专题4 二次函数的几何变换—浙教版数学九年级上册培优专训
一、单选题
1．（2023九上·铁山期中）在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴所得到的抛物线的表达式为，
故答案为：D．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
2．（2025九上·海曙期末）为使抛物线C1：y=3（x-1）2+2与抛物线C2：y=3（x+1）2-2重合，下列平移能实现的是（ ）
A．把C1先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．把C1先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
C．把C1先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
D．把C1先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为(1，2)
抛物线 的顶点坐标为
∵点(1，2)先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点(
∴把抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到抛物线
故答案为：A.
【分析】根据平移规律“上加下减，左加右减”解题即可.
3．（2024九上·上城期末）已知二次函数y＝﹣x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有3个交点时，m的值是（ ）
A． B．﹣2 C．﹣2或3 D．﹣6或﹣2
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：直线在如图位置时，有3个交点，
y=-x2+x+6，令y=0得x=3或-2，则A（-2，0）
A代入y=-x+m得0=2+m，m=-2；
翻折到x轴下方部分对应函数为：y=x2-x-6，
联立得x2-6-m=0，
由△=4（6+m）=0得m=-6；
综上，m=-2或-6
故答案为：D.
【分析】由题意作出3个交点时的直线位置，一种经过点A，另一种和翻折下来的图形相切，写出翻折后的函数解析式，并和直线联立，根据△=0求解即可.
4．（2023九上·杭州期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其中。将此抛物线向上平移，与x轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ）
A．当时，，
B．当时，，
C．当时，
D．当时，，
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当m>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-2，平移后的对称轴不变，所以所以结合图像易知，；
同理，当m<0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-2，平移后的对称轴不变，所以结合图像易知，.
故答案为：A.
【分析】抛物线上纵坐标相等的点离对称轴的距离相等，上下平移对称轴不变，所以不论抛物线开口向上还是向下，再结合图像即可判断得解。
5．（2024九下·花溪月考）在同一坐标平面内，图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（ ）
A．y=2（x+1）2-1 B．y=2x2+3
C．y=-2x2-1 D．y=x2-1
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由于抛物线的形状由二次项的系数a决定，所以两个函数表达式中的a要相同或互为相反数才可以通过平移变换、轴对称变换得到，A、B选项的二次项系数为2；C选项的二次项系数为－2；D选项的二次项系数为与原二次函数的二次项系数不相等，故D不能由原函数平移而得到．
故答案为：D.
【分析】根据图形平移的性质可得，平移后的图形与原图形大小、形状、开口相同，再根据抛物线的形状由二次项的系数a决定的进行分析即可．
6．在平面直角坐标系中，抛物线 y= 与 x 轴相交于(a，0)，(b，0)两点，其中aA．a+b=c+d，b-ad-c
C．a+bd-c
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 y=-(x+ 向上平移后，对称轴不变，
即a+b=c+d①.如图，
平移前抛物线与x轴的两个交点之间的距离小于平移后抛物线与x轴的两个交点之间的距离，即b- a故答案为：A .
【分析】方法归纳：
抛物线上纵坐标相等的点与对称轴的关系若点(a，n)和点(b，n)(a≠b)在抛物线y=a（x-m）2+k（a≠0）上，则抛物线的对称轴可以表示为直线，根据这个关系，可得=m，特别地，当n=0，这两个点为抛物线与x轴的交点.
7．（2024九上·拱墅期末）将抛物线位于轴左侧的部分沿轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
令y=0，则x2+x-6=0，解得x=-3，y=2，
抛物线与x轴交点为（-3，0），（2，0），
由题意可得翻折后y轴左侧的抛物线为，
当直线经过点（0，-6） 时，得t=-6，此时直线与新图象有且只有2个公共点，
然后将直线向上平移过程中直至经过（0，6）之前，始终与新图象有且只有2个公共点，
把（0，6）代入中得t=6，
∴-6≤t＜6时，直线与新图象有且只有2个公共点，
联立与，令y值相等，得=，
整理为2x2+3x+2t-12=0，
△=32+4×2（2t-12）=0，解得t=，
当t=，直线与新图象有且只有2个公共点，
∴或.
故答案为：D.
【分析】先求出翻折后的抛物线解析式，当直线在（0，6）和（0，-6）之间平移中始终与新图象有且只有2个公共点 ，其中不包含点（0，6），当直线与新图象y轴左侧部分只有一个交点时，也满足直线与新图象有且只有2个公共点，据此解答即可.
8．（2023·商河模拟）已知二次函数的表达式为，将其图象向右平移个单位，得到二次函数的图象，使得当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小．则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】∵把向右平移个单位，得到二次函数的图象，
∴
∴新图象的对称轴为直线，
∵当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小，且抛物线开口向下，
∴，
解得，
故答案为：D．
【分析】先求出平移后的解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
9．（2025九上·宁波期末）小甬同学用计算机软件绘制函数 的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于 轴对称的图象，得到新的图象 （如图所示）．若点 ， 都在图象 上，这 20 个点的横坐标从 0.1 开始依次增加 0.1 ，则 的值是（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
【答案】C
【知识点】探索规律-函数上点的规律；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：∵函数 的对称轴是，∴当将其对称轴左侧的图象作关于 轴对称的图象，得到的函数关系式是，即图像G对应的函数关系式是
，观察并计算发现，当x=1时，y=0，并且，
即当x=0.1对应的y1值和当x=1.9对应的y19值，y1+y19=0，同理，y2+y18=0，y3+y17=0，y4+y16=0，y5+y15=0，y6+y14=0，y7+y13=0，y8+y12=0，y9+y11=0，
y20=，
因此.
故答案为：C。
【分析】本题首先画出并计算出G的函数图形和函数关系式，然后找到 的值的规律，最后发现，因为x值关于1对称，因此关于1对称的两个函数值之和是0，最后只需要计算出y20即可。
10．（2024九上·浙江月考）如图，已知在平面直角坐标系中，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点，；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于点，；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；探索规律-函数上点的规律；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：对于，当时，，
解得：，
∴．
∵，
∴．
由题意可知，，
∴可设：，
将代入，得：，
解得：，
∴．
由题意又可知整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，
∵，
∴m的值等于时的纵坐标，
∴．
故答案为：B．
【分析】令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值可求出，将抛物线的解析式配成顶点式可得，由旋转的性质从而可求出，，进而利用待定系数法求出C2的解析式，再根据整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，由，即可知m的值等于时的纵坐标，从而即可得出答案．
二、填空题
11．（2023九上·朝阳月考）将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后所得到的抛物线的解析式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】将抛物线向右平移个单位后的解析式为，再将向上平移个单位后的解析式为，
故答案为：.
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
12．（2021·阳信模拟）将抛物线 向上平移3个单位长度后，经过点 ，则8a-4b-11的值是 ．
【答案】-5
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线 向上平移3个单位长度后，
表达式为： ，
∵经过点 ，代入，
得： ，
则 = =2×3-11=-5.
故答案为：-5.
【分析】根据二次函数的平移后的表达式，再将点 ，代入，得： ，最后将 变形求值即可。
13．（2024九上·义乌月考）如图所示，抛物线y＝x2+2x﹣3顶点为Q，交x轴于点E、F两点（F在E的右侧），T是x轴正半轴上一点，以T为中心作抛物线y＝x2+2x﹣3的中心对称图形，交x轴于点K、L两点（L在K的右侧），已知∠FQL＝45°，则新抛物线的解析式为 ．
【答案】y＝﹣x2+18x﹣77
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；中心对称的性质；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴Q（﹣1，﹣4），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴E（﹣3，0），F（1，0），
作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，如图，
∵∠FQL＝45°，
∴△QFM为等腰直角三角形，
∴FQ＝FM，
∵∠PFQ+∠PQF＝90°，∠PFQ+∠MFN＝90°，
∴∠PQF＝∠MFN，
∴△PQF≌△NFM（AAS），
∴PQ＝FN＝4，MN＝PF＝2，
∴M（5，﹣2），
设直线QL的解析式为y＝kx+b，
把Q（﹣1，﹣4），M（5，﹣2）代入得
，
解得，
∴直线QL的解析式为y，
当y＝0时，0，解得x＝11，
∴L（11，0），
∵点E（﹣3，0）和点L（11，0）关于T对称，
∴T点坐标为（4，0），
∵点F与点K关于T点对称，∴K（7，0），
∵新抛物线与抛物线y＝x2+2x﹣3关于T对称，
∴新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣7）（x﹣11），
即y＝﹣x2+18x﹣77．
故答案为y＝﹣x2+18x﹣77．
【分析】先求出顶点的坐标，然后令求得点的坐标，作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，得到△PQF≌△NFM（AAS），即可求出点的坐标，得到直线QL的解析式，得到L，T的坐标，根据中心对称的性质得到K（7，0），再利用待定系数法求函数解析式即可．
14．（2021九上·杭州期末）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（ ，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为 .
其中正确判断的序号是 .
【答案】①③④
【知识点】二次函数图象的几何变换；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，
∵△＝4﹣4＝0，
∴此方程两个相等的实数根，
则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为 ，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，
又∵﹣2＜0 ，且点M（﹣2，y1）、点N（ ，y2）、点 在该函数图象上，
∴y2＞y3＞y1，故②错误；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位所得抛物线的解析式为： ，
即y＝﹣（x+1）2+m，故③正确；
④当m＝1时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2，
∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），
作点B关于y轴的对称点 ，
作C点关于x轴的对称点 ，
连接 ，与x轴、y轴分别交于D、E点， 相交于 ，如图所示：
则 ，
根据两点之间线段最短，知 最短，而BC的长度一定，
∴此时，四边形BCDE周长的最小值为 ，
即 ，
故④正确；
故答案为：①③④.
【分析】①把y=m+2代入y=-x2+2x+m+1中，可得△＝0，据此判断即可；
②由抛物线的对称轴为x＝1，可得点P（2，y3）关于x＝1的对称点为 ，由于a＝﹣1＜0，
可得当x＜1时，y随x增大而增大，据此判断②；③根据抛物线的平移可得，将其进行整理，然后判断即可；
④因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点B′，作C点关于x轴的对称点C′，连接连接 ，与x轴、y轴分别交于D、E点， 相交于 ，如图所示：可得此时，四边形BCDE周长的最小值为 ，利用勾股定理求值即可，然后判断即可．
15．（2021·庐阳模拟）已知函数 与y轴交于点C，顶点为D．直线 交x轴于点E，点F在直线 上，且橫坐标为4，现在，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 总有公共点．抛物线向上最多可以平移 个单位长度，向下最多可以平移 个单位长度．
【答案】36；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵函数 与y轴交于点C，顶点为D，
∴点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（1， ），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线CD的解析式为 ，
当y=0时， ，
解得x= -8，
∴点E（-8，0），
当x=4时，y= ，
∴点F（4，6），
设最多上移n个单位，此时解析式为 ，
∴当x=-8时， ，
∵抛物线与直线有公共点，
∴y≤0
∴ ≤0，
∴n≤36，
∴抛物线最多上移36个单位，
设向下最多可以平移m个单位，根据题意，得 ，
∴ ，
整理，得 ，
当△=0时，有一个公共点，
∴ ，
解得m= ；
故答案为：36；
【分析】求得直线CD的解析式，根据平移规律，设出平移后的解析式，利用解析式联立方程组，转化为一元二次方程的根的判别式问题，不等式的解集，求解即可
三、综合题
16．如图，已知抛物线 交x轴于A，B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W 交y 轴于点C.
（1）写出“图象W”位于线段AB 上方部分(-1（2）若直线y=-x+b与“图象W”有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值.
【答案】（1）解： “图象W”上点的坐标为(x，y），则关于x轴对称的点的坐标为(x，-y），
又∵(x，-y）在抛物线 上，
∴，即
（2）解：由图象得直线y=-x+b与“图象W”有三个交点时，存在两种情况：①当直线y=-x+b 过点C时，与“图象W”有三个交点，此时b=2；
②当直线y=-x+b 与“图象W”位于线段AB 上方部分(-1【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；一次函数图象的平移变换；二次函数图象的对称变换
【解析】【分析】（1）设“图象W”上点的坐标为(x，y），得到关于x轴对称的点的坐标，代入解析式计算解答；
（2）分为直线y=-x+b 过点C或“图象W”位于线段AB 上方部对应的函数图象有唯一公共点两种情况，利用根的判别式计算解答即可.
17．（2022九上·平阳月考）如图，将抛物线P1：y=x2+2x+m平移后得到抛物线P2：y=x2﹣5x+n，两抛物线与y轴分别交于点C，D．抛物线P1，P2的交点E的横坐标是1，过点E作x轴的平行线，分别交抛物线P1，P2于点A，B．
（1）求抛物线P1的对称轴和点A的横坐标．
（2）求线段AB和CD的长度．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
轴，
又A、E两点关于对称轴对称，E点横坐标为1，
点A的横坐标为；
故抛物线P1的对称轴为直线和点A的横坐标为．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
轴，
点B与点E关于对称轴对称，
点B的横坐标为4，
；
点E是抛物线与抛物线的交点，
，
，
，
令，
则，
；
故线段AB和CD的长度均为7．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）由抛物线的解析式可得对称轴为直线x=-1，根据A、E两点关于对称轴对称可得点A的横坐标；
（2）由抛物线P2的解析式可得对称轴，结合B、E关于对称轴对称可得点B的横坐标为4，则AB=7，由E是两抛物线的交点可得n-m=7，令x=0，求出y，表示出C、D的坐标，进而可得CD的值.
18．（2023·秦皇岛模拟）定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，、、是常数）满足，，，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考并解决下面问题：
（1）写出函数的“旋转函数”；
（2）若函数与互为“旋转函数”，求的值；
（3）已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”．
【答案】（1）解：根据题意得，
解得
故解析式为：
（2）解：根据题意得
∴
∴
（3）解：根据题意得，，
∴，，
又
且经过点，，的二次函数为
∵
∴两个函数互为“旋转函数”．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据“旋转函数”的定义可得，再求出a、b、c的值即可；
（2）根据“旋转函数”的定义可得，求出m、n的值，再将m、n的值代入计算即可；
（3）先求出，，，再求出经过点，，的二次函数为，最后利用“旋转函数”的定义求解即可。
19．特例感知
（1）如图①，对于抛物线 下列结论正确的序号是 .
①抛物线y1，y2，y3都经过点C(0，1).
②抛物线 y2，y3的对称轴由抛物线 y1的对称轴依次向左平移个单位得到.
③抛物线y1，y2，y3与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.
（2）形成概念
把满足 (n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.
知识应用
在(2)中，如图②.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为 用含 n的代数式表示顶点 Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式.
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点”(横、纵坐标均为整数的点)：( 其横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，…，-k-n(k为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.
③在②中，直线 y=1分别交“系列平移抛物线”于点. ，连接CnAn， 判断 是否平行，并说明理由.
【答案】（1）①②③
（2）【答案】解：
②相邻两点之间的距离都相等.
理由：根据题意得
∴Cn， Cn-1两点之间的铅直高度
Cn， Cn-1两点之间的水平距离=-k-n+1－(-k-n)=1.
∴由勾股定理得
③CnAn与 Cn-1An-1不平行.
理由：根据题意得C
过 Cn， Cn-1分别作直线y=1的垂线，垂足为D，E，连接CnAn， Cn-1An-1，所以D(-k-n，1)，E(-k-n+1，1).
在 Rt△DAnCn中，
在 Rt 中，
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：将x=0分别代入y1，y2，y3，均为1，
则都经过（0，1），
故①正确；
y1，y2，y3的对称轴依次为x=，x=-1，x=，
∴ y2，y3的对称轴由抛物线 y1的对称轴依次向左平移个单位得到 ，
故②正确；
③当y=1时，则-x2-x+1=1，可得x=0或x=-1；-x2-2x+1=1，可得x=0或x=-2；-x2-3x+1=1，可得x=0或x=-3；所以相邻两点之间的距离都是1，
故③正确；
故答案为：①②③
【分析】（1）①当x=0时，分别代入抛物线y1，y2，y3，即可得y1=y2=y3=1；
②y2=-x2-2x+1，y3=-x2-3x+1的对称轴分别为x=-1，x=，y1=-x2-x+1的对称轴x=，
③当y=1时，则-x2-x+1=1，可得x=0或x=-1；-x2-2x+1=1，可得x=0或x=-2；-x2-3x+1=1，可得x=0或x=-3；所以相邻两点之间的距离都是1，
（2）①的顶点为（），可得y=x2+1；
②横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，…，-k-n（k为正整数），当x=-k-n时，y=-k2-nk+1，纵坐标分别为-k2-k+1，-k2-2k+1，-k2-3k+1，…，-k2-nk+1，相邻两点间距离分别为
③当y=1时，-x2-nx+1=1，可求A1（-1，1），A2（-2，1），A3（-3，1），…，An（-n，1），
C1（-k-1，-k2-k+1），C2（-k-2，-k2-2k+1），C3（-k-3，-k2-3k+1），…，Cn（-k-n，-k2-nk+1）.
1 / 1专题4 二次函数的几何变换—浙教版数学九年级上册培优专训
一、单选题
1．（2023九上·铁山期中）在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( )
A． B．
C． D．
2．（2025九上·海曙期末）为使抛物线C1：y=3（x-1）2+2与抛物线C2：y=3（x+1）2-2重合，下列平移能实现的是（ ）
A．把C1先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．把C1先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
C．把C1先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
D．把C1先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
3．（2024九上·上城期末）已知二次函数y＝﹣x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有3个交点时，m的值是（ ）
A． B．﹣2 C．﹣2或3 D．﹣6或﹣2
4．（2023九上·杭州期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其中。将此抛物线向上平移，与x轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ）
A．当时，，
B．当时，，
C．当时，
D．当时，，
5．（2024九下·花溪月考）在同一坐标平面内，图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（ ）
A．y=2（x+1）2-1 B．y=2x2+3
C．y=-2x2-1 D．y=x2-1
6．在平面直角坐标系中，抛物线 y= 与 x 轴相交于(a，0)，(b，0)两点，其中aA．a+b=c+d，b-ad-c
C．a+bd-c
7．（2024九上·拱墅期末）将抛物线位于轴左侧的部分沿轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．（2023·商河模拟）已知二次函数的表达式为，将其图象向右平移个单位，得到二次函数的图象，使得当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小．则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九上·宁波期末）小甬同学用计算机软件绘制函数 的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于 轴对称的图象，得到新的图象 （如图所示）．若点 ， 都在图象 上，这 20 个点的横坐标从 0.1 开始依次增加 0.1 ，则 的值是（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
10．（2024九上·浙江月考）如图，已知在平面直角坐标系中，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点，；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于点，；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．5
二、填空题
11．（2023九上·朝阳月考）将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后所得到的抛物线的解析式为 ．
12．（2021·阳信模拟）将抛物线 向上平移3个单位长度后，经过点 ，则8a-4b-11的值是 ．
13．（2024九上·义乌月考）如图所示，抛物线y＝x2+2x﹣3顶点为Q，交x轴于点E、F两点（F在E的右侧），T是x轴正半轴上一点，以T为中心作抛物线y＝x2+2x﹣3的中心对称图形，交x轴于点K、L两点（L在K的右侧），已知∠FQL＝45°，则新抛物线的解析式为 ．
14．（2021九上·杭州期末）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（ ，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为 .
其中正确判断的序号是 .
15．（2021·庐阳模拟）已知函数 与y轴交于点C，顶点为D．直线 交x轴于点E，点F在直线 上，且橫坐标为4，现在，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 总有公共点．抛物线向上最多可以平移 个单位长度，向下最多可以平移 个单位长度．
三、综合题
16．如图，已知抛物线 交x轴于A，B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W 交y 轴于点C.
（1）写出“图象W”位于线段AB 上方部分(-1（2）若直线y=-x+b与“图象W”有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值.
17．（2022九上·平阳月考）如图，将抛物线P1：y=x2+2x+m平移后得到抛物线P2：y=x2﹣5x+n，两抛物线与y轴分别交于点C，D．抛物线P1，P2的交点E的横坐标是1，过点E作x轴的平行线，分别交抛物线P1，P2于点A，B．
（1）求抛物线P1的对称轴和点A的横坐标．
（2）求线段AB和CD的长度．
18．（2023·秦皇岛模拟）定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，、、是常数）满足，，，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考并解决下面问题：
（1）写出函数的“旋转函数”；
（2）若函数与互为“旋转函数”，求的值；
（3）已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”．
19．特例感知
（1）如图①，对于抛物线 下列结论正确的序号是 .
①抛物线y1，y2，y3都经过点C(0，1).
②抛物线 y2，y3的对称轴由抛物线 y1的对称轴依次向左平移个单位得到.
③抛物线y1，y2，y3与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.
（2）形成概念
把满足 (n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.
知识应用
在(2)中，如图②.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为 用含 n的代数式表示顶点 Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式.
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点”(横、纵坐标均为整数的点)：( 其横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，…，-k-n(k为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.
③在②中，直线 y=1分别交“系列平移抛物线”于点. ，连接CnAn， 判断 是否平行，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴所得到的抛物线的表达式为，
故答案为：D．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为(1，2)
抛物线 的顶点坐标为
∵点(1，2)先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点(
∴把抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到抛物线
故答案为：A.
【分析】根据平移规律“上加下减，左加右减”解题即可.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：直线在如图位置时，有3个交点，
y=-x2+x+6，令y=0得x=3或-2，则A（-2，0）
A代入y=-x+m得0=2+m，m=-2；
翻折到x轴下方部分对应函数为：y=x2-x-6，
联立得x2-6-m=0，
由△=4（6+m）=0得m=-6；
综上，m=-2或-6
故答案为：D.
【分析】由题意作出3个交点时的直线位置，一种经过点A，另一种和翻折下来的图形相切，写出翻折后的函数解析式，并和直线联立，根据△=0求解即可.
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当m>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-2，平移后的对称轴不变，所以所以结合图像易知，；
同理，当m<0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-2，平移后的对称轴不变，所以结合图像易知，.
故答案为：A.
【分析】抛物线上纵坐标相等的点离对称轴的距离相等，上下平移对称轴不变，所以不论抛物线开口向上还是向下，再结合图像即可判断得解。
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由于抛物线的形状由二次项的系数a决定，所以两个函数表达式中的a要相同或互为相反数才可以通过平移变换、轴对称变换得到，A、B选项的二次项系数为2；C选项的二次项系数为－2；D选项的二次项系数为与原二次函数的二次项系数不相等，故D不能由原函数平移而得到．
故答案为：D.
【分析】根据图形平移的性质可得，平移后的图形与原图形大小、形状、开口相同，再根据抛物线的形状由二次项的系数a决定的进行分析即可．
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 y=-(x+ 向上平移后，对称轴不变，
即a+b=c+d①.如图，
平移前抛物线与x轴的两个交点之间的距离小于平移后抛物线与x轴的两个交点之间的距离，即b- a故答案为：A .
【分析】方法归纳：
抛物线上纵坐标相等的点与对称轴的关系若点(a，n)和点(b，n)(a≠b)在抛物线y=a（x-m）2+k（a≠0）上，则抛物线的对称轴可以表示为直线，根据这个关系，可得=m，特别地，当n=0，这两个点为抛物线与x轴的交点.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
令y=0，则x2+x-6=0，解得x=-3，y=2，
抛物线与x轴交点为（-3，0），（2，0），
由题意可得翻折后y轴左侧的抛物线为，
当直线经过点（0，-6） 时，得t=-6，此时直线与新图象有且只有2个公共点，
然后将直线向上平移过程中直至经过（0，6）之前，始终与新图象有且只有2个公共点，
把（0，6）代入中得t=6，
∴-6≤t＜6时，直线与新图象有且只有2个公共点，
联立与，令y值相等，得=，
整理为2x2+3x+2t-12=0，
△=32+4×2（2t-12）=0，解得t=，
当t=，直线与新图象有且只有2个公共点，
∴或.
故答案为：D.
【分析】先求出翻折后的抛物线解析式，当直线在（0，6）和（0，-6）之间平移中始终与新图象有且只有2个公共点 ，其中不包含点（0，6），当直线与新图象y轴左侧部分只有一个交点时，也满足直线与新图象有且只有2个公共点，据此解答即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】∵把向右平移个单位，得到二次函数的图象，
∴
∴新图象的对称轴为直线，
∵当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小，且抛物线开口向下，
∴，
解得，
故答案为：D．
【分析】先求出平移后的解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
9．【答案】C
【知识点】探索规律-函数上点的规律；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：∵函数 的对称轴是，∴当将其对称轴左侧的图象作关于 轴对称的图象，得到的函数关系式是，即图像G对应的函数关系式是
，观察并计算发现，当x=1时，y=0，并且，
即当x=0.1对应的y1值和当x=1.9对应的y19值，y1+y19=0，同理，y2+y18=0，y3+y17=0，y4+y16=0，y5+y15=0，y6+y14=0，y7+y13=0，y8+y12=0，y9+y11=0，
y20=，
因此.
故答案为：C。
【分析】本题首先画出并计算出G的函数图形和函数关系式，然后找到 的值的规律，最后发现，因为x值关于1对称，因此关于1对称的两个函数值之和是0，最后只需要计算出y20即可。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；探索规律-函数上点的规律；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：对于，当时，，
解得：，
∴．
∵，
∴．
由题意可知，，
∴可设：，
将代入，得：，
解得：，
∴．
由题意又可知整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，
∵，
∴m的值等于时的纵坐标，
∴．
故答案为：B．
【分析】令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值可求出，将抛物线的解析式配成顶点式可得，由旋转的性质从而可求出，，进而利用待定系数法求出C2的解析式，再根据整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，由，即可知m的值等于时的纵坐标，从而即可得出答案．
11．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】将抛物线向右平移个单位后的解析式为，再将向上平移个单位后的解析式为，
故答案为：.
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
12．【答案】-5
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线 向上平移3个单位长度后，
表达式为： ，
∵经过点 ，代入，
得： ，
则 = =2×3-11=-5.
故答案为：-5.
【分析】根据二次函数的平移后的表达式，再将点 ，代入，得： ，最后将 变形求值即可。
13．【答案】y＝﹣x2+18x﹣77
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；中心对称的性质；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴Q（﹣1，﹣4），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴E（﹣3，0），F（1，0），
作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，如图，
∵∠FQL＝45°，
∴△QFM为等腰直角三角形，
∴FQ＝FM，
∵∠PFQ+∠PQF＝90°，∠PFQ+∠MFN＝90°，
∴∠PQF＝∠MFN，
∴△PQF≌△NFM（AAS），
∴PQ＝FN＝4，MN＝PF＝2，
∴M（5，﹣2），
设直线QL的解析式为y＝kx+b，
把Q（﹣1，﹣4），M（5，﹣2）代入得
，
解得，
∴直线QL的解析式为y，
当y＝0时，0，解得x＝11，
∴L（11，0），
∵点E（﹣3，0）和点L（11，0）关于T对称，
∴T点坐标为（4，0），
∵点F与点K关于T点对称，∴K（7，0），
∵新抛物线与抛物线y＝x2+2x﹣3关于T对称，
∴新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣7）（x﹣11），
即y＝﹣x2+18x﹣77．
故答案为y＝﹣x2+18x﹣77．
【分析】先求出顶点的坐标，然后令求得点的坐标，作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，得到△PQF≌△NFM（AAS），即可求出点的坐标，得到直线QL的解析式，得到L，T的坐标，根据中心对称的性质得到K（7，0），再利用待定系数法求函数解析式即可．
14．【答案】①③④
【知识点】二次函数图象的几何变换；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，
∵△＝4﹣4＝0，
∴此方程两个相等的实数根，
则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为 ，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，
又∵﹣2＜0 ，且点M（﹣2，y1）、点N（ ，y2）、点 在该函数图象上，
∴y2＞y3＞y1，故②错误；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位所得抛物线的解析式为： ，
即y＝﹣（x+1）2+m，故③正确；
④当m＝1时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2，
∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），
作点B关于y轴的对称点 ，
作C点关于x轴的对称点 ，
连接 ，与x轴、y轴分别交于D、E点， 相交于 ，如图所示：
则 ，
根据两点之间线段最短，知 最短，而BC的长度一定，
∴此时，四边形BCDE周长的最小值为 ，
即 ，
故④正确；
故答案为：①③④.
【分析】①把y=m+2代入y=-x2+2x+m+1中，可得△＝0，据此判断即可；
②由抛物线的对称轴为x＝1，可得点P（2，y3）关于x＝1的对称点为 ，由于a＝﹣1＜0，
可得当x＜1时，y随x增大而增大，据此判断②；③根据抛物线的平移可得，将其进行整理，然后判断即可；
④因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点B′，作C点关于x轴的对称点C′，连接连接 ，与x轴、y轴分别交于D、E点， 相交于 ，如图所示：可得此时，四边形BCDE周长的最小值为 ，利用勾股定理求值即可，然后判断即可．
15．【答案】36；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵函数 与y轴交于点C，顶点为D，
∴点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（1， ），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线CD的解析式为 ，
当y=0时， ，
解得x= -8，
∴点E（-8，0），
当x=4时，y= ，
∴点F（4，6），
设最多上移n个单位，此时解析式为 ，
∴当x=-8时， ，
∵抛物线与直线有公共点，
∴y≤0
∴ ≤0，
∴n≤36，
∴抛物线最多上移36个单位，
设向下最多可以平移m个单位，根据题意，得 ，
∴ ，
整理，得 ，
当△=0时，有一个公共点，
∴ ，
解得m= ；
故答案为：36；
【分析】求得直线CD的解析式，根据平移规律，设出平移后的解析式，利用解析式联立方程组，转化为一元二次方程的根的判别式问题，不等式的解集，求解即可
16．【答案】（1）解： “图象W”上点的坐标为(x，y），则关于x轴对称的点的坐标为(x，-y），
又∵(x，-y）在抛物线 上，
∴，即
（2）解：由图象得直线y=-x+b与“图象W”有三个交点时，存在两种情况：①当直线y=-x+b 过点C时，与“图象W”有三个交点，此时b=2；
②当直线y=-x+b 与“图象W”位于线段AB 上方部分(-1【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；一次函数图象的平移变换；二次函数图象的对称变换
【解析】【分析】（1）设“图象W”上点的坐标为(x，y），得到关于x轴对称的点的坐标，代入解析式计算解答；
（2）分为直线y=-x+b 过点C或“图象W”位于线段AB 上方部对应的函数图象有唯一公共点两种情况，利用根的判别式计算解答即可.
17．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
轴，
又A、E两点关于对称轴对称，E点横坐标为1，
点A的横坐标为；
故抛物线P1的对称轴为直线和点A的横坐标为．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
轴，
点B与点E关于对称轴对称，
点B的横坐标为4，
；
点E是抛物线与抛物线的交点，
，
，
，
令，
则，
；
故线段AB和CD的长度均为7．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）由抛物线的解析式可得对称轴为直线x=-1，根据A、E两点关于对称轴对称可得点A的横坐标；
（2）由抛物线P2的解析式可得对称轴，结合B、E关于对称轴对称可得点B的横坐标为4，则AB=7，由E是两抛物线的交点可得n-m=7，令x=0，求出y，表示出C、D的坐标，进而可得CD的值.
18．【答案】（1）解：根据题意得，
解得
故解析式为：
（2）解：根据题意得
∴
∴
（3）解：根据题意得，，
∴，，
又
且经过点，，的二次函数为
∵
∴两个函数互为“旋转函数”．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据“旋转函数”的定义可得，再求出a、b、c的值即可；
（2）根据“旋转函数”的定义可得，求出m、n的值，再将m、n的值代入计算即可；
（3）先求出，，，再求出经过点，，的二次函数为，最后利用“旋转函数”的定义求解即可。
19．【答案】（1）①②③
（2）【答案】解：
②相邻两点之间的距离都相等.
理由：根据题意得
∴Cn， Cn-1两点之间的铅直高度
Cn， Cn-1两点之间的水平距离=-k-n+1－(-k-n)=1.
∴由勾股定理得
③CnAn与 Cn-1An-1不平行.
理由：根据题意得C
过 Cn， Cn-1分别作直线y=1的垂线，垂足为D，E，连接CnAn， Cn-1An-1，所以D(-k-n，1)，E(-k-n+1，1).
在 Rt△DAnCn中，
在 Rt 中，
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：将x=0分别代入y1，y2，y3，均为1，
则都经过（0，1），
故①正确；
y1，y2，y3的对称轴依次为x=，x=-1，x=，
∴ y2，y3的对称轴由抛物线 y1的对称轴依次向左平移个单位得到 ，
故②正确；
③当y=1时，则-x2-x+1=1，可得x=0或x=-1；-x2-2x+1=1，可得x=0或x=-2；-x2-3x+1=1，可得x=0或x=-3；所以相邻两点之间的距离都是1，
故③正确；
故答案为：①②③
【分析】（1）①当x=0时，分别代入抛物线y1，y2，y3，即可得y1=y2=y3=1；
②y2=-x2-2x+1，y3=-x2-3x+1的对称轴分别为x=-1，x=，y1=-x2-x+1的对称轴x=，
③当y=1时，则-x2-x+1=1，可得x=0或x=-1；-x2-2x+1=1，可得x=0或x=-2；-x2-3x+1=1，可得x=0或x=-3；所以相邻两点之间的距离都是1，
（2）①的顶点为（），可得y=x2+1；
②横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，…，-k-n（k为正整数），当x=-k-n时，y=-k2-nk+1，纵坐标分别为-k2-k+1，-k2-2k+1，-k2-3k+1，…，-k2-nk+1，相邻两点间距离分别为
③当y=1时，-x2-nx+1=1，可求A1（-1，1），A2（-2，1），A3（-3，1），…，An（-n，1），
C1（-k-1，-k2-k+1），C2（-k-2，-k2-2k+1），C3（-k-3，-k2-3k+1），…，Cn（-k-n，-k2-nk+1）.
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