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【尖子生】浙教版2025-2026学年八年级上数学第2章 特殊三角形
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在中，，，平分，交的延长线于，为垂足，则结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②，③若，则；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．四边形的面积为64，．则的长是（ ）
A．8 B． C． D．6
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
7．如图，在四边形中，平分于点，则面积的最大值为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
8．如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，等腰Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD=AE，BE 和CD 交于点N，AF⊥BE，FG⊥CD 交 BE 的延长线于点 G.下列说法：①∠ABE=∠FAC；②AN 垂直平分BC；③GE=GM；④BG=AF+FG，其中正确的个数是( ).
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在中，，从点射出的光线经过、反射恰好回到点，根据光的反射性质，有，，连结．若，以下结论正确的是：①，②，③，④平分．
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=30°，三角形内有一点P，连接AP，BP，CP，若BP平分∠ABC，，则∠PAC= .
12．等腰直角中，，若点为边，上动点，且，则的最小值为 ．
13．如图，在中，，，为外一点，连接，，，发现，且，则 ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥BD.若 ，则线段AB 的长为 .
15．如图，已知为等边三角形，边长为，点分别是过上的动点，点从点开始沿射线方向运动，同时点从点开始沿射线方向运动，点运动速度始终是点运动速度的倍，以为边向右侧作等边三角形．点是边的中点，连接，则的最小值为 ．
16．如图，在四边形中，对角线，为上一点，连结交于点，，已知，且．
（1）则的长是 ；
（2）若，且，则 ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图1，ΔABC和ΔCDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为ΔABC外一点，AB>2CD，A，C，E三点不共线，连结AD，AE，BD，BE，AE与BD交于点F
（1）求证：AE=BD；
（2）当AD2+2CD2=BD2时，求∠ADC的度数；
（3）如图2，当BC∥DE时，CD=，AC=3，求四边形△BED的面积.
18．【思维启迪】
（1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为________，位置关系为________．
【思维应用】
（2）如图2，在中，，点为内一点，连接，，延长到点，使，连接，若，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
【思维探索】
（3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长．
19．如图，在等腰直角三角形中，，，点在边上，作于点，连接、．
（1）如图1，若平分，求证：垂直平分．
（2）如图2，点是的中点，直线交于点，连接，
①求证：是等腰直角三角形．
②若，，求的长度．
20．（1）【问题提出】如图，在和，已知，，三点在一条直线上，，，则的长度为 ．
（2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积．
（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为 ．
21．如图，在中，，为上一点，连接，将沿折叠，点的对应点为，连接，，与交于点，与交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，探究与的数量关系，并说明理由；
（3）若，，求的长．
22．如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE．
（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于M．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．
（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于M，BN⊥AE于N，，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．
23．在中，，．点是所在平面内一点，且．
图1 图2 图3
（1）如图1，当点在边上，求证；
（2）如图2，当点在外部，连接，若，，求线段的长；
（3）如图3，当点在内部，连接，若，，求点到的距离．
24．在平面内，对于一个等腰三角形，若存在一个点到一条腰两端点的距离相等，且到三角形第三个顶点的距离等于腰长，则我们称这个点为等腰三角形的“双合点”．如图1，在等腰中，，且，则点为等腰的“双合点”．
（1）如图2，在等腰中，，请用无刻度的直尺和圆规作出该等腰三角形的一个“双合点”（保留作图痕迹）；
（2）在等腰中，，
①如图3，当“双合点”恰好在边上时，且满足，求度数；②当“双合点”在边的延长线上时，则___________；
（3）如图4，在等腰中，，，为内一点，连接，，当时，求证：点为等腰的“双合点”．
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【尖子生】浙教版2025-2026学年八年级上数学第2章 特殊三角形
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在中，，，平分，交的延长线于，为垂足，则结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】，
，
平分，
，
在与中，
，
，
，故①正确．
②①中，
，故②正确．
③①中
，
在中，
，
，
，
，
即，故③正确．
④由③可知，，
易知，
若，则有，
则有，则可得为等边三角形，
这与①中的矛盾，故④错误．
⑤由③可知，，
，故⑤正确．
四项正确，
故答案为：D．
2．如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②，③若，则；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】①在中，，
∴，
∵平分平分，
∴，，
∴，故①正确；
②当是的中线时，，故②错误；
③ 如图，延长CE至G，使GE=CE，连接BG，
∵AB=2AE，
∴AE=BE，
∵∠AEC=∠BEG，
∴△ACE≌△BGE（SAS），
∴∠ACE=∠G，CE=GE，
∵CE为角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠BCE=∠G，
∴BC=BG，
∵BC=AC，
∴BE⊥CE，故③正确；
④如图，作的平分线交于点，
由①得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
⑤过作，于点，
由④知，为的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，故⑤正确．
综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C．
3．如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过作交于，交于，交于，连接，则，
∵和的角平分线交于点，
∴，
∴平分，，，
∴，，
∴的周长，
∵等边，
∴，，
设，
∵平分，，
∴，
在中，，则，
∴，
同理可得，，
∴的周长，
∵的周长，
∴的周长是的周长的两倍，
∴若要知道的周长，只需要知道的周长，
故选：B．
4．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】①∵是的中线，
∴，
∴和等底同高，
∴．
∴结论正确；
②∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
∴结论正确；
③连接，如图：
∵是高，是中线，
∴点是斜边上的中点，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
假设成立
∴，
此时，
根据已知条件不能确定，
因此假设不成立．
∴结论不正确；
④∵，是角平分线，是高，
∴，，，
∴，
即．
∴结论正确；
综上可得，错误的结论是③．
故答案为：C．
5．如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．四边形的面积为64，．则的长是（ ）
A．8 B． C． D．6
【答案】A
【解析】如图，过点作于点，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
，，
∴∠AFG=∠AHG=90°，
在和中，
，
∴S△AFG=S△AHG，
同理：，
，
，
，
，
故答案为：．
6．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
【答案】C
【解析】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD S△AOE＝S△ADB S△ABE＝S△ADH S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝4.5．
故答案为：C
7．如图，在四边形中，平分于点，则面积的最大值为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
【答案】B
【解析】分别延长BA与CD交于点G，过点G作交AC的延长线于点H，如图，
平分
BC=BG，CD=GD(等腰三角形“三线合一”性质)，
，
AG=2，
，
当点A、H重合时，GH最大，最大值为2，
故答案为：B.
8．如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，
结论（2）正确，符合题意；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
结论（1）正确，符合题意；
过点作于，作于，连接，如图：
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
∴结论（3）正确，符合题意；
又，OM=ON=OD=m，
=
=
，
结论（4）错误，不符合题意；
故正确的结论有3个，
故答案为：C．
9．如图，等腰Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD=AE，BE 和CD 交于点N，AF⊥BE，FG⊥CD 交 BE 的延长线于点 G.下列说法：①∠ABE=∠FAC；②AN 垂直平分BC；③GE=GM；④BG=AF+FG，其中正确的个数是( ).
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵AF⊥BE
∴∠ABE+∠BAF=90°
∵∠BAC=90°
∴∠ABE+∠FAC=90°
∴∠ABE=∠FAC
故①正确
如图，连接AN
∵ △ABC为等腰直角三角形，
∴AC=AB，∠BAC=90°.
∵AD=AE，∠BAC=∠BAC，AC=AB.
∴Rt△ABE≌Rt△ACD (SAS)，
∴∠ABE=∠ACD， AC=AB.
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠CBN=∠BCN，
BN=CN，
又∵AB=AC，
∴AN垂直平分BC，
故②正确；
∵Rt△ABE≌Rt△ACD，
∴∠BEA=∠ADC，
又∵GF⊥DC，
∴∠FMC+∠DCM=90°，而∠ADC+∠DCM=90°
∴∠AEB=∠FMC，
∴∠GEM=∠GME.
∴GE=GM，
故③正确
如上图，过G作GH⊥BC于K，交AF的延长于点H，连BH.
∵CD⊥FG，AF⊥BG
∴∠GFC+∠BCN=90°，∠CBN+∠BFA=90°，
∴∠GFC=∠AFB.
∴∠GFC=∠HFK，
在△GFK和△HFK中，
∴△GFK≌△HFK(SAS)，
∴GK=KH， GF=FH，
∴AF+FG= AF+FH= AH
∵GK=KH， GH⊥BC
∴BG= BH，
又∵BC⊥GH.
∴∠GBC=∠HBC=∠BCD
∵∠ABC+ ∠ACB=90°，
∴∠ABC+ ∠BCD=90°-∠ACD
∴∠ABC+∠GBC=∠ABC+∠HBC=∠ABH=90°-∠ACD
∵∠BAH= 90°- ∠FAC，∠ABE=∠CAF=∠ACD .∠ABH=∠BAH
∴AH= BH，
∴BG= AH= AF+ FG，
故④正确，
故答案为：D .
10．如图，在中，，从点射出的光线经过、反射恰好回到点，根据光的反射性质，有，，连结．若，以下结论正确的是：①，②，③，④平分．
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【解析】设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∴，，
假设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，此时与重合，不符合题意，
故②错误；
如图，作交延长线于，过作交于，交延长线于，则，，
∵，，，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
故④正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵中，，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，
综上所述，正确的有①③④．
故选：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=30°，三角形内有一点P，连接AP，BP，CP，若BP平分∠ABC，，则∠PAC= .
【答案】80°
【解析】如图，延长BA到点H，使BC=BH，连接CH、HP，
∵∠ABC=40°，∠ACB=30°，
∴∠CAH=∠ABC+∠ACB=70°，
∵∠ABC=40°，BC=BH，
∴∠BCH=∠BHC=(180°-∠ABC)=70°，
∴∠CHA=∠HAC=70°，
∴CA=CH，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
在△BPH与△BPC中，
∵BH=BC，∠ABP=∠CBP，BP=BP，
∴△BPH≌△BPC（SAS），
∴PH=PC，
∵∠ACB=30°，∠BCP=∠ACB，
∴∠BCP=10°，
∴∠HCP=∠HCB-∠BCP=70°-10°=60°，∠ACP=∠ACB-∠BCP=20°，
∴△PHC是等边三角形，
∴CH=CP=CA，
∴∠PAC=(180°-∠ACP)=80°.
故答案为：80°.
12．等腰直角中，，若点为边，上动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】过A作，且，连接，，
则，又，
∴，
∴，
∴，当C、F、P共线时取等号，
则最小值为的长度，
过C作交延长线于Q，
则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
由得，
在中，，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
13．如图，在中，，，为外一点，连接，，，发现，且，则 ．
【答案】6
【解析】如图，过点作，使，连接、
，
，，
，
，
，
在和中，，
，
．
，，
．
，
．
故答案为：6．
14．如图，在四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥BD.若 ，则线段AB 的长为 .
【答案】
【解析】过点C作CE⊥CD交AD于E，BC与AD的交点记作点F，
∴∠ECD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠AFC+∠CAE=90°
∵∠AFC=∠DFB，
∴∠DFB+∠CAE=90°
∵∠ADB=90°，
∴∠DFB+∠CBD=90°，
∴∠CAE=∠CBD，
∴△ACE≌△BCD(ASA)，
∴AE=BD，CE=CD，
在Rt△DCE中，，
∴，
∵BD=2，
∴AE=2，
∴AD=AE+DE=2+8=10，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，
，
故答案为：.
15．如图，已知为等边三角形，边长为，点分别是过上的动点，点从点开始沿射线方向运动，同时点从点开始沿射线方向运动，点运动速度始终是点运动速度的倍，以为边向右侧作等边三角形．点是边的中点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】解：∵点运动速度始终是点运动速度的倍，∴设，则，，
如图，在上截取，连接，，
则，，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
作射线，如图所示，
在中，，，，
取的中点，连接，
则，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
即：点在的角平分线上运动，
如图所示，作于，此时，最小，
∵是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
16．如图，在四边形中，对角线，为上一点，连结交于点，，已知，且．
（1）则的长是 ；
（2）若，且，则 ．
【答案】（1）10
（2）6
【解析】（1）延长交的延长线于点H，
，
，
，
∴，
，即是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，，
∴，
，
，
，
在中，，
即，
；
故答案为：10；
（2），，
，
，，
，
在和中，，
，
，
设，则，
，
解得：，
．
故答案为：6．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图1，ΔABC和ΔCDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为ΔABC外一点，AB>2CD，A，C，E三点不共线，连结AD，AE，BD，BE，AE与BD交于点F
（1）求证：AE=BD；
（2）当AD2+2CD2=BD2时，求∠ADC的度数；
（3）如图2，当BC∥DE时，CD=，AC=3，求四边形△BED的面积.
【答案】（1）解：由题意可得，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE
∴∠ACE= ∠BCD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD
（2）解：∵△CDE是等腰直角三角形，
∴△ADE 是直角三角形，∠ADE=90°，
∴∠ADC=∠ADE-∠CDE=90°-45°=45°
（3）解：过点D作DG⊥BC于点G，AE与BC相交于点H
由题意可得，AC=BC=3，∠CED=45°，
∵BC∥DE，
∴∠BCE=∠CED=45°
∴∠DCG=180°-∠DCE-∠BCE
=180°-90°-45°=45°
∴∠CDG=45°，
∴CG=DG，
在 Rt△CDG中，根据勾股定理可得CG=DG=1，
∴BG=BC+CG=3+1=4，
在Rt△BDG中，
∴AE=BD=，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE= ∠CBD，
∵∠AHC= ∠BHF，
∴∠ACH=∠BFH=90°
∴
=
18．【思维启迪】
（1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为________，位置关系为________．
【思维应用】
（2）如图2，在中，，点为内一点，连接，，延长到点，使，连接，若，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
【思维探索】
（3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长．
【答案】解：（1）相等，平行；
（2）延长至点F，使得，连接，
∵，即，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴；
（3）的长为或．
【解析】（1）由题意得，
∵，
∴，
∴AC=BE，∠CAD=∠E，
∴，
故答案为：相等，平行；
（3）当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G，
同上可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理求得，
∴，
∴中，由勾股定理求得，
∴；
当点在延长线上时，构造上述辅助线，
同上可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理求得，
∴，
∴中，由勾股定理求得，
∴，
综上所述，的长为或．
19．如图，在等腰直角三角形中，，，点在边上，作于点，连接、．
（1）如图1，若平分，求证：垂直平分．
（2）如图2，点是的中点，直线交于点，连接，
①求证：是等腰直角三角形．
②若，，求的长度．
【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵平分，，，
∴，
∴点P在线段AQ的垂直平分线上，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∴点B在线段AQ的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线；
（2）证明：①∵，，
∴，
∵，，点是的中点，
∴，，
，
∴，，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
②如图，过作，且，连接，，
∴，
∵∠BAM=∠QAM-∠BAQ，∠CAQ=∠BAC-∠BAQ，
∴，
又∵，AM=AQ，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴（SAS)，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（1）【问题提出】如图，在和，已知，，三点在一条直线上，，，则的长度为 ．
（2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积．
（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为 ．
【答案】（）；
（）如图，过作交延长线于，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（）．
【解析】（）∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（）如图，过作于，过作交延长线于，
∵面积为，且的长为，∴，
∴，
∵，，∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴河流另一边森林公园的面积为，
故答案为：．
21．如图，在中，，为上一点，连接，将沿折叠，点的对应点为，连接，，与交于点，与交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，探究与的数量关系，并说明理由；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是直角三角形，
∴，
∵
∴
∴
∴
（2）理由如下：
如图
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵是沿折叠得到，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：过点作交于点，
∵，
∴点为的中点，
∴，
∵，
∴点为的中点，
∴，
∴，
由折叠可得，，，
∴，
∴，
∴
22．如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE．
（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于M．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．
（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于M，BN⊥AE于N，，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE
（2）解：设AE交BC于点H，如图2，
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，
∵∠AHC＝∠BHE，
∴∠AEB＝∠ACH＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵CM⊥DE，
∴CM＝DM＝ME＝7，
∴DE＝2CM＝14，
∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝26
（3）AE＝2a+2b
【解析】（3）AE＝2a+2b；理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，
∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD＝90°，DM＝EM．
在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，
∴CD＝2CM＝2b，
∴DM＝＝b，
∴DE＝2DM＝2b．
∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，
∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．
在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，
∴∠NBE＝90°﹣∠BEN＝30°，
∴BE＝2NE，
∴BN＝＝NE＝a，
∴NE＝a，
∴BE＝2a．
∵AD＝BE，AE＝AD+DE，
∴AE＝BE+DE＝2a+2b
故答案为：AE＝2a+2b.
23．在中，，．点是所在平面内一点，且．
图1 图2 图3
（1）如图1，当点在边上，求证；
（2）如图2，当点在外部，连接，若，，求线段的长；
（3）如图3，当点在内部，连接，若，，求点到的距离．
【答案】（1）解：连接，
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
（2）解：过点作交，垂足为点，
∵
∴（三线合一）
∵
∴
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
在中，
∴
∴
（3）解：过点作，垂足为点，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴，
∵，，
∴
∴
∴
∴
∴
在中，
∴
∴
设点到的距离为
∴
∴即
即点到的距离为
24．在平面内，对于一个等腰三角形，若存在一个点到一条腰两端点的距离相等，且到三角形第三个顶点的距离等于腰长，则我们称这个点为等腰三角形的“双合点”．如图1，在等腰中，，且，则点为等腰的“双合点”．
（1）如图2，在等腰中，，请用无刻度的直尺和圆规作出该等腰三角形的一个“双合点”（保留作图痕迹）；
（2）在等腰中，，
①如图3，当“双合点”恰好在边上时，且满足，求度数；②当“双合点”在边的延长线上时，则___________；
（3）如图4，在等腰中，，，为内一点，连接，，当时，求证：点为等腰的“双合点”．
【答案】（1）解：如图2，点P即为等腰三角形的一个“双合点”；
（2）解：当“双合点”P在边BC的延长线上时，如图4，
∴AP=BP，AC=CP，
∴∠B=∠BAP，∠CAP=∠APC，
∵∠ACB=∠CAP+∠APC，
∴∠ACB=2∠CAP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，∠B=∠ACB=∠BAP=2∠CAP=∠CAP+∠BAC，
∴∠BAC=∠CAP，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°.
（3）证明：如图5，过点B作BH⊥AQ于H，过点Q作QG⊥BC于G，过点C作CD⊥AQ于D，连接CQ，
∴∠BAC =90°，∠CAQ =15°，
∴∠BAQ=90°-15°=75°，
∵AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠CBQ = 15°，
∴∠ABQ =30°，
∴∠AQB=180°-75°-30°= 75°，
∴∠BAQ=∠AQB，
∴AB= BQ，
∵BH⊥AQ，
∴AH=QH，
∴∠ABH=∠HBQ = 15°
∴∠HBQ=∠QBG =15°
∴HQ = QG，
∵AB= AC，AB=BQ，
∴BQ =AC，
∵∠CAD=∠QBG=15°，∠D=∠BGQ =90°，
∴△ADC≌△BGQ(AAS)
∴CD=QG=HQ，
∵CQ=QC，
∴Rt△CDQ≌Rt△QGC (HL)，
∴∠CQD=∠QCG，
∵∠AOB=∠CAO+∠ACB=15°+45°=60°，∠AOB=∠OCQ+∠OQC，
∴∠OCQ=∠OQC=30°，
∵∠D = 90°，
∴，
∵，
∴CD =QH，
∴AQ=CQ
∴点Q为等腰△ABC的“双合点”.
【解析】（2）②如图3，设∠B=x，
∵“双合点”P恰好在边BC上，
∴AP=PB，
∴∠B=∠BAP=x，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=x，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠APC=2x，
∵AC=PC，
∴∠CAP=∠APC=2x，
△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴x+3x+x=180°，
∴x=36°，
∴∠A=3x=3×36°=108°.
故答案为：108°.
（3）解：将沿翻折，得，
则，
∴，
∴四边形是正方形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点为等腰的“双合点”．
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