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【尖子生】浙教版2025-2026学年七年级上数学第6章 图形的初步知识
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（ ）
A．36 B．37 C．38 D．39
2． 已知线段，点C为直线AB上一点，且，点M，N分别是AC，BC的中点，则MN等于（ ）
A．8cm B．10cm C．9cm或8cm D．9cm
3．如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
4．如图，C为线段AB 上一点，AB=30，AC 比BC 的 多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度在射线AB 上沿AB 方向运动，运动时间为t秒，M为BP 的中点，N 为QM 的中点， 有下列结论：①；②AB=4NQ；③当时，t=12.其中正确的有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5． 如图，已知∠AOB=90°，∠COD 在∠AOB内部且∠COD=45°。下列说法：①如果∠AOC=∠BOD，则图中有两对互余的角；②如果作 OE 平分∠BOC，则∠AOC=2∠DOE；③如果作 OM 平分∠AOC，ON 在∠AOB内部，且∠MON=45°，则OD平分∠BON；④如果 在 ∠AOB 外部分别作∠AOC，∠BOD 的余角∠AOP，∠BOQ，则∠AOP+∠BOQ=3∠COD。其中正确的个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，点为线段外一点，，，，为上顺次排列的四点，连接，，，，在下列结论中：
①以为顶点的角有15个；
②若平分，平分，，则
③若为的中点，为的中点，则；
④若，，则．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，C，D是线段AB 上两点，M，N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2(MC-DN)；④2MN=AB-CD.其中所有正确的结论是( )
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
8．将一张正方形纸片ABCD按如图（第8题）所示的方式折叠，AE，AF 为折痕，点 B，D折叠后的对应点分别为. 若 则 `的度数为 （ ）
A．40° B．45° C．56° D．37°
9．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )
A． B． C． D．
10．在数轴上，点M、N分别表示数m，n.则点M、N之间的距离为 .已知点A，B，C，D在数轴上分别表示的数为a，b，c，d.且 ，则线段的长度为（ ）
A．4.5 B．1.5 C．6.5或1.5 D．4.5或1.5
（第8题） （第12题） （第14题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于 1 立方厘米的小正方体。如果在这些小正方体中， 不带红色的小正方体的个数等于 7 ， 那么两面带红色的小正方体的个数等于 。
12．如图，已知∠AOB=120°，∠COD 在∠AOB 内部且 .如果在 外部分别作∠AOC，∠BOD 的余角∠AOP，∠BOQ，则
13．已知线段，，点、分别是、的中点，当点在直线上时，则的长为 .
14．如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．
15．长方形纸片上有一数轴，剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．
（第15题） （第16题）
16．如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝ ∠BOC，∠BOD＝ ∠AOB，则∠DOE＝ °.（用含n的代数式表示）
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，C 为线段AB 延长线上一点，D 为线段BC 上一点，且CD=2BD，E 为线段AC 上一点，CE=2AE.
（1）若 ，求 DE 的长.
（2）若 ，求DE 的长（用含a 的代数式表示）.
（3）若图中所有线段的长度之和是线段AD 长度的7倍，则 的值为 .
18．如图，已知．
（1），是以为顶点的两条射线，，分别平分，．
①如图1，当，时，的度数为_______；
②如图2，当时，请写出、与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图3，当时，以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，同时，也以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时，两个角都停止旋转，求旋转过程中与有重叠部分的总时长．
19．将一段长为60cm的绳子AB 拉直铺平，沿点 M，N 折叠(绳子无弹性，折叠处长度忽略不计)，设点 A，B分别落在点 ，处.
（1）如图①，当点. ，恰好重合时，MN 的长为 cm.
（2）如图②，若点 落在点 的左侧，且 ，求MN的长.
（3）若 ，请直接写出 MN 的长(用含n的代数式表示).
20．如图，是内的一条射线，若或，则称为的比分线．
【概念初识】
（1）若是的角平分线，则 ；
已知，是的比分线，则 ；
【概念理解】
（2）已知，，是的两条比分线，求的度数（用含的代数式表示）．
【概念应用】
（3）如图，已知是一个平角，是的比分线，且是一个锐角，射线，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度绕点逆时针旋转，且当射线首次与重合时同时停止运动，设运动时间为秒，当射线，，中恰好有一条射线是另外两条射线所成角的比分线时，请直接写出t的值．
21．如图所示，，把一块含角三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点重合，OE平分平分．（本题中的角均大于且小于的角）
（1）如图（a）所示，当OB，OC重合，且三角板的另一边OD在的外部时，求的度数；
（2）如图（b）所示，把三角板摆放不同位置时，令．在备用图上画图并完成探究：
①探究的大小是否改变，若有改变，请直接用含的式子表示；若没有改变，请直接写出定值． ；
②在三角板摆放的不同位置中，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
22．【建立概念】
直线a上有三个点A，B，C，若满足，我们称点C是点A关于点B的“半距点”．如图①，，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．
（1）【概念理解】
如图②，直线l上有两个点M，N，且．若点P是点M关于点N的“半距点”，则 ．
（2）点M和点N是数轴上的两个点（点M在点N的左侧），，点P是点M关于点N的“半距点”，若点M对应的数为m，则点N对应的数可表示为 ，点P对应的数可表示为 （均用含有m的式子表示）
（3）【拓展应用】
点M和点N在数轴上对应的数分别为m、n，且，点W是线段的中点，P、Q两点分别从点M和N同时出发，沿数轴作匀速运动，点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒3个单位
若点P向右运动，点Q向左运动，在点K相遇，试判断点K是否是点M关于点W的“半距点”，并请说明理由．
（4）在（3）的条件下，若P、Q两点向左运动，运动时间为t秒．当点Q恰好是点P关于原点的“半距点”时，求t的值．
23．
图1 图2 图3
【问题提出】如图1，（），OC在内，OD在外，OM平分，ON平分，试探究和的数量关系．
（1）【问题探究】先将问题特殊化．如图2，若．
①直接写出的大小是 ▲ ，的大小是 ▲ ；
②直接写出的值．
（2）【问题拓展】再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立
（3）如图3，，在绕着点O旋转一周的过程中，OM平分，ON平分，当时，直接写出的大小．
24．在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点与点之间的距离表示为．如图，在数轴上，点表示的数为．
（1）直接写出结果， ， ．
（2）设点在数轴上对应的数为．
①若点为线段的中点，则 ．
②若点为线段上的一个动点，则的化简结果是 ．
（3）动点从出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在之间向右运动，同时动点从出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在之间往返运动，当点运动到时，和两点停止运动．设运动时间为秒，是否存在值，使得？若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由．
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【尖子生】浙教版2025-2026学年七年级上数学第6章 图形的初步知识
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（ ）
A．36 B．37 C．38 D．39
【答案】B
【解析】最多有个交点，最少有1个交点，所以m+n=36+1=37.故选B.
2． 已知线段，点C为直线AB上一点，且，点M，N分别是AC，BC的中点，则MN等于（ ）
A．8cm B．10cm C．9cm或8cm D．9cm
【答案】D
【解析】①当点C在点A的右边时，如图所示：
∵AB=18，AC=2，
∴BC=AB-AC=18-2=16，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC=1，CN=BC=8，
∴MN=MC+CN=1+8=9；
②当点C在点A的左边时，如图所示：
∵AB=18，AC=2，
∴BC=AB+AC=18+2=20，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC=1，CN=BC=10，
∴MN=CN-MC=10-1=9，
综上，MN的长为9，
故答案为：9.
3．如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴可设，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
又∵平分平分，
∴，，
∴．
故答案为：A．
4．如图，C为线段AB 上一点，AB=30，AC 比BC 的 多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度在射线AB 上沿AB 方向运动，运动时间为t秒，M为BP 的中点，N 为QM 的中点， 有下列结论：①；②AB=4NQ；③当时，t=12.其中正确的有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【解析】设BC=x，则AC=+5，
∵AC+BC=AB， AB=30，
∴+5+x=30，
解得：x=20，
∴BC=20，AC=10，
∴ BC=2AC，故①正确，
∵AP=2t， BQ=t，
当0≤t≤15时，点P在线段AB上，此时BP=AB-AP=30-2t，
∵M为BP的中点，
∴MB=BP=15-t，
∵QM=MB+BQ，
∴QM=15，
又∵N为QM的中点，
∴NQ=QM=，
∴AB=4NQ；
当15此时BP=AP-AB=2t-30，
∵M为BP的中点，
∴BM=BP=t-15，
∵QM=BQ-BM，
∴QM=15，
又∵N为QM的中点，
∴NQ=QM=，
∴AB=4NQ；
当t>30时，点P在线段AB外，且点P在Q的右侧，如图②，
此时BP=AP-AB=2t-30，
∵M为BP的中点，
∴BM=BP=t-15，
∵QM=BQ-BM，
∴QM=15，
又∵N为QM的中点，
∴NQ=QM=，
∴AB=4NQ；
.综上所述，AB=4NQ，故②正确，
当0解得：t=12；
当15解得：t=20；
当t＞30，PB=BQ时，PB=AP-AB=2t-30，则 2t-30=t，
解得：t=20，与t＞30矛盾，舍去；
终上所述，当PB=BQ时，t=12或20，故③错误，
故答案为：B .
5． 如图，已知∠AOB=90°，∠COD 在∠AOB内部且∠COD=45°。下列说法：①如果∠AOC=∠BOD，则图中有两对互余的角；②如果作 OE 平分∠BOC，则∠AOC=2∠DOE；③如果作 OM 平分∠AOC，ON 在∠AOB内部，且∠MON=45°，则OD平分∠BON；④如果 在 ∠AOB 外部分别作∠AOC，∠BOD 的余角∠AOP，∠BOQ，则∠AOP+∠BOQ=3∠COD。其中正确的个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】因为∠AOB=90°，∠COD=45°，
所以∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=45°。
①因为∠AOC=∠BOD，∠AOC+∠BOD=45°，
所以∠AOC=∠BOD=22.5°，
所以∠AOD=∠COB=67.5°，
所以∠AOD+∠DOB=90°，∠BOC+∠AOC=90°，∠AOC+∠AOD=90°，∠BOD+∠BOC=90°，
所以图中有4对互余的角，故①错误；
②设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，
所以∠BOC=∠BOD+∠COD=45°-x+45°=90°-x。
因为OE平分∠BOC，
所以 ，
所以
所以∠AOC=2∠DOE，故②正确；
③设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，
因为OM平分∠AOC，
所以
所以 ，
所以 =x，
所以∠BOD不一定等于∠DON，
即 OD 不一定是∠BON 的平分线，故③错误；
④设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，∠AOP=90°-x，
所以 因为∠COD=45°，所以∠AOP+∠BOQ=3∠COD，故④正确.
故答案为：B.
6．如图，点为线段外一点，，，，为上顺次排列的四点，连接，，，，在下列结论中：
①以为顶点的角有15个；
②若平分，平分，，则
③若为的中点，为的中点，则；
④若，，则．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】以O为顶点的角有个，故①正确；
由角平分线的定义可得：，，
∵，
∴
∴，
∴，
，
故②错误；
由中点定义可得：，，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，即，故④错误.
故选：B.
7．如图，C，D是线段AB 上两点，M，N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2(MC-DN)；④2MN=AB-CD.其中所有正确的结论是( )
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解析】∵AD=BM，
∴AD=MD+BD，
∴，
∴AD=2BD，
∴AD+BD=2BD+BD，即AB=3BD，故①正确；
∵AC=BD，
∴AD=BC，
∴，
∵M、N分别是线段AD、BC的中点，
∴AM=BN，故②正确；
∵AC-BD=AD-BC，
∴AC-BD=2MD-2CN=2(MC-DN)，故③正确；
∵2MN=2MC+2CN，MC=MD-CD，
∴2MN=2(MD-CD)+2CN，
∵，，
∴，故④正确，
故答案选：D.
8．将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE，AF 为折痕，点 B，D折叠后的对应点分别为. 若 则 `的度数为 （ ）
A．40° B．45° C．56° D．37°
【答案】D
【解析】设∠EAD'=α，∠FAB'=β，根据折叠可知∠DAF=∠D'AF，∠BAE=∠B'AE，
∵∠B'AD'=16°，
∴∠DAF=16°+β，∠BAE=16°+α，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴16°+β+β+16°+16°+α+α=90°，
∴a+β=21°，
∴∠EAF=∠B'AD'+∠D'AE+∠FAB'，
=16°+α+β
=16°+21°
=37°.
则∠EAF的度数为37°.
故答案为：D.
9．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵分别为的中点，，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
根据规律得到，
∴.
故答案为：A.
10．在数轴上，点M、N分别表示数m，n.则点M、N之间的距离为 .已知点A，B，C，D在数轴上分别表示的数为a，b，c，d.且 ，则线段的长度为（ ）
A．4.5 B．1.5 C．6.5或1.5 D．4.5或1.5
【答案】C
【解析】由可知，A与C，B与C距离为2，且A、B不为同一个点，故A、B相距为4.
此时，不妨设点A在点B左侧.
①如图，当 在 点的右侧时，
，
②如图，当 在 点的左侧时，
，
综上所述，线段 的长度为6.5或1.5
故答案为：C
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于 1 立方厘米的小正方体。如果在这些小正方体中， 不带红色的小正方体的个数等于 7 ， 那么两面带红色的小正方体的个数等于 。
【答案】36
【解析】∴不带红色的小正方体的个数等于 7
∴这7个小正方体都在长方体的内部
∵7=7×1×1
∴这个长方体为3×3×9的长方体
∵（1+1+7）×4=36（个）
∴两面带红色的小正方体的个数为36个
故答案为36.
12．如图，已知∠AOB=120°，∠COD 在∠AOB 内部且 .如果在 外部分别作∠AOC，∠BOD 的余角∠AOP，∠BOQ，则
【答案】2
【解析】如图，设∠AOC=x，
∵∠AOP 与∠AOC 互余，
∠BOD=∠AOB-∠AOC-∠COD
∵∠BOQ与∠BOD互余，
+x，
=120°，
∴
故答案为：2
13．已知线段，，点、分别是、的中点，当点在直线上时，则的长为 .
【答案】7.5或15
【解析】①点M在线段AB上时，如图1所示：
∵AB＝AM＋MB，AM＝BM，AB＝20，
∴AM＝5，BM＝15，
又∵Q是AB的中点，
∴AQ＝BQ＝AB＝10，
又∵MQ＝BM-BQ，
∴MQ＝15-10＝5，
又∵点P是AM的中点，
∴AP＝PM＝AM＝2.5，
又∵PQ＝PM＋MQ，
∴PQ＝2.5＋5＝7.5；
②点M在线段AB的反向延长线上时，如图2所示：
同理可得：AQ＝AB＝10，
又∵AM＝BM，
∴AM＝AB＝10，
又∵点P是AM的中点，
∴AP＝AM＝5，
∵PQ＝PA＋AQ，
∴PQ＝5＋10＝15，
综合所述PQ的长为7.5或15．
故答案为：7.5或15.
14．如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①②④
【解析】①∵平分，平分，平分，
∴，，，
，
，
即，
故①正确；
②∵
=
，，
∴，
故②正确；
③与不一定相等，故③错误；
④根据解析②可知，，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
15．长方形纸片上有一数轴，剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．
【答案】或2或
【解析】三条线段的长度之比为，设三条线段的长分别是、、，
到5的距离是5-（-1）=6，，解得，
三条线段的长分别为，，3，
①当时，此时A点是-1，B点就是，折痕点表示的数是；
②当时，此时A点是-1，B点就是，折痕点表示的数是；
③当时，此时A点是-1，B点就是，折痕点表示的数是；
综上所述，折痕处对应的点表示的数可能或2或．
故答案为：或2或．
16．如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝ ∠BOC，∠BOD＝ ∠AOB，则∠DOE＝ °.（用含n的代数式表示）
【答案】
【解析】∵∠BOE= ∠BOC，
∴∠BOC=n∠BOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，
∴∠BOD= ∠AOB= +∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE= ，
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，C 为线段AB 延长线上一点，D 为线段BC 上一点，且CD=2BD，E 为线段AC 上一点，CE=2AE.
（1）若 ，求 DE 的长.
（2）若 ，求DE 的长（用含a 的代数式表示）.
（3）若图中所有线段的长度之和是线段AD 长度的7倍，则 的值为 .
【答案】（1）解：∵CD=2BD， BC=21，
∴BC=3BD，
∴ BD=7.
∵CE=2AE， AB=18，
∴AE=AC=(AB+BC)=X(18+21)=13，
∴BE=AB-AE=18-13=5，
∴ DE=BE+BD=5+7=12.
（2）解： ∵CD=2BD， CD+BD=BC，
∴BD=
∵CE=2AE，CE+AE=AC，
∴AE=AC，
∴BE=AB-AE=AB-AC，
∴DE=BE+BD=AB-AC+BC=AB-(AC-BC)= AB.
∵AB=a，
∴DE=a.
（3）
【解析】
解：(3)设CD=2BD=2x，CE=2AE=2y，则BD=x，AE=y，
∵AC=AE+EC=3y， ED=CE-CD=2y-2x，
∴所有线段的长度之和为 AE+AB+AD+AC+EB+ED+EC+BD+BC+DC=(AE+EC)+(AB+ BC)+(AD+DC)+AC+ (EB+BD)+ED=4AC+2ED=4(2y+y)+2(2y-2x)=12y+4y-4x=16y-4x，
又∵ AD=AE+ED=y+2y-2x=3y-2x，
∴根据题意，得16y-4x=7(3y-2x)， 即y=2x，
∴AD=3y-2x=4x， AC=3y=6x，
∴，
故答案为：.
18．如图，已知．
（1），是以为顶点的两条射线，，分别平分，．
①如图1，当，时，的度数为_______；
②如图2，当时，请写出、与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图3，当时，以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，同时，也以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时，两个角都停止旋转，求旋转过程中与有重叠部分的总时长．
【答案】（1）①；
解：②，理由如下：
∵，分别平分，．
∴，
∴
=
=
∴
（2）解：∵以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时，
∴所用时间为秒，
∴第秒时，两个角都停止旋转，
∵以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，
∴旋转过程中，同向旋转，且的速度大于的速度，
当第一次追上时，
射线与射线重合时，所用时间为：秒，即第秒时，两角开始有重叠部分
射线与射线重合时，所用时间为：秒，即第秒后，两角没有重叠部分；
∴与有重叠部分的时间为：秒
当第二次追上时，则射线旋转了
射线第二次与射线重合时，从开始起所用时间为：秒
同理射线第二次与射线重合时，与有重叠部分的时间为秒，即秒
又∵总用时间为秒，
∴第二次重叠时间为秒
∴旋转过程中与有重叠部分的总时长为秒．
【解析】（1）解：①∵，，
∴，
∵，分别平分，．
∴，
∴
故答案为：；
19．将一段长为60cm的绳子AB 拉直铺平，沿点 M，N 折叠(绳子无弹性，折叠处长度忽略不计)，设点 A，B分别落在点 ，处.
（1）如图①，当点. ，恰好重合时，MN 的长为 cm.
（2）如图②，若点 落在点 的左侧，且 ，求MN的长.
（3）若 ，请直接写出 MN 的长(用含n的代数式表示).
【答案】（1）30
（2）解：∵ A'B'=20cm， AB=60 cm，
∴40cm，
∴
（3）解：分两种情况讨论：
①当点A'落在点B'的左侧时，
∵A'B'=n(cm)， AB=60cm，
∴，
∵，
∴；
②当点A'落在点B'的右侧时，
∵
∴，
∵ ，
∴.
综上所述，MN的长为 或 .
【解析】(1)∵点. 恰好重合，
故答案为：30；
20．如图，是内的一条射线，若或，则称为的比分线．
【概念初识】
（1）若是的角平分线，则 ；
已知，是的比分线，则 ；
【概念理解】
（2）已知，，是的两条比分线，求的度数（用含的代数式表示）．
【概念应用】
（3）如图，已知是一个平角，是的比分线，且是一个锐角，射线，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度绕点逆时针旋转，且当射线首次与重合时同时停止运动，设运动时间为秒，当射线，，中恰好有一条射线是另外两条射线所成角的比分线时，请直接写出t的值．
【答案】（）；或；
（）∵，是的两条比分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴；
（）解：∵是的比分线，且是一个锐角，
∴，
∵是一个平角，
∴，
∴，
∵射线，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度绕点逆时针旋转，
∴，，
∵当射线首次与重合时同时停止运动，
∴，
由在内部时，即，
∴，，
如图，当，
∴，解得：，
如图，当，
∴，解得：，
由在内部时，即，
∴，，
如图，当，
∴，解得：，
当，
∴，解得：（舍去），
综上可知：当射线，，中恰好有一条射线是另外两条射线所成角的比分线时，的值为或或．
【解析】（）∵是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：；
当，
∵，
∴，
∴，
∴；
当，
∵，
∴，
∴，
综上可知：或，
故答案为：或；
21．如图所示，，把一块含角三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点重合，OE平分平分．（本题中的角均大于且小于的角）
（1）如图（a）所示，当OB，OC重合，且三角板的另一边OD在的外部时，求的度数；
（2）如图（b）所示，把三角板摆放不同位置时，令．在备用图上画图并完成探究：
①探究的大小是否改变，若有改变，请直接用含的式子表示；若没有改变，请直接写出定值． ▲ ；
②在三角板摆放的不同位置中，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∠AOB＝110°，∠BOD＝30°，
∴∠COE＝∠AOB＝55°，∠BOF＝∠BOD＝15°．
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝70°．
（2）解：①70°
理由如下：
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
②存在α使得∠BOE＝5∠DOF．
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE＝∠EOC＝n，∠DOF＝∠BOF＝m．
第一种情况：如图所示．
∵∠BOE＝5∠DOF，∴n+30°+m+m＝5m．
∴3m﹣n＝30°．
∵∠AOB＝110°，∴n+n+30°+m+m＝110°．
∴n+m＝40°．
∴3m﹣n+n+m=4m＝70°即m＝17.5°．
∴α＝∠BOC＝30°+m+m＝65°．
第二种情况：如图所示．
∵∠BOE＝5m，∴∠EOD﹣∠BOD＝5m．∴n+30°﹣2m＝5m．
∴7m﹣n＝30°．
∵∠AOB＝110°，∴∠AOD﹣∠BOD＝110°．∴2n+30°﹣2m＝110°．
∴n﹣m＝40°．
∴7m﹣n+n﹣m=6m＝70°即m＝°．
∴α＝∠BOC＝30°﹣2m＝°．
综上所述，α＝65°或°．
22．【建立概念】
直线a上有三个点A，B，C，若满足，我们称点C是点A关于点B的“半距点”．如图①，，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．
（1）【概念理解】
如图②，直线l上有两个点M，N，且．若点P是点M关于点N的“半距点”，则 ．
（2）点M和点N是数轴上的两个点（点M在点N的左侧），，点P是点M关于点N的“半距点”，若点M对应的数为m，则点N对应的数可表示为 ，点P对应的数可表示为 （均用含有m的式子表示）
（3）【拓展应用】
点M和点N在数轴上对应的数分别为m、n，且，点W是线段的中点，P、Q两点分别从点M和N同时出发，沿数轴作匀速运动，点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒3个单位
若点P向右运动，点Q向左运动，在点K相遇，试判断点K是否是点M关于点W的“半距点”，并请说明理由．
（4）在（3）的条件下，若P、Q两点向左运动，运动时间为t秒．当点Q恰好是点P关于原点的“半距点”时，求t的值．
【答案】（1）2
（2）；或
（3）解：是点关于点的“半距点”
理由如下
∵，且
∴
∴，
所以
因为点是线段的中点
所以
设、两点的运动时间为秒，则
解得
所以点表示的数为：
所以
所以
所以
所以是点关于点的“半距点”．
（4）解：设原点为，
1 若在的右边，
则，，
若点恰好是点关于原点的“半距点”，
则，
解得；
②若在的左边，
则，，
若点恰好是点关于原点的“半距点”，
则，
解得；
综上所述，的值为4或7.2.
【解析】（1）由题意可得：
故答案为：2
（2）∵，点M在点N的左侧
∴N对应的数表示为m+4
∵点P是点M关于点N的“半距点”
∴
∴点P对应的数可表示为：或
故答案为：第1空、
第2空、或
23．
图1 图2 图3
【问题提出】如图1，（），OC在内，OD在外，OM平分，ON平分，试探究和的数量关系．
（1）【问题探究】先将问题特殊化．如图2，若．
①直接写出的大小是 ▲ ，的大小是 ▲ ；
②直接写出的值．
（2）【问题拓展】再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立
（3）如图3，，在绕着点O旋转一周的过程中，OM平分，ON平分，当时，直接写出的大小．
【答案】（1）①，；②
（2）平分，．设，
，
，
平分，
∴
∴
（3）假设射线OC从OB出发，顺时针旋转的度数为x，
本题分四种情况讨论：
①当时，如图，
解得：；
②当时，如图，，解得：；
③当时，如图，，
解得：；
③当时，如图，，
解得：；（舍去）
【解析】【问题探究】（1）①∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵平分，
∴；
∵，
又∵平分，
∴，
∴，
∴②；
24．在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点与点之间的距离表示为．如图，在数轴上，点表示的数为．
（1）直接写出结果， ， ．
（2）设点在数轴上对应的数为．
①若点为线段的中点，则 ．
②若点为线段上的一个动点，则的化简结果是 ．
（3）动点从出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在之间向右运动，同时动点从出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在之间往返运动，当点运动到时，和两点停止运动．设运动时间为秒，是否存在值，使得？若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）10；22
（2）1；22
（3）解：点表示的数为，；
当时，点表示的数为，；
，解得或；
当时，点表示的数为，．
，解得或11．
存在值，使得，，，7或11．
【解析】（1）由题意可得：
OA=0-(-10)=10，AB=12-(-10)=22
故答案为：10；22
（2）①∵点为线段的中点
∴
故答案为：1
②∵点为线段上的一个动点
∴-10∴=x+10+12-x=22
故答案为：22
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