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【尖子生】浙教版2025-2026学年八年级上数学第4章 图形与坐标
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为其中为常数，且，则称点是点的“属派生点”例如，点的“属派生点”为，即若点的“属派生点是点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据新定义，得，解得， ∴Q的坐标为（-2，-1）．
故答案为：C.
2．下列说法中正确的是（ ）
A．(-2，2)与(2，-2)关于x轴对称
B．平行于y轴的直线上所有点的纵坐标都相同
C．若点A(3，-1)，则点A到x轴的距离为1
D．若点Q(a，b)在x轴上，则a=0
【答案】C
【解析】A、(-2，2)与(2，-2)关于原点对称，则本项错误，不符合题意；
B、平行于y轴的直线上所有点的横坐标都相同，则本项错误，不符合题意；
C、若点A（3，-1），则点A到x轴的距离为1；则本项正确，符合题意；
D、若点Q(a，b)在x轴上， 则则本项错误，不符合题意；
故答案为：C.
3．如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、…的位置上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据规律
(0，1)、(2，1)、(3，0)、(3，0)，
(4，1)、(6，1)、(7，0)、(7，0) …
每4个一个循环，可以判断：20204=505，因此在505次循环后与一致，即与相等，坐标应该是(2019，0)
故答案为： A
4．在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】如图，
由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个，x轴正半轴上的点不能成立，因为此时ABC三点共线，不能构成三角形；
以AC、BC为腰的三角形有2个；
以BC、AB为腰的三角形有2个．
则点C的个数是7．
故答案为：D．
5．将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA=90°，∠A=30°，顶点A的坐标为，将△OAB绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知：6次旋转为1个循环，故只需要求出前6次循环对应的A点坐标即可
第一次旋转时：过点作x轴的垂线，垂足为C，如下图所示：
由A的坐标为可知：，，
在中，，
由旋转性质可知：，
，，
，
在与中：
，
，，
此时点A对应坐标为，
当第二次旋转时，如下图所示：
此时A点对应点的坐标为.
当第3次旋转时，第3次的点A对应点与A点中心对称，故坐标为.
当第4次旋转时，第4次的点A对应点与第1次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为.
当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为.
第6次旋转时，与A点重合.
故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为：、、、、、.
由于，故第2023次旋转时，A点的对应点为.
故答案为：A.
6．如图：点在轴上，是轴上的动点，将线段绕点逆时针旋转得线段，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，以AO为边作等边△AOD，连接BD、OC，
∴AD=AO，∠DAO=∠AOD=60°，
由旋转知AC=AB，∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠OAC，
∴△DAB≌△OAC（SAS），
∴BD=OC，
欲求OC的最小值，求BD的最小值即可，
过点D作DH⊥x轴，则DH的长即为BD的最小值，
∵A（0，2）
∴OD=OA=2，
∵∠DOH=∠AOH-∠AOD=30°，
∴DH=OD=1，
∴OC的最小值为1；
故答案为：B.
7．如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接交轴于点，连接，，则的面积为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．25
【答案】C
【解析】过点B作轴于点E，则，
∵点、的坐标分别为、，点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积
．
故答案为：C.
8．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．比如：点P（2，﹣4），Q（1，0），则d（P，Q）=|2﹣1|+|﹣4﹣0|=5，已知Q（2，1），动点P（x，y）满足d（P，Q）=3，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（ ）个．
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】依题意有：
|x﹣2|+|y﹣1|=3，
①x﹣2=±3，y﹣1=0，
解得，；
②x﹣2=±2，y﹣1=±1，
解得，，，；
③x﹣2=±1，y﹣1=±2，
解得，，，；
④x﹣2=0，y﹣1=±3，
解得，．
故满足条件的点P有12个．
故答案为：D
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转后点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点B作HB⊥y轴于点H，如图所示：
由题意得∠BHA=90°，∠HAB=60°，AO=BA=2，
∴∠HBA=30°，
∴HA=1，HO=3，
由勾股定理得，
∴，
∵，，
∴∠BOA=30°，
∴，
∴六次为一个循环，
∵2023=6×337+1，
∴第2023次旋转后点B的坐标为，
故答案为：C
10．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，．在轴上取一点，过点作直线垂直于直线，将关于直线的对称图形记为，当和过点且平行于轴的直线有交点时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，
当直线垂直平分时，和过点且平行于轴的直线有交点，
∵点在第一象限，，，，
∴，，
∴，
∵直线垂直平分，点是直线与轴的交点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴当；
作，交过点且平行于轴的直线与，
当直线垂直平分和过点且平行于轴的直线有交点，
∵，轴，
∴四边形是平行四边形，
∴此时点与轴交点坐标为（，），
由图可知，当关于直线的对称图形为到的过程中，点符合题目中的要求，
∴的取值范围是，
故答案为：D
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个人在直角坐标系上从(－3，-3)走到(3，3)，每次他可以往上走一个单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有 种走法.
【答案】74
【解析】基础标数：
（1）起点(-3，-3)标 “1”（只有 1 种到起点的方法）；
（2）（x=-3）和（y=-3）只能单向走，全标 “1”。
逐点计算（重点标关键位置）：
x\y -3 -2 -1（禁区） 0（禁区） 1（禁区） 2 3
-3 1 1 1 1 1 1 1
-2 1 2 3 4 5 6 7
-1 1 3 0 0 0 6 13
0 1 4 0 0 0 6 19
1 1 5 0 0 0 6 25
2 1 6 6 6 6 12 37
3 1 7 13 19 25 37 74
结果：终点(3，3)的走法数为 74。
故填：74.
12．在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“最距等点”．例如：点，互为“最距等点”；点，互为“最距等点”．已知点与点互为“最距等点”，则n的值为 ．
【答案】2
【解析】∵点与点互为“最距等点”，
∴=或=或=或=，
当=时，
∴2-n=n+1或2-n=-（n+1），
解得n=，
∴P（，0），Q（，-2），不符合题意，舍去；
当=时，
∴2-n=2n-3或2-n=3-2n，
解得n=或n=1，
∴P（，），Q（，）或P（1，-1），Q（2，-1）不符合题意，舍去；
当=，
∴-2n+1=n+1或-2n+1=-n-1，
解得n=0或n=2，
∴P（2，1），Q（1，-3）不符合题意，舍去或P（0，-3），Q（3，1）符合题意；
当=时，
∴-2n+1=2n-3，
解得n=1或方程无解，
∴P（1，-1），Q（2，-1）不符合题意，舍去，
综上所述：n=2.
故答案为：2.
13．如图，平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），BC∥y轴，且BC＜OA，第一象限内有一点P（a，2a-3），若使△ACP是以AC斜边的等腰直角三角形，则点P的坐标为 ．
【答案】（，）．
【解析】∵点P的坐标为（a，2a-3），
∴点P在直线y=2x-3上，
如图所示，当点P在AC的上方时，过P作y轴的垂线，垂足为D，交BC的延长线于E，
则∠E=∠ADP=90°，
∵△ACP是以AC为斜边的等腰直角三角形，
∴AP=PC，∠APD=∠PCE，
∴△APD≌△PCE，
∴PE=AD，
又∵OD=2a-3，AO=3，
∴AD=2a-6=PE，
∵DE=OB=4，DP=a，
又∵DP+PE=DE，
∴a+（2a-6）=4，
解得a=
∴2a-3=，
∴P（，）；
当点P在AC下方时，过P作y轴的垂线，垂足为D，交BC于E，
a=2，
此时，CE=2，BE=2，
即BC=2+2=4＞AO，不合题意；
综上所述，点P的坐标为P（，）
故答案为P（，）．
14．在平面直角坐标系中，有点A(2，1)和点B，若点B在x轴上方，且△AOB为等腰直角三角形，则点B的坐标为
【答案】或
【解析】如图，
当时，结合方格可得B点坐标为（1，3）；
当时，结合方格可得B点坐标为（-1，2）；
OA为斜边时，B点坐标为.
综上所述： 点B的坐标为或.
故答案为：或.
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，），B（，0），C是线段AB的中点，D是x轴上的一个动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE，其中∠DAE=90°，连结CE．当CE为最小值时，此时△ACE的面积是 ．
【答案】
【解析】如图，把线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到AC'，连接C'D，过C'作C'M⊥AO于M．
∵OA=OB=，
∴∠OAB=45°，AB= =2，
∴AC=AB=1，∴AC'=AC=1．
∵∠C'AC=90°，
∴∠C'AM=90°－45°=45°，
∴△C'MA为等腰直角三角形，∴C'M=AM=，
∴OM=OA-AM=，∴C'（），
∴C'为定点．
在△ACE和△AC'D中，
，
∴△ACE≌△AC'D（SAS），
∴C'D=CE．
当C'D⊥OD时，C'D最小，CE最小值为，此时△ACE面积等于△AC'D．
故答案为．
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点与点关于轴对称，连接，在边上取一点，在的延长线上取一点，并且满足，连接交边于点，过点作的垂线交轴于点，则点的坐标为
【答案】
【解析】过点作交于点，连接、，
，
点与点关于轴对称，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
垂直平分，
，
设，
，，，
，
，
，
点坐标为，点坐标为，
设，
，
解得，
点坐标为，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17． 【定义阅读】在平面直角坐标系中，将点经过变换后得到点，其中，，为常数，且，把这种变换称为“变换”，记作．例如，当时，点经过变换得．
（1）【基础应用】已知，求的值；
（2）【拓展提升】已知点、、经过变换的对应点分别是、、．若轴，点在轴上，求的面积．
【答案】（1）解：由题意得，解得．
．
（2）解：由题意得，解得．
代入点得，即；
代入点得，即．
轴，，解得；
点在轴上，，解得．
．
18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点 B在x轴的正半轴上，点A在y轴正半轴上，的面积为4，且．
（1）求点 B 的坐标；
（2）过点A作的垂线，点C在直线的下方垂直y轴于点D，当时，求点C的坐标；
（3）在（2）条件下，连接，点E为中点，求长度．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：连接并延长交于点F，
∵，
∴，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
过点E作于H，
∴，，
∴，
∴，
过点E作于K，
∵，，，
∴，
∴．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和点点，其中点、点的坐标分别为、，且、满足．
（1）求、两点的坐标．
（2）将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点，连接、，若点在轴上，使，求点的坐标．
（3）在（2）问条件下，点是直线上的一点，连接，作点关于直线的对称点，当点恰好落在轴上时，求的长度．
【答案】（1）解：且、满足
，，
，，
、；
（2）点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点，
如图所示，过点，作轴于点，
，
，点在轴上，
，
，
，
点纵坐标为：，或，
点坐标为或；
（3）解：∵、，
∴，
当落在点的右侧时，如图所示，
∵点与点关于直线对称，
∴，直线垂直平分，
∵、
∴，
∵直线垂直平分
∴，
设，则，
在中，
∴
解得：
∴
∵
∴；
当落在点的左侧时，如图所示，
同理可得，
，，
设，
∴
解得：
∴，
∴．
综上可得，CM的长为或.
20．在平面直角坐标系中，，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E．
（1）如图①，若，求点E的坐标；
（2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变，连接，求证：平分；
（3）若点C在x轴正半轴上运动，当时，求的度数．
【答案】（1）解：如图1，
，，
，
，，
，
∵，，
．
在和中，，
，
，
点坐标为，
，
；
（2）证明：如图2，
过作于，于，
由（1）知，，
，，
，
，
又，，
平分；
（3）解：如图3，在上截取，连接，
又，，
，
，，
，，
∴，
，
，
又，
，
，
，
．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段先向下平移4个单位再向左平移5个单位后对应的线段为，点在轴的负半轴上．
（1）直接写出点，的坐标；
（2）如图（1），求的面积；
（3）如图（2），，与的角平分线相交于点，求．
【答案】（1），；
（2）解：如图（1）连接，
∴
；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
又，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
如图（2），过点作，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即．
【解析】
解：（1）∵点，，
∴将线段先向下平移4个单位再向左平移5个单位后得，；
故答案为：，；
22．在平面直角坐标系中， ， 如果 ， 那么称点 是点 的 阶 "生长点". 例如： 点 (1-2)， 点 是点 的 2 阶 "生长点".如图， 已知点 .
（1） 点 是点 的 阶 "生长点"；
（2） 已知点 是点 的 2 阶 "生长点"，点 是点 的 3 阶 "生长点".
①若三角形 的面积为 4 ， 求点 的坐标；
②若 ， 求 的值；
（3） 若点 是点 的 1 阶 "生长点"， 点 是点 的 阶 "生长点"， 当 时总有 ， 则 的取值范围为 (第 24 题)
【答案】（1）解：∵A（1，2），B（2，0），
∴0-2=m（2-1），
解得：m=-2，
（2）解：①∵点C（b，y1）是点A的2阶“生长点”，点D（b，y2）是点B的3阶“生长点”，
∴y1-2=2×（b-1），y2-0=3×（b-2），
∴y1=2b，y2=3b-6，
∴C （b，2b），D（b，3b-6），
∵△OBC的面积为4，
∴×2×|2b|=4，
解得：b=±2，
∴C的坐标为（2，4）或（-2，-4）
②∵CD=1，
∴|2b-（3b-6）|=1，
解得：b=7或5
（3）解：∵点C（b，y1）是点B的1阶“生长点”，点D（b，y2）是点O的m阶“生长点”，
∴y1-0=1×（b-2），y2-0=m（b-0），
∴y1=b-2，y2=mb，
当时，mb>b-2，∴（m-1）b>-2，
①当m=1时，不等式左侧恒大于右侧，成立；
②当m>1时，m-1>0，b>，
∵当b>-1时，总有，
∴≤-1，
∴1综上所述，当1≤m≤3时，不等式恒成立
23．在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．根据所给定义解决下列问题：
（1）若点，，，则这三点“水平底”a的值为 ；
（2）若点，，，求这三点的“矩面积”；
（3）若点，，三点的“矩面积”为9，求点F的坐标．
【答案】（1）4
（2）解：依题意有：“水平底”，
“铅锤高”，
“矩面积”
（3）解：依题意有：“水平底”
①当时，，
，
点
②当时，，
此时，这种情况不符合题意；
③当时，，
，
点
综合以上点．
【解析】（1） 点，，，
“水平底”.
故答案为：4.
24．如图，在中，，，点在第一象限，点在轴的负半轴上，交轴于，交轴于，，点在轴上，且在点的上方．
（1）如图1，求证：平分；
（2）如图2，连接，求证：；
（3）直接写出点的坐标 （用含的式子表示）．
【答案】（1）解：证明：设∠AED＝x，则∠ODE＝2x.
在Rt△ADE中，∠ADE＝90 x，
∴∠ADF＝180° ∠ODE ∠ADE＝180° 2x （90° x）
＝90° x＝∠ADE，
∴DA平分∠EDF.
（2）解：作AM⊥DE于M，AN⊥y轴于N，作AG⊥x轴于G，交DE于点P，如图所示：
∵A（m，m＋1），
∴AN＝OG＝m，
∵DA平分∠EDF，
∴AM＝AN＝m，
∵AG∥y轴，
∴∠APD＝∠ODE＝2∠AED，
∵∠APD＝∠AED＋∠PAE，
∴∠AED＝∠PAE，
∴PA＝PE，
∴△PMA≌△PGE（AAS），
∴AM＝EG，
∴EG＝AN＝OG＝m，
∵AG⊥OE，
∴AG垂直平分OE，
∴AO＝AE.
（3）
【解析】（3）作AN⊥y轴于N，AG⊥x轴于G，过C作CH⊥AG于H，如图所示：
∴∠AHC＝∠BGA＝90°，
∴∠GBA＋∠BAG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAH＋∠BAG＝90°，
∴∠HAC＝∠GBA．
∵A（m，m＋1），
∴AN＝OG＝m，AG＝m＋1，OG＝GE＝m，
∵AB＝AC，
∴△AHC≌△BGA（AAS），
∴CH＝AG＝m＋1，
∵S△AHC＝S△AGE＋S梯形GHCE，
∴AH×CH＝AG×GE＋（EG＋HC）×GH，
∴（m＋1＋GH）（m＋1）＝（m＋1）m＋（m＋m＋l）×GH，
∴GH＝，∴C（2m＋1，），
故答案为：（2m＋1，）．
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【尖子生】浙教版2025-2026学年八年级上数学第4章 图形与坐标
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为其中为常数，且，则称点是点的“属派生点”例如，点的“属派生点”为，即若点的“属派生点是点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．(-2，2)与(2，-2)关于x轴对称 B．平行于y轴的直线上所有点的纵坐标都相同
C．若点A(3，-1)，则点A到x轴的距离为1 D．若点Q(a，b)在x轴上，则a=0
3．如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、…的位置上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（第3题） （第5题） （第6题） （第7题） （第9题） （第10题）
4．在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
5．将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA=90°，∠A=30°，顶点A的坐标为，将△OAB绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图：点在轴上，是轴上的动点，将线段绕点逆时针旋转得线段，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接交轴于点，连接，，则的面积为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．25
8．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．比如：点P（2，﹣4），Q（1，0），则d（P，Q）=|2﹣1|+|﹣4﹣0|=5，已知Q（2，1），动点P（x，y）满足d（P，Q）=3，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（ ）个．
A．4 B．8 C．10 D．12
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转后点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，．在轴上取一点，过点作直线垂直于直线，将关于直线的对称图形记为，当和过点且平行于轴的直线有交点时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个人在直角坐标系上从(－3，-3)走到(3，3)，每次他可以往上走一个单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有 种走法.
12．在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“最距等点”．例如：点，互为“最距等点”；点，互为“最距等点”．已知点与点互为“最距等点”，则n的值为 ．
13．如图，平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），BC∥y轴，且BC＜OA，第一象限内有一点P（a，2a-3），若使△ACP是以AC斜边的等腰直角三角形，则点P的坐标为 ．
（第13题） （第15题） （第16题）
14．在平面直角坐标系中，有点A(2，1)和点B，若点B在x轴上方，且△AOB为等腰直角三角形，则点B的坐标为
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，），B（，0），C是线段AB的中点，D是x轴上的一个动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE，其中∠DAE=90°，连结CE．当CE为最小值时，此时△ACE的面积是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点与点关于轴对称，连接，在边上取一点，在的延长线上取一点，并且满足，连接交边于点，过点作的垂线交轴于点，则点的坐标为
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17． 【定义阅读】在平面直角坐标系中，将点经过变换后得到点，其中，，为常数，且，把这种变换称为“变换”，记作．例如，当时，点经过变换得．
（1）【基础应用】已知，求的值；
（2）【拓展提升】已知点、、经过变换的对应点分别是、、．若轴，点在轴上，求的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点 B在x轴的正半轴上，点A在y轴正半轴上，的面积为4，且．
（1）求点 B 的坐标；
（2）过点A作的垂线，点C在直线的下方垂直y轴于点D，当时，求点C的坐标；
（3）在（2）条件下，连接，点E为中点，求长度．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和点点，其中点、点的坐标分别为、，且、满足．
（1）求、两点的坐标．
（2）将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点，连接、，若点在轴上，使，求点的坐标．
（3）在（2）问条件下，点是直线上的一点，连接，作点关于直线的对称点，当点恰好落在轴上时，求的长度．
20．在平面直角坐标系中，，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E．
（1）如图①，若，求点E的坐标；
（2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变，连接，求证：平分；
（3）若点C在x轴正半轴上运动，当时，求的度数．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段先向下平移4个单位再向左平移5个单位后对应的线段为，点在轴的负半轴上．
（1）直接写出点，的坐标；
（2）如图（1），求的面积；
（3）如图（2），，与的角平分线相交于点，求．
22．在平面直角坐标系中， ， 如果 ， 那么称点 是点 的 阶 "生长点". 例如： 点 (1-2)， 点 是点 的 2 阶 "生长点".如图， 已知点 .
（1） 点 是点 的 阶 "生长点"；
（2） 已知点 是点 的 2 阶 "生长点"，点 是点 的 3 阶 "生长点".
①若三角形 的面积为 4 ， 求点 的坐标；
②若 ， 求 的值；
（3） 若点 是点 的 1 阶 "生长点"， 点 是点 的 阶 "生长点"， 当 时总有 ， 则 的取值范围为 (第 24 题)
23．在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．根据所给定义解决下列问题：
（1）若点，，，则这三点“水平底”a的值为 ；
（2）若点，，，求这三点的“矩面积”；
（3）若点，，三点的“矩面积”为9，求点F的坐标．
24．如图，在中，，，点在第一象限，点在轴的负半轴上，交轴于，交轴于，，点在轴上，且在点的上方．
（1）如图1，求证：平分；
（2）如图2，连接，求证：；
（3）直接写出点的坐标 （用含的式子表示）．
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