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【尖子生】浙教版2025-2026学年八年级上数学第3章 一元一次不等式
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知的解满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知正数a，b，下列表达式正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（ ）
A．6 B．7 C．14 D．21
4．物美超市（滨江浦沿店）某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（ ）
A．n≤m B．
C． D．
5．若关于x的方程的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．7 B．6 C．4 D．0
6． 若 为实数且满足 ， 设 ， 有以下 2 个结论： ①若 ， 则 ； ②若 ， 则 ． 下列判断正确的是（ ）
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
7．已知，若，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（ ）
A．-6 B．-5 C．-3 D．-2
9．已知a，b是非零实数，若对于任意的，都有，则下列不可能的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知实数满是，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．设[x]表示不超过的最大整数，，（如：．则方程的解集是 .
12．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
13．如图，，现用若干根等长的小棒从点A开始向右依次摆放，使小棒的两端恰好分别落在射线OB、OC上，其中AA1为第1根小棒，且OA＝AA1. 若恰好能摆放4根小棒，则θ 的取值范围是 ．
14． 某段高速公路全长 ， 公安部门在高速公路上距人口 处设立了限速标志牌， 并在以后每隔 处设置一块限速标志牌； 此外公安部门还在距离人口 处设置了摄像头， 并在以后每隔 处都设置一个摄像头(如图)， 则在此段高速公路上，离入口 处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
15．已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图为正整数，甲、乙的面积分别为，．
（1）与的大小关系为： ；用“”、“”、“”填空
（2）若满足条件的整数有且只有个，则的值为 ．
16．已知x，y，z为正整数，且，则满足的(x，y，z)有 组.
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．两个非负实数a和b满足a+2b=3，且c=3a+2b
求：
（1）求a的取值范围；
（2）请含a的代数式表示c，并求c的取值范围．
18．材料一： 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差， 那么我们称这个正整数为 “连续合数”， 如 ， 因此 这三个数都是“连续合数”．
材料二： 对于一个三位自然数， 如果十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和， 则称这个三位数为 “行知数”．例如： 在自然数 231 和 132 中， ， 则 231 和 132 都是“行知数”； 在自然数 396 和 693 中， ， 则 396 和 693 都是 “行知数”．
（1） 请判断： 36 “连续合数”．（填“是”或“不是”）
（2）证明： 任何一个“连续合数”一定是 4 的奇数倍．
（3） 已知三位数 （其中 为整数， 且 ） 既是 “连续合数”， 又是 “行知数”， 求所有符合条件的三位数的值．
19．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号）
（2）关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围．
20．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．
例如，，，，那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
（1）__________，__________；
（2）如果，那么x的取值范围是__________；
（3）如果，那么x的值是__________；
（4）如果，其中，且，求x的值．
21． 【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时．
【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他．
（1）函数的最大值为 ．
（2）求函数的最小值，并写出取最小值时x的值．
（3）【猜想提升】小明由上述的提出猜想：（当且仅当时取到等号）．
通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题．
设a，b，c是非负实数，求的最小值．
22．已知 ，其中a，b，c是常数，且 .
（1）当 时，求a的范围.
（2）当 时，比较b和c的大小.
（3）若当 时， 成立，则 的值是多少？
23．阅读下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1
又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2．…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组 的解都为非负数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知2a﹣b=1，且，求a+b的取值范围；
（3）已知a﹣b=m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示）
24．若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．
例如：不等式被不等式“包含”．
（1）下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ．
A、 B、 C、 D、
（2）若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值．
（3）已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
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【尖子生】浙教版2025-2026学年八年级上数学第3章 一元一次不等式
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知的解满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
①-②得：
∵，
∴
∴
故答案为：C.
2．已知正数a，b，下列表达式正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】∵a，b都是正数，
∴a+b>0，2b>b，
①对于A，B选项，若，
∴
∴或.
解得：a>2b或a
②对于C，D选项，若，
∴
∴或.
解得：b此时a>b正确，故C正确，D错误；
故答案为：C.
3．非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（ ）
A．6 B．7 C．14 D．21
【答案】D
【解析】设，
则x=2k+1，y=2-3k，
∵x、y为非负数，
∴，
解得：；
∵W=3x+4y，
∴W=3(2k+1)+4(2-3k)=-6k+11，
∴k=，
∴，
解得：7≤W≤14，
∴W的最大值m=14，最小值n=7，
∴m+n=14+7=21.
故答案为：D.
4．物美超市（滨江浦沿店）某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（ ）
A．n≤m B．
C． D．
【答案】B
【解析】设成本价为a元，
因为某商品的标价比成本价高m%，
所以标价为元，
∵该商品需降价n%出售，为了不亏本 ，
∴
解得：.
故答案为：B.
5．若关于x的方程的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．7 B．6 C．4 D．0
【答案】C
【解析】∵，
∴，
解得：，
∵关于x的方程的解为非负整数，
∴，
解得：a≥-2，
∵，
∴解得：，
∵关于x的不等式组无解，
∴a≤4，
∴-2≤a≤4，
∵x的方程的解为非负整数，
∴满足条件的a的值有-2，0，2，4，
∴它们的和=（-2）+0+2+4=4，
故答案为：C.
6． 若 为实数且满足 ， 设 ， 有以下 2 个结论： ①若 ， 则 ； ②若 ， 则 ． 下列判断正确的是（ ）
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
【答案】C
【解析】∵，
若ab＞1时，即2（ab-1）＞0，（a+1）（b+1）=a+b+ab+1＞a+b+2，
当a+b＞-2时，（a+1）（b+1）＞0，则M-N＞0，即M＞N，
当a+b＜-2时，（a+1）（b+1）＜0，则M-N＜0，即M＜N，
∴①不正确；
若ab＜1时，即2（ab-1）＜0，（a+1）（b+1）=a+b+ab+1，
当0＜ab＜1时，0＜ab+1＜2，a+b＜（a+1）（b+1）＜a+b+2，
故a+b＞0时，（a+1）（b+1）＞0，则M-N＜0，即M＜N，
故a+b＜-2时，（a+1）（b+1）＜0，则M-N＞0，即M＞N，
∴②不正确；
综上所述，结论①②都不正确，
故答案为：C.
7．已知，若，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由a2+b2+c2=1，
可得：b2+c2=1-a2，
即(b+c)2-2bc =1- α2.
由(a-1)(b-1)(c-1)= abc，
得(a-1)(bc-b-c+ 1)= abc，
化为：a+b+c=ab+ac+bc+1，
∴bc=(1-a)(b+c-1)，
代入(b+c)2-2(1-a)(b+c-1)=1-a2，
即(b+c)2-2(1-a)(b+c)+2(1-a)-1+a2=0
即(b+c)2 +2(a-1)(b+c)+(a-1)2=0
∴(b+c+a- 1)2= 0，
∴a+b+c=1，
∴b+c=1-a，
∴b2+c2≥，
∴1-a2≥
化为：3a2-2a-1≤0，
解得.
∴a的最小值为，
同理可得c的最大值为1，
∵a+b+c=1，a+b+c=ab+ac+bc+1，
∴ab+ac+bc=0，
选项ABC正确，D错误.
故答案为：D.
8．若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（ ）
A．-6 B．-5 C．-3 D．-2
【答案】B
【解析】解不等式6x-5≥m，得x≥.
解不等式，得x＜4.
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴0＜≤1.
∴-5＜m≤1.
解方程，得y=m+3.
∵方程的解是非负数，
∴m+3≥0，即m≥-3.
∴-3≤m≤1.
∴符合条件的所有整数m的值为-3，-2，-1，0，1.
∴符合条件的所有整数m之和是-3+（-2）+（-1）+0+1=-5.
故答案为：B.
9．已知a，b是非零实数，若对于任意的，都有，则下列不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当x-a≤0，x-b≥0，x-b-1≤0时，
解之：x≤a，x≥b，x≤b+1，
∵x≥0，
∴a＞0，b＜0，b+1≥0，
解之：a＞0，-1≤b＜0；
当x-a≥0，x-b≥0，x-b-1≥0时，
∴x≥a，x≥b，x≥b+1，
∵x≥0，
∴a＜0，b＜0，b+1≤0，
解之：a＜0，b≤-1；
当x-a≥0，x-b≤0，x-b-1≤0时，
解之：x≥a，x≤b，x≤b+1，
∵x≥0，
∴a＜0，b≥0，b+1≥0，
∴a＜0，b＞0；
∴不可能的是b＜0.
故答案为：D.
10．已知实数满是，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
∴，，
∴，
∵
，
∴，
即.
故答案为：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．设[x]表示不超过的最大整数，，（如：．则方程的解集是 .
【答案】或
【解析】设，
当时，则
则成立
即是方程的一个解；
当时
若，则为正整数，
∴
即
解得不等式组无解；
若，则，
即方程无解；
当时，则，
∴
当时，；
即
当时，
即
解得不等式组无解.
故答案为：或.
12．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】16
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
∴，
分式方程去分母，得，
∴，
∵分式方程的解为非负整数，
∴且，
∴且，
∵a为整数，为非负整数，
∴，1，7，10，
∴整数a的和为．
故答案为：16．
13．如图，，现用若干根等长的小棒从点A开始向右依次摆放，使小棒的两端恰好分别落在射线OB、OC上，其中AA1为第1根小棒，且OA＝AA1. 若恰好能摆放4根小棒，则θ 的取值范围是 ．
【答案】18≤θ＜22.5
【解析】∵OA=AA1，∠BOC=θ，
∴∠BOC=∠OA1A=θ，
∵AA1=A1A2，
∴∠A1AA2=∠A1A2A=∠BOC+∠OA1A=2θ，
∵∵A2A3=A1A2，
∴∠A2A1A3=∠A1A3A2=∠BOC+∠A1A2A=θ+2θ=3θ，
同理可知∠A3A2A4=∠A3A4A2 =4θ；
∵恰好能摆放4根小棒，
∴4θ＜90°且5θ≥90°
解之：18≤θ＜22.5.
故答案为：18≤θ＜22.5
14． 某段高速公路全长 ， 公安部门在高速公路上距人口 处设立了限速标志牌， 并在以后每隔 处设置一块限速标志牌； 此外公安部门还在距离人口 处设置了摄像头， 并在以后每隔 处都设置一个摄像头(如图)， 则在此段高速公路上，离入口 处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
【答案】58或138或218
【解析】依题意可知：第m（m为正整数）个限速标志牌距离入口的距离为3+5（m-1）=（5m-2）公里，第n（n为正整数）个摄像头距离入口的距离为10+16（n-1）=（16n-6）公里，
∵16n-6≤280，
∴，
∵标志牌和摄像头重合，
∴5m-2=16n-6，
∴，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
当n=4时，16n-6=16×4-6=58；
当n=9时，16n-6=16×9-6=138；
当n=14时，16n-6=16×14-6=218；
∴离入口58或138或218千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
故答案为：58或138或218.
15．已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图为正整数，甲、乙的面积分别为，．
（1）与的大小关系为： ；用“”、“”、“”填空
（2）若满足条件的整数有且只有个，则的值为 ．
【答案】（1）
（2）1011
【解析】（1），，
，
为正整数，
，即.
（2）由知，
满足条件的整数有且只有个，
的整数有且只有个，即这三个整数解为，，，
，
解得，，
为正整数，
.
故答案为：（1）；（2）；
16．已知x，y，z为正整数，且，则满足的(x，y，z)有 组.
【答案】10
【解析】由可得，从而，可得.
例如，当时，原方程等价于，变形得，即，
从而可得或或或或.其余情况同理，可得还有解(4，5，20)，(4，6，12)，(4，8，8)，(5，5，10)，(6，6，6).
故答案为：10.
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．两个非负实数a和b满足a+2b=3，且c=3a+2b
求：
（1）求a的取值范围；
（2）请含a的代数式表示c，并求c的取值范围．
【答案】（1）解：∵a+2b=3，
∴2b=3﹣a，
∵a、b是非负实数，
∴b≥0，a≥0，
∴2b≥0，
∴3﹣a≥0，
解得0≤a≤3
（2）解：∵a+2b=3，c=3a+2b，
∴c﹣3=（3a+2b）﹣（a+2b）=2a，
∴c=2a+3，
∵a是非负实数，
∴a≥0，
∴0≤a≤3，
∴0≤2a≤6，3≤a+3≤9，
即3≤c≤9
18．材料一： 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差， 那么我们称这个正整数为 “连续合数”， 如 ， 因此 这三个数都是“连续合数”．
材料二： 对于一个三位自然数， 如果十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和， 则称这个三位数为 “行知数”．例如： 在自然数 231 和 132 中， ， 则 231 和 132 都是“行知数”； 在自然数 396 和 693 中， ， 则 396 和 693 都是 “行知数”．
（1） 请判断： 36 “连续合数”．（填“是”或“不是”）
（2）证明： 任何一个“连续合数”一定是 4 的奇数倍．
（3） 已知三位数 （其中 为整数， 且 ） 既是 “连续合数”， 又是 “行知数”， 求所有符合条件的三位数的值．
【答案】（1）是
（2）证明 ： 设任何一个“连续合数”分成的两个连续偶数为 (其中 表示自然数)， 为自然数，
是奇数，
任何一个“连续合数”一定是 4 的奇数倍．
（3）证明： “连续合数”是 4 的奇数倍， 是 4 的奇数倍，
为奇数．
由题意， 得 ，且 ，
， ， 且 为整数， 或 4． 当 时，
则 或 为奇数，
此时 ；
当 时，
为奇数， 此时 ．
综上所述，所有符合条件的三位数为 132，220 ．
【解析】（1）、由题意得，因此36是“连续合数”.
故答案为：是.
19．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号）
（2）关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围．
【答案】（1）①③
（2）解：解关于的方程，得．
解不等式组，得．
根据“关联方程”的定义，得
解得．
（3）解：解关于的方程，得．
关于的不等式组
解不等式①，得．
解不等式②，得．
根据不等式组有个整数解，可得
解得．
根据“关联方程”的定义，得
解得．
综上所述，．
【解析】(1) ，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为，
① ，解得，故①是不等式组的''关联方程''；
② ，解得，故②不是不等式组的''关联方程''；
③ ，解得，故③是不等式组的''关联方程''.
故答案为：①③.
20．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．
例如，，，，那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
（1）__________，__________；
（2）如果，那么x的取值范围是__________；
（3）如果，那么x的值是__________；
（4）如果，其中，且，求x的值．
【答案】解：（1）4，-7；
（2）；
（3）；
（4）∵，其中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或或或，
当时，有，；
当时，有，；
当时，有，；
当时，有，；
∴或或或．
【解析】（1）根据题意，得，，
故答案为：4，-7；
（2）∵，
∴的取值范围为：，
故答案为：；
（3）∵，
∴，
解得：，
∵是整数，
∴，
故答案为：.
21． 【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时．
【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他．
（1）函数的最大值为 ．
（2）求函数的最小值，并写出取最小值时x的值．
（3）【猜想提升】小明由上述的提出猜想：（当且仅当时取到等号）．
通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题．
设a，b，c是非负实数，求的最小值．
【答案】（1）-4
（2）解：∵，
∴，
∴y有最小值
（3）解：∵，
∵a，b，c是非负实数，
∴，
∴，
∴的最小值为2，
∴的最小值为2．
【解析】（1）
即y≤-4，
故最大值为-4；
故答案为：-4；
22．已知 ，其中a，b，c是常数，且 .
（1）当 时，求a的范围.
（2）当 时，比较b和c的大小.
（3）若当 时， 成立，则 的值是多少？
【答案】（1）解：将 代入不等式得
，解得
（2）解：当 时，
不等式 两边同除以 得
∴
∴
（3）解：当 时，
不等式 两边同除以 得
∴
又∵
∴
∴
23．阅读下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1
又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2．…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组 的解都为非负数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知2a﹣b=1，且，求a+b的取值范围；
（3）已知a﹣b=m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）解：因为关于x、y的方程组 的解都为非负数，
解得： ，
可得： ，
解得：a≥2
（2）解：由2a﹣b=1，
可得： ，
可得： ，
解得：b≥3，
所以a+b≥5
（3）解： ，
所以m+b≥2，
可得： ，
可得：2﹣m≤b≤1，
同理可得：2≤a≤1+m，
所以可得：6﹣m≤2a+b≤3+2m，
最大值为3+2m
24．若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．
例如：不等式被不等式“包含”．
（1）下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ．
A、 B、 C、 D、
（2）若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值．
（3）已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C
（2）解：关于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19。
（3）解：解方程组得
∵，，
∴
解得，
∵k为整数，
∴k的值为，0，1，2；
不等式P：整理得，；
不等式Q：的解集为 ，
∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集为 ，
∴，且，
解得，
∴。
【解析】（1）解：A、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
B、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
C、不等式的解集为，
∴不等式能被不等式“包含”，符合题意
D、不等式组无解，
∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意
故答案为：C。
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