专题6 二次函数的新定义问题—浙教版数学九年级上册培优专训
一、选择题
1．已知是以为自变量的函数，当时，函数值为，若存在实数，使得，则称点是函数的“奇妙点”，以下函数存在两个“奇妙点”的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江模拟）已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数m，使得，则称函数和符合“特定规律”，以下函数和符合“特定规律”的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．（2024九下·武汉月考）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，t是关于x的方程的根，且，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
4．（2023九上·绍兴月考）已知和均是以为自变量的函数，为实数.当时，函数值分别为和，若存在实数，使得.则称和为友好函数，以下和不一定是友好函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
5．（2017九下·台州期中）对于点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义一种运算：A B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（-5，4），B（2，-3），A B=（-5+2）+（4-3）=-2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C D=D E=E F=F D，则C，D，E，F四点（ ）
A．在同一条直线上 B．在同一条抛物线上
C．在同一反比例函数图象上 D．是同一个正方形的四个顶点
6．（2023九上·越城月考）定义：给定关于x的函数 y ，对 于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1﹤x2时，都有y1﹤y2，称该函数为增函数.根据以上定义，下列函数中①y=2x；②；③；④，是增函数的（ ）
A．①③④ B．①② C．③④ D．①③
二、填空题
7．（2025九下·浙江月考）我们不妨定义：使函数值为0的自变量的值，称为该函数的零点．例如：函数-1的零点为1和-1．若函数的零点是和，则函数的零点是 ．
8．（2023八下·长沙期末）定义：若一元二次方程（）满足，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则与的数量关系是 ．
9．（2020九上·越城期中）如图，直线l： 经过点M(0， )，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)…Bn(n，yn)（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)…，An+1(xn+1，0)（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是 .
10．（2017九上·西湖期中）实数 ， ，用符号 表示 ， 两数中较小的数，如 ，因此，若 ，则 ．若 ，则 满足 ．
11．（2023九上·长兴月考）对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的不动点．已知二次函数．
①若3是此函数的不动点，则的值为 ；
②若此函数有两个相异的不动点，，且，则的取值范围为 ．
12．（2022·路桥模拟）定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“类完全平方数”，记.例如：，则39是一个“类完全平方数”，且.
（1）已知37是一个“类完全平方数”，则 ；
（2）若两位数a是一个“类完全平方数”，且，则a的最大值= .
13．（2021·丰台模拟）京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系 中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为 ， 为半圆的直径，且 ，半圆圆心M的坐标为 ．关于图形G给出下列四个结论，其中正确的是 （填序号）．
①图形G关于直线 对称；
②线段 的长为 ；
③图形G围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④当 时，直线 与图形G有两个公共点．
三、解答题
14．（2024九上·雨花月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“琦点”．例如，点是函数的图象的“琦点”．
（1）分别判断函数，的图象上是否存在“琦点”？如果存在，求出“琦点”的坐标；
（2）若抛物线有两个“琦点”为点，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合）．当的面积为10时，求抛物线解析式；
（3）若函数的图象记为，将其绕点旋转后的图象记为，当两部分组成的图象上恰有3个“琦点”时，求m的值．
15．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．如：min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1．
（1）求min{x2﹣1，﹣2}；
（2）已知min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围；
（3）已知当﹣2≤x≤3时，min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15．直接写出实数m的取值范围．
16．（2023九上·耿马期中）【定义】在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数图象，把该图象在直线上的点以及直线右边的部分向上平移（为正整数）个单位长度，再把直线左边的部分向下平移个单位长度，得到一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“移函数”，例如：函数关于直线的2移函数为.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）已知点在函数（）关于直线的“3移函数”图象上，求的值；
（2）若二次函数关于直线的“移函数”与轴有三个公共点，设是这三个点的横坐标之和，是否存在一个正整数，使得的值为整数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
17．（2025·连州模拟）在平面直角坐标系中，若一个点到两坐标轴的距离相等，则该点称为“雁点”，如等称为“雁点”．若抛物线过点和，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若是抛物线上的“雁点”，求的面积．
（3）若是轴下方抛物线上一点，连接，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，是否存在点，使得刚好为“雁点”？若存在，请直接写出所有点的坐标．
18．（2022九上·长沙期中）规定：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点P（2，4）在函数上，点Q（，）在函数上，点P与点Q关于原点对称，此时函数和互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”．
（1）函数和函数是否互为“守望函数”？若是，求出它们的“守望点”，若不是，请说明理由；
（2）已知函数和互为“守望函数”，求n的最大值并写出取最大值时对应的“守望点”；
（3）已知二次函数与互为“守望函数”，有且仅有一对“守望点”，若二次函数的顶点为M，与x轴交于，，其中，，又，过顶点M作x轴的平行线l交y轴于点N，直线与y轴交点为点Q，动点E在x轴上运动，求抛物线上的一点F的坐标，使得四边形为平行四边形．
19．（2023九上·长沙期中）新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，a+2），则称点P为函数图象上的“朴实点”．例如：直线y＝2x+1上存在的“朴实点”是P（1，3）．
（1）判断直线y＝x+4上是否有“朴实点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由；
（2）若抛物线y＝x2+3x+2-k上存在两个“朴实点”，两个“朴实点”之间的距离为2，求k的值；
（3）若二次函数y＝x2+（m-t+1）x+2n+2t-2的图象上存在唯一的“朴实点”，且当-2≤m≤3时，n的最小值为t+4，求t的值．
20．（2019九上·南浔月考）在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y) 和Q(x， y′) .给出如下定义：若 ，则称点Q 为点P 的“可控变点” . 例如：点（1，2）的可控变点为点（1，2），点（-1，3）的可控变点为点（-1，-3）.
（1）点（-6，-3）的可控变点坐标为 ．
（2）若点P在函数y＝－x2 ＋16的图象上，其可控变点Q的纵坐标y′是7，求可控变点Q的横坐标．
21．（2023九上·绍兴月考）若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为.
（1）①判断：函数 “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图像上的明德点是 ；
（2）若抛物线上有两个“明德点”，求的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值.
22．（2023九上·义乌期中）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．
例如：当n＝1时，函数y＝（x﹣6）2+3关于点P（0，1）的相关函数为y＝（x+6）2﹣1．
（1）当n＝0时，
①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为 ；
②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值；
（2）函数y＝﹣x2+关于点P的相关函数是y＝x2，则n＝；
（3）当n﹣1≤x≤n+3时，函数y＝﹣2x2+nxn2的相关函数的最小值为7，求n的值．
23．（2023九上·路桥月考）对于函数定义变换：当y≥0时，函数值不变；当y＜0时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”，“关联函数”与x轴的交点叫做“转折点”．
如：一次函数y＝x－1，关联函数为，这个关联函数的转折点是(1，0)．
（1）已知一次函数y＝2x－3，请直接写出它的“关联函数”的解析式和转折点．
（2）已知二次函数y＝x2－2x－3，点(a，4)在它的“关联函数”的图象上，求a的值．
（3）在平面直角坐标系内，有点M(－1，1)、N(3，1)，请直接写出a的取值范围是多少时，二次函数y＝x2－2x＋a的关联函数与线段MN恰有两个公共点．
24．（2023·金东模拟）定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点（1，2）是函数图象关于3的“恒值点”．
（1）判断点（1，3），（2，8），（3，7）是否为函数图象关于10的“恒值点”．
（2）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示．
Ⅰ.求翻折后A，B之间的抛物线解析式．（不必写出x的取值范围）
Ⅱ.当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：A.令 整理得 方程无解，即函数 不存在“奇妙点”，不符合题意；
B.令 整理得 方程无解，即函数 不存在“奇妙点”，不符合题意；
C.令 解得x= 4，即函数 存在一个“奇妙点”，不符合题意；
D.令 整理得 方程有两个不相等的实数根，即函数 存在两个“奇妙点”，符合题意.
故答案为：D.
【分析】联立各方程和，得到新方程，根据方程解得个数逐一判断即可解题.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；函数值；定义新运算
【解析】【解答】解：A、当x=m时，
∴
，
令
则
∴
∴此方程无实数根，
∴不存在m的值使函数和符合“特定规律”，故A选项错误；
B、当x=m时，
∴
，
令
则
∴
∴存在m的值使函数和符合“特定规律”，故B选项正确；
C、当x=m时，
∴
，
令
则
∴
∴此方程无实数根，
∴不存在m的值使函数和符合“特定规律”，
故C选项错误；
D、当x=m时，
∴
，
令
则
∴
∴不存在m的值使函数和符合“特定规律”，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】将x=m分别代入各个选项给出的两个函数解析式，表示出M1与M2，令 ，可得关于字母m的方程，若方程有实数根，则存在，若方程没有实数根，则不存在.
3．【答案】A
【知识点】定义新运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵y=ax+b的“兹生函数”是y=ax2-3x+a+1，
∴ax2-3x+a+1=ax2+(a+b)x+b，
即，解得：，
∵t是关于x的方程x2+bx+a-b=0的根，
∴t2-t-2-(-1)=0，即t2-t-1=0，
∴t2=t+1，
∴t3-2t2+1=t·t2-2t2+1
=t(t+1)-2t2+1
=-t2+t+1
=-1+1=0.
故答案为：A.
【分析】根据“兹生函数”的定义可得ax2-3x+a+1=ax2+(a+b)x+b，由恒等式的意义可得关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，根据一元二次方程的解的意义可得t2-t-1=0，然后整体代换可求解.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质；一次函数的性质；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、当 =，则 ，整理x2-x-1=0，
△=（-1）2-4×1×（-1）=5＞0，
∴存在 实数，使得.则称和为友好函数 ，故不符合题意；
B、当 =，则 ，整理x2+ax+-=0，
△=a2-3a+2，
当1＜a＜2时，△＜0， =无解，
∴不一定存在实数m，故符合题意；
C、当 =，则 ，整理x2-3x+2=0，
△=9-8=1＞0，
∴存在实数m，故不符合题意；
D、当 =，则 ， 整理x2+ax-a-2=0，
△=a2+4a+8=（a+2）2+4＞0，
∴存在实数m，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据 友好函数的定义，直接令=，建立关于x的方程，若方程无解即得结论.
5．【答案】A
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A B=（x1+x2）+（y1+y2），
如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），
那么C D=（x3+x4）+（y3+y4），
D E=（x4+x5）+（y4+y5），
E F=（x5+x6）+（y5+y6），
F D=（x4+x6）+（y4+y6），
又∵C D=D E=E F=F D，
∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），
∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，
令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，
则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y="-" x+k上，
∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．
故答案为：A．
【分析】先根据所定义的新运算表示出点C，D，E，F坐标的关系，依据其关系可以列出函数式，结合函数式即可判断四个点在同一直线上.
6．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数的图象；定义新运算；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：对于①，由可知，又随着x的增大而增大，即 当时，都有， 符合题意；
对于②，由可知，又随着x的增大而减小，即 当时，都有， 不符合题意；
对于③，由题对称轴可知，且二次函数开口朝上，当时，y随着x的增大而增大；所以当时，都有， 符合题意；
对于④，不是函数；
故答案为：D .
【分析】利用①②③的函数图象即可判断，④不是函数.
7．【答案】-2或-3
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：函数的零点是和，
，
，
当时，，
.
故答案为：-2或-3.
【分析】由二次函数的性质可得，再通过公式变形可得，故当时，可得，即函数的零点是-2或-3.
8．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，
∴a-b+c=0，
∴b=a+c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴a=c，
故答案为：a=c
【分析】先根据“蝴蝶”方程的定义结合题意即可得到b=a+c，再根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
9．【答案】 或
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】直线l： ，
当x＝1时，y＝ ，
即：B1（1， ），
当x＝2时，y＝ ，
即：B2（2， ），
∵A1（d，0），A2（2﹣d，0），
若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，
即：1﹣d＝ ，
解得：d＝ ；
同理：若B2为直角顶点，则A2A3的中点（2，0）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，
即：2﹣（2﹣d）＝ ，
解得：d＝ ；
若B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数；
所以d的值是 或 .
故答案为： 或 .
【分析】易得B1（1， ），B2（2， ），若B1为直角顶点，则1-d＝，求解可得d的值，同理可求出B2为直角顶点，B3为直角顶点时d的值.
10．【答案】 或 ；
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】若 ，
则①当 时， ，此时需满足 ，
，得 ， （舍去）．
②当 时， 且 ，
得 （设）， ，
故第一空填 或 ．
若 ，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
故第二空答案为 ．
【分析】根据实数 p ， q ，用符号 min{p，q} 表示 p ， q 两数中较小的数，然后由①当 ( x 1 )2 < x 2 时，与②当 ( x 1 ) 2 ≥ x 2 时两种情况分别得出方程，求解并检验即可；根据min { x 2 + 2 x + k ， 3 } = 3 可知x2+2x+k≥ 3 ，然后将不等式的左边配成一个完全平方式加一个常数的形式，根据偶次方的非负性得出得出新的不等式，求解即可得出uk的取值范围。
11．【答案】-12；m＜-2
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由题意得：3=32+2×3+m，
解得：m=-12，
故答案为：-12.
（2）由题意得：二次函数y=x2+2x+m有两个相异的不动点a，b，
即a，b是方程x2+2x+m=x的两个不相等实数根，且a＜1＜b，
x2+2x+m=x，
整理得：x2+x+m=0，
解得：，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=12-4×1×m＞0，
解得：；
∵a＜1＜b，
∴，，
解得：m＜-2；
故答案为：m＜-2.
【分析】（1）根据题意，将x=3和y=3代入函数解析式，求解即可；
（2）根据题意可得a，b是方程x2+2x+m=x的两个不相等实数根，求得方程的解，根据一元二次方程根的判别式可得Δ=12-4×1×m＞0，求得m的取值范围，结合题意列出不等式，求解即可得出m的取值范围.
12．【答案】（1）12
（2）93
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵37是一个“类完全平方数”，37=3 +3×4+4
∴F（37）=12
故答案为：12.
（2）∵两位数是一个“类完全平方数”，且
∴是3的倍数
当=99时，108，不满足是两位数；
当=96时，105，不满足是两位数；
当=93时，102，不满足是两位数；
当=90时，99，满足是两位数，
∵
又∵，，，，
∴99不符合题意，
当=87时，96，满足是两位数，
∵，
又∵，
∴96不符合题意，
当=84时，93，满足是两位数，
∵，
又∵，
∴93符合题意，
∴的最大值为93.
故答案为：93.
【分析】（1）37=32+3×4+42，然后结合“类完全平方数”的概念进行判断；
（2）根据已知条件结合“类完全平方数”的概念可得a-9是3的倍数，结合α是两位数求出a的值，然后求出F(a)，进而可得a的最大值.
13．【答案】①②
【知识点】轴对称的性质；定义新运算
【解析】【解答】由圆 可知 ， ， ，
且点 ， 在抛物线上，
图形 关于 对称，故①符合题意；
连接 ，
在 中，
， ，
，
又 ，
，
，故②符合题意；
根据题意得，由图形 围成区域内（不含边界）恰有13个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故③不符合题意；
由题意得 ， ，
当 时，与图形 有一个公共点，
当 时，与图形 由两个公共点，故④不符合题意；
故答案为①②．
【分析】由图像可知图形G关于直线x=1对称，则①正确；连接CM，由勾股定理计算出OC的长，由点D的坐标得出OD的长，则可得CD的长，从而可判断②；观察图像，可知图形G围成区域内（不含边界）恰有13个整点，则可判断③；由图像可知当a=-4或a=2时，直线y=a与图像G有一个公共点，则可判断④。
14．【答案】（1）函数的图象上不存在“琦点”；函数的图象上存在“琦点”为和；
（2）；
（3）或2或．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数-面积问题
15．【答案】解：（1）∵x2≥0，
∴x2﹣1≥﹣1，
∴x2﹣1＞﹣2．
∴min{x2﹣1，﹣2}=﹣2，
（2）∵x2﹣2x+k=（x﹣1）2+k﹣1，
∴（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1．
∵min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，
∴k﹣1≥﹣3．
∴k≥﹣2，
（3）对于y=x2﹣2x﹣15，当x=﹣2时，y=﹣7，
当x=3时，y=﹣12，
由题意可知抛物线y=x2﹣2x﹣15与直线y=m（x+1）的交点坐标为（﹣2，﹣7），（3，﹣12），
所以m的范围是：﹣3≤m≤7．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；偶次方的非负性；二次函数与一次函数的综合应用；定义新运算；配方法的应用
【解析】【分析】（1）比较x2﹣1与﹣2的大小，得到答案；
（2）把x2﹣2x+k化为（x﹣1）2+k﹣1的形式，确定k的取值范围；
（3）根据当﹣2≤x≤3时，y=x2﹣2x﹣15的值小于y=m（x+1）的值，解答即可．
16．【答案】（1）解：当时，关于直线的“3移函数”为，
把点代入得：，解得：；
（2）解：二次函数关于的“移函数”为，
∵二次函数的对称轴为，
∴当时，；把代入得，，
∵图象与轴有三个公共点，必须满足，∴，
∵为正整数，∴的值为2，3，4，
设函数图象与轴的三个公共点的横坐标分别为，，且，
∵对称轴为，∴，
∵三个公共点的横坐标之和为整数，∴是整数，
∴当时，代入得：，解得：（舍去）；
当时，代入得：，解得：（舍去）；
当时，代入得：，解得：，，
∵，∴，∴.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用；定义新运算；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据”n移函数“的定义、结合待定系数法求解。当时，关于直线的“3移函数”为，把点代入即可解得k的值；
（2）根据”n移函数“的定义、结合二次函数与一元二次方程综合求解。二次函数关于直线的“n移函数”为，可得二次函数的对称轴为直线，当时，；把代入得，根据图象与x轴有三个公共点可得，且n为正整数，即得n的值为2，3，4，设函数图象与x轴的三个公共点的横坐标分别为，且，因，故是整数，把分别代入-，可解得的值，即可得到答案．
17．【答案】（1）解：把和代入抛物线得
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，则，解得
点A的坐标为，点B的坐标为．
．
设，由为抛物线上的“雁点”，
当
解得：
点的坐标为或
或
当
点C坐标或
的值为或或．
（3）存在，点的坐标为或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】
（3）解：存在．
①当点C在点P左侧时，过点P作轴的平行线MN，再作CM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M、N，如图所示．
已知，设，
若，则．
则，，，，
∵∠MCP+∠MPC=∠MPC+∠BPN=90°
∴∠MCP=∠BPN
∠CMP=∠PNB=90°
PC=PD
∴△CMP≌△PNB，
，
即，
解得，
此时．
若，同理可求得或．
②当点在点右侧时
若，同理可求得，不满足点在轴下方，舍去；
若，同理可求得此时，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，解二元一次方程组，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）根据待定系数法即可求解，把和代入抛物线求出b、C值即可求出抛物线的解析式。
（2）求出点的坐标为，点的坐标为，设，由为抛物线上的“雁点”，得或，求出点的坐标，再根据求解即可．（3）当点C在点P左侧时，过点P作轴的平行线MN，再作CM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M、N，如图所示．B(2，0)，设
①若C(m，m)，找出M、N的坐标，用含有p、m的式子表示BN、PM、NP、CM。再根据一线三直角证明△CMP≌△PNB，得到BN=PM，PN=CM建立方程组求出p的值，继而求出P点坐标。
②若C(m，-m)，同理求出P的坐标。
当点C在点P右侧时，①若C(m，m)，同理求出P点坐标，②若C(m，-m)，同理求出P点坐标
（1）解：抛物线过点和，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，则，
解得，
点的坐标为，点的坐标为．
．
设，由为抛物线上的“雁点”，
得或，
解得：，
点的坐标为或或或．
，
的值为或或．
（3）解：存在．
①当点在点左侧时，过点作轴的平行线，再作，垂足分别为，如图所示．
已知，设，
若，则．
则，，，，
∵，
∴，
，
即，
解得，
此时．
若，同理可求得或．
②当点在点右侧时，
若，同理可求得，不满足点在轴下方，舍去；
若，同理可求得此时，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．
18．【答案】（1）解：设在上，则在，∴，
解得，
∴与互为“守望函数”，“守望点”为与．
（2）解：设在上，则在上，∴，
∴消去t得，
∵是“守望函数”，
∴，
∴，即n有最大值2023，
当n=2023时，s2-2s+1=0，
解得：s=1，
∴t=3，
∴此时“守望点”为与．
（3）解：设在，则在上，∴，
整理得，
∵有且仅有存在一对“守望点”，
∴，即，
∴顶点M的纵坐标为，
∵由二次函数与x轴交于，，即，为两个根，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴或．
综上，或，．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；坐标系中的两点距离公式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】本题考查新定义，二次函数与一次函数的综合运用，二次函数与一次二次方程，根与系数关系，根的判别式.
（1）设在上，则在，代入解析式可列出方程组，解方程组可求出a和b的值，据此可求出“守望点”；
（2）设在上，则在上，代入解析式求得，根据“守望函数”定义，求出根的判别式可得：，所以，即当时，n有最大值2023，进而可求出t的值，据此可求出此时“守望点”；
（3）设在，则在上，联立解析式，消y可得：，根据有且仅有存在一对“守望点”，则，即，所以顶点M的纵坐标为；由二次函数与x轴交于，，即，为两个根， 利用一元二次方程根与系数的关系：，，根据，可求出a的值，进而可得方程，解方程可求出c的值，进而可求出b的值、据此可求出点F的坐标.
（1）解：设在上，则在，
∴，
解得，
∴与互为“守望函数”，“守望点”为与．
（2）解：设在上，则在上，
∴，
∴消去t得，
∵是“守望函数”，
∴，
∴，即n有最大值2023，
当n=2023时，s2-2s+1=0，
解得：s=1，
∴t=3，
∴此时“守望点”为与．
（3）解：设在，则在上，
∴，
整理得，
∵有且仅有存在一对“守望点”，
∴，即，
∴顶点M的纵坐标为，
∵由二次函数与x轴交于，，即，为两个根，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴或．
综上，或，．
19．【答案】（1）解：有，理由：
将点P的坐标代入函数表达式得：a+2＝a+4，
解得：a＝3，
即点P（3，5）
（2）解：由点P的坐标知，点P在直线y＝x+2上，
则点P所在的直线和x轴的夹角为45°，
当两个“朴实点”之间的距离为2时，则两个点的横坐标差为2，
联立线y＝x2+3x+2-k和y＝x+2得：x2+2x-k＝0，
则x＝-1±，
则-1+-（-1-）＝2，
解得：k＝0；
（3）解：∵点P是二次函数的图象上的朴实点，
∴a+2＝a2+（m-t+1）a+2n+2t-2，
∴a2+（m-t）a+2n+2t-4＝0，
∵图象上存在唯一的朴实点，
∴Δ＝0，
∴（m-t）2-4××（2n+2t-4）＝0，
∴n＝m2-2mt+t2-t+2，
该函数图象开口向上，对称轴为m＝t，
①当对称轴是m＝t≥3时，函数在m＝3时，取得最小值，
即：n＝9-6t+（t2-t+2）＝t+4，
解得：t＝1（舍去）或7；
②当对称轴是m＝t≤-2时，函数在m＝-2时，取得最小值，
即：n＝4+4t+（t2-t+2）＝t+4，
此方程无解；
③当对称轴是-2＜m＝t＜3时，函数在m＝t时，取得最小值，
即：n＝t2-2t2+（t2-t+2）＝t+4，
解得：t＝0，
综上所述，t的值为0或1．
【知识点】一次函数的图象；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用“朴实点”的定义直接检验即可；
（2）由点P的坐标知点P在直线y＝x+2上，则点P所在的直线和x轴的夹角为45°，当两个“朴实点”之间的距离为2时，则两个点的横坐标差为2，再联立y＝x2+3x+2-k和y＝x+2为方程组，求出其x值，由“两个点的横坐标差为2”建立方程并解之即可；
（3）由点P是二次函数的图象上的朴实点， 可得a+2＝a2+（m-t+1）a+2n+2t-2，根据“ 图象上存在唯一的朴实点”可得△=0，可求n＝m2-2mt+t2-t+2，该函数图象开口向上，对称轴为m＝t，再分情况讨论： ①当对称轴是m＝t≥3时，函数在m＝3时，取得最小值， ②当对称轴是m＝t≤-2时，函数在m＝-2时，取得最小值， ③当对称轴是-2＜m＝t＜3时，函数在m＝t时，取得最小值， 据此分别解答即可.
20．【答案】（1）（-6，3）
（2）解：若x>0， 则y=y'=7， 即y=-x2+16=7，
解得：x=±3. ∴x=3.
若x<0， 则y=-x2+16=-7，
解得：x=. ∴x=-.
【知识点】定义新运算；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）点（-6，-3）的可控变点坐标为（-6，3）.
【分析】（1）根据可控变点的定义求解即可.
（2）分两种情况讨论，即当x>0时，和x<0时，分别根据可控变点的定义，结合函数关系式求得横坐标，注意舍去不符合题意的解.
21．【答案】（1）不是；（0，0）或（2，4）
（2）抛物线是“明德函数”， ，
整理得：，
抛物线上有两个“明德点”，
，，
的取值范围为且；
（3）由题意可知，
整理得，
整理得，
对称轴为直线m=k，此时n的最小值为2k；根据题意分类讨论：
①
②
③
综上，k的值为0或。
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）①令2x+3=2x，此方程无解，
∴ 函数不是“ 明德函数 ”
故答案为：不是.
② 令x2=2x，解得x=0或2，
∴ 函数的图像上的明德点是（0，0） 或（2，4）；
故答案为：（0，0） 或（2，4）；
【分析】（1）根据“ 明德函数 ”的定义进行判断即可；
（2）根据“ 明德函数 ”的定义可得，可得△＞0，据此解答即可；
（3）根据“ 明德函数 ”的定义可得，由唯一一个“明德点”，可得△=0，可得，对称轴为直线m=k，此时n的最小值为2k，再分类讨论即可.
22．【答案】（1）解：①故答案为：y＝﹣x2；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），
则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，
将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣；
（2）解：两个函数的顶点分别为：（0，）、（0，﹣），
由中点公式得：2n＝﹣，解得：n＝﹣，
故答案为：﹣；
（3）解：y＝﹣2x2+nxn2的顶点为：（，﹣n2），则相关函数顶点为：（﹣，n2+2n），
则相关函数的表达式为：y＝2（x+）2+n2+2n；
①当n≤﹣3时，
函数在x＝n+3时，取得最小值，即2（+3+）2+n2+2n＝7，
解得：n＝﹣或﹣1（舍去﹣1），
故n＝﹣；
②当﹣3＜n≤1时，
函数在顶点处取得最小值，即n2+2n＝7，
解得：n＝﹣1（舍去）；
③当n＞1时，
同理可得：n＝或﹣1（舍去﹣1），
综上，n＝﹣或．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）①n=0时，点P（0，0），则相关函数为y＝﹣x2；
故答案为：y＝﹣x2；
【分析】（1）①n=0时，点P（0，0），则相关函数为y＝﹣x2，即可求解；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），从而得出新函数的表达式为y＝﹣a（x+1）2，再将A的坐标代入求出a值即可；
（2）先求出两个函数的顶点分别为（0，）、（0，﹣），再利用中点公式即可求解；
（3）分三种情况：①当n≤﹣3时，②当﹣3＜n≤1时，③当n＞1时，据此分别解答即可.
23．【答案】（1）（，0）
（2）解：令y＝0，x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴抛物线y＝x2－2x－3与x轴交点坐标为（－1，0），（3，0），
∵抛物线开口向上，
∴关联函数y＝，
将（a，4）代入y＝x2－2x－3得4＝a2－2a－3，
解得a1＝1－，a2＝1＋，
将（a，4）代入y＝－x2＋2x＋3得4＝－a2＋2a＋3，
解得a3＝a4＝1，
∴a＝1±或1．
（3）解：∵y＝x2－2x＋a＝（x－1）2＋a－1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，a－1），对称轴为直线x＝1，
点M（－1，1）、N（3，1）关于直线x＝1对称，
如图，作MN关于x轴的对称的线段M'N'，
当a－1＝1时，a＝2，抛物线顶点在线段MN上，
当a－1＝－1时，a＝0，抛物线顶点在线段M'N'上，
∴0＜a＜2满足题意；
当抛物线经过点M，N时，将（－1，1）代入y＝x2－2x＋a得1＝1＋2＋a，
解得a＝－2，
将（－1，－1）代入y＝x2－2x＋a得－1＝1＋2＋a，
解得a＝－4，
∴－4≤a＜－2符合题意，
综上所述，0＜a＜2或－4≤a＜－2．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；定义新运算；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）令y＝0，2x－3＝0，解得x＝，∴其关联函数为y＝，
关联函数的转折点为（，0）．
【分析】（1）根据一次函数的解的性质，将y=0代入一次函数，求出x的值；根据“关联函数”的定义，可列关于x、y的一元二次方程，加减消元法即可求出转折点的坐标.
（2）根据因式分解法解二次函数，可以得到函数与x轴的两个交点的坐标；根据“关联函数”的定义，可得关联函数的解析式；将点（a，4）分别代入关联函数，可以解得a的值.
（3）根据二次函数的顶点式，可得抛物线的对称轴的直线；根据点的坐标的对称性，可得a的取值范围.根据二次函数上点的坐标的性质，代入函数，即可求出a的值；根据二次函数图象的性质，可以求得a的另一个取值范围.
24．【答案】（1）解：把点（1，3），（2，8），（3，7）代入
检验得： （1，3）和（2，8）是函数上的点，
∵1=3≠10，2+8=10，
∴点（2，8）是函数 图象关于10的“恒值点”；
（2）解：Ⅰ.① 抛物线 的顶点为（），
由翻折得新抛物线的顶点坐标为（），
∴翻折后抛物线解析式为y=-2(x+)2+
即得；
Ⅱ.由（2）知新图象解析式为或 ，
设图象上的点为（x，）（x，）
∵ 新图象上有关于c的“恒值点” ，
∴x=c①，x+=c②，
∵两方程恰有3个解，
∴①△=（b-1）2-8(2+c)=0，
②△=（b+1）2-8(2-c)＞0；或①△＞0，②△=0，
解得：或；
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据函数“恒值点” 的定义解答即可；
（2）①先求出元抛物线的顶点坐标，再根据关于x轴对称点坐标特征求出翻折后抛物线顶点坐标，然后利用顶点式写出解析式即可；
②由（2）知新图象解析式为或 ，设图象上的点为（x，）（x，），由于新图象上有关于c的“恒值点” ，可得
x=c①，x+=c②，根据两方程恰有3个解，可得△=0或△＞0，据此即可求解.
1 / 1专题6 二次函数的新定义问题—浙教版数学九年级上册培优专训
一、选择题
1．已知是以为自变量的函数，当时，函数值为，若存在实数，使得，则称点是函数的“奇妙点”，以下函数存在两个“奇妙点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：A.令 整理得 方程无解，即函数 不存在“奇妙点”，不符合题意；
B.令 整理得 方程无解，即函数 不存在“奇妙点”，不符合题意；
C.令 解得x= 4，即函数 存在一个“奇妙点”，不符合题意；
D.令 整理得 方程有两个不相等的实数根，即函数 存在两个“奇妙点”，符合题意.
故答案为：D.
【分析】联立各方程和，得到新方程，根据方程解得个数逐一判断即可解题.
2．（2024·浙江模拟）已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数m，使得，则称函数和符合“特定规律”，以下函数和符合“特定规律”的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；函数值；定义新运算
【解析】【解答】解：A、当x=m时，
∴
，
令
则
∴
∴此方程无实数根，
∴不存在m的值使函数和符合“特定规律”，故A选项错误；
B、当x=m时，
∴
，
令
则
∴
∴存在m的值使函数和符合“特定规律”，故B选项正确；
C、当x=m时，
∴
，
令
则
∴
∴此方程无实数根，
∴不存在m的值使函数和符合“特定规律”，
故C选项错误；
D、当x=m时，
∴
，
令
则
∴
∴不存在m的值使函数和符合“特定规律”，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】将x=m分别代入各个选项给出的两个函数解析式，表示出M1与M2，令 ，可得关于字母m的方程，若方程有实数根，则存在，若方程没有实数根，则不存在.
3．（2024九下·武汉月考）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，t是关于x的方程的根，且，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】定义新运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵y=ax+b的“兹生函数”是y=ax2-3x+a+1，
∴ax2-3x+a+1=ax2+(a+b)x+b，
即，解得：，
∵t是关于x的方程x2+bx+a-b=0的根，
∴t2-t-2-(-1)=0，即t2-t-1=0，
∴t2=t+1，
∴t3-2t2+1=t·t2-2t2+1
=t(t+1)-2t2+1
=-t2+t+1
=-1+1=0.
故答案为：A.
【分析】根据“兹生函数”的定义可得ax2-3x+a+1=ax2+(a+b)x+b，由恒等式的意义可得关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，根据一元二次方程的解的意义可得t2-t-1=0，然后整体代换可求解.
4．（2023九上·绍兴月考）已知和均是以为自变量的函数，为实数.当时，函数值分别为和，若存在实数，使得.则称和为友好函数，以下和不一定是友好函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质；一次函数的性质；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、当 =，则 ，整理x2-x-1=0，
△=（-1）2-4×1×（-1）=5＞0，
∴存在 实数，使得.则称和为友好函数 ，故不符合题意；
B、当 =，则 ，整理x2+ax+-=0，
△=a2-3a+2，
当1＜a＜2时，△＜0， =无解，
∴不一定存在实数m，故符合题意；
C、当 =，则 ，整理x2-3x+2=0，
△=9-8=1＞0，
∴存在实数m，故不符合题意；
D、当 =，则 ， 整理x2+ax-a-2=0，
△=a2+4a+8=（a+2）2+4＞0，
∴存在实数m，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据 友好函数的定义，直接令=，建立关于x的方程，若方程无解即得结论.
5．（2017九下·台州期中）对于点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义一种运算：A B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（-5，4），B（2，-3），A B=（-5+2）+（4-3）=-2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C D=D E=E F=F D，则C，D，E，F四点（ ）
A．在同一条直线上 B．在同一条抛物线上
C．在同一反比例函数图象上 D．是同一个正方形的四个顶点
【答案】A
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A B=（x1+x2）+（y1+y2），
如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），
那么C D=（x3+x4）+（y3+y4），
D E=（x4+x5）+（y4+y5），
E F=（x5+x6）+（y5+y6），
F D=（x4+x6）+（y4+y6），
又∵C D=D E=E F=F D，
∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），
∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，
令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，
则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y="-" x+k上，
∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．
故答案为：A．
【分析】先根据所定义的新运算表示出点C，D，E，F坐标的关系，依据其关系可以列出函数式，结合函数式即可判断四个点在同一直线上.
6．（2023九上·越城月考）定义：给定关于x的函数 y ，对 于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1﹤x2时，都有y1﹤y2，称该函数为增函数.根据以上定义，下列函数中①y=2x；②；③；④，是增函数的（ ）
A．①③④ B．①② C．③④ D．①③
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数的图象；定义新运算；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：对于①，由可知，又随着x的增大而增大，即 当时，都有， 符合题意；
对于②，由可知，又随着x的增大而减小，即 当时，都有， 不符合题意；
对于③，由题对称轴可知，且二次函数开口朝上，当时，y随着x的增大而增大；所以当时，都有， 符合题意；
对于④，不是函数；
故答案为：D .
【分析】利用①②③的函数图象即可判断，④不是函数.
二、填空题
7．（2025九下·浙江月考）我们不妨定义：使函数值为0的自变量的值，称为该函数的零点．例如：函数-1的零点为1和-1．若函数的零点是和，则函数的零点是 ．
【答案】-2或-3
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：函数的零点是和，
，
，
当时，，
.
故答案为：-2或-3.
【分析】由二次函数的性质可得，再通过公式变形可得，故当时，可得，即函数的零点是-2或-3.
8．（2023八下·长沙期末）定义：若一元二次方程（）满足，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则与的数量关系是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，
∴a-b+c=0，
∴b=a+c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴a=c，
故答案为：a=c
【分析】先根据“蝴蝶”方程的定义结合题意即可得到b=a+c，再根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
9．（2020九上·越城期中）如图，直线l： 经过点M(0， )，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)…Bn(n，yn)（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)…，An+1(xn+1，0)（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是 .
【答案】 或
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】直线l： ，
当x＝1时，y＝ ，
即：B1（1， ），
当x＝2时，y＝ ，
即：B2（2， ），
∵A1（d，0），A2（2﹣d，0），
若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，
即：1﹣d＝ ，
解得：d＝ ；
同理：若B2为直角顶点，则A2A3的中点（2，0）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，
即：2﹣（2﹣d）＝ ，
解得：d＝ ；
若B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数；
所以d的值是 或 .
故答案为： 或 .
【分析】易得B1（1， ），B2（2， ），若B1为直角顶点，则1-d＝，求解可得d的值，同理可求出B2为直角顶点，B3为直角顶点时d的值.
10．（2017九上·西湖期中）实数 ， ，用符号 表示 ， 两数中较小的数，如 ，因此，若 ，则 ．若 ，则 满足 ．
【答案】 或 ；
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】若 ，
则①当 时， ，此时需满足 ，
，得 ， （舍去）．
②当 时， 且 ，
得 （设）， ，
故第一空填 或 ．
若 ，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
故第二空答案为 ．
【分析】根据实数 p ， q ，用符号 min{p，q} 表示 p ， q 两数中较小的数，然后由①当 ( x 1 )2 < x 2 时，与②当 ( x 1 ) 2 ≥ x 2 时两种情况分别得出方程，求解并检验即可；根据min { x 2 + 2 x + k ， 3 } = 3 可知x2+2x+k≥ 3 ，然后将不等式的左边配成一个完全平方式加一个常数的形式，根据偶次方的非负性得出得出新的不等式，求解即可得出uk的取值范围。
11．（2023九上·长兴月考）对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的不动点．已知二次函数．
①若3是此函数的不动点，则的值为 ；
②若此函数有两个相异的不动点，，且，则的取值范围为 ．
【答案】-12；m＜-2
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由题意得：3=32+2×3+m，
解得：m=-12，
故答案为：-12.
（2）由题意得：二次函数y=x2+2x+m有两个相异的不动点a，b，
即a，b是方程x2+2x+m=x的两个不相等实数根，且a＜1＜b，
x2+2x+m=x，
整理得：x2+x+m=0，
解得：，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=12-4×1×m＞0，
解得：；
∵a＜1＜b，
∴，，
解得：m＜-2；
故答案为：m＜-2.
【分析】（1）根据题意，将x=3和y=3代入函数解析式，求解即可；
（2）根据题意可得a，b是方程x2+2x+m=x的两个不相等实数根，求得方程的解，根据一元二次方程根的判别式可得Δ=12-4×1×m＞0，求得m的取值范围，结合题意列出不等式，求解即可得出m的取值范围.
12．（2022·路桥模拟）定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“类完全平方数”，记.例如：，则39是一个“类完全平方数”，且.
（1）已知37是一个“类完全平方数”，则 ；
（2）若两位数a是一个“类完全平方数”，且，则a的最大值= .
【答案】（1）12
（2）93
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵37是一个“类完全平方数”，37=3 +3×4+4
∴F（37）=12
故答案为：12.
（2）∵两位数是一个“类完全平方数”，且
∴是3的倍数
当=99时，108，不满足是两位数；
当=96时，105，不满足是两位数；
当=93时，102，不满足是两位数；
当=90时，99，满足是两位数，
∵
又∵，，，，
∴99不符合题意，
当=87时，96，满足是两位数，
∵，
又∵，
∴96不符合题意，
当=84时，93，满足是两位数，
∵，
又∵，
∴93符合题意，
∴的最大值为93.
故答案为：93.
【分析】（1）37=32+3×4+42，然后结合“类完全平方数”的概念进行判断；
（2）根据已知条件结合“类完全平方数”的概念可得a-9是3的倍数，结合α是两位数求出a的值，然后求出F(a)，进而可得a的最大值.
13．（2021·丰台模拟）京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系 中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为 ， 为半圆的直径，且 ，半圆圆心M的坐标为 ．关于图形G给出下列四个结论，其中正确的是 （填序号）．
①图形G关于直线 对称；
②线段 的长为 ；
③图形G围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④当 时，直线 与图形G有两个公共点．
【答案】①②
【知识点】轴对称的性质；定义新运算
【解析】【解答】由圆 可知 ， ， ，
且点 ， 在抛物线上，
图形 关于 对称，故①符合题意；
连接 ，
在 中，
， ，
，
又 ，
，
，故②符合题意；
根据题意得，由图形 围成区域内（不含边界）恰有13个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故③不符合题意；
由题意得 ， ，
当 时，与图形 有一个公共点，
当 时，与图形 由两个公共点，故④不符合题意；
故答案为①②．
【分析】由图像可知图形G关于直线x=1对称，则①正确；连接CM，由勾股定理计算出OC的长，由点D的坐标得出OD的长，则可得CD的长，从而可判断②；观察图像，可知图形G围成区域内（不含边界）恰有13个整点，则可判断③；由图像可知当a=-4或a=2时，直线y=a与图像G有一个公共点，则可判断④。
三、解答题
14．（2024九上·雨花月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“琦点”．例如，点是函数的图象的“琦点”．
（1）分别判断函数，的图象上是否存在“琦点”？如果存在，求出“琦点”的坐标；
（2）若抛物线有两个“琦点”为点，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合）．当的面积为10时，求抛物线解析式；
（3）若函数的图象记为，将其绕点旋转后的图象记为，当两部分组成的图象上恰有3个“琦点”时，求m的值．
【答案】（1）函数的图象上不存在“琦点”；函数的图象上存在“琦点”为和；
（2）；
（3）或2或．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数-面积问题
15．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．如：min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1．
（1）求min{x2﹣1，﹣2}；
（2）已知min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围；
（3）已知当﹣2≤x≤3时，min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15．直接写出实数m的取值范围．
【答案】解：（1）∵x2≥0，
∴x2﹣1≥﹣1，
∴x2﹣1＞﹣2．
∴min{x2﹣1，﹣2}=﹣2，
（2）∵x2﹣2x+k=（x﹣1）2+k﹣1，
∴（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1．
∵min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，
∴k﹣1≥﹣3．
∴k≥﹣2，
（3）对于y=x2﹣2x﹣15，当x=﹣2时，y=﹣7，
当x=3时，y=﹣12，
由题意可知抛物线y=x2﹣2x﹣15与直线y=m（x+1）的交点坐标为（﹣2，﹣7），（3，﹣12），
所以m的范围是：﹣3≤m≤7．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；偶次方的非负性；二次函数与一次函数的综合应用；定义新运算；配方法的应用
【解析】【分析】（1）比较x2﹣1与﹣2的大小，得到答案；
（2）把x2﹣2x+k化为（x﹣1）2+k﹣1的形式，确定k的取值范围；
（3）根据当﹣2≤x≤3时，y=x2﹣2x﹣15的值小于y=m（x+1）的值，解答即可．
16．（2023九上·耿马期中）【定义】在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数图象，把该图象在直线上的点以及直线右边的部分向上平移（为正整数）个单位长度，再把直线左边的部分向下平移个单位长度，得到一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“移函数”，例如：函数关于直线的2移函数为.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）已知点在函数（）关于直线的“3移函数”图象上，求的值；
（2）若二次函数关于直线的“移函数”与轴有三个公共点，设是这三个点的横坐标之和，是否存在一个正整数，使得的值为整数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当时，关于直线的“3移函数”为，
把点代入得：，解得：；
（2）解：二次函数关于的“移函数”为，
∵二次函数的对称轴为，
∴当时，；把代入得，，
∵图象与轴有三个公共点，必须满足，∴，
∵为正整数，∴的值为2，3，4，
设函数图象与轴的三个公共点的横坐标分别为，，且，
∵对称轴为，∴，
∵三个公共点的横坐标之和为整数，∴是整数，
∴当时，代入得：，解得：（舍去）；
当时，代入得：，解得：（舍去）；
当时，代入得：，解得：，，
∵，∴，∴.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用；定义新运算；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据”n移函数“的定义、结合待定系数法求解。当时，关于直线的“3移函数”为，把点代入即可解得k的值；
（2）根据”n移函数“的定义、结合二次函数与一元二次方程综合求解。二次函数关于直线的“n移函数”为，可得二次函数的对称轴为直线，当时，；把代入得，根据图象与x轴有三个公共点可得，且n为正整数，即得n的值为2，3，4，设函数图象与x轴的三个公共点的横坐标分别为，且，因，故是整数，把分别代入-，可解得的值，即可得到答案．
17．（2025·连州模拟）在平面直角坐标系中，若一个点到两坐标轴的距离相等，则该点称为“雁点”，如等称为“雁点”．若抛物线过点和，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若是抛物线上的“雁点”，求的面积．
（3）若是轴下方抛物线上一点，连接，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，是否存在点，使得刚好为“雁点”？若存在，请直接写出所有点的坐标．
【答案】（1）解：把和代入抛物线得
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，则，解得
点A的坐标为，点B的坐标为．
．
设，由为抛物线上的“雁点”，
当
解得：
点的坐标为或
或
当
点C坐标或
的值为或或．
（3）存在，点的坐标为或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】
（3）解：存在．
①当点C在点P左侧时，过点P作轴的平行线MN，再作CM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M、N，如图所示．
已知，设，
若，则．
则，，，，
∵∠MCP+∠MPC=∠MPC+∠BPN=90°
∴∠MCP=∠BPN
∠CMP=∠PNB=90°
PC=PD
∴△CMP≌△PNB，
，
即，
解得，
此时．
若，同理可求得或．
②当点在点右侧时
若，同理可求得，不满足点在轴下方，舍去；
若，同理可求得此时，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，解二元一次方程组，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）根据待定系数法即可求解，把和代入抛物线求出b、C值即可求出抛物线的解析式。
（2）求出点的坐标为，点的坐标为，设，由为抛物线上的“雁点”，得或，求出点的坐标，再根据求解即可．（3）当点C在点P左侧时，过点P作轴的平行线MN，再作CM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M、N，如图所示．B(2，0)，设
①若C(m，m)，找出M、N的坐标，用含有p、m的式子表示BN、PM、NP、CM。再根据一线三直角证明△CMP≌△PNB，得到BN=PM，PN=CM建立方程组求出p的值，继而求出P点坐标。
②若C(m，-m)，同理求出P的坐标。
当点C在点P右侧时，①若C(m，m)，同理求出P点坐标，②若C(m，-m)，同理求出P点坐标
（1）解：抛物线过点和，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，则，
解得，
点的坐标为，点的坐标为．
．
设，由为抛物线上的“雁点”，
得或，
解得：，
点的坐标为或或或．
，
的值为或或．
（3）解：存在．
①当点在点左侧时，过点作轴的平行线，再作，垂足分别为，如图所示．
已知，设，
若，则．
则，，，，
∵，
∴，
，
即，
解得，
此时．
若，同理可求得或．
②当点在点右侧时，
若，同理可求得，不满足点在轴下方，舍去；
若，同理可求得此时，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．
18．（2022九上·长沙期中）规定：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点P（2，4）在函数上，点Q（，）在函数上，点P与点Q关于原点对称，此时函数和互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”．
（1）函数和函数是否互为“守望函数”？若是，求出它们的“守望点”，若不是，请说明理由；
（2）已知函数和互为“守望函数”，求n的最大值并写出取最大值时对应的“守望点”；
（3）已知二次函数与互为“守望函数”，有且仅有一对“守望点”，若二次函数的顶点为M，与x轴交于，，其中，，又，过顶点M作x轴的平行线l交y轴于点N，直线与y轴交点为点Q，动点E在x轴上运动，求抛物线上的一点F的坐标，使得四边形为平行四边形．
【答案】（1）解：设在上，则在，∴，
解得，
∴与互为“守望函数”，“守望点”为与．
（2）解：设在上，则在上，∴，
∴消去t得，
∵是“守望函数”，
∴，
∴，即n有最大值2023，
当n=2023时，s2-2s+1=0，
解得：s=1，
∴t=3，
∴此时“守望点”为与．
（3）解：设在，则在上，∴，
整理得，
∵有且仅有存在一对“守望点”，
∴，即，
∴顶点M的纵坐标为，
∵由二次函数与x轴交于，，即，为两个根，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴或．
综上，或，．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；坐标系中的两点距离公式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】本题考查新定义，二次函数与一次函数的综合运用，二次函数与一次二次方程，根与系数关系，根的判别式.
（1）设在上，则在，代入解析式可列出方程组，解方程组可求出a和b的值，据此可求出“守望点”；
（2）设在上，则在上，代入解析式求得，根据“守望函数”定义，求出根的判别式可得：，所以，即当时，n有最大值2023，进而可求出t的值，据此可求出此时“守望点”；
（3）设在，则在上，联立解析式，消y可得：，根据有且仅有存在一对“守望点”，则，即，所以顶点M的纵坐标为；由二次函数与x轴交于，，即，为两个根， 利用一元二次方程根与系数的关系：，，根据，可求出a的值，进而可得方程，解方程可求出c的值，进而可求出b的值、据此可求出点F的坐标.
（1）解：设在上，则在，
∴，
解得，
∴与互为“守望函数”，“守望点”为与．
（2）解：设在上，则在上，
∴，
∴消去t得，
∵是“守望函数”，
∴，
∴，即n有最大值2023，
当n=2023时，s2-2s+1=0，
解得：s=1，
∴t=3，
∴此时“守望点”为与．
（3）解：设在，则在上，
∴，
整理得，
∵有且仅有存在一对“守望点”，
∴，即，
∴顶点M的纵坐标为，
∵由二次函数与x轴交于，，即，为两个根，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴或．
综上，或，．
19．（2023九上·长沙期中）新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，a+2），则称点P为函数图象上的“朴实点”．例如：直线y＝2x+1上存在的“朴实点”是P（1，3）．
（1）判断直线y＝x+4上是否有“朴实点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由；
（2）若抛物线y＝x2+3x+2-k上存在两个“朴实点”，两个“朴实点”之间的距离为2，求k的值；
（3）若二次函数y＝x2+（m-t+1）x+2n+2t-2的图象上存在唯一的“朴实点”，且当-2≤m≤3时，n的最小值为t+4，求t的值．
【答案】（1）解：有，理由：
将点P的坐标代入函数表达式得：a+2＝a+4，
解得：a＝3，
即点P（3，5）
（2）解：由点P的坐标知，点P在直线y＝x+2上，
则点P所在的直线和x轴的夹角为45°，
当两个“朴实点”之间的距离为2时，则两个点的横坐标差为2，
联立线y＝x2+3x+2-k和y＝x+2得：x2+2x-k＝0，
则x＝-1±，
则-1+-（-1-）＝2，
解得：k＝0；
（3）解：∵点P是二次函数的图象上的朴实点，
∴a+2＝a2+（m-t+1）a+2n+2t-2，
∴a2+（m-t）a+2n+2t-4＝0，
∵图象上存在唯一的朴实点，
∴Δ＝0，
∴（m-t）2-4××（2n+2t-4）＝0，
∴n＝m2-2mt+t2-t+2，
该函数图象开口向上，对称轴为m＝t，
①当对称轴是m＝t≥3时，函数在m＝3时，取得最小值，
即：n＝9-6t+（t2-t+2）＝t+4，
解得：t＝1（舍去）或7；
②当对称轴是m＝t≤-2时，函数在m＝-2时，取得最小值，
即：n＝4+4t+（t2-t+2）＝t+4，
此方程无解；
③当对称轴是-2＜m＝t＜3时，函数在m＝t时，取得最小值，
即：n＝t2-2t2+（t2-t+2）＝t+4，
解得：t＝0，
综上所述，t的值为0或1．
【知识点】一次函数的图象；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用“朴实点”的定义直接检验即可；
（2）由点P的坐标知点P在直线y＝x+2上，则点P所在的直线和x轴的夹角为45°，当两个“朴实点”之间的距离为2时，则两个点的横坐标差为2，再联立y＝x2+3x+2-k和y＝x+2为方程组，求出其x值，由“两个点的横坐标差为2”建立方程并解之即可；
（3）由点P是二次函数的图象上的朴实点， 可得a+2＝a2+（m-t+1）a+2n+2t-2，根据“ 图象上存在唯一的朴实点”可得△=0，可求n＝m2-2mt+t2-t+2，该函数图象开口向上，对称轴为m＝t，再分情况讨论： ①当对称轴是m＝t≥3时，函数在m＝3时，取得最小值， ②当对称轴是m＝t≤-2时，函数在m＝-2时，取得最小值， ③当对称轴是-2＜m＝t＜3时，函数在m＝t时，取得最小值， 据此分别解答即可.
20．（2019九上·南浔月考）在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y) 和Q(x， y′) .给出如下定义：若 ，则称点Q 为点P 的“可控变点” . 例如：点（1，2）的可控变点为点（1，2），点（-1，3）的可控变点为点（-1，-3）.
（1）点（-6，-3）的可控变点坐标为 ．
（2）若点P在函数y＝－x2 ＋16的图象上，其可控变点Q的纵坐标y′是7，求可控变点Q的横坐标．
【答案】（1）（-6，3）
（2）解：若x>0， 则y=y'=7， 即y=-x2+16=7，
解得：x=±3. ∴x=3.
若x<0， 则y=-x2+16=-7，
解得：x=. ∴x=-.
【知识点】定义新运算；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）点（-6，-3）的可控变点坐标为（-6，3）.
【分析】（1）根据可控变点的定义求解即可.
（2）分两种情况讨论，即当x>0时，和x<0时，分别根据可控变点的定义，结合函数关系式求得横坐标，注意舍去不符合题意的解.
21．（2023九上·绍兴月考）若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为.
（1）①判断：函数 “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图像上的明德点是 ；
（2）若抛物线上有两个“明德点”，求的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值.
【答案】（1）不是；（0，0）或（2，4）
（2）抛物线是“明德函数”， ，
整理得：，
抛物线上有两个“明德点”，
，，
的取值范围为且；
（3）由题意可知，
整理得，
整理得，
对称轴为直线m=k，此时n的最小值为2k；根据题意分类讨论：
①
②
③
综上，k的值为0或。
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）①令2x+3=2x，此方程无解，
∴ 函数不是“ 明德函数 ”
故答案为：不是.
② 令x2=2x，解得x=0或2，
∴ 函数的图像上的明德点是（0，0） 或（2，4）；
故答案为：（0，0） 或（2，4）；
【分析】（1）根据“ 明德函数 ”的定义进行判断即可；
（2）根据“ 明德函数 ”的定义可得，可得△＞0，据此解答即可；
（3）根据“ 明德函数 ”的定义可得，由唯一一个“明德点”，可得△=0，可得，对称轴为直线m=k，此时n的最小值为2k，再分类讨论即可.
22．（2023九上·义乌期中）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．
例如：当n＝1时，函数y＝（x﹣6）2+3关于点P（0，1）的相关函数为y＝（x+6）2﹣1．
（1）当n＝0时，
①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为 ；
②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值；
（2）函数y＝﹣x2+关于点P的相关函数是y＝x2，则n＝；
（3）当n﹣1≤x≤n+3时，函数y＝﹣2x2+nxn2的相关函数的最小值为7，求n的值．
【答案】（1）解：①故答案为：y＝﹣x2；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），
则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，
将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣；
（2）解：两个函数的顶点分别为：（0，）、（0，﹣），
由中点公式得：2n＝﹣，解得：n＝﹣，
故答案为：﹣；
（3）解：y＝﹣2x2+nxn2的顶点为：（，﹣n2），则相关函数顶点为：（﹣，n2+2n），
则相关函数的表达式为：y＝2（x+）2+n2+2n；
①当n≤﹣3时，
函数在x＝n+3时，取得最小值，即2（+3+）2+n2+2n＝7，
解得：n＝﹣或﹣1（舍去﹣1），
故n＝﹣；
②当﹣3＜n≤1时，
函数在顶点处取得最小值，即n2+2n＝7，
解得：n＝﹣1（舍去）；
③当n＞1时，
同理可得：n＝或﹣1（舍去﹣1），
综上，n＝﹣或．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）①n=0时，点P（0，0），则相关函数为y＝﹣x2；
故答案为：y＝﹣x2；
【分析】（1）①n=0时，点P（0，0），则相关函数为y＝﹣x2，即可求解；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），从而得出新函数的表达式为y＝﹣a（x+1）2，再将A的坐标代入求出a值即可；
（2）先求出两个函数的顶点分别为（0，）、（0，﹣），再利用中点公式即可求解；
（3）分三种情况：①当n≤﹣3时，②当﹣3＜n≤1时，③当n＞1时，据此分别解答即可.
23．（2023九上·路桥月考）对于函数定义变换：当y≥0时，函数值不变；当y＜0时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”，“关联函数”与x轴的交点叫做“转折点”．
如：一次函数y＝x－1，关联函数为，这个关联函数的转折点是(1，0)．
（1）已知一次函数y＝2x－3，请直接写出它的“关联函数”的解析式和转折点．
（2）已知二次函数y＝x2－2x－3，点(a，4)在它的“关联函数”的图象上，求a的值．
（3）在平面直角坐标系内，有点M(－1，1)、N(3，1)，请直接写出a的取值范围是多少时，二次函数y＝x2－2x＋a的关联函数与线段MN恰有两个公共点．
【答案】（1）（，0）
（2）解：令y＝0，x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴抛物线y＝x2－2x－3与x轴交点坐标为（－1，0），（3，0），
∵抛物线开口向上，
∴关联函数y＝，
将（a，4）代入y＝x2－2x－3得4＝a2－2a－3，
解得a1＝1－，a2＝1＋，
将（a，4）代入y＝－x2＋2x＋3得4＝－a2＋2a＋3，
解得a3＝a4＝1，
∴a＝1±或1．
（3）解：∵y＝x2－2x＋a＝（x－1）2＋a－1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，a－1），对称轴为直线x＝1，
点M（－1，1）、N（3，1）关于直线x＝1对称，
如图，作MN关于x轴的对称的线段M'N'，
当a－1＝1时，a＝2，抛物线顶点在线段MN上，
当a－1＝－1时，a＝0，抛物线顶点在线段M'N'上，
∴0＜a＜2满足题意；
当抛物线经过点M，N时，将（－1，1）代入y＝x2－2x＋a得1＝1＋2＋a，
解得a＝－2，
将（－1，－1）代入y＝x2－2x＋a得－1＝1＋2＋a，
解得a＝－4，
∴－4≤a＜－2符合题意，
综上所述，0＜a＜2或－4≤a＜－2．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；定义新运算；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）令y＝0，2x－3＝0，解得x＝，∴其关联函数为y＝，
关联函数的转折点为（，0）．
【分析】（1）根据一次函数的解的性质，将y=0代入一次函数，求出x的值；根据“关联函数”的定义，可列关于x、y的一元二次方程，加减消元法即可求出转折点的坐标.
（2）根据因式分解法解二次函数，可以得到函数与x轴的两个交点的坐标；根据“关联函数”的定义，可得关联函数的解析式；将点（a，4）分别代入关联函数，可以解得a的值.
（3）根据二次函数的顶点式，可得抛物线的对称轴的直线；根据点的坐标的对称性，可得a的取值范围.根据二次函数上点的坐标的性质，代入函数，即可求出a的值；根据二次函数图象的性质，可以求得a的另一个取值范围.
24．（2023·金东模拟）定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点（1，2）是函数图象关于3的“恒值点”．
（1）判断点（1，3），（2，8），（3，7）是否为函数图象关于10的“恒值点”．
（2）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示．
Ⅰ.求翻折后A，B之间的抛物线解析式．（不必写出x的取值范围）
Ⅱ.当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c．
【答案】（1）解：把点（1，3），（2，8），（3，7）代入
检验得： （1，3）和（2，8）是函数上的点，
∵1=3≠10，2+8=10，
∴点（2，8）是函数 图象关于10的“恒值点”；
（2）解：Ⅰ.① 抛物线 的顶点为（），
由翻折得新抛物线的顶点坐标为（），
∴翻折后抛物线解析式为y=-2(x+)2+
即得；
Ⅱ.由（2）知新图象解析式为或 ，
设图象上的点为（x，）（x，）
∵ 新图象上有关于c的“恒值点” ，
∴x=c①，x+=c②，
∵两方程恰有3个解，
∴①△=（b-1）2-8(2+c)=0，
②△=（b+1）2-8(2-c)＞0；或①△＞0，②△=0，
解得：或；
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据函数“恒值点” 的定义解答即可；
（2）①先求出元抛物线的顶点坐标，再根据关于x轴对称点坐标特征求出翻折后抛物线顶点坐标，然后利用顶点式写出解析式即可；
②由（2）知新图象解析式为或 ，设图象上的点为（x，）（x，），由于新图象上有关于c的“恒值点” ，可得
x=c①，x+=c②，根据两方程恰有3个解，可得△=0或△＞0，据此即可求解.
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