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【尖子生】浙教版2025-2026学年七年级上数学第3章 实数
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵A、B两点所对应的实数分别是1和，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点C对应的实数是，
故答案为：A．
2．若实数a，b，c满足等式 则c 可能取的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】代入4 -9|b|=6c，得
∴c 可能取的最大值为2.
故选C.
故答案为：C
3．对于实数a，b，定义 min{a，b}的含义：当ab时， min{a，b}=b，例如： min{1，-2}=-2.已知 且a和b为两个连续正整数，则2a-b的值为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵a，b为两个连续正整数，且，
∴a=5，b=6.
∴2a-b=2×5-6=4.
故答案为：4.
4．我们规定：[x]表示不超过的最大整数.如：，则的值为
A．507 B．516 C．525 D．534
【答案】B
【解析】∵ [x]表示不超过x的最大整数，
∴，
，
，
……，
，
∴
=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×8
=3+10+21+36+55+78+105+136+72=516.
故答案为：B.
5．用计算器探索：已知按一定规律排列的 20个数：1， ， ，……， ， 如果从中选出若干个数，使它们的和小于1，那么选取的数的个数最多是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】A
【解析】
；所以，选取的数的个数最多是4个。
故选A。
6．已知a的算术平方根是12.3，b的立方根是-45.6，x的平方根是±1.23，y的立方根是456，则x和y分别是（ ）
A．x= ，y=1000b B．x=100a，y=
C．x= ，y= D．x= ，y=-1000b
【答案】D
【解析】的算术平方根是12.3，的平方根是±1.23，
，，
，
的立方根是-45.6，的立方根是456，
，，
，
故答案为：D.
7．已知．若n为整数且，则n的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】，
，
，
故答案为：B．
8．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，则表示的数为，
，
表示的数为，
，
同理可得；
；
；
；
；
，
故答案为：A．
9．已知实数a满足条件|则a-20112的值为( )
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
【答案】C
【解析】∵负数没有平方根，
∴a-2012≥0，即a≥2012，
∴原式可化为即两边平方得a-2012=20112，
解得
故答案为：C
10．若则的值为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
=
=
=
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．1，2，3……，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有 个。
【答案】186
【解析】∵12=1，22=4，32=9，…，102=100，
∴1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根中，有理数有10个，
∴无理数有90个；
∵13=1，23=8，33=27，43=64＜100，53=125＞100，
∴1，2，3…，100这100个自然数的立方根中，有理数有4个，
∴无理数有96个；
∴1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有90+96=186个．
故答案为：186．
12．已知m，n是有理数，且m，n满足等式，则的立方根为 ．
【答案】2
【解析】 ∵，
∴，
∵ m，n是有理数，
∴，
解得：m=9，n=5，
∴ =8，
∴的立方根为=2；
故答案为：2.
13．若 ， ， ，则 的大小关系用“＜”号排列为 ．
【答案】a＜b＜c
【解析】∵a2=2000+2 ，b2=2000+2 ，c2=4004=2000+2×1002，
1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004．
∴a＜b＜c．
故答案为：a＜b＜c.
14．在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ．
【答案】10；351
【解析】①，
②，
③，
④，
……
∴，
，
故答案为：10，351.
15．设实数x，y，z适合9x3=8y3=7z3， ，则 =
=
【答案】；
【解析】设9x3=8y3=7z3=k3，则
x= ，y= ，z= ，
从而1= =
故k=
故 = ，
= ．
故答案为： ；
16．整数满足，其中，则的最大值是 ．
【答案】1024
【解析】整数满足，
为整数，
，
或或或，
或或或，
又∵时，，不成立，
又，
，
，即，
当，，，不符合题意，舍去；
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意，舍去；
当时，，，不符合题意，舍去；
当，，，不符合题意，舍去；
当时，，，不符合题意，舍去；
当时，，，不符合题意，舍去；
当时，，，符合题意；
综上所述的值为2，8，2，或2，8，，或2，，8，或2，，，
当整数的值为2，8，2时，；
当整数的值为2，8，时，；
当整数的值为2，，8时，；
当整数的值为2，，时，；
∴的最大值是1024．
故答案为：1024．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知的算术平方根是3，b是8的立方根，c是的整数部分.
（1）求的值.
（2）求的平方根.
【答案】（1）解：由题意可得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，，，
∴，
∴，
∴的平方根是±2.
18．阅读下面求 近似值的方法，回答问题：
①任取正数 ；
②令 则 ；
③ ，则 ；
……以此类推 次，得到
其中 称为 的 阶过剩近似值， 称为 的 阶不足近似值.仿照上述方法，求6的近似值.
①取正数 .
②于是 a2= ；则
③ 的3阶过剩近似值 是 ，3阶不足近似值是
【答案】；；；
【解析】∵
∴ ，即
，即 .
故答案为： ， ， ， .
19．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
① ，又 ，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又 ，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而 ，则 ，可得 ，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是 位数．
②它的立方根的个位数是 ．
③它的立方根的十位数是 ．
④195112的立方根是 ．
（2）请直接填写结果：
① ．
② ．
【答案】（1）两；8；5；58
（2）24；56
【解析】【解答】（1）① ， ，
∴ ，
∴能确定195112的立方根是一个两位数，
故答案为：两；
②∵195112的个位数字是2，又∵ ，
∴能确定195112的个位数字是8，
故答案为：8；
③如果划去195112后面三位112得到数195，
而 ，
∴ ，
可得 ，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
故答案为：5；
④根据②③可得：195112的立方根是58，
故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，
∴13824的立方根是24，
故答案为：24；
②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，
∴175616的立方根是56，
故答案为：56.
20．观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53=( )2= ；
（2） = ；（用含n的代数式表示）
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
【答案】（1）1+2+3+4+5（或15）；225
（2）
（3）解：由（2）得，
113+123+133+…+193+203
=13+23+33+…+193+203－(13+23+33+…+93+103)
=
=44 100－3 025
=41 075
21．中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数.由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”.我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值.例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于≈3.1404＜π，再由，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数.
（1）现已知，
使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
（2）的整数部分为x，小数部分为y，求x+2y的值.
【答案】（1）；；
（2）x=2，y=-2，∴x+2y=-2
【解析】（1） 已知 ，
∴使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
∵
∴使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
∵
∴使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
故答案为：.
（2）∵
∴在2和3之间，
∴
∴
22．观察下列一组算式的特征及运算结果， 探索规律：
⑴ ⑵ 4，
⑶ ⑷
（1） 观察算式规律， 计算 ； .
（2） 用含正整的式子表示上述算式的规律： .
（3）计算：
【答案】（1）7；21
（2）
（3）解：
【解析】（1），
，
故答案为：7；21；
（2），
故答案为：；
23．阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“”或者“”的表示方法都不够百分百准确；
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5-2得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为；
根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若，则的整数部分是 ；小数部分可以表示为 ；
（3）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为则 ；
（4）若，其中是整数，且，请求的相反数.
【答案】（1）3；
（2）21；a-21
（3）23
（4）解：，
，
，
又是整数，且，
，，
，
的相反数是.
【解析】（1），
，
的整数部分是，小数部分是，
故答案为：3，.
（2）显然的整数部分为21，小数部分为减去它的整数部分，即为，
故答案为：，.
（3），
，
，
，，
，
故答案为：23.
24．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题：
（1）的“共同体区间”为________；
（2）若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”；
（3）若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”．
【答案】（1）
（2）解：∵无理数的“共同体区间”为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的“共同体区间”为；
（3）解：∵整数，满足关系式：，
∴或，
解得：或或，
①当，时，有，
∵，
∴的“共同体区间”为；
②当，时，有，
∵，
∴的“共同体区间”为；
③当，时，有，
∵，
∴的“共同体区间”为；
综上所述，的“共同体区间”为或．
【解析】（1）∵，
∴的“共同体区间”是，
故答案为：.
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1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
【尖子生】浙教版2025-2026学年七年级上数学第3章 实数
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（ ）
A． B． C． D．
2．若实数a，b，c满足等式 则c 可能取的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．对于实数a，b，定义 min{a，b}的含义：当ab时， min{a，b}=b，例如： min{1，-2}=-2.已知 且a和b为两个连续正整数，则2a-b的值为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．我们规定：[x]表示不超过的最大整数.如：，则的值为
A．507 B．516 C．525 D．534
5．用计算器探索：已知按一定规律排列的 20个数：1， ， ，……， ， 如果从中选出若干个数，使它们的和小于1，那么选取的数的个数最多是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
6．已知a的算术平方根是12.3，b的立方根是-45.6，x的平方根是±1.23，y的立方根是456，则x和y分别是（ ）
A．x= ，y=1000b B．x=100a，y=
C．x= ，y= D．x= ，y=-1000b
7．已知．若n为整数且，则n的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．已知实数a满足条件|则a-20112的值为( )
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
10．若则的值为( )
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．1，2，3……，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有 个。
12．已知m，n是有理数，且m，n满足等式，则的立方根为 ．
13．若 ， ， ，则 的大小关系用“＜”号排列为 ．
14．在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ．
15．设实数x，y，z适合9x3=8y3=7z3， ，则 =
=
16．整数满足，其中，则的最大值是 ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知的算术平方根是3，b是8的立方根，c是的整数部分.
（1）求的值.
（2）求的平方根.
18．阅读下面求 近似值的方法，回答问题：
①任取正数 ；
②令 则 ；
③ ，则 ；
……以此类推 次，得到
其中 称为 的 阶过剩近似值， 称为 的 阶不足近似值.仿照上述方法，求6的近似值.
①取正数 .
②于是 a2= ；则
③ 的3阶过剩近似值 是 ，3阶不足近似值是
19．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
① ，又 ，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又 ，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而 ，则 ，可得 ，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是 位数．
②它的立方根的个位数是 ．
③它的立方根的十位数是 ．
④195112的立方根是 ．
（2）请直接填写结果：
① ．
② ．
20．观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53=( )2= ；
（2） = ；（用含n的代数式表示）
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
21．中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数.由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”.我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值.例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于≈3.1404＜π，再由，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数.
（1）现已知，
使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
（2）的整数部分为x，小数部分为y，求x+2y的值.
22．观察下列一组算式的特征及运算结果， 探索规律：
⑴ ⑵ 4，
⑶ ⑷
（1） 观察算式规律， 计算 ； .
（2） 用含正整的式子表示上述算式的规律： .
（3）计算：
23．阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“”或者“”的表示方法都不够百分百准确；
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5-2得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为；
根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若，则的整数部分是 ；小数部分可以表示为 ；
（3）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为则 ；
（4）若，其中是整数，且，请求的相反数.
24．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题：
（1）的“共同体区间”为________；
（2）若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”；
（3）若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”．
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