专题3 二次函数的系数与图象—浙教版数学九年级上册培优专训
一、选择题
1．（2024九上·永康期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间（包含端点).有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①③④
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），对称轴直线是x=1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．
故①正确；
②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x= =1，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＜0，即3a+b＜0．
故②错误；
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（-1，0），（3，0），
∴-1×3=-3，
=-3，则a= ．
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴-1≤ ≤ ，即-1≤a≤ ．
故③正确；
④当x=1时，y=a+b+c=-a+c=c=n，
∵2≤c≤3，
∴≤c≤4，
即≤n≤4．
故④正确．
综上所述，正确的说法有①③④．
故选：D．
【分析】①根据二次函数的对称性可得出点B的坐标，进而可得出当x=3时y=0，结论①成立；②根据抛物线的开口方向和对称轴可得
3a+b=a＜0，结论②错误；③由抛物线与y轴交点的范围可得出2≤c≤3，由抛物线的与x轴的交点坐标和一元二次方程根于系数的关系可得-1≤a≤ ，结论③正确；④根据顶点坐标为（1，n），y=C=n，根据c的取值范围，即可求得≤n≤4，结论④正确．综上即可得出结论．
2．（2025·天河模拟）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③抛物线的顶点坐标为；
④若，则．
A．①② B．②③④ C．①④ D．①③
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意，有两实根，
，
∴两个方程相减得，，
∴，故①正确，
，
令，
∴抛物线的对称轴是直线．
∴抛物线的顶点为．
又，
∴，即．
∴．
∴．
∴顶点坐标为，故③正确．
∵，
∴．
又，
，
∴，故②错误．
∵，
，
∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值．
∵，抛物线的对称轴是直线，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
，
，
∴，故④错误．
综上，正确的有①③共2个．
故答案为：D．
【分析】由有两实根，，可得到关于a、b、c的方程组，采用消元法可求出2a+b的值，可对①作出判断；利用二次函数的对称性可得到抛物线的对称轴，由此可得到抛物线的顶点为c)，再结合，可对③作出判断；依据题意可得，又，进而可得abc的值，可确定出a的符号，可对②作出判断；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④；综上所述可得到正确结论的序号.
3．（2025·凉州模拟）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据二次函数图象可得图象开口向下，对称轴在轴右侧，与轴的交点在正半轴上，与轴由两个交点，
∴，
∴，
∴，故A选项错误，不符合题意；
∵图像与轴有两个交点，
∴，故B选项错误，不符合题意；
当时，，故C选项正确，符合题意；
∵对称轴为直线，
∴与时，值相等，
∴当时，，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：C 。
【分析】观察二次函数的图象信息，确定a和c的取值，然后再根据对称轴的公式，同时结合a的取值，即可确定b的取值；再根据二次函数与x的交点问题，根据判别式即可判断；将x=-1和x=3分别代入二次函数中，对选项进行对比即可求解。
4．（2025·常德模拟）已知：二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④两根分别为，1；⑤．其中正确的选项有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；数形结合
【解析】【解答】解：观察抛物线图像可知，开口向上，
∴，
与轴的负半轴相交，
∴，
对称轴x=-1在轴的左侧，
∴，
∴，故①错误；
∵对称轴为，
即，
即，
∴，
故②错误；
根据抛物线的性质可知，当时，有最小值，
∴当x=m时，y=（m≠-1），
即，故③正确；
∵抛物线的对称轴为，且与轴的一个交点的横坐标为1，
∴根据二次函数的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为，
∴二元一次方程的两根分别是1，，故④正确；
通过观察图像可知，当时，，
即，故⑤正确，
综上所述，正确选项有③④⑤共3个，
故答案为：B．
【分析】直接根据二次函数图象与系数的关系及性质进行求解即可.
5．（2025·东莞模拟）已知顶点为的抛物线经过点，有下列结论：①；②若点与点为抛物线上的两点，则；③；④关于的一元二次方程的两根分别为和．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点为，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线的顶点为，且经过点，
∴抛物线开口向上，
∴当，随着的增大而减小，
∵点，
∴由对称性得也在抛物线上，
∵，都在对称轴左侧，
∴，故②错误；
∵顶点为的抛物线，开口向上，
∴，故③正确；
∵抛物线经过点，对称轴为直线，
∴也经过，
∴关于的一元二次方程的两根分别为和，故④正确，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的顶点，代入顶点式解析式：，然后再对照一般式，即可判断①；根据抛物线的顶点，且经过点，从而确定抛物线开口向上，然后再根据顶点坐标，求出对称轴，当时，分析函数图象的性质，可得点的对称点也在抛物线上，由增减性判断②；顶点为的抛物线，开口向上，则，即可判断③；由于抛物线经过点，对称轴为直线，则也经过，故关于的一元二次方程的两根分别为和，即可判断④．
6．（2024·泰安模拟）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
7．（2023九上·蓬江期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：一次函数的图象经过一、三、四象限，
，，
，
二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴右侧，
故选：D．
【分析】由一次函数图象经过一、三、四象限可得，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
8．（2025·乌当模拟）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论错误的是（ ）
A．抛物线与x轴的另一个交点坐标是
B．当时，y随x的增大而增大
C．的值是0
D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
即，
∴，故D选项的结论是错误的；
∵二次函数与x轴的一个交点坐标为，
∴，
即抛物线与x轴的另一个交点坐标是，
故A选项的结论是正确的；
则根据对称性可知，故当时，．
故C选项的结论是正确的；
由题干的原图可得，当时，y随x的增大而增大；
故B选项的结论是正确的；
故答案为：D．
【分析】根据函数图象开口向上，与轴交于负半轴，求出，再结合对称轴为直线，求出，之后结合抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标是，最后求出当时，y随x的增大而增大，即可作答.
9．（2025九上·西湖期末）已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数，当时，，
∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和，
故A、B、D选项错误，
故选：C．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系即可求出答案.
10．（2024·湖南模拟）已知抛物线（a，b，c是常数，且，）的图象经过点，其中，现有四个结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程必有一个小于2的正实数解．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线的图象经过点，，
∴，
∵，，
∴，故①正确；
∵，，
∴抛物线与y轴交点在正半轴，点P在x轴下方，
∴抛物线与轴有两个交点，一个交点在和之间，故④正确；
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴不能确定，
∴当时，无法确定y随x的增大而增大，③故错误.
综上所述，①②④正确.
故答案为：．
【分析】将P点代入抛物线解析式中，根据m的符号，得到关于a，b，c的式子的符号，再根据a与c的符号，可确定b的符号，以此判断①；分别取x=0和x=2，根据函数值的符号，可得到抛物线与轴有两个交点，一个交点在和之间，以此判断②和④；由抛物线的对称轴不能确定，当时，无法确定y随x的增大而增大，以此判断③．
二、填空题
11．（2025·江北模拟）如图所示是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③的最大值为3；④方程有两个不相等的实根．其中正确的为 ．
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
，
∴此结论正确；
②∵抛物线过点（3，0）且对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴，
∴此结论正确．
③∵抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴当时，有最大值，其值与有关，
∴此结论错误；
④∵方程的根就是的图象与的交点，
由图象知，的图象与的图象有两个交点．
∴此结论正确．
故答案为：①②④．
【分析】①由抛物线的开口方向和与y轴的交点可判断a、c的符号，结合抛物线的对称轴所在的位置可判断b的符号，于是可判断abc的积的符号；
②根据抛物线与x轴的一个交点为（3，0）且对称轴为x=1可求得抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），把这个交点代入抛物线的解析式可求解；
③根据抛物线的开口向下，且对称轴为x=1可求解；
④根据二次函数的图象与x轴的交点可求解．
12．（2024九上·中山期中）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则，其中正确的有 ．
【答案】②④⑤
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线对称轴，经过点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴且，故①错误，
∵抛物线对称轴，经过，
∴和关于对称轴对称，
∴时，，
∴，故②正确，
∵抛物线与x轴交于，
∴时，，
∴，
∵，
∴，即，故③错误，
∵，，
∴，故④正确，
∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，
∴方程的两个根分别为、，
∴，，
∴，故⑤正确，
故答案为：②④⑤．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
13．（2025·龙港模拟）新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“孪生抛物线”．例如：抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线（为常数，且）的“孪生抛物线”为．抛物线的顶点为，与轴交于B，C两点，若为直角三角形，则拋物线的表达式为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵ 抛物线（为常数，且） ，
∴其孪生抛物线：（为常数，且），
∴A点坐标为（），即A（-1，4）；如图所示，
即AD=4，OD=1.
∵为直角三角形，
∴AD=BD=CD=4，BO=BD+OD=5，CO=CD-OD=3，
∴B（-5，0），C（3，0），
x1x2=-5×3=，解得
因此拋物线的表达式为。
故答案为：.
【分析】本题主要考查抛物线的相关性质、直角三角形的性质等相关知识。
首先根据“孪生抛物线“的定义，可以先写出抛物线C2的关系式，根据顶点坐标公式可以求出A点的坐标；因为顶点在对称轴上，因此AB=AC，此时可以推出为等腰直角三角形，且∠A=90°，这样就可以得出B和C点的坐标，最后根据二次函数根与系数的关系即可求出a的值， 拋物线的表达式即可求出。
14．（2024·武汉模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝6；
②若点C（﹣5，y1）、D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≥4a+2b；
④对于a的每一个确定值（a＞0），若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）有根，则p≥1﹣16a，其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝1的根为x1＝﹣2，x2＝6，①错误；
该抛物线的对称轴为直线，函数图象开口向上，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，②正确；
当x＝2时，函数取得最小值y＝4a+2b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≥4a+2b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≥4a+2b，③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，
，
②﹣①得，32a+8b＝0，即b＝﹣4a，
①×3+②得，48a+4c＝4，即c＝1﹣12a，
若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）有根，则，
∴p≥1﹣16a，④正确；
故答案为：②③④．
【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
15．（2025九上·江北期末）二次函数 自变量 的部分取值和对应的函数值 如下表所示：
-1 0 1 2
下列说法正确的是 ．（填写序号）
①抛物线的对称轴为直线 ；
②函数图象开口向上；
③当 时， 随 的增大而增大；
④当 时， 的取值范围是 ．
【答案】①②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 和 时的函数值相同，
∴对称轴为直线 故①正确；
∵当 时的函数值大于 时的函数值，
∴当 时的函数值是该函数的最小值，
∴函数图象开口向上，故②正确；
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，y随x的增大而增大，故③正确；
的关于对称轴的对称点是(
∴当 时， x的取值范围是 或 故
④不正确.
故答案为： ①②③.
【分析】通过二次函数图象的对称性可得： 和 时的函数值相同，从而判断①；由表格数据可知 时的函数值是该函数的最小值，即可判断②；利用二次函数的增减性即可判断③；利用对称性和增减性即可判断④.
16．（2023九上·盐城期中）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”.在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“二倍点”，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，二倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
∴，
解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得：，
综上，c的取值范围为：．
故答案为：．
【分析】由题意得，二倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求解．
17．（2024九上·北京市开学考）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点C在x轴上方，
∴，
∴，故①正确；
②∵由函数图象可知抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，且抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-1，0）右侧，
∴当时，有 ，故②错误；
③∵抛物线开口向下，且抛物线的对称轴为直线，
∴当时，二次函数有最大值为，
∴m为任意实数时， ，
∴整理得：，故③正确；
④∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴时，一次函数值比二次函数值大，
∴，
由①得，
∴，
解得：，故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点，即可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-1，0）右侧，则当时，有，即可对②进行判断；根据二次函数的性质可得时，二次函数有最大值为，即可对③进行判断；利用函数图象得时，一次函数值比二次函数值大，即有，然后把代入解出a的取值范围，即可对④进行判断.
18．（2025·武汉）已知二次函数y= ax2+(a-2)x-2(a为常数，且a≠0).下列五个结论：
①该函数图象经过点(-1，0)；
②若a=-1，则当x＞-1时，y随x的增大而减小；
③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；
④若a＞2，则关于x的方程.ax2+(a-2)x-2=0有一个根大于0且小于1；
⑤若a＞2，则关于x的方程 | ax2+(a-2)x-2|=2的正数根只有一个.
其中正确的是 (填写序号).
【答案】①②④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：将x=1代入解析式可得，y=a+2-a-2=0
∴该函数图象经过点(-1，0)，①正确
当a=-1时，该二次函数图象卡扣朝下
对称轴为直线
∴当时，y随x的增大而减小
∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，②正确
∵
∴该函数图象与x轴有两个不同的交点或只有一个交点，③错误
由①可得关于x的方程 ax2+(a-2)x-2=0有一个根为-1
设另一个根为x2
∴
∴
∴当a>2时，有
∴若a＞2，则关于x的方程.ax2+(a-2)x-2=0有一个根大于0且小于1，④正确
当a>2时，对称轴为直线
则关于x的方程ax2+(a-2)x-2=-2有两个非正解
将y= ax2+(a-2)x-2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得函数 y=| ax2+(a-2)x-2|的图象
令y=2，则直线y=2与y=| ax2+(a-2)x-2|共有4个不同交点
其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余为负
∴关于x的方程 | ax2+(a-2)x-2|=2的正数根只有一个，⑤正确
故答案为：①②④⑤
【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
19．（2024九上·北京市月考）已知二次函数的与的部分对应值如下表：
… …
… …
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
二次函数可改写为的形式；
二次函数的图象开口向下；
关于的一元二次方程的两个根为或；
若，则．
其中所有正确的结论为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵该函数的图象经过，，
∴该函数图象的对称轴是直线，
∴该函数图象的顶点坐标是，有最小值，开口向上，
∴二次函数可改写为的形式，故选项正确，选项错误；
∵该函数的图象经过，其关于对称轴直线的对称点为，
∴关于的一元二次方程的两个根为或，故选项正确；
∵该函数的图象经过，，
∴若，则或，故选项错误；
综上，正确的结论为，
故答案为：．
【分析】
观察表格知，抛物线经过，，则对称轴是直线，又因为当时函数有最小值，即抛物线的顶点坐标为，则抛物线的顶点式为；
由于抛物线有最低点，即开口向上；
观察表格知抛物线过点，则由对称性知抛物线必然也过点，即关于x的一元二次的两个根为或；
由二次函数的增减性知当时，则或．
20．（2024九上·杭州期中）已知抛物线的顶点坐标为，若关于x的方程在范围内有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：关于的方程在范围内有两个不同的实数根，
∴抛物线与直线在范围内有两个不同的交点，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，，
∴，，
∴抛物线为，
当时，有，
当时，有，
如图，
要使方程在范围内有两个不同的交点，则，
故答案为：．
【分析】先将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，根据顶点坐标得到抛物线对称轴以及解析式，然后求出和的函数值，结合函数图象即可得到答案.
1 / 1专题3 二次函数的系数与图象—浙教版数学九年级上册培优专训
一、选择题
1．（2024九上·永康期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间（包含端点).有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①③④
2．（2025·天河模拟）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③抛物线的顶点坐标为；
④若，则．
A．①② B．②③④ C．①④ D．①③
3．（2025·凉州模拟）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·常德模拟）已知：二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④两根分别为，1；⑤．其中正确的选项有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2025·东莞模拟）已知顶点为的抛物线经过点，有下列结论：①；②若点与点为抛物线上的两点，则；③；④关于的一元二次方程的两根分别为和．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024·泰安模拟）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023九上·蓬江期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·乌当模拟）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论错误的是（ ）
A．抛物线与x轴的另一个交点坐标是
B．当时，y随x的增大而增大
C．的值是0
D．
9．（2025九上·西湖期末）已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·湖南模拟）已知抛物线（a，b，c是常数，且，）的图象经过点，其中，现有四个结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程必有一个小于2的正实数解．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2025·江北模拟）如图所示是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③的最大值为3；④方程有两个不相等的实根．其中正确的为 ．
12．（2024九上·中山期中）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则，其中正确的有 ．
13．（2025·龙港模拟）新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“孪生抛物线”．例如：抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线（为常数，且）的“孪生抛物线”为．抛物线的顶点为，与轴交于B，C两点，若为直角三角形，则拋物线的表达式为 ．
14．（2024·武汉模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝6；
②若点C（﹣5，y1）、D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≥4a+2b；
④对于a的每一个确定值（a＞0），若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）有根，则p≥1﹣16a，其中正确的结论是 ．（填写序号）
15．（2025九上·江北期末）二次函数 自变量 的部分取值和对应的函数值 如下表所示：
-1 0 1 2
下列说法正确的是 ．（填写序号）
①抛物线的对称轴为直线 ；
②函数图象开口向上；
③当 时， 随 的增大而增大；
④当 时， 的取值范围是 ．
16．（2023九上·盐城期中）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”.在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“二倍点”，则的取值范围是 ．
17．（2024九上·北京市开学考）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 （填序号）．
18．（2025·武汉）已知二次函数y= ax2+(a-2)x-2(a为常数，且a≠0).下列五个结论：
①该函数图象经过点(-1，0)；
②若a=-1，则当x＞-1时，y随x的增大而减小；
③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；
④若a＞2，则关于x的方程.ax2+(a-2)x-2=0有一个根大于0且小于1；
⑤若a＞2，则关于x的方程 | ax2+(a-2)x-2|=2的正数根只有一个.
其中正确的是 (填写序号).
19．（2024九上·北京市月考）已知二次函数的与的部分对应值如下表：
… …
… …
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
二次函数可改写为的形式；
二次函数的图象开口向下；
关于的一元二次方程的两个根为或；
若，则．
其中所有正确的结论为 ．
20．（2024九上·杭州期中）已知抛物线的顶点坐标为，若关于x的方程在范围内有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），对称轴直线是x=1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．
故①正确；
②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x= =1，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＜0，即3a+b＜0．
故②错误；
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（-1，0），（3，0），
∴-1×3=-3，
=-3，则a= ．
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴-1≤ ≤ ，即-1≤a≤ ．
故③正确；
④当x=1时，y=a+b+c=-a+c=c=n，
∵2≤c≤3，
∴≤c≤4，
即≤n≤4．
故④正确．
综上所述，正确的说法有①③④．
故选：D．
【分析】①根据二次函数的对称性可得出点B的坐标，进而可得出当x=3时y=0，结论①成立；②根据抛物线的开口方向和对称轴可得
3a+b=a＜0，结论②错误；③由抛物线与y轴交点的范围可得出2≤c≤3，由抛物线的与x轴的交点坐标和一元二次方程根于系数的关系可得-1≤a≤ ，结论③正确；④根据顶点坐标为（1，n），y=C=n，根据c的取值范围，即可求得≤n≤4，结论④正确．综上即可得出结论．
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意，有两实根，
，
∴两个方程相减得，，
∴，故①正确，
，
令，
∴抛物线的对称轴是直线．
∴抛物线的顶点为．
又，
∴，即．
∴．
∴．
∴顶点坐标为，故③正确．
∵，
∴．
又，
，
∴，故②错误．
∵，
，
∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值．
∵，抛物线的对称轴是直线，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
，
，
∴，故④错误．
综上，正确的有①③共2个．
故答案为：D．
【分析】由有两实根，，可得到关于a、b、c的方程组，采用消元法可求出2a+b的值，可对①作出判断；利用二次函数的对称性可得到抛物线的对称轴，由此可得到抛物线的顶点为c)，再结合，可对③作出判断；依据题意可得，又，进而可得abc的值，可确定出a的符号，可对②作出判断；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④；综上所述可得到正确结论的序号.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据二次函数图象可得图象开口向下，对称轴在轴右侧，与轴的交点在正半轴上，与轴由两个交点，
∴，
∴，
∴，故A选项错误，不符合题意；
∵图像与轴有两个交点，
∴，故B选项错误，不符合题意；
当时，，故C选项正确，符合题意；
∵对称轴为直线，
∴与时，值相等，
∴当时，，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：C 。
【分析】观察二次函数的图象信息，确定a和c的取值，然后再根据对称轴的公式，同时结合a的取值，即可确定b的取值；再根据二次函数与x的交点问题，根据判别式即可判断；将x=-1和x=3分别代入二次函数中，对选项进行对比即可求解。
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；数形结合
【解析】【解答】解：观察抛物线图像可知，开口向上，
∴，
与轴的负半轴相交，
∴，
对称轴x=-1在轴的左侧，
∴，
∴，故①错误；
∵对称轴为，
即，
即，
∴，
故②错误；
根据抛物线的性质可知，当时，有最小值，
∴当x=m时，y=（m≠-1），
即，故③正确；
∵抛物线的对称轴为，且与轴的一个交点的横坐标为1，
∴根据二次函数的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为，
∴二元一次方程的两根分别是1，，故④正确；
通过观察图像可知，当时，，
即，故⑤正确，
综上所述，正确选项有③④⑤共3个，
故答案为：B．
【分析】直接根据二次函数图象与系数的关系及性质进行求解即可.
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点为，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线的顶点为，且经过点，
∴抛物线开口向上，
∴当，随着的增大而减小，
∵点，
∴由对称性得也在抛物线上，
∵，都在对称轴左侧，
∴，故②错误；
∵顶点为的抛物线，开口向上，
∴，故③正确；
∵抛物线经过点，对称轴为直线，
∴也经过，
∴关于的一元二次方程的两根分别为和，故④正确，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的顶点，代入顶点式解析式：，然后再对照一般式，即可判断①；根据抛物线的顶点，且经过点，从而确定抛物线开口向上，然后再根据顶点坐标，求出对称轴，当时，分析函数图象的性质，可得点的对称点也在抛物线上，由增减性判断②；顶点为的抛物线，开口向上，则，即可判断③；由于抛物线经过点，对称轴为直线，则也经过，故关于的一元二次方程的两根分别为和，即可判断④．
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：一次函数的图象经过一、三、四象限，
，，
，
二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴右侧，
故选：D．
【分析】由一次函数图象经过一、三、四象限可得，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
即，
∴，故D选项的结论是错误的；
∵二次函数与x轴的一个交点坐标为，
∴，
即抛物线与x轴的另一个交点坐标是，
故A选项的结论是正确的；
则根据对称性可知，故当时，．
故C选项的结论是正确的；
由题干的原图可得，当时，y随x的增大而增大；
故B选项的结论是正确的；
故答案为：D．
【分析】根据函数图象开口向上，与轴交于负半轴，求出，再结合对称轴为直线，求出，之后结合抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标是，最后求出当时，y随x的增大而增大，即可作答.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数，当时，，
∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和，
故A、B、D选项错误，
故选：C．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线的图象经过点，，
∴，
∵，，
∴，故①正确；
∵，，
∴抛物线与y轴交点在正半轴，点P在x轴下方，
∴抛物线与轴有两个交点，一个交点在和之间，故④正确；
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴不能确定，
∴当时，无法确定y随x的增大而增大，③故错误.
综上所述，①②④正确.
故答案为：．
【分析】将P点代入抛物线解析式中，根据m的符号，得到关于a，b，c的式子的符号，再根据a与c的符号，可确定b的符号，以此判断①；分别取x=0和x=2，根据函数值的符号，可得到抛物线与轴有两个交点，一个交点在和之间，以此判断②和④；由抛物线的对称轴不能确定，当时，无法确定y随x的增大而增大，以此判断③．
11．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
，
∴此结论正确；
②∵抛物线过点（3，0）且对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴，
∴此结论正确．
③∵抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴当时，有最大值，其值与有关，
∴此结论错误；
④∵方程的根就是的图象与的交点，
由图象知，的图象与的图象有两个交点．
∴此结论正确．
故答案为：①②④．
【分析】①由抛物线的开口方向和与y轴的交点可判断a、c的符号，结合抛物线的对称轴所在的位置可判断b的符号，于是可判断abc的积的符号；
②根据抛物线与x轴的一个交点为（3，0）且对称轴为x=1可求得抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），把这个交点代入抛物线的解析式可求解；
③根据抛物线的开口向下，且对称轴为x=1可求解；
④根据二次函数的图象与x轴的交点可求解．
12．【答案】②④⑤
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线对称轴，经过点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴且，故①错误，
∵抛物线对称轴，经过，
∴和关于对称轴对称，
∴时，，
∴，故②正确，
∵抛物线与x轴交于，
∴时，，
∴，
∵，
∴，即，故③错误，
∵，，
∴，故④正确，
∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，
∴方程的两个根分别为、，
∴，，
∴，故⑤正确，
故答案为：②④⑤．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵ 抛物线（为常数，且） ，
∴其孪生抛物线：（为常数，且），
∴A点坐标为（），即A（-1，4）；如图所示，
即AD=4，OD=1.
∵为直角三角形，
∴AD=BD=CD=4，BO=BD+OD=5，CO=CD-OD=3，
∴B（-5，0），C（3，0），
x1x2=-5×3=，解得
因此拋物线的表达式为。
故答案为：.
【分析】本题主要考查抛物线的相关性质、直角三角形的性质等相关知识。
首先根据“孪生抛物线“的定义，可以先写出抛物线C2的关系式，根据顶点坐标公式可以求出A点的坐标；因为顶点在对称轴上，因此AB=AC，此时可以推出为等腰直角三角形，且∠A=90°，这样就可以得出B和C点的坐标，最后根据二次函数根与系数的关系即可求出a的值， 拋物线的表达式即可求出。
14．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝1的根为x1＝﹣2，x2＝6，①错误；
该抛物线的对称轴为直线，函数图象开口向上，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，②正确；
当x＝2时，函数取得最小值y＝4a+2b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≥4a+2b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≥4a+2b，③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，
，
②﹣①得，32a+8b＝0，即b＝﹣4a，
①×3+②得，48a+4c＝4，即c＝1﹣12a，
若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）有根，则，
∴p≥1﹣16a，④正确；
故答案为：②③④．
【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
15．【答案】①②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 和 时的函数值相同，
∴对称轴为直线 故①正确；
∵当 时的函数值大于 时的函数值，
∴当 时的函数值是该函数的最小值，
∴函数图象开口向上，故②正确；
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，y随x的增大而增大，故③正确；
的关于对称轴的对称点是(
∴当 时， x的取值范围是 或 故
④不正确.
故答案为： ①②③.
【分析】通过二次函数图象的对称性可得： 和 时的函数值相同，从而判断①；由表格数据可知 时的函数值是该函数的最小值，即可判断②；利用二次函数的增减性即可判断③；利用对称性和增减性即可判断④.
16．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，二倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
∴，
解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得：，
综上，c的取值范围为：．
故答案为：．
【分析】由题意得，二倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求解．
17．【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点C在x轴上方，
∴，
∴，故①正确；
②∵由函数图象可知抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，且抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-1，0）右侧，
∴当时，有 ，故②错误；
③∵抛物线开口向下，且抛物线的对称轴为直线，
∴当时，二次函数有最大值为，
∴m为任意实数时， ，
∴整理得：，故③正确；
④∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴时，一次函数值比二次函数值大，
∴，
由①得，
∴，
解得：，故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点，即可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-1，0）右侧，则当时，有，即可对②进行判断；根据二次函数的性质可得时，二次函数有最大值为，即可对③进行判断；利用函数图象得时，一次函数值比二次函数值大，即有，然后把代入解出a的取值范围，即可对④进行判断.
18．【答案】①②④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：将x=1代入解析式可得，y=a+2-a-2=0
∴该函数图象经过点(-1，0)，①正确
当a=-1时，该二次函数图象卡扣朝下
对称轴为直线
∴当时，y随x的增大而减小
∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，②正确
∵
∴该函数图象与x轴有两个不同的交点或只有一个交点，③错误
由①可得关于x的方程 ax2+(a-2)x-2=0有一个根为-1
设另一个根为x2
∴
∴
∴当a>2时，有
∴若a＞2，则关于x的方程.ax2+(a-2)x-2=0有一个根大于0且小于1，④正确
当a>2时，对称轴为直线
则关于x的方程ax2+(a-2)x-2=-2有两个非正解
将y= ax2+(a-2)x-2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得函数 y=| ax2+(a-2)x-2|的图象
令y=2，则直线y=2与y=| ax2+(a-2)x-2|共有4个不同交点
其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余为负
∴关于x的方程 | ax2+(a-2)x-2|=2的正数根只有一个，⑤正确
故答案为：①②④⑤
【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
19．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵该函数的图象经过，，
∴该函数图象的对称轴是直线，
∴该函数图象的顶点坐标是，有最小值，开口向上，
∴二次函数可改写为的形式，故选项正确，选项错误；
∵该函数的图象经过，其关于对称轴直线的对称点为，
∴关于的一元二次方程的两个根为或，故选项正确；
∵该函数的图象经过，，
∴若，则或，故选项错误；
综上，正确的结论为，
故答案为：．
【分析】
观察表格知，抛物线经过，，则对称轴是直线，又因为当时函数有最小值，即抛物线的顶点坐标为，则抛物线的顶点式为；
由于抛物线有最低点，即开口向上；
观察表格知抛物线过点，则由对称性知抛物线必然也过点，即关于x的一元二次的两个根为或；
由二次函数的增减性知当时，则或．
20．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：关于的方程在范围内有两个不同的实数根，
∴抛物线与直线在范围内有两个不同的交点，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，，
∴，，
∴抛物线为，
当时，有，
当时，有，
如图，
要使方程在范围内有两个不同的交点，则，
故答案为：．
【分析】先将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，根据顶点坐标得到抛物线对称轴以及解析式，然后求出和的函数值，结合函数图象即可得到答案.
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