3 D．0
14． 已知二次函数y=(x-1)(x+3)，当-2≤x≤1时，y的取值范围是 .
15．（2025·宿迁）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大．
16．（2020九上·龙马潭期末）已知实数x，y满足 ，则x+y的最大值为 ．
三、拓展创新
17．（2025·泰安） 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．当x≥1000时， y随x的增大而减小
B．当x=2000时， y有最大值
C．当y≥0.6时， x≥1000
D．当y=0.4时， x=600
18．（2024八下·鄞州期末）若当时，二次函数的最小值为0，则（ ）
A． B． C． D．或
19． 如图， 在 Rt 中， ． 矩形 的顶点 分别在边 上， 若 ， 则矩形 面积的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
20．（2025·宁江模拟）如图，中，，，，为边上一动点，且满足，点在边上，点在边上，连接，以下结论：
①若为的中点，则的最小值为；②若，则的最大值为；③若，则的值为4；④若，则当时，有最小值．其中正确的为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
21．在平面直角坐标系中， 设二次函数 是实数， 的最小值分别为 和 ． 若 ， 则 的值为（ ）
A．0 B．-1 C．-2 D．-4
22．（2024九上·新洲月考）一元二次方程的两根是m和n，则的最大值为 ．
23．（2023八下·玄武期末）如图，在矩形中，，，是边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转90°得到，连接，则的最小值为 .
24．（2025八下·雨花期末）如图6，在直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；二次函数的最值
2．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入得，
，
抛物线的对称轴为，
，
函数最大值为4，
且，
，
故答案为：B.
【分析】把（2，3）代入得到，则二次函数可化为，由函数最大值为4可求出．
3．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：依题意，，
∴，
∴，
则开口向上，
则当时，随的增大而增大；
故①是正确的；
∵，
∴，
当时，，
∴抛物线经过坐标原点；
故②是正确的；
∵的对称轴为直线，
∴把代入，
得，
∵，开口向上，在取到最小值，且为，
不论为何值，；
故③是错误的；
∵在时，随的增大而增大，且关于的一元二次方程在的范围内有实数根，
∴，
∴，
∴，
故④是错误的；
故答案为：A．
【分析】先求出对称轴为直线，根据开口向上，得到增减性判断①；把代入可得解析式，然后代入原点坐标检验即可判断②；根据开口向上得到抛物线在取到最小值判断③；根据增减性把和代入解析式求出t的取值范围判断④解题．
4．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠B=∠C=∠D=90°
∴∠BAE+∠AEB=90°，
设BE=x，则EC=BC-BE=4-x，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°
∴∠AEB+∠FEC=180°-∠AEF=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF
∴
∴
∴
∴当x=2时，CF最大=1，
此时DF最小=DC-CF=3，
在Rt△ADF中，，
∴当DF最小=3时，AF取最小值，
∴，
∴AF的最小值是5，
故答案为：5.
【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=CD=AD=4，∠B=∠C=∠D=90°，再设BE=x，则EC=BC-BE=4-x，根据一线三等角相似模型证明△ABE∽△ECF，从而可得，进而可得当x=2时，CF最大=1，然后可得DF最小=3，最后在Rt△ADF中，利用勾股定理求出AF的最小值，即可解答.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
当时，m 有最小值，当时，m有最大值，
故当0≤a≤4时，；
，4＞0，
故当时，n随着b的增大而减小，
当时，n 有最小值1，当时，n有最大值4，
即当时，；
，
，
，
解得：，
，
，
n有最大值3，最小值1；
故选：C.
【分析】 先根据二次函数的性质得出：当0≤a≤4时，，根据反比例函数的性质得出：当时，，结合题意，即可推得，进一步确定n的取值范围，即可求解.
6．【答案】-2
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
当x=-2时，又最小为-2，
故答案为：-2.
【分析】先把二次函数配方为顶点式，然后得到最值即可解题.
7．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：把代入，则，
∴，
∵
∴当时，有最大值，最大值为，
故答案为：．
【分析】把代入可得，再代入代数式，结合二次函数的性质即可求出答案.
8．【答案】1或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
9．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，
∴当时，水流喷出的最大高度是2.75m，
故答案为：B.
【分析】将函数解析式化为顶点式，然后由二次函数最值知识进行求解.
10．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：，
∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，
A、当时随的增大而减小，
∴此选项不符合题意；
B、当时，有最大值，
∴此选项符合题意；
C、图象的顶点为（1，-3），而不是（-1，-3），
∴此选项不符合题意；
D、抛物线与轴没有交点，
∴此选项符合题意.
故答案为：B．
【分析】把二次函数化为顶点式；
A、根据顶点式可得对称轴为：直线x=1，根据"a=-1＜0，在对称轴的右侧，随的增大而减小"可求解；
B、根据顶点式可得，当时，有最大值；
C、根据顶点式可得，图象的顶点为（1，-3）；
D、根据解析式可得，抛物线与轴没有交点.
11．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵对称轴与抛物线交于点，点的横坐标为1，
∴，即，故①错误；
∵对称轴为直线，点坐标为，
∴对称点点的坐标为，故②正确；
∵当时，函数值为正数，
∴，故③错误；
∵时，函数有最小值，
∴当，且时，，
∴，故④错误；
故选：D．
【分析】
因为抛物线的对称轴为直线，则，即；
由于抛物线上关于对称轴对称的两点到对称轴的距离相等，则A（-1，0）关于直线的对称点B的坐标为B(3，0)；
由于抛物线的开口向上，且抛物线交x轴于两点A（-1，0）和B(3，0)，则当或时函数值为正，显然当时，；
由于二次函数的开口向上，则当时函数y取最大值，则对任意不为1的实数n都存在，即．
12．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：作 轴于点M， 轴于N，
在 和 中.
设
当m=2时， 有最小值为5，
∴OQ'的最小值为
故答案为
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q'的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题.
13．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意，∵函数 的图象经过点
和
∴函数为
∴当 时， 当 时，y最大值为1；当 时，y取最小值为
∴函数的最大值与最小值之和是：
故答案为：B.
【分析】依据题意，代入 和 求出b，c的值，即可得到函数解析式，再由二次函数的性质，结合 进而可以判断得解.
14．【答案】-4≤y≤0
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，∵二次函数为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3=(x+1)2-4，
∴当x=-1时，y取最小值为-4.
又当x=-2时，y=-3；当x=1时，y=0，
∴当-2≤x≤1时，-4≤y≤ 0.
故答案为：-4≤y≤0.
【分析】依据题意，由二次函数为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3=(x+1)2-4，进而结合二次函数的性质即可判断得解.
15．【答案】5
【知识点】二次函数的最值；等腰直角三角形；二次函数的实际应用-几何问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，作于点H，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
矩形中，
是等腰直角三角形，
设，则，
矩形桌面的面积，
当时，S取最大值，
即当时，矩形桌面面积最大．
故答案为：5．
【分析】过点A作BC的垂线段AH，则由已知可证四边形AHCD是矩形，则CH＝AD、AH＝CD，即可求得BH＝AH，再由矩形的性质可证EF＝BF，此时可设BF＝x，则EF=x，CF＝10-x，则矩形EFCG的面积可转化为x的二次函数，且二次项系数为负，即面积有最大值，再利用二次函数的性质求出其最大值对应的自变量x的取值即可.
16．【答案】4
【知识点】列式表示数量关系；二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴当x=-1时，x+y有最大值为4
故答案为4
【分析】用含x的代数式表示y，计算x+y并进行配方即可.
17．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】
解： A、当x≥1000时，y随x的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意：
B、由函数图象可知：抛物线的对称轴为x == 2000， 即当x= 2000时， y有最大值，则B
选项正确，符合题意；
C、由函数图象可知：当y≥0.6时，1000≤x≤3000， 即C选项错误，不符合题意：
D、当y=0.4时， 由图象知，x对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的图像可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为x= 2000，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项逐一判断即可解答.
18．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：
，
∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∵，
当时，当时，y有最小值，则，
解得或（舍去）；
当时，当时，二次函数y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，则，
解得（舍去），
综上，m的值为．
故答案为：B．
【分析】先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，得出对称轴直线为x=m，由二次项的系数＞0，可得该二次函数的图象开口向上，由于m＞0，故分、两种情况，分别根据二次函数的增减性，结合x的取值范围表示出其最小值，结合最小值为0建立方程，求解即可.
19．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质；正切的概念；函数几何问题中的最值
【解析】【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H，
∴∠FHE=∠AHF=90°，
∴∠EFH+∠FEH=90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEC+∠FEH=90°，
∴∠DEC=∠EFH，
∵，
∴，
∴，
设EH=3x，FH=4x，CD=3y，CE=4y，
∴由勾股定理得，，，
又∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴∠A=45°，
∵∠AHF=90°，
∴∠AFH=∠A=45°，
∴AH=FH=4x，
∴AC=AH+EH+CE=4x+3x+4y=7x+4y=4，
∴，
∴矩形DEFG的面积为，
∵，
∴当时，矩形DEFG面积最大值为，
故答案为：D.
【分析】过点F作FH⊥AC于H，先由垂直的定义、矩形的性质证出∠DEC=∠EFH，从而根据正切的定义得，进而设EH=3x，FH=4x，CD=3y，CE=4y，由然后利用勾股定理求出EF=5x，DE=5y，接下来根据等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定得AH=FH=4x，从而求出AC=7x+4y=4，进而用含x的算式表示y，最后根据矩形的面积公式、二次函数的最值知识即可得到答案.
20．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
21．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】
解：由于 二次函数 的最小值分别为 ．
，
，
，
，
二次函数 的最小值分别为 ．
，
，
，即，
，
，
，，
；
故答案为：.
【分析】先把一般式转化为顶点式，求出和，再根据可得，整理可得，即可求出和，据此求解．
22．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故，
∵，
∴有最大值，且1，
故答案为：1．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系定理，二次函数的最值．根据题意，利用一元二次方程根与系数的关系可得：，通过变形和配方可得，再利用二次函数的性质可求出mn的最大值.
23．【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点F作FH⊥AD，交AD的延长线于点H，则∠H=∠ADC=90°.
由旋转可得EF=EC，∠FEC=90°，
∴∠FEH+∠CED=∠CED+∠DCE=90°，
∴∠FEH=∠ECD.
∵∠FEH=∠ECD，∠H=∠EDC=90°，EF=EC，
∴△EFH≌△CED（AAS），
∴CD=EH=3，FH=ED.
设FH=ED=x，则AH=7-x，
∴BF==，
∴当x=2时，BF取得最小值为=.
故答案为：.
【分析】过点F作FH⊥AD，交AD的延长线于点H，则∠H=∠ADC=90°，由旋转可得EF=EC，∠FEC=90°，根据同角的余角相等可得∠FEH=∠ECD，利用AAS证明△EFH≌△CED，得到CD=EH=3，FH=ED，设FH=ED=x，则AH=7-x，由勾股定理表示出BF，然后利用二次函数的性质进行解答.
24．【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵在中， AB=3，AC=4，BC=5
∴32+42=52
∴∠BAC=90°
∵，
∴∠PEA=90°，∠PEA=90°
∴四边形AEPF为矩形，
∴
∴
设PE=x，BE=y，则
∴
在矩形AEPF中，由勾股定理可知
记，该二次函数开口向上，对称轴为，自变量取值范围是
由二次函数性质可知，当时，w有最小值。
∴
∵为的中点
∴
故答案为：.
【分析】易证四边形AEPF为矩形，利用相似三角形的判定（平行线分线段成比例性质）可证，得到对应边的关系，设参数分别表示PE，BE的长度，建立起它们之间的数量关系，再用含参数的式子表示矩形AEPF对角线的长度为，分析被开方式的最小值，从而可以得到EF的最小值，而FM=，故可求FM的最小值。
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