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【尖子生】浙教版2025-2026学年七年级上数学第2章 有理数的运算
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，量得一个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯高度为，则10个纸杯叠放在一起的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】增加一个杯子增加的高度为：，
∴10个纸杯叠放在一起的高度为：．
故答案为：B．
2．我国古代《易经》一书记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中，表示162颗的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A.5+3×7+1×72=75；B.1+3×7+2×72=120；C.2+3×7+2×72=121；D.1+2×7+3×72=162；
故答案为： D.
3．观察下列等式： 37=2187，…，解答下列问题： 的末位数字是（ ).
A．0 B．1 C．3 D．7
【答案】C
【解析】∵
∴末尾数，每4个一循环，
∵2013+4=503…1，
∴ 的末位数字相当于：3+7+9+1+-..+3=（3+9+7+1）X503+3=100203的末尾数为3，
故答案为：C.
4．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴
==
故选：D
5．若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】当时，∵，∴，
∵，∴，，
∵，∴.
当时，
∵，
∴，
∵，
∴同号，
当时，有，即，
当时，
∵，
∴，即．
故答案为：B．
6．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，
∴m3分裂成m个奇数，
所以，从23到m3的奇数的个数为：2＋3＋4＋…＋m＝，
∵2n＋1＝59，n＝29，
∴奇数59是从3开始的第29个奇数，
∵，，
∴第29个奇数是底数为8的数的立方分裂的奇数的其中一个，
即m＝8．
故答案为：C.
7．观察下列各式：-=-1+，-=-+-=- +，-=- +，按照上面的规律，计算式子- - - - … - 的值为（ ）
A．- B． C．2020 D．2021
【答案】A
【解析】原式，
，
，
，
，
故答案为：A.
8．已知a1+a2＝1，a2+a3＝2，a3+a4＝﹣3，a4+a5＝﹣4，a5+a6＝5，a6+a7＝6，a7+a8＝﹣7，a8+a9＝﹣8，……，a99+a100＝﹣99，a100+a1＝﹣100，那么a1+a2+a3+……+a100的值为（ ）
A．﹣48 B．﹣50 C．﹣98 D．﹣100
【答案】B
【解析】
=
=
=
=
故答案为：B
9．代数式可取得的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴当时，原式最小，
设，则
∴
∴原式最小值为
故答案为：B.
10．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则的值为（ ）
A．6 B．10 C．14 D．18
【答案】D
【解析】每个圆圈上的四个数字的和都等于21，
三个大圆圈上的数字之和为：，
各小圆圈的数字之和为：，
为什么，这是因为、、都加了两次，
，
，
，
，
而各圆圈的数字的平方和为，
为什么呢？
这是因为三角形各顶点处三个圆圈内的数字的平方都加了两次，
，
，
，
，
，
，
，
，
将代入得，
，
．
故选：D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．黑板上写着7个数，分别为：，a，1，13，b，0，，它们的和为，若每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加上1），这样操作若干次，直至黑板上只剩下一个数，则所剩的这个数是 ．
【答案】
【解析】∵每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加1），
∴操作一次，黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加1，
（次），
∴剩下的这个数是．
答：剩下的这个数是，
故答案为：．
12．六年级有46人参加了学校的乒乓球比赛和羽毛球比赛，其中参加乒乓球比赛的有24人，参加羽毛球比赛的有27人，乒乓球和羽毛球比赛都参加的有 人．
【答案】5
【解析】根据已知条件可知：
∵ 参加乒乓球比赛的有24人，参加羽毛球比赛的有27人
∴ 至少一项比赛的总人数应该是24 + 27 = 51人 ，
∵ 六年级有46人参加了学校的乒乓球比赛和羽毛球比赛 ，
∴ 乒乓球和羽毛球比赛都参加的有 ：51-46=5；
故答案为：
13．如图，5张卡片分别写了5个不同的整数，同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为，则卡片上m表示的数中最小的为 ．
【答案】
【解析】由题意得当抽到和时，m的取值最小，
∴m的最小值为．
故答案为：．
14．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是
【答案】12
【解析】∵ 要使三角形的每条边上的三个数的和S最大，
∴ 将最大的三个数4，5，6写在三个顶点，如图，
由图可知，．
故答案为：12.
15．已知有理数、，满足，，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】，
，，中三个数中既有正数又有负数，且，，，
，
，，中三个数中只有一个负数，
设，，则，
，，，
∴，
，
故答案为：．
16．整数a、b、c满足1000|a|+10|b|+|c|=2023，其中|a|>1且abc>1，则a+b+c的最小值是 ．
【答案】-14
【解析】∵ 整数a、b、c满足1000|a|+10|b|+|c|=2023，其中|a|>1，
∴或，
∵ abc>1 ，
∴a、b、c要么都是正整数，要么是一个正整数与两个负整数，
∴当a=2，b=2，c=3时，a+b+c=7；
当a=-2，b=-2，c=3时，a+b+c=-1；
当a=-2，b=2，c=-3时，a+b+c=-3；
当a=2，b=-2，c=-3时，a+b+c=-3；
当a=2，b=1，c=13时，a+b+c=16；
当a=2，b=-1，c=-13时，a+b+c=-12；
当a=-2，b=-1，c=13时，a+b+c=10；
当a=-2，b=1，c=-13时，a+b+c=-14；
综上最小值应该为-14.
故答案为：-14.
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．观察 + =（1－ ）+（ － ）=1－ =
（1）计算： + + +……+ =
（2）计算：
【答案】（1）解： + + +……+
=（1－ ）+（ － ）+ （ － ）+……+（ － ）
=1－ + － + － +……+ －
=1－
= ；
（2）解：∵ ，
∴
= （ ）
= （ ）
= ×
=
18．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
19．简便计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
=
=
=
；
（2）解：
=
=
=
．
20．小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具210个，平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产值 ＋10 －12 －4 ＋8 －1 ＋6 0
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具 个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具 个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”．每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣2元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
【答案】（1）30-4＝26；
（2）217
（3）解：217×5＋（10＋8＋6）×3＋（12＋4＋1）×（-2）＝1123（元），
故小明妈妈这一周的工资总额是1123元．
（4）解：按每周计件，一周得217×5+（217-210）×3=1106元，
∵1123＞1106，
∴按每日计件工资更多.
【解析】（1）30-4=26；
故答案为：26.
（2）（+10）+（-12）+（-4）+（+8）+（-1）+（+6）+0=10-12-4+8-1+6=7，
∴210+7=217（个）；
故本周实际生产玩具217个，
故答案为：217.
21．观察下列解题过程：
计算1+3+32+33+…+324+325的值．
解：设A＝1+3+32+33+…+324+325①，
则3A＝3+32+33+…+324+325+326②，
由②﹣①，得2A＝326﹣1，
即，
所以1+3+32+33+…+324+325=．
通过阅读材料，请你用学到的方法计算：
（1）1+4+42+43+…+429+430．
（2）．
【答案】（1）解：设S＝1+4+42+43+ +429+430①，
则4S＝4+42+43+ +429+430+431②，
由②﹣①，得3S＝431﹣1，
则，
即1+4+42+43+…+429+430=；
（2）解：设M=①，
则M=②，
由①﹣②，得M=1-，
则M=2(1-)=2-，
即=2-．
22．“ ”点游戏的规则是这样的：在整数范围内任意取四个数，然后进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可使用小括号、中括号），使其结果等于 ．例如，取 ， ， ， 这四个数进行运算，得： ，或 ，或 等．
（1）用-3，-1，5，3这四个整数，写出 种算式，使其运算结果为24；
（2）用 ， ， ， 这四个整数，写出 种不同的算式，使其运算结果为24；
（3）用 ， ， ， 这四个整数，写出 种算式，使其运算结果为 ．
【答案】（1）解： （答案不唯一）
（2）解： 或 （答案不唯一）
（3）解： （答案不唯一）
23．钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如，现在是 10 时，问 4 小时以后是几时？虽然 ，但在表盘上看到的是 2 时．如果用符号＂＂表示钟表上的加法，则 ．若问 3 时之前 5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号＂＂表示钟表上的减法，则 ．（注：此处用 0 时代替 12 时）。
根据上述材料解决下列问题：
（1） ， ．
（2）在有理数运算中，相加得 0 的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，那么 5 的相反数是多少？
（3）规定在钟表运算中也有 ，对于钟表上的任意数字 ， ，若 ，判断 是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例加以说明．
【答案】（1）3；9
（2）解：5+7=12，
12-12=0，
∴5的相反数是7
（3）解：不一定成立，理由如下，
当a=3，b=5，c=7时，37=10，57=0，则
37>57，
∴当a < b时，ac【解析】(1)根据题意可知，，
47=4+12-7=9.
故答案为：3，9.
24．类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：2÷2÷2可记做2③，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记做(-3)④，一般地把n个a 相除记做，读做“a的圈n次方”.
（1）直接写出计算结果： ； .
（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢 方法如下：
除方→2④ =2÷2÷2÷2=2×→乘方的形式
仿照以上例子，把除方运算写乘方形式： （-3）⑤= ，= .
（3）算一算：
【答案】（1）；-2
（2）；
（3）解： =
===1-3=-2.
【解析】（1）；
；
故答案为：，-2；
（2）
=
；
=
；
故答案为：，.
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1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
【尖子生】浙教版2025-2026学年七年级上数学第2章 有理数的运算
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，量得一个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯高度为，则10个纸杯叠放在一起的高度是（ ）
A． B． C． D．
2．我国古代《易经》一书记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中，表示162颗的是（ ）
A． B． C． D．
3．观察下列等式： 37=2187，…，解答下列问题： 的末位数字是（ ).
A．0 B．1 C．3 D．7
4．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
6．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．观察下列各式：-=-1+，-=-+-=- +，-=- +，按照上面的规律，计算式子- - - - … - 的值为（ ）
A．- B． C．2020 D．2021
8．已知a1+a2＝1，a2+a3＝2，a3+a4＝﹣3，a4+a5＝﹣4，a5+a6＝5，a6+a7＝6，a7+a8＝﹣7，a8+a9＝﹣8，……，a99+a100＝﹣99，a100+a1＝﹣100，那么a1+a2+a3+……+a100的值为（ ）
A．﹣48 B．﹣50 C．﹣98 D．﹣100
9．代数式可取得的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则的值为（ ）
A．6 B．10 C．14 D．18
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．黑板上写着7个数，分别为：，a，1，13，b，0，，它们的和为，若每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加上1），这样操作若干次，直至黑板上只剩下一个数，则所剩的这个数是 ．
12．六年级有46人参加了学校的乒乓球比赛和羽毛球比赛，其中参加乒乓球比赛的有24人，参加羽毛球比赛的有27人，乒乓球和羽毛球比赛都参加的有 人．
13．如图，5张卡片分别写了5个不同的整数，同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为，则卡片上m表示的数中最小的为 ．
14．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是
15．已知有理数、，满足，，若，则的值为 ．
16．整数a、b、c满足1000|a|+10|b|+|c|=2023，其中|a|>1且abc>1，则a+b+c的最小值是 ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．观察 + =（1－ ）+（ － ）=1－ =
（1）计算： + + +……+ =
（2）计算：
18．计算：
（1）
（2）
19．简便计算：
（1）；
（2）．
20．小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具210个，平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产值 ＋10 －12 －4 ＋8 －1 ＋6 0
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具 个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具 个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”．每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣2元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
21．观察下列解题过程：
计算1+3+32+33+…+324+325的值．
解：设A＝1+3+32+33+…+324+325①，
则3A＝3+32+33+…+324+325+326②，
由②﹣①，得2A＝326﹣1，
即，
所以1+3+32+33+…+324+325=．
通过阅读材料，请你用学到的方法计算：
（1）1+4+42+43+…+429+430．
（2）．
22．“ ”点游戏的规则是这样的：在整数范围内任意取四个数，然后进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可使用小括号、中括号），使其结果等于 ．例如，取 ， ， ， 这四个数进行运算，得： ，或 ，或 等．
（1）用-3，-1，5，3这四个整数，写出 种算式，使其运算结果为24；
（2）用 ， ， ， 这四个整数，写出 种不同的算式，使其运算结果为24；
（3）用 ， ， ， 这四个整数，写出 种算式，使其运算结果为 ．
23．钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如，现在是 10 时，问 4 小时以后是几时？虽然 ，但在表盘上看到的是 2 时．如果用符号＂＂表示钟表上的加法，则 ．若问 3 时之前 5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号＂＂表示钟表上的减法，则 ．（注：此处用 0 时代替 12 时）。
根据上述材料解决下列问题：
（1） ， ．
（2）在有理数运算中，相加得 0 的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，那么 5 的相反数是多少？
（3）规定在钟表运算中也有 ，对于钟表上的任意数字 ， ，若 ，判断 是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例加以说明．
24．类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：2÷2÷2可记做2③，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记做(-3)④，一般地把n个a 相除记做，读做“a的圈n次方”.
（1）直接写出计算结果： ； .
（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢 方法如下：
除方→2④ =2÷2÷2÷2=2×→乘方的形式
仿照以上例子，把除方运算写乘方形式： （-3）⑤= ，= .
（3）算一算：
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