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【尖子生】浙教版2025-2026学年八年级上数学第5章 一次函数
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若点 、 是一次函数 图象上不同的两点，记 ，当 时，a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论中正确的结论有（ ）
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后1.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t＝或．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题） （第7题）
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，当四边形的周长最小时，m的值是（ ）
A． B． C．1 D．
5．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（ ， ） B．（3，3）
C．（ ， ） D．（ ， ）
6．如图，等腰，，点是的中点，点为线段上一动点，连结、．设，的面积为，若关于的函数表达式为，则的长度为（ ）
A． B．5 C． D．
7．已知，如图，直线AB：y=kx-k-4，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线CD.y=-2x+2与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点E（a，-a）；点M是y轴上一动点，连接ME，将△AEM沿ME翻折，A点对应点刚好落在x轴负半轴上，则ME所在直线解析式为（ ）
A．y＝x﹣ B．y＝2x﹣6 C．y＝x﹣ D．y＝x﹣
8．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（ ）
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
9．如图所示，直线y=x+3分别与x轴、y轴交于点A、B，若∠ABC=45°，则直线BC的函数表达式为（ ）
A．y=x+3 B．y=x+3 C．y=x+3 D．y=x+3
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，，点A的坐标为，若直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（第8题） （第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知，直线与x轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作x轴的平行线与直线l交于点，与y轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形…，则点的横坐标为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别与x轴，y轴交于A，B两点，若C为y轴上一动点，则2AC+BC的最小值为 .
13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是直线上的一个动点，若，则点P的坐标是 ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将沿着翻折得，若点落在第四象限，且，则点的坐标为 ．
15．平面直角坐标系中，，，A为x轴上一动点，连接，将绕A点顺时针旋转得到，当点A在x轴上运动，取最小值时，点B的坐标为 ．
16．如图，直线与x轴和y轴分别交与A，B两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以A，C，D为顶点的三角形与全等，则的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．
（1） 数学思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，，，若点A恰好落在点(2，3)处. 则：①OA的长为 ；②点B的坐标为 ；
（2） 感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图2放置，直角顶点C(-2，0)，点A(0，5)，求直线AB的函数解析式；
（3） 拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，点B(5，4)，过点B作轴，垂足为点A，过点B作轴，垂足为点C，点P是线段BC上的一个动点，点Q是直线上一动点. 当是以点P为直角顶点的等腰三角形时，求点P的坐标.
18．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于，两点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）是直线上一动点，且的面积是的面积的2倍，求点P坐标；
（3）如图2，在直线l：上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
19．杭州的夏季到了，某服装店同时购进，两款夏装共套，进价和售价如下表所示，设购进款夏装套（为正整数），该服装店售完全部，两款夏装获得的总利润为元．
夏装款式 款 款
每套进价（单位：元）
每套售价（单位：元）
（1）求与的函数关系式；
（2）该服装店计划投入不多于万元购进这两款夏装，则至少购进多少套款夏装？若，两款夏装全部售完，则服装店可获得的最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，服装店购进款夏装的进价降低元（其中），购进款夏装的进价不变，且最多购进套款夏装．若保持这两款夏装的售价不变，该服装店如何进货使得全部售完，两款夏装获得的利润最大？
20．如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，直线过点
（1）求直线解析式；
（2）连接，将线段沿轴正方向平移到
①若，求满足条件的点的坐标；
②在平移过程中，是否存在点使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点平移的距离，若不存在，请说明理由．
21．如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E．
（1）点C的坐标为 ，点A的坐标为 （点A用含k的代数式表示）．
（2）若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围．
（3）如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22． 定义：已知直线l：（k为常数）绕定点旋转，则称直线l为“旋转簇直线”，点为“旋转簇直线”的不动点，
（1）求直线l：的不动点坐标；
（2）已知直线：与x、y轴分别交于点A、B．
①如图1，直线l：（k为常数）绕不动点P旋转时，与y轴正半轴相交于点Q，且点Q在点B上方，当时，求点Q坐标；
②如图2，直线与x正半轴交于点C，与直线相交于第一象限内的点D，且恒有，试问直线是否为“旋转簇直线”，若是，请求出不动点的坐标；若不是，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线CD交x轴于点D，交y轴于点C，交直线AB于点E，，.
（1） 求直线CD的解析式.
（2） 点P在第三象限的直线AB上，轴交直线CD于点Q，点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围.
（3） 在(2)的条件下，点F在第四象限的内部，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转至EG(点F的对应点为G)，旋转角等于，直线FG交线段PQ于点H，连接FQ，PF，，，的面积为8，求的面积.
24．已知存平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线过定点，与轴交于点，过点作轴于点.
（1）直接写出定点的坐标为 ；
（2）如图1，点，连接CD，当时，连接AO．若，且在AO左侧存在点使得，求点和点的坐标；
（3）如图2，当时，直线AB交轴于点，平移直线AB交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，连接AG，交轴正半轴于点．当时，求证：为定值．
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【尖子生】浙教版2025-2026学年八年级上数学第5章 一次函数
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若点 、 是一次函数 图象上不同的两点，记 ，当 时，a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
∵ ，
∴a+1>0，
∴a>-1.
故答案为：D.
2．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后1.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t＝或．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】由图象可知A，B两城相距300千米，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把(5，300)代入得，5k=300，
解得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt +n，
把(1，0)，(4，300)代入得，，
解得
∴y乙=100t-100，
令y甲=y乙，得60t=100t-100，
解得t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，此时乙出发时间为1.5小时，
即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③正确；
令|y甲-y乙|=50，
得60t-100t+100=50，即|100-40t|=50，
∴100-40t=50或100-40t=-50，
解得或
当60t=50时，，
此时y甲=50，乙还没有出发，
当60t=250时，，
此时y甲=250，乙已到达B城，
即当或或或两车相距50千米，
∴④错误，
综上，①②③正确，共三个.
故答案为：C.
3．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作于点B，如图所示：
∵正方形的边长为1，
∴，
∵经过原点的直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边的面积都是4，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，
故答案为：A
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，当四边形的周长最小时，m的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】∵C（m＋2，2），D（m，2），
∴CD∥x轴，CD＝2，CD所在直线的解析式为y＝2．
∵A（0，1），B（4，0），
∴OA＝1，BO＝4，
∴AB=，
∵四边形ABCD的周长＝AB＋CD＋BC＋AD，
∴求四边形ABCD的周长的最小值，就是求BC＋AD的最小值，
将点A向右平移2个单位长度得到点E，则AE＝2，AE∥x轴，E（2，1），如图所示，
∴AE∥CD，AB＝CD＝2，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AD＝EC．
作点E关于CD的对称点F，则F（2，3），连接CF，FB，FB交CD于点K，
∴CF＝CE，
∴CF＝AD，
∴BC＋AD＝BC＋CF，
∵BC＋CF≥BF，
∴BC＋AD≥BF，
∴当点C与点K重合时，BC＋AD取得最小值，四边形ABCD的周长取得最小值．
设直线BF的解析式为y＝kx＋b，
∴，∴，
∴直线BF的解析式为y＝x＋6．
令y＝2，则2＝x＋6．
∴x＝，
∴C（，2），
∴m＋2＝．
∴m＝．
故答案为：B．
5．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（ ， ） B．（3，3）
C．（ ， ） D．（ ， ）
【答案】D
【解析】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴BN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝ ，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝ ＝2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k＝﹣ ，
即直线CD的解析式是y＝﹣ x+3，
即方程组 得： ，
即Q的坐标是（ ， ）．
故答案为：D．
6．如图，等腰，，点是的中点，点为线段上一动点，连结、．设，的面积为，若关于的函数表达式为，则的长度为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【解析】当时，
解得：
∴此时
当点P和点B重合时，即时，
∴此时的面积为6，即的面积为6，
∵点是的中点
∴的面积
当点P在线段BC的中点时，由AB＝AC，则AP⊥BC，
∴
∴
∴
故选：D．
7．已知，如图，直线AB：y=kx-k-4，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线CD.y=-2x+2与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点E（a，-a）；点M是y轴上一动点，连接ME，将△AEM沿ME翻折，A点对应点刚好落在x轴负半轴上，则ME所在直线解析式为（ ）
A．y＝x﹣ B．y＝2x﹣6 C．y＝x﹣ D．y＝x﹣
【答案】A
【解析】把点E代入直线中，
∴
∴，
把点代入直线中，
∴
∴即直线AB：
当A的对应点A'在轴负半轴时，过E作EF轴于F，如图：
在中，令x=0，则y=-6，
∴
∵，
∴
∴
∴
设则
∴
在中，
∴
解得：
∴
设直线EM的解析式为：把点代入
得
解得：
∴直线EM的解析式为：
故答案为：A.
8．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（ ）
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
【答案】A
【解析】一次函数图象与x轴交于点B
将代入得，，点A的坐标为，
同理可得，点B的坐标为，
，
则，
令边长的高为，
则，
则，
点在线段上，且，
OC即为AB边上的高h，即
，
过点D作的垂线，垂足为H，
，平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，
，
解得：，
即点的坐标为，
．
故选：A．
9．如图所示，直线y=x+3分别与x轴、y轴交于点A、B，若∠ABC=45°，则直线BC的函数表达式为（ ）
A．y=x+3 B．y=x+3 C．y=x+3 D．y=x+3
【答案】A
【解析】如图，过点作交直线于点，过点作轴于点，则，
，，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，，
，
，
，，
直线，令，得，即，
∴B（0，3），
令，得，，
即，
，，
设直线BC的解析式为，
把代入解析式，
得，
解得 ，
∴过B、C两点的直线解析式是，
故答案为：A.
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，，点A的坐标为，若直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】过点A作轴于点E，过点B作于点F，
，
根据勾股定理得，，
又
对于，当时，，
，
∴直线与轴的交点坐标为；
设过点A且与直线平行的直线解析式为，
把代入，得：，
，
，
当时，，
∴直线与轴的交点坐标为
设过点B且与直线平行的直线解析式为
把代入得：，
当时，，
，
与轴的交点坐标为
∴直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是，即，
故选：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知，直线与x轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作x轴的平行线与直线l交于点，与y轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形…，则点的横坐标为 ．
【答案】
【解析】∵直线与轴交于点，
∴点坐标为，
，
过，作轴交轴于点轴交于点，交轴于点，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，解得：，
∴，
，
，
，
∴当时，，解得：，
∴；
而，
同理可得：的横坐标为，
∴点的横坐标为，
故答案为：．
12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别与x轴，y轴交于A，B两点，若C为y轴上一动点，则2AC+BC的最小值为 .
【答案】6
【解析】∵一次函数. 分别交x轴，y轴于A，B两点，∴A( ，0)，B(0，3)， 如解图，
以点B 为顶点，在y轴左侧作∠CBD=30°，过点 C 作 CD⊥BD 于点 D，过点 A作AE⊥BD 于点 E，直线 BD 交 x 轴于点 F.∴∠ABD=60°，BF=2 ，∴△ABF 是等边三角形(顶角是60°的等腰三角形是等边三角形)，∵=2(AC+CD)，当A，C，D 三点共线时，AC+CD有最小值，为AE 的长(垂线段最短)，∵AB=2 ，∴AE=3，即2AC+BC 的最小值为2AE，即为6.
故答案为：6.
13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是直线上的一个动点，若，则点P的坐标是 ．
【答案】或
【解析】当点P在y轴左侧时，如图1，连接，
∵，
∴，
∵，
∴P点纵坐标为4，
又P点在直线上，把代入可求得，
∴P点坐标为；
当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2，
设P点坐标为，设直线的解析式为，
把A、P坐标代入可得，解得：，
∴直线的解析式为，
令可得，解得：，
∴C点坐标为，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
则，∴P点坐标为，
综上可知，P点坐标为或．
故答案为：或．
14．如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将沿着翻折得，若点落在第四象限，且，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】过点作轴，垂足为点．
令，则，
解得：．
．
令，则．
．
，．
由勾股定理可得：
．
沿着翻折得．
．
设 ．
在中，，即．
在中，，即．
，
解得：．
．
．
设，则．
由勾股定理得：．
即．
，
解得：．
．
故答案为：．
15．平面直角坐标系中，，，A为x轴上一动点，连接，将绕A点顺时针旋转得到，当点A在x轴上运动，取最小值时，点B的坐标为 ．
【答案】
【解析】当点在轴正半轴时，如图，作轴于，设，则，，
，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，，
，，
，
，
，
，
在和，，
，
，，
，
，
，
，
，
当点在原点时，如图所示，
，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，
，
；
当点在轴负半轴时，如图，作轴于，设，则，，
，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，，
，，
，，
，
在和，
，
，
，，
，
点在第四象限，
，
，
，
，
综上所述：当时，取到最小值为，此时，
故答案为：．
16．如图，直线与x轴和y轴分别交与A，B两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以A，C，D为顶点的三角形与全等，则的长为 ．
【答案】6或
【解析】当时，即，
解得：，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，点C在射线上，
∴，即，
∵，
∴．
若以为顶点的三角形与全等，则或，
如图1所示，当时，，
∴；
如图2所示，当时，，
∴．
综上所述，的长为6或．
故答案为：6或．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．
（1） 数学思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，，，若点A恰好落在点(2，3)处. 则：①OA的长为 ；②点B的坐标为 ；
（2） 感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图2放置，直角顶点C(-2，0)，点A(0，5)，求直线AB的函数解析式；
（3） 拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，点B(5，4)，过点B作轴，垂足为点A，过点B作轴，垂足为点C，点P是线段BC上的一个动点，点Q是直线上一动点. 当是以点P为直角顶点的等腰三角形时，求点P的坐标.
【答案】（1）；
（2）解：如图，过点B作 轴，交 x 轴于点 D，
则 ，
∴，
∴，
∴，
又 ∵，
∴，
∴，，
∴ 点 B 的坐标为 ，
设直线 AB 的函数解析式为 ，把 A(0，5)，B(-7，2) 代入，得：
，
解得，，
∴ 直线 AB 的函数解析式为 .
（3）解：设点 ，分两种情况
① 点 在 AP 下方，如图
，，
过点 作 ，交 PC延长线于点 ，则 ，
，
，
又 ，
，
，，，
，
，
，
，
点 P 的坐标为 (5，0).
②点 Q 在 AP 上方，如图，
，.
过点 Q 作 ，交 PB 延长线于点 D，则 ，
，，
，
又 ，，
，
，，
，
，
，
，
，
∴点P的坐标为；
综上，点 P 的坐标为或 ；
【解析】
解：①∵点A（2，3）
；
②过点A作AG⊥x轴于点G，过点B作BH作x轴于点H，如下图：
∵∠AOB=90°
∴∠AOG+∠BOH=90°，
∵∠BHO=90°
∴∠HBO+∠BOH=90°
∴∠HBO=∠AOG
∴在△BHO和△OGA中
∴△BHO≌△OGA
∴OH=AG=3，BH=CG=2
∴点B坐标为（-3，2）
故答案为：；（-3，2）
18．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于，两点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）是直线上一动点，且的面积是的面积的2倍，求点P坐标；
（3）如图2，在直线l：上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（1）设直线的函数解析式为，
把，代入得：，
解得，
直线的函数解析式为
（2）设，
当P在第一象限时，如图：
，，
，
解得，
；
当P在第四象限时，如图：
，，
，
解得，
；
综上所述，P的坐标为或；
（3）设，
，，
，，，
①当时，，
解得或，
若，则，，
，是等腰三角形，但不是等腰直角三角形，这种情况舍去；
若，则，，
，是等腰直角三角形，此时；
②当时，，
解得或，
当时，，，
，是等腰三角形，但不是等腰直角三角形，这种情况舍去；
当时，，，
，是等腰直角三角形，此时；
③当时，，
解得，
，
而，
，
不是等腰直角三角形，这种情况舍去；
综上所述，Q的坐标为或
19．杭州的夏季到了，某服装店同时购进，两款夏装共套，进价和售价如下表所示，设购进款夏装套（为正整数），该服装店售完全部，两款夏装获得的总利润为元．
夏装款式 款 款
每套进价（单位：元）
每套售价（单位：元）
（1）求与的函数关系式；
（2）该服装店计划投入不多于万元购进这两款夏装，则至少购进多少套款夏装？若，两款夏装全部售完，则服装店可获得的最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，服装店购进款夏装的进价降低元（其中），购进款夏装的进价不变，且最多购进套款夏装．若保持这两款夏装的售价不变，该服装店如何进货使得全部售完，两款夏装获得的利润最大？
【答案】解：（1）根据题意得y=（100-60）x+（150-80）（300-x）=-30x+21000，
即y=-30x+21000；
（2）由题意得，60x+80（300-x）≤20000，
解得x≥200，
∴至少要购进甲款运动服200套．
又∵y=-30x+21000，-30＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=200时，y有最大值，
y最大=-30×200+21000=15000，
∴若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是15000元；
（3）由题意得，y=（100-60+a）x+（150-80）（300-x），其中200≤x≤240，
化简得，y=（a-30）x+21000，
∵20＜a＜40，则：
①当20＜a＜30时，a-30＜0，y随x的增大而减小，
∴当x=200时，y有最大值，
则服装店应购进甲款运动服200套、乙款运动服100套，获利最大；
②当a=30时，a-30=0，y=21000，
则服装店应购进甲款运动服的数量应满足200≤x≤240，且x为整数时，服装店获利最大；
③当30＜a＜40时，a-30＞0，y随x的增大而增大，
∵200≤x≤240，
∴当x=240时，y有最大利润，
则服装店应购进甲款运动服240套、乙款运动服60套，获利最大．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，直线过点
（1）求直线解析式；
（2）连接，将线段沿轴正方向平移到
①若，求满足条件的点的坐标；
②在平移过程中，是否存在点使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点平移的距离，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：依题意，将代入得，
解得：，
∴直线解析式为；
（2）①解：直线解析式为，
当时，，当时，，
∴，，
∴
∴
∵
∵将线段沿轴正方向平移到，
∴的纵坐标为，
设，
∴
解得：或
∴或
∵，
∴或
②设点平移的距离为，
∴
∵，，
∴，，
如图，当时，
解得：
如图，当时，
解得：或（舍去）
当时，
解得：或（舍去）
综上所述，点平移的距离为或或．
21．如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E．
（1）点C的坐标为 ，点A的坐标为 （点A用含k的代数式表示）．
（2）若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围．
（3）如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E．
∴
解得：．
（3）解：如图1，
当点落在轴上时，设，
关于直线的对称点为，
，，
当时，，
，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
轴，
，，
，
轴，
，
过，
，
，
，
由得，
，
，
如图2，
当点在轴上时，
，，
，
，
，
，
，即，
设直线的解析式为：，
，
，
，
由得，
，
，
综上所述：或．
【解析】当时，
，，
，，
，，
故答案为：，；
22． 定义：已知直线l：（k为常数）绕定点旋转，则称直线l为“旋转簇直线”，点为“旋转簇直线”的不动点，
（1）求直线l：的不动点坐标；
（2）已知直线：与x、y轴分别交于点A、B．
①如图1，直线l：（k为常数）绕不动点P旋转时，与y轴正半轴相交于点Q，且点Q在点B上方，当时，求点Q坐标；
②如图2，直线与x正半轴交于点C，与直线相交于第一象限内的点D，且恒有，试问直线是否为“旋转簇直线”，若是，请求出不动点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解： ∵直线l： y= kx-2k+3=k(x-2)+3，
令x-2=0， 则y=3，
∴直线l： y= kx-2k+3|的不动点坐标为(2，3)；
（2）解：①解： 令 解得： x =-4；∴A(-4，0)，
如图1，过点A作AE⊥AP，垂足为A，分别过点P，点E作x轴的垂线，垂足分别为H，G，
∵∠APE =45°， ∠PAE = 90°，
∴∠AEP =45°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP=AE，
∵∠EGA=∠PAE=90°，
∴∠EAG+∠AEG =∠EAG+∠PAH =90°，
∴∠AEG=∠PAH，
∵∠EGA=∠PHA=90°，
∴△AEG≌△APH(AAS)，
∴AG=PH，EG=AH，
由 (1) 知P(2，3)， 则H(2，0)，
∴PH =3，AH =OA+OH =6，
∴EG=6，AG=3，
∴OG=OA+AG=7，
∴E(-7，6)，
将点E(-7，6)代入直线l： y= kx-2k+3， 则6=-7k-2k+3，
解得：
∴直线l的解析式为：
将x=0代入 则
；
②直线 是“旋转簇直线”，不动点的坐标(2，1)，设直线 的解析式为y= mx+b， 点C(c，0)，将点C(c，0)代入直线 得0= mc+b， 解得： b=-mc，
∴直线 的解析式为y= mx-mc，
联立 解得：
，
∴==
∵
∴
∴直线 的解析式为
令 则
∴直线 是“旋转簇直线”，不动点的坐标(2，1).
23．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线CD交x轴于点D，交y轴于点C，交直线AB于点E，，.
（1） 求直线CD的解析式.
（2） 点P在第三象限的直线AB上，轴交直线CD于点Q，点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围.
（3） 在(2)的条件下，点F在第四象限的内部，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转至EG(点F的对应点为G)，旋转角等于，直线FG交线段PQ于点H，连接FQ，PF，，，的面积为8，求的面积.
【答案】（1）解：. 当 时， .
当 时，，
.
.
.
. .
.
.
.
设直线 CD 的解析式为 .
把 D(4， 0)， C()代入，得∴
直线 CD 的解析式为.
（2）
（3）解：连接CQ，设EQ与FG的交点为R，
∵，
∴.
∵， ，
∴.
∴， ， .
∴，
∴.
∴， .
∵， ， ，
∴∠EPQ = ∠EQP = ∠EGF = ∠EFG.
∵∠ERG = ∠HRQ，
∴.
过 P 作 PM HG 于点 M， 过 Q 作QT HG 于点 T.
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴.
∴， .
∵， ，
∴.
∴，.
∵，
∴，.
∴.
设
∴
∴
∴.
∴，
∴8=m2，
∴或（舍去），
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
即的面积为.
【解析】（2）解：过 E 作 于点 K， 延长 EK 交 PQ 于 W，
联立， .
，.
.
.
.
.
，
.
.
.
.
.
点 W 的横坐标为 1.
由题意，得 .
.
.
，点 P， W 在 P Q 上，
点 W 的纵坐标与点 P 纵坐标相同.
即 . .
∴
故答案为：
24．已知存平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线过定点，与轴交于点，过点作轴于点.
（1）直接写出定点的坐标为 ；
（2）如图1，点，连接CD，当时，连接AO．若，且在AO左侧存在点使得，求点和点的坐标；
（3）如图2，当时，直线AB交轴于点，平移直线AB交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，连接AG，交轴正半轴于点．当时，求证：为定值．
【答案】（1）（6，-6）
（2）解：∵A(-6，6)
∴
在和中
，
，
∴BO=OC-BC=4，
∴坐标为（0，4）；
，
如图1，过作，交AE的延长线于点，过点作轴于点，则且，
在和中，
由和可求得直线的解析式为：，
代入得，
∴E；
（3）解：如图2，过A作于点N，
，
又且
（AAS）
，
设HG的解析式为，
令，则
设AG的解析式为，
代入和的坐标得：，
解得：
∴AG的解析式为
∴
，
，
，为定值．
【解析】（1）∵y=kx+6k+6，
∴y=(x-6)k+6，
当x+6=0时，即x=-6时，无论k取何值，y=6，
∴定点A的坐标为（6，-6）；
故答案为：（6，-6）；
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