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【尖子生】浙教版2025-2026学年七年级上数学第5章 一元一次方程
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知关于x的方程|x|=ax-a有正根且没有负根，则a的取值范围是（ ）
A．a>1 B．a≤-1 C．a>2或a≤-2 D．a>1或a≤-1
3．已知正整数n 小于 100，并且满足等式，其中[x]表示不超过x的最大整数，则这样的正整数n有（ ）
A．2个 B．3个 C．12个 D．16个
4．某商场出售甲、乙、丙三种型号的电动车，已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的56%，第二季度乙、丙两种型号的车的销售额比第一季度减少了a%，但该商场电动车的总销售额比第一季度增加了12%，且甲型车的销售额比第一季度增加了23%，则a的值为 ( )
A．8 B．6 C．3 D．2
5．方程的解是( )
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
6．方程|x+5|-|3x-7|=1的解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
7．程大位是我国明朝商人，珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法.书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁.意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人 若设大和尚有x人，则列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在元（不含元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在元（含元）以上，元（不含元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在元（含元）以上，一律享受八折优惠；
小敏在该超市两次购物分别付了90 元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（ ）元
A． B． C． D．
9．如图，啤酒瓶高为h，瓶内液体高为a，若将瓶盖好后倒置，液体高为a′（a′+b=h），则酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
10．已知a，b满足 则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．有，两种卡片各张，卡片正、反两面分别写着和，卡片正、反两面分别写着和．甲、乙两人从中各拿走张卡片并摆放在桌上，发现各自的张卡片向上一面的数字和相等．之后两人各自将所有卡片另一面朝上，发现甲的张卡片向上一面的数字和减小了，乙的张卡片向上一面的数字和增加了．则卡片翻转后，甲所持的张卡片向上一面的数字和为 ．
12．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码。小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 。
13．某公司生产的一种饮料是由 A，B两种原料液按一定比例配制而成的，其中 A原料液的成本价为 15 元/千克，B原料液的成本价为 10 元/千克，按现行价格销售每千克可获得 70%的利润率。由于市场竞争，物价上涨，A原料液的成本上涨20%，B原料液的成本上涨10%，配制后的总成本增加了12%。公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的25%做广告宣传，若要保证每千克的利润不变，则此时这种饮料的利润率是 。
14．长是宽的3倍的长方形叫做“灵动长方形”．如图，在一个大灵动长方形中剪下两个灵动长方形，分别是长方形和长方形．若剪下的两个小灵动长方形的周长之和为16，则大灵动长方形ABCD的面积为 ．
15．关于x的一元一次方程的解是 。
16．如图，在实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个相同高度的敞口圆柱形容器，其底面半径之比为1：2：1，用两根相同的管子在 10 cm 高处连通(即管子底部离容器底 10 cm)，现三个容器中，只有乙中有水，水位高4 cm.若每分钟同时向甲和丙注入相同量的水，开始注水 1m in，甲的水位上升 3c m，则开始注水 min后，甲的水位比乙高2cm.
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
解方程：（1）
（2）若 ，解关于x的方程
18． 关于x的方程：
的解是x=1；
的解是x=2；
的解是x=-2。
根据以上材料，解答下列问题：
（1）观察上述方程以及解的特征，请直接写出关于 x 的方程 的解为 。
（2）比较关于x的方程 与上面各式的关系，猜想它的解是 。
（3）请验证第（2）问猜想的结论。
19．数轴是初中数学中一个重要的工具，现数轴上有一点A表示的数为，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动的时间为t秒（）．
（1）则A、B两点之间的距离 ，到A、B两点距离相等的点表示的数是 ．
（2）求当t为何值时，．
（3）折叠数轴使点P与Q重合，折点记为M，还原后再折叠数轴使点B与Q重合，折点记为N，点P和点Q在运动过程中，线段的中点E的位置是否发生变化？若不变，请求出线段的中点E表示的数；若改变，请说明理由．
20．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．
已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．
（1）动点P从点A运动至点C需要多少时间？
（2）动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）；
（3）动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间．
21．如图，点A，是数轴上的两点，A表示，表示100，动点分别从点A，同时出发、相向而行，若点的速度是每秒2个单位长度，点的速度每秒3个单位长度，当点到达A点时，两点立即停止运动，设运动时间为秒．
（1）点表示的数为： ；点表示的数为： ；（用含的式子表示）
（2）若的结果是一个定值，求的值；
（3）当为何值时，两点相距40个单位长度．
22．已知：数轴上有，，三点 (位置如图所示) ，点和点相距个单位长度且点，表示的有理数互为相反数，点A和点C相距个单位长度，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒．
（1）点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）．
（2）当、两点之间相距10个单位长度时，求t的值．
（3）若点A、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，若两点间的距离用表示两点的大写字母表示，如： 点 A，P两点间的距离表示为，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
23．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为；
乙种商品每件进价40元，售价60元．
（1）甲种商品每件的进价为 元，乙种商品每件的利润率为 ．
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过380元 不优惠
超过380元，但不超过500元 售价打九折
超过500元 售价打八折
按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
24．小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如图1），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷85 度是什么意思 电费是如何计算的 第一档与第二档又有什么关系
【浙江电力】【电费通知】尊敬的客户，户号*，户名*，地址*.（2024.09.01-2024.09.30）电量227度（其中谷85度），电费105.14元，当前用电处于第一档，剩余581度.
通过互联网查询后获得该市居民生活用电标准（如下表，部分修改）.
电价等级 普通电价
（元/度） 峰谷电价（元/度）
峰时电价 谷时电价
第一档 年用电量不超过2 760度的部分 0.538 0.568 0.288
第二档 年 用 电 量 超 过2 760度但不超过4 800度的部分 0.588 0.618 0.338
第三档 年 用 电 量 超 过4 800度的部分 0.838 0.868 0.588
【解读信息】
小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为85度，那么峰时用电量就是227-85=142（度），由于小江家年用电量处在第一档，故9 月份电费为：0.568×142+0.288×85=105.136≈105.14（元）.
【解决问题】
（1）若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为 元（精确到0.01）.
（2）若采用峰谷电价计费，某月谷时用电量与月用电量的比值为m，那么处在第一档的1度电的电费可以表示成 元（用含 m 的代数式表示）.
（3）如图2，12月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为0.2.请根据对话解答下列问题：
①通过计算判断：截至12月底，小江家的年用电量是否仍处于第一档
②12月份谁家的用电量多 多了多少
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【尖子生】浙教版2025-2026学年七年级上数学第5章 一元一次方程
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】设，
∴变形为，
已知关于的一元一次方程的解为，
即的解为，
∴的解为，
∴，
∴，
∴关于的一元一次方程的解为，
故答案为：B.
2．已知关于x的方程|x|=ax-a有正根且没有负根，则a的取值范围是（ ）
A．a>1 B．a≤-1 C．a>2或a≤-2 D．a>1或a≤-1
【答案】D
【解析】①当 ax-a≥0，
a（x-1）≥0，
解得：x≥1且a≥0，或者x≤1且a≤0.
②正根条件：x>0，
x= ax-a，即
解得a>1或a<0，
由①，即得正根条件：a>1且x≥1，或者a<0，0
③负根条件：x<0，得-x= ax-a，
解得 即-1由①，即得负根条件-1根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取a>1（此时x≥1，没负根），或者a≤-1（此时0综合可得，a>1或a≤-1.
故答案为：D.
3．已知正整数n 小于 100，并且满足等式，其中[x]表示不超过x的最大整数，则这样的正整数n有（ ）
A．2个 B．3个 C．12个 D．16个
【答案】D
【解析】因为 ，
[x]表示不超过x的最大整数，则[x]x，
所以2整除n，3整除n，6整除n，即n是6的倍数，
所以小于100的这样的正整数有
=16个.
故答案为：D .
4．某商场出售甲、乙、丙三种型号的电动车，已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的56%，第二季度乙、丙两种型号的车的销售额比第一季度减少了a%，但该商场电动车的总销售额比第一季度增加了12%，且甲型车的销售额比第一季度增加了23%，则a的值为 ( )
A．8 B．6 C．3 D．2
【答案】D
【解析】设第一季度共销售10000辆。
第二季度共销售10000×（1+12%）=11200（辆），
第一季度甲型车销量：10000×56%=5600（辆），
第二季度甲型车销量：5600×(1+23%）=5600×123%=6888（辆），
第一季度乙、丙两种型号销量和：10000-5600=4400（辆），
第二季度乙、丙两种型号销量和：11200-6888=4312（辆），
a%：(4400-4312)÷4400=88÷4400=2%，
故a的值为2
故答案为：D
5．方程的解是( )
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
【答案】D
【解析】由题意得可化为
解得x=2009，
故答案为：D
6．方程|x+5|-|3x-7|=1的解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】B
【解析】分三种情况考虑：
第一种：当 时，原方程可化简为x+5-3x+7=1，解得 符合题意；
第二种：当 时，原方程可化简为x+5+3x-7=1，解得 符合题意；
第三种：当x≤-5时，原方程可化简为-x-5+3x-7=1，解得 不符合题意.
∴x的值为：- 或.
故答案为：B.
7．程大位是我国明朝商人，珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法.书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁.意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人 若设大和尚有x人，则列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，由题意得
，
故答案为：C.
8．某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在元（不含元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在元（含元）以上，元（不含元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在元（含元）以上，一律享受八折优惠；
小敏在该超市两次购物分别付了90 元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（ ）元
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】第一次购物可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同），
①没有超过100元，即是90元，则实际购物为90；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，享受九折优惠，设实际购物为x元，依题意得：x×0.9=90，
解得x=100元；
第二次购物消费270元，满足一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，享受九折优惠；
设第二次实质购物价值为y元，那么依题意有y×0.9=270，
解得：y=300元；
∴他两次购物的实质价值为90+300=390或100+300=400，均超过了350元，因此均可以按照8折付款：
390×0.8=312（元），
400×0.8=320（元），
综上所述：如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款312元；
故答案为：C.
9．如图，啤酒瓶高为h，瓶内液体高为a，若将瓶盖好后倒置，液体高为a′（a′+b=h），则酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设啤酒瓶的底面积为x，酒瓶的容积为1，
ax=1 bx，
解得
∴酒的体积为：
∴酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为：
故答案为：C.
10．已知a，b满足 则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】B
【解析】∵a，b满足
∴
又∵和|b|都是非负数，
∴
同理
∴
∴
∴
故答案为：B
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．有，两种卡片各张，卡片正、反两面分别写着和，卡片正、反两面分别写着和．甲、乙两人从中各拿走张卡片并摆放在桌上，发现各自的张卡片向上一面的数字和相等．之后两人各自将所有卡片另一面朝上，发现甲的张卡片向上一面的数字和减小了，乙的张卡片向上一面的数字和增加了．则卡片翻转后，甲所持的张卡片向上一面的数字和为 ．
【答案】2
【解析】设开始时甲向上一面的数字之和为，
甲、乙正面朝上的数字之和相等，
此时乙向上一面的数字之和也为，
翻面之后，朝上一面的数字之和甲减小，乙增加，
此时甲向上一面的数字之和为，乙向上一面的数字之和为，
则总的面上数之和为：，
根据、两种卡片可知中卡片的两面数字之和为：，
即，即，
甲一面朝上的数字之和为，
甲朝上的可能是，，，或者，，，，
则卡片翻转后，甲向上一面的可能是，，，或者，，，，数字之和为
故答案为：．
12．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码。小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 。
【答案】282500
【解析】设原来的电话号码为六位数则经过两次升位后的电话号码为八位数由题意，得设e×10+f，则解得x=1250×(208-71a)。∵0≤x<105，∴0≤∵a为整数，∴a=2，∴x=1250×(208-71×2)=82500，∴小明家原来的电话号码为282500。
故答案为：282500.
13．某公司生产的一种饮料是由 A，B两种原料液按一定比例配制而成的，其中 A原料液的成本价为 15 元/千克，B原料液的成本价为 10 元/千克，按现行价格销售每千克可获得 70%的利润率。由于市场竞争，物价上涨，A原料液的成本上涨20%，B原料液的成本上涨10%，配制后的总成本增加了12%。公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的25%做广告宣传，若要保证每千克的利润不变，则此时这种饮料的利润率是 。
【答案】50%
【解析】∵A原料液的成本价为15元/千克，B原料液的成本价为10元/千克，
∴涨价后，A原料液的成本价为18元/千克，B原料液的成本价为11元/千克.
设每100千克的成品中，A原料液占x(千克），则B原料液占（100-x）千克，
涨价前每100千克的成本价为15x+10（100-x）元，涨价后每100千克的成本价为18x+11（100—x）元.
由题意，得18x+11(100-x)=[15x+10(100-x）]·(1+12%)
∴18x+11(100-x)=1.12[15x+10(100-x)]
∴7x+1100=5.6x+1120
∴1.4x=20，解得：
∴
∴x：(100-x)=1：6
∴涨价前成本价为(元/千克）
∴售价为(元/千克）
∴利润为(元/千克）
∵原料液涨价后成本加广告宣传变为(元/千克）
∵要保证每千克的利润不变，
∴利润率应变为7.5÷15=50%
故答案为：50%
14．长是宽的3倍的长方形叫做“灵动长方形”．如图，在一个大灵动长方形中剪下两个灵动长方形，分别是长方形和长方形．若剪下的两个小灵动长方形的周长之和为16，则大灵动长方形ABCD的面积为 ．
【答案】12
【解析】设长方形 宽为x，则长为3x，设长方形 宽为y，则长为3y，由题意得
2×(x+3x）+2×(y+3y）=16，得到x+y=2；BC=3x+3y=3(x+y)=6，BC=BC=2，则面积为6×2=12
故答案为：12.
15．关于x的一元一次方程的解是 。
【答案】x=1
【解析】解得x=1。
故答案为：x=1.
16．如图，在实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个相同高度的敞口圆柱形容器，其底面半径之比为1：2：1，用两根相同的管子在 10 cm 高处连通(即管子底部离容器底 10 cm)，现三个容器中，只有乙中有水，水位高4 cm.若每分钟同时向甲和丙注入相同量的水，开始注水 1m in，甲的水位上升 3c m，则开始注水 min后，甲的水位比乙高2cm.
【答案】2 或6
【解析】由于甲、乙、丙三个圆柱形容器高度相同，底面半径之比为1： 2： 1，圆柱体积V=πr2h，
在相同时间内，因为甲、丙注水速度相同且在注水1分钟时甲水位上升3cm，丙的底面半径和甲相同，所以丙水位也上升3cm，乙水位上升cm，
设开始注入x分钟的水量后，甲的水位比乙高2cm。
情况一：甲水位达到6cm而乙不变时
甲的水位达到4+2=6cm，乙水位不变仍为4cm，根据甲每分钟水位上升3cm，
可列方程3x = 6，解得x = 2min；
情况二：甲、丙水位到达10cm，乙水位上升到8cm时
可列方程，解得min，
故答案为：2或6.
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解方程：（1）
【答案】解：原方程化为： +
∴
∴
解得y=6075.
（2）25．若 ，解关于x的方程
【答案】解：方法1：
∴
∴
解得
方法 2：由题意得
整理得 以下同方法1.
18． 关于x的方程：
的解是x=1；
的解是x=2；
的解是x=-2。
根据以上材料，解答下列问题：
（1）观察上述方程以及解的特征，请直接写出关于 x 的方程 的解为 。
（2）比较关于x的方程 与上面各式的关系，猜想它的解是 。
（3）请验证第（2）问猜想的结论。
【答案】（1）x=4
（2）x=a
（3）解：把x=a代入等式，左边 右边.
【解析】(1)根据阅读材料可知，关于x的方程 的解为x=4.
故答案为：x=4.
(2)关于x的方程 的解是x=a.
故答案为：x=a.
19．数轴是初中数学中一个重要的工具，现数轴上有一点A表示的数为，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动的时间为t秒（）．
（1）则A、B两点之间的距离 ，到A、B两点距离相等的点表示的数是 ．
（2）求当t为何值时，．
（3）折叠数轴使点P与Q重合，折点记为M，还原后再折叠数轴使点B与Q重合，折点记为N，点P和点Q在运动过程中，线段的中点E的位置是否发生变化？若不变，请求出线段的中点E表示的数；若改变，请说明理由．
【答案】（1）24，4
（2）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或．
答：当t为7或9时，；
（3）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，∵折叠数轴使点P与Q重合，折点记为M，还原后再折叠数轴使点B与Q重合，折点记为N，
∴点M表示的数为，点N表示的数为，
∵点E为线段的中点，
∴点E的坐标为，
∴点P和点Q在运动过程中，线段的中点E的位置不变，线段的中点E表示的数为10．
【解析】（1）
解：根据题意得：A、B两点之间的距离；
设到A、B两点距离相等的点表示的数是x，
根据题意得：，
解得：，
∴到A、B两点距离相等的点表示的数是4．
故答案为：24，4；
20．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．
已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．
（1）动点P从点A运动至点C需要多少时间？
（2）动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）；
（3）动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间．
【答案】（1）解：根据题意得：
（秒）；
答：动点从点运动至点需要18.5秒
（2）解：动点从点运动至点需要的时间为：（秒），
运动t秒至点B和点C之间时，点P表示的数为：
，
∴当时，点表示的数为，
当动点运动至点和点之间时，点表示的数为
（3）解：，，，
共2两种情况．
当点在点和点之间，即时，点表示的数为，
，，
∴，
解得：；
当点在点的右侧，即时，点表示的数为，
，，
，
解得：．
答：动点的运动的时间是14.5秒或秒
21．如图，点A，是数轴上的两点，A表示，表示100，动点分别从点A，同时出发、相向而行，若点的速度是每秒2个单位长度，点的速度每秒3个单位长度，当点到达A点时，两点立即停止运动，设运动时间为秒．
（1）点表示的数为： ；点表示的数为： ；（用含的式子表示）
（2）若的结果是一个定值，求的值；
（3）当为何值时，两点相距40个单位长度．
【答案】（1）；
（2）解：
，
∵为定值，
∴，
解得：．
（3）解：当点P在点Q的左侧时，，
解得：；
当点P在点Q的右侧时，，
解得：，
综上分析可知，或32时，两点相距40个单位长度．
【解析】（1）P点表示的数是：-20+2t； Q点表示的数是：100-3t.
22．已知：数轴上有，，三点 (位置如图所示) ，点和点相距个单位长度且点，表示的有理数互为相反数，点A和点C相距个单位长度，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒．
（1）点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）．
（2）当、两点之间相距10个单位长度时，求t的值．
（3）若点A、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，若两点间的距离用表示两点的大写字母表示，如： 点 A，P两点间的距离表示为，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）解：解：当点在点左边时，，
、两点之间相距个单位长度，
，解得，
当点在点右边时，，
、两点之间相距个单位长度，
，解得，
当或秒时，、两点之间相距个单位长度
（3）解：存在常数，使得为一个定值，
理由如下：
由题意可知，点表示的数为；点表示的数为；点表示的数为，
，，，
，
要使得为一个定值，
，解得，
，
，这个定值为
【解析】（1）解：设点表示的数为，则点表示的数为，
点和点间距个单位长度，
，
解得，
点表示的有理数是；点表示的有理数是，
，
点表示的有理数是，
动点从点出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒，
点表示的数是，
故答案为：，，
23．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为；
乙种商品每件进价40元，售价60元．
（1）甲种商品每件的进价为 元，乙种商品每件的利润率为 ．
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过380元 不优惠
超过380元，但不超过500元 售价打九折
超过500元 售价打八折
按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
【答案】（1）；
（2）解：设购进甲商品件．
根据题意可得
．
解得
．
答：购进甲种商品件
（3）解：设打折前应付款为元．
第一天，购买甲商品：
当时，由，得，商品件数为（件），舍去．
当时，由，得，商品件数为（件） ．
第二天，购买乙商品：
当时，由，得（元），舍去．
当时，由，得，商品件数为（件） ．
当时，商品件数为（件） ，舍去．
两天一共购买的商品件数为（件） ．
答：小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件
【解析】【解答】（1）①（元）
②
故答案为：，．
24．小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如图1），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷85 度是什么意思 电费是如何计算的 第一档与第二档又有什么关系
【浙江电力】【电费通知】尊敬的客户，户号*，户名*，地址*.（2024.09.01-2024.09.30）电量227度（其中谷85度），电费105.14元，当前用电处于第一档，剩余581度.
通过互联网查询后获得该市居民生活用电标准（如下表，部分修改）.
电价等级 普通电价
（元/度） 峰谷电价（元/度）
峰时电价 谷时电价
第一档 年用电量不超过2 760度的部分 0.538 0.568 0.288
第二档 年 用 电 量 超 过2 760度但不超过4 800度的部分 0.588 0.618 0.338
第三档 年 用 电 量 超 过4 800度的部分 0.838 0.868 0.588
【解读信息】
小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为85度，那么峰时用电量就是227-85=142（度），由于小江家年用电量处在第一档，故9 月份电费为：0.568×142+0.288×85=105.136≈105.14（元）.
【解决问题】
（1）若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为 元（精确到0.01）.
（2）若采用峰谷电价计费，某月谷时用电量与月用电量的比值为m，那么处在第一档的1度电的电费可以表示成 元（用含 m 的代数式表示）.
（3）如图2，12月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为0.2.请根据对话解答下列问题：
①通过计算判断：截至12月底，小江家的年用电量是否仍处于第一档
②12月份谁家的用电量多 多了多少
【答案】（1）122.13
（2）解：0.568-0.28m
（3）解：①超过第一档，小江家 谷时用电量与月用电量的比值为0.2，
则处在第一档的1度电的电费为0.568-0.28×0.2=0.512（元）；
0.512×281=143.872＜154.55，
即小江家的年用电量超过第一档；
②设小江家用电量为x度，
0.2×（x-281）×0.338+0.8×（x-281）×0.618=154.55-143.872，
解得，x=300，
300-275=25（度）
答：小江家用电量多，多了25度.
【解析】（1）0.538×227≈122.13（元）；
（2）用电量为1度，则谷时用电量为m，峰时用电量1-m，
；
故答案为：（1）122.13；
（2）0.568-0.28m；
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