中小学教育资源及组卷应用平台
【尖子生】浙教版2025-2026学年九年级上数学第1章 二次函数
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
2． 已知二次函数 过点 ，， 三点. 记 ，，则下列判断正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．抛物线与轴交于和两点，且以下四个结论：①；②；③点在抛物线上，若，，则；④若，则关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（ ）
A．③④ B．①③ C．①③④ D．①②
4．若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把点 M 叫作“整点”.例如：P(1，0)，Q(2，-2)都是“整点”.抛物线 与x 轴的交点为A，B，若抛物线在点 A，B之间的部分与线段AB 所围成的区域(包含边界)恰有7个“整点”，则m的取值范围是( ).
A． B． C．15．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“美丽点”．例如：点，，，…都是“美丽点”．若二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”，且当时，函数（）的最小值为，最大值为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
8．已知抛物线与x轴交于点和（点A在点B的左侧），对称轴为，直线与抛物线相交于两点，，则最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
9．在平面直角坐标系中，二次函数（都是正整数）的图象与轴有两个不同的交点．若和都大于1，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值是25
10．如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，
且，当时，则的取值范围为．
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是 ．
12．已知抛物线与轴交于点，点是抛物线上的动点，，若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为 ．
13．如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，点为抛物线上，且位于轴下方，直线，与轴分别交于，两点，当点运动时， ．
（第13题） （第14题）
14．如图，乒乓球桌桌面是长，宽的矩形，分别是和的中点，在，处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在点击打乒乓球后经过桌面点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点到拦网的距离为 ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从点反弹后飞向对方桌面，落点在距离为的点处，此时的长度为 ．
15．对于一个四位自然数M ，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“智慧数”．例如，，因为，所以5241是“智慧数”则最小的“智慧数”是 ；若“智慧数”，使二次函数与x轴有且只有一个交点，且满足，则满足条件的M的最大值为 ．
16．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 ，液面到点所在水平地面的距离是 ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大．
（1）求的值．
（2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
若，求的最大值．
若，且时，始终有，求的值．
18．在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点．
（1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点．
①求，的值；
②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围．
19．如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
20．如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；
（3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．
（1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分；
（3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值．
22．2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格（元/只）和销量（只）与第天的关系如下表：
第天 1 2 3 4 5
销售价格（元/只） 2 3 4 5 6
销量（只） 70 75 80 85 90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量（只）与第天的关系为（，且为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格与和销量与之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润（元）与的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则的取值范围为______．
23．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）已知点在拋物线上，且到轴的距离不超过，求的值；
（3）已知点的坐标为，连接，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出抛物线在轴上方的一段，记为，将该胶片向下平移个单位长度．
①若平移后的在轴上方的部分只有一个整点（横、纵坐标都是整数的点），请直接写出满足条件的整数的值；
②若平移后的与线段只有一个公共点，求的取值范围．
24．如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标；
（3）如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
【尖子生】浙教版2025-2026学年九年级上数学第1章 二次函数
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【解析】∵二次函数的对称轴为，
∴，即，
∴，
当时，有最大值，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，
∴，，
解得：或；或；
经检验时，不符合题意；
∴，，
∴．
故答案为：D
2． 已知二次函数 过点 ，， 三点. 记 ，，则下列判断正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【解析】∵二次函数y=x2+bx+c过点A(x1，y1)，B(x1+t，y2)，C(x1+2t，y3)三点，
∴，y2=(x1+t)2+b(x1+t)+c，y3=(x1+2t)2+b(x1+2t)+c，
∴
∴n-m=3t2+(2x1+b)t-[t2+(2x1+b)t]=2t2，
若n-m>2，则2t2>2，
∴t>1或t<-1，
故A错误，不符合题意；
若n-m<2，则2t2<2，
∴-1故B错误，不符合题意；
若t>1，则2t2>2，
∴n-m>2，故C正确，符合题意；
若-1故D错误，不符合题意；
故答案为：C.
3．抛物线与轴交于和两点，且以下四个结论：①；②；③点在抛物线上，若，，则；④若，则关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（ ）
A．③④ B．①③ C．①③④ D．①②
【答案】C
【解析】由抛物线与x轴的交点可得其交点式为：，
展开得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
由A、B两点坐标可知抛物线对称轴为：，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∵，
∴，
∴，故②错误；
若，则，
∴，
由A、B两点坐标可知抛物线对称轴为：，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，函数值递减，
∴当时，，故③正确；
若，则抛物线为，
由点可得：，
∴，
再由可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵方程可化为，
∴，
∴，
∴时，方程有两个不相等的实数根，故④正确；
综上所述①③④正确，
故选： C．
4．若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把点 M 叫作“整点”.例如：P(1，0)，Q(2，-2)都是“整点”.抛物线 与x 轴的交点为A，B，若抛物线在点 A，B之间的部分与线段AB 所围成的区域(包含边界)恰有7个“整点”，则m的取值范围是( ).
A． B． C．1【答案】B
【解析】y=m(x-2)2-2，顶点为(2，-2).
如答图，∵抛物线在点A，B之间的部分与线段AB 所围成的区域(包含边界)恰有7个“整点”，
解得
故答案为：B
5．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
抛物线与x轴交于点A、B，
∴=0，
∴x1=5，x2=9，
，
抛物线向左平移4个单位长度后的解析式，
当直线过B点，有2个交点，
，
，
当直线与抛物线相切时，有2个交点，
，
，
相切，
，
，
如图，
若直线与、共有3个不同的交点，
--，
故答案为：C．
6．在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“美丽点”．例如：点，，，…都是“美丽点”．若二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”，且当时，函数（）的最小值为，最大值为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴该二次函数的对称轴为，图象开口向上，函数有最小值，
∵当时，该二次函数的最小值为，最大值为，
∴当时，该二次函数有最小值为，当时，，即函数的最大值为7，
∵关于对称轴直线的对称点为，
∴，
故答案为：C ．
7．如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】如图所示，过点作于点，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴四边形是矩形，
∴，，
∴
∴，
在和中，
∴
∴
又∵
∴
∴
∵是的中点，
∴
∴，
∴的最小值为的长，
设，则，
在中，
∵，当时，有最小值
∴的最小值为
故答案为：B．
8．已知抛物线与x轴交于点和（点A在点B的左侧），对称轴为，直线与抛物线相交于两点，，则最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】∵抛物线与x轴交于点和，对称轴为，
∴1．
∴．
∴点和，
∴抛物线的解析式为．
联立，
∴①，
∴，，
∴，
要使最小，则最小，
∴最小，
即时，最小值为2．
故答案为：C．
9．在平面直角坐标系中，二次函数（都是正整数）的图象与轴有两个不同的交点．若和都大于1，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值是25
【答案】B
【解析】如图，
∵二次函数（都是正整数）的图象与轴有两个不同的交点．
∴是的两个实数根，
∵都是正整数，
∴，，抛物线的开口向上，对称轴直线在轴的左侧，
∵和都大于1，
∴，，
∴对称轴在的左侧，，
∴，，故B选项错误，符合题意；
∴，故A选项正确，不符合题意，
∴当时，，
则，故C选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵都是正整数，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵都是正整数，，
∴的最小值为1，
当时，，
∴，
∴，
∴的最小值为5，
∵，
∴的最小值也为5，
∴的最小值为：；故D选项正确，不符合题意；
故答案为：B．
10．如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，
且，当时，则的取值范围为．
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0，对称轴为直线x=1，则
∴b=-2a>0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是(0，m)， 即c=m，
∵20，
∴abc<0， 故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，对称轴为直线x=1，
∴另一个交点坐标为(-2，0)，
∴当x=﹣3时， y=9a﹣3b+c<0，故②错误；
∵(-2，0)， (4，0)在抛物线 的图象上，
∴4a-2b+c=0，
又∵b=-2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=-8a，
∵2∴2<-8a<3，
即
当 时，y取得最大值，最大值为
故③正确；
即
，
对称轴为直线 当 时，
Δ的值随a的增大而增大，
又∵
∴
∴当 时，
∴当 时， 恒成立，即
有两个不相等实根，故④正确；
若点在抛物线 上， 且
∴
即
解得： 且
故⑤错误；
故正确的有①③④，共3个.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是 ．
【答案】或
【解析】∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
①当时，抛物线过点，，，
当拋物线经过时，有，
解得：，
∴ ， ，，如图，满足题意的“整点”有，，，，共4个，
当抛物线经过时，有，
解得：，
∴，，，如图，满足题意的“整点”有，，，，，，共6个，
的取值范围是；
②当时，抛物线过点，，，，
当拋物线经过时，有，
解得：，
∴ ， ，，如图，满足题意的“整点”有，，，，共4个，
当抛物线经过时，有，
解得：，
∴，，，如图，满足题意的“整点”有，，，，，共5个，
的取值范围是；
综上所述的取值范围是或 ，
故答案为：或 ．
12．已知抛物线与轴交于点，点是抛物线上的动点，，若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为 ．
【答案】或
【解析】对于抛物线与轴交于点，令x=0，y=3，
所以点C的坐标为(0，3)，
∵，若是以为底的等腰三角形，
∴点P在CD的垂直平分线上，即y=2，
当y=2时，-x2-2x+3=2，
解得，
∴点P的坐标为：或，
故答案为：或.
13．如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，点为抛物线上，且位于轴下方，直线，与轴分别交于，两点，当点运动时， ．
【答案】2
【解析】设，依题意得，可设，，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，解得：，
，
当时，
∵点E在y轴负半轴上，
，
设直线的解析式为，
把，代入，得，解得：
∴，
当时，
∵点F在y轴负半轴上，
∴，
，
把代入，得，
，
，
，
．
故答案为：2．
14．如图，乒乓球桌桌面是长，宽的矩形，分别是和的中点，在，处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在点击打乒乓球后经过桌面点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点到拦网的距离为 ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从点反弹后飞向对方桌面，落点在距离为的点处，此时的长度为 ．
【答案】；
【解析】如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
由题意可得，，
∴，，
设抛物线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
把代入得，，
解得（不合，舍去），，
∴，
∴落点到拦网的距离为，
故答案为：；
由题意可得，，
∴，
∵，
∴点和点关于抛物线的对称轴对称，
∴点距也是，
设轴交于点，连接，
∵轴，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．对于一个四位自然数M ，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“智慧数”．例如，，因为，所以5241是“智慧数”则最小的“智慧数”是 ；若“智慧数”，使二次函数与x轴有且只有一个交点，且满足，则满足条件的M的最大值为 ．
【答案】1010；6936
【解析】对于一个四位数，当各个数位上的数字最小时，这个四位数最小，
千位上的数字为1，百位上的数字为0，
又千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，
十位上的数字为1，个位上的数字为0，
最小的“智慧数”是1010；
“智慧数”，
显然，，，，且，，，均为整数，
根据“智慧数”的定义得：，
二次函数与轴有且只有一个交点，
，
，
整理得：，
，
，
又，
，
解得：，
“智慧数”为最大，
、均为最大，
取最大值6，取最大值9，此时，，
的最大值为：6936．
故答案为：1010；6936．
16．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 ，液面到点所在水平地面的距离是 ．
【答案】；
【解析】依题意建立如图平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线于E，交x轴于F点，过B作于M点，
根据题意得：，BM=12，
设抛物线的解析式为：
把A、B、C点坐标代入得：
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
设直线BF的解析式为：
把B、M点坐标代入得：
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴C到点BE的距离为：
故图2中液面到点所在水平地面的距离是
故答案为：，
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大．
（1）求的值．
（2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
若，求的最大值．
若，且时，始终有，求的值．
【答案】（1）函数，，
二次函数的顶点横坐标为，二次函数顶点横坐标为，
二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大，
，
（2）点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上，
，，
，
，
，
时，有最大值；
，
，
，
，
，
整理得，，
即，
，，
时，始终有，
的值不会随的变化而变化，
18．在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点．
（1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点．
①求，的值；
②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：∵点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，
∴和谐点都在上，
，
解得，
上的和谐点为；
（2）解：①∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
∴即有两个相等的实数根，
，
解得①，
将代入得，
，
联立①②，得，
②，
，
其顶点坐标为，则最大值为3，
在时，随的增大而增大，当时，，
根据对称轴可知，当时，，
时，函数的最小值为－1，最大值为3，
根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3，
实数的取值范围为：．
19．如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标是A（﹣2，0）、B（4，0），
∴设该抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
将点C（0，﹣8）代入函数解析式代入，得a（0+2）（0﹣4）=﹣8，
解得a=1，
∴该抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣4）或y=x2﹣2x﹣8．
联立方程组：
解得（舍去）或，即点D的坐标是（﹣1，﹣5）；
（2）如图所示：
过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）．
∴PE=x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）=﹣x2+3x+4．
∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE （xp﹣xD）+PE （xB﹣xE）=PE （xB﹣xD）=（﹣x2+3x+4）=﹣（x﹣）2+．
∴当x=时，△BDP的面积的最大值为．
∴P（，﹣）．
（3）（2，﹣2）或（3，﹣1）．
【解析】
解：（3）设直线y=x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4）．
∵B（4，0），
∴OB=OK=4．
∴∠OKB=∠OBK=45°．
∵QF⊥x轴，
∴∠DQG=45°．
若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形．
①当∠QDG=90°时，过点D作DH⊥QG于H，
∴QG=2DH，QG=﹣x2+3x+4，DH=x+1，
∴﹣x2+3x+4=2（x+1），解得：x=﹣1（舍去）或x=2，
∴Q1（2，﹣2）．
②当∠DGQ=90°，则DH=QH．
∴﹣x2+3x+4=x+1，解得x=﹣1（舍去）或x=3，
∴Q2（3，﹣1）．
综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，﹣2）或（3，﹣1）．
故答案为：（2，﹣2）或（3，﹣1）.
20．如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；
（3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由，当时，，则∵，则，对称轴为直线
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
当时，，则
∴
∴
∴是等腰三角形，
∴
连接，设交轴于点，则
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又
∴
∴
∴点与点重合时符合题意，
如图所示，过点作交抛物线于点，
设直线的解析式为，将代入得，
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：，
∴
综上所述，或；
（3）解：∵，，∴
∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中
∴，
①当时，，解得：或
②当时，，解得：
③当时，，解得：或（舍去）
综上所述，或或或．
21．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．
（1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分；
（3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值．
【答案】（1）解：∵ 抛物线与轴交于、两点，
∴，
解得：．
函数表达式为；
（2）解：连接，
，
．
当时，，
∴点，
当时，，
∴点．
，，
，，
∵过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，
∴，
．
，
，
．
，
．
．
平分．
（3）解：设，则，．
当时，．
令，
解得，．
，
，
点在的上方（如图1）．
设，
故，
其对称轴为，且．
①当时，即．
由图2可知：
当时，取得最大值．
解得或（舍去）．
②当时，得，
由图3可知：
当时，取得最大值．
解得（舍去）．
综上所述，的值为．
22．2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格（元/只）和销量（只）与第天的关系如下表：
第天 1 2 3 4 5
销售价格（元/只） 2 3 4 5 6
销量（只） 70 75 80 85 90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量（只）与第天的关系为（，且为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格与和销量与之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润（元）与的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则的取值范围为______．
【答案】解：（1）观察表格发现p是x的一次函数，q是x的一次函数，设p=k1x+b1，
将x=1，p=2；x=2，p=3分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证p=x+1符合题意，
所以，且x为整数；
设q=k2x+b2，
将x=1，q=70；x=2，q=75分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证符合题意，
所以，且x为整数；
（2）当且x为整数时，
；
当且x为整数时，
；
即有；
当且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，
故当时，（元）
当且x为整数时，
故当时，（元）；
由，可知第5天时利润最大．
（3）
【解析】（3）根据题意，前5天的销售数量为：（只），
∴前5天多赚的利润为：
（元），
∴，
∴；
∴的取值范围为．
23．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）已知点在拋物线上，且到轴的距离不超过，求的值；
（3）已知点的坐标为，连接，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出抛物线在轴上方的一段，记为，将该胶片向下平移个单位长度．
①若平移后的在轴上方的部分只有一个整点（横、纵坐标都是整数的点），请直接写出满足条件的整数的值；
②若平移后的与线段只有一个公共点，求的取值范围．
【答案】（1）解：把点代入抛物线得，，
解得，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴抛物线的顶点坐标是；
（2）解：∵点在抛物线的图象上，
把代入得，
，
解得，，，
∵点到轴的距离不超过，
∴，
∴舍去，
∴；
（3）或；
解：设的解析式为，
把，得，
，
解得，
∴的解析式为，
又抛物线的解析式为，
当抛物线与直线只有一个公共点时，有两种情况，
第一种情况，原抛物线与直线交于点，下移过程中，交点右移，此时若只有个交点，则下移过程中只要保证抛物线没有越过点即可，
把代入抛物线的解析式中得，
，
解得，
故时，
第二种情况，抛物线越过直线且与相交于一点，
联立，
得，
此时，
解得，
综上，的取值范围为：或．
【解析】（3）由题意可得的解析式为，
把代入抛物线得，
，，
当向下平移时，与轴的交点坐标在和之间，
当，，，，，，，，时，
在抛物线上对应的点坐标分别为：，，，，，，，，，
∵且为整数，
∴，，，不可能是整点，故舍去，
又整点位于轴上方，
∴，不合，舍去，
在，，中，
当时，则个点全为整点，
当时，只有这一个整点在轴上方，
当时，只有这一个整点在轴上方，
当时，轴上方无整点，
综上，的整数值为或；
24．如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标；
（3）如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值．
【答案】（1）解：如图所示，设抛物线对称轴与轴交于点，
∵的对称轴为直线，∴，
∵，∴，∴，，
∵，∴，
∴，，，
将，代入抛物线解析式，
得：，解得：，
∴抛物线解析式为.
（2）解：如图，过点作轴，交延长线于点，
∵，，∴，∴，
∵平分，∴，
在与中，，
∴，∴，∴，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，解得：，
∴直线的解析式为，
联立与，得，解得：，，
当时，，则.
（3）解：设，由，，
设直线解析式为：，
则，解得：，
∴直线解析式为：，
设直线解析式为：，则，解得：，
直线解析式为：，
当时，，，
∴，
∵恒为定值，∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
