中小学教育资源及组卷应用平台
【尖子生】浙教版2025-2026学年九年级上数学第4章 相似三角形
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，=，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，作BE∥AC交AD于E，作BH⊥AE于H，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠C，
∴∠ABC=∠DBE，
∵∠DBE=∠C，∠ADC=∠EDB，
∴△ADC∽△EDB，
∴，
设AB=AC=6a，
∴BE=14a，
∵∠BAD=120°，BH⊥AE，
∴∠ABH=30°，
∴，，
∴，
在Rt△BEH中，根据勾股定理，得
∵EH2=BE2-BH2，
∴
∴，
即，
解得AD=3a，
则；
故答案为：A.
2．如图，在边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E，F，G分别在AB，BC，FD上．若BF=3，则小正方形的边长为( )
A． B． C．5 D．6
【答案】A
【解析】∵ EFGH为小正方形，
∴∠EFG=90°，
在Rt△BEF中，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∵∠BFE+∠EFG+∠DFC=180°，
∴∠BFE+∠DFC=90°，
∴∠BFE=∠DFC，
∵∠EBF=∠DCF，
∴△EBF∽△FCD，
∴，
∵ BF=3 ，AD=BC=DC=AB=12，
在Rt△DCF中，
DF=，
∴，
∴12EF=3×15，
∴EF=，
故答案为：A.
3．如图，在四边形中，，过作于点，过作于点与交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，、、、四点共圆，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴．
∵
∴，
，即，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：．
故答案为：B ．
4．如图，点，，分别在的边上，，，，点是的中点，连接并延长交于点，的值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过点F作FG//CN交AB于点G，如图所示：
∵点M是DF的中点，
∴点N是DG的中点，
∴MN是△DGF的中位线，
∴GF=2MN，
∵GF//CN，EF//AB，
∴四边形GFHN是平行四边形，
∴NH=GF=2MN，
设MH=MN=m，则GF=2m，
∵DE//BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴BC=4DE，
∵EF//AB，DE//BC，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE=BF，
∵FG//CN，
∴，
∵，
∴，
∴CN=4GF=8m，
∴CH=CN-NH=8m-2m=6m，
∴CM=CH+MH=6m+m=7m，
∴，
故答案为：D.
5．如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与相交于点G，的延长线经过点C.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点E作于点H，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴四边形和四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴令，，，则，，
∵为的中点，
∴，
由对折可得：，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意，得，
又为公共角，
∴，
∴，
则，
整理，得，
解得（舍去），，
∴，，，
在中，
则，
解得，（负根舍去），
∴，
∴.
故答案为：C.
6．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，作，使得，，则，，，
，，
，
，
，
，
即（定长），
点是定点，是定长，
点在半径为1的上，
，
的最大值为，
故选：C．
7．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N．设△BPQ，△DKM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3＝20，则S2的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，
∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，
∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN，
∴BE∥DF∥CG
∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH，
∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，
∴ ， ，
∴△BPQ∽△DKM∽△CNH
∴ ，
∴
∴S2=4S1，S3=9S1，
∵S1+S3=20，
∴S1=2，
∴S2=8．
故答案为：B．
8．如图坐标系中，O（0，0），A（3，3 ），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ ，则AC：AD的值是（ ）
A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8
【答案】B
【解析】过A作AF⊥OB于F，如图所示：
∵A（3，3 ），B（6，0），
∴AF＝3 ，OF＝3，OB＝6，
∴BF＝3，
∴OF＝BF，
∴AO＝AB，
∵tan∠AOB＝ ＝ ，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∵将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED＝∠OAB＝60°，
∴∠OCE＝∠DEB，
∴△CEO∽△EDB，
∴ ＝ ＝ ，
∵OE＝ ，
∴BE＝OB﹣OE＝6﹣ ＝ ，
设CE＝a，则CA＝a，CO＝6﹣a，ED＝b，则AD＝b，DB＝6﹣b，
则 ＝ ， ＝ ，
∴6b＝30a﹣5ab①，24a＝30b﹣5ab②，
②﹣①得：24a﹣6b＝30b﹣30a，
∴ ＝ ，
即AC：AD＝2：3.
解法二：∵△CEO∽△EDB，△COE周长 ，△DEB周长 ，
∴相似比就是2：3，
∴CE：DE＝2：3，
即AC：AD＝2：3.
故答案为：B.
9．如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（ ）
A．7∶5∶2 B．13∶5∶2 C．5∶3∶1 D．26∶10∶3
【答案】D
【解析】如图，过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，
∵H是△ABC的重心，
∴M是AC的中点，D是BC的中点，
∴G是AF的中点，
∴GM＝CF，
设CF＝a，则GM＝a，
∵CF∥BG，DE∶EC＝5∶2，D是BC的中点，
∴＝，
∴BG＝6CF＝6a，
∴BM＝a，
∵H是△ABC的重心，
∴BH＝BM＝a，
∴HG＝BG﹣BH＝6a﹣a＝a，
∴BH∶HG∶GM＝a∶a∶a＝26∶10∶3．
故答案为：D．
10．如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD上的点，AC与EF相交于点G，若 ， ，则FG的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】过点E作EM∥BC交AC于M，EN⊥BC于N，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝4，∠BAC＝∠FAC＝
∠BAD＝60°，AD∥BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵EM∥BC，
∴EM∥AD，∠AEM＝∠B＝60°＝∠BAC，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM＝AE＝AB﹣BE＝4﹣1＝3，
∵EM∥AD，
∴△AGF∽△MGE，
∴ ＝
＝
，
∴FG＝
EF，
在△BCE和△ACF中， ，∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ACF+∠ACE＝∠ACF+∠ACE＝∠ACB＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE，
∵EN⊥BC，∠B＝60°，
∴∠BEN＝30°，
∴BN＝
BE＝
，
∴EN＝
BN＝
，CN＝BC﹣BN＝4﹣
＝
，
∴EF＝CE＝
＝
＝
，
∴FG＝
EF＝
.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在中，，，，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ．
【答案】
【解析】过点作，交的延长线于点，∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
12．如图，在中，，点D是上一点，，，，则 ．
【答案】20
【解析】如图，延长至E，使，
∴，
设，
则，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
设，
∴
在中，
在中，，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∴，
故答案为：20．
13．如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ．
【答案】
【解析】如图，过点E作于点H，设、相交于点M，
∵，
∴设，，
∵将沿翻折，得到，
∴，，
∵EH⊥AC，∠ACB=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴DH=EH=DF=x，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴∠FDM=∠EHM=90°，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
故答案为：．
14．如图，在边长为7的等边中，D、E分别在边上，，，连接交于点P，则的长为 ．
【答案】
【解析】如图，连接，取中点F，连接．
∵为等边三角形，
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
15．如图，在中，，点在边的延长线上，点在边上（不与点重合），连接，以点为顶点作的边交边于点，若，则 ．
【答案】
【解析】过F点作，交于点O，如图所示：
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
16．如图，在菱形中，以对角线上一点为圆心，长为半径的圆恰好经过点，，连结并延长交于点．若，，则半径长为 ； ．
【答案】8；
【解析】连接BD，与AC交于点F，过点E作EG⊥AC于点G，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
设，则，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴
解得：，
∴半径；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由菱形的对称性可知：，
∴，
∴，
故答案为：8，．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
（1）求点A，点C的坐标；
（2）如图2，连结AC，DC，过点C作交抛物线于点E.求证：∠DCE＝∠CAO；
（3）如图3，在（2）的条件下，连结BC，在射线EC上有点P，使以点D，E，P为顶点的三角形与△ABC相似，求EP的长.
【答案】（1）解：令y＝0，得，
解得，x1＝-3，x2＝1，∴，
令x＝0，y＝，
∴C（0，4）.
（2）证明：∵，∴，
如图，作DF⊥CE于F，
∴CF＝1，，
∵AO＝3，OC＝4，
∴，
∵∠CFD＝∠AOC＝90，
∴△CFD∽△AOC，
∴∠DCE＝∠CAO；
（3）解：如图，连接DE，
∵A（-3，0），B（1，0），C（0，4），D（-1，），
∴，AB＝4，，
由抛物线的对称性质得：DE＝DC＝，CE＝2，
∴∠ECD＝∠DEC，
由（2）得∠ECD＝∠CAO，
∴∠DEC＝∠CAB，
∵△DEP和△ABC相似，
①当△DEP∽△CAB时，有，
∴，∴.
②当△DEP∽△BAC时，有，
∴，∴.
综上所述，EP＝或.
18．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，点在网格线上不在格点上．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．
（1）在图1中作的中线；
（2）在图2中作的高线；
（3）在图3中的边上确定点，连结，使得．
【答案】（1）（2）
（3）解：如图所示，即为所求；
理由如下，找到格点，连接交于点，
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
19．如图①，在正方形 中， ， 为对角线 上任意一点（不与 重合），连接 ，过点 作 ，交线段 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ；
（3）如图②，连接 交 于点 ．若 ，求 的值．
【答案】（1）如图，过 分别作 交 于点 ， 交 于点 ，则四边形 是平行四边形，
四边形 是正方形，
， ，
，
平行四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由(1)得： ， ，
，
， ，
，
，
， ，
；
（3）把 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
， ，
， ， ， .
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，则 ，
正方形 的边长为6，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
.
20．已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D，E分别为AC，BC 边上的点(不包括端点)，且 连接AE，过点 D 作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM 交AB 于点F.
（1）如图①，过点 E 作EH⊥AB 于点 H，连接DH.
①求证：四边形 DHEC 是平行四边形.
②若 求证：AE=DF.
（2）如图②，若 求 的值.
【答案】（1）证明： ①∵ ∠BAC=90°， EH⊥AB
∴AC||HE
∴△BHE∽△BAC
∴
∴ HE=DC，
∵HE||DC
∴四边形DHEC 为平行四边形.
②∵ ∠BAC=90° ，
∴ AC=AB
∵，HE=DC
∴
∵∠BAE=90°
∴BH=HE，
∵HE=DC，
∴BH=CD，
∴AH=AD，
∵DM⊥AE，EH⊥AB
∴∠EHA=∠AMF=90°
∴∠HEA+∠HAE=∠HAE+∠AFM=90°，
∴∠HEA=∠AFD，
∵∠EHA=∠FAD=90°
∴△HEA≌△AFD(AAS)，
∴AE=DF.
（2）解：过点 E 作EG⊥AB 于点G，
∵CA⊥AB，∴EG∥CA，
∵
设EG=DC=3x，AC=3y，由题意得BE=5x，BC=5y，
∵∠EGA=∠AMF=90°，∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM.
∴∠AFM=∠GEA.
∴
21．如图，等腰 内接于 ． 为 上一点，连结 交 于点 ，连结 并延长交 延长线于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ．
①求证： ．
②当 时，求 的值．
【答案】（1）证明： ∵等腰△ABC内接于⊙O， AB= AC， D为 上一点，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠FCD=180°，
∴∠BAD=∠FCD，
∵∠F =∠F，
∴△CDF∽△ABF；
（2）①证明： 等腰△ABC内接于⊙O， 如图1， 过点A作AG⊥BC于G， 则∠AGC = 90°，
∴∠BAC=2∠CAG， ∠ACG+∠CAG=90°，
∵BD⊥AC，
，
②延长AG交⊙O于点H， 连接BH， 如图2，
由①知，
∴AG过点O，
∴
∵∴
在直角三角形ABG中，由勾股定理得：
∴
∴
由 (1) 知，
∴
22．【问题情境】
如图1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？
直接写出结论：______（不用证明）．
【变式探究】
如图2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，，求的长．
【拓展应用】
如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若，，，求出的值．
【答案】解：【问题情境】；
【变式探究】如图，过点作于，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
【拓展应用】如图，过点作，交的延长线于点，交于点，
，，
∵四边形是平行四边形，，，
，，
，，，
，
，，即，
，
，
，，，
．
【解析】【问题情境】，，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
23．新定义：有两边之比为的三角形叫做“勤业三角形”．
（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号）
①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形．
（2）如图1，是的内接三角形，为直径，D为上一点，且，作，交线段于点F，交于点E，连接交于点G．试判断和是否是“勤业三角形”并证明．
（3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的值
【答案】（1）③④
（2）解：和都是“勤业三角形”
证明如下：
如图：连接，设
∵
又
，即
又
∴
∴
∴
，
和都是“勤业三角形”
（3）解：如图：过点G作交于点I
∴
∴
∴
∴
设
由（2）知，
∴
∴
∴
∴
在中，．
【解析】(1)解：①等边三角形各边的比值为1，故等边三角形不是勤业三角形
②等腰直角三角形两直角边的比值为1，直角边与斜边的比为，故等腰直角三角形不是勤业三角形
③设含角的直角三角形的最短边长为a，则斜边长为，另一条直角边长为，，故含角的直角三角形是勤业三角形
④如图：中，，过点A作于点D
设，则
含角的等腰三角形是勤业三角形
故答案为：③④
24．如图1所示，是的直径，弦于点E，G是弧上一点，连接，和，H为与的交点．
（1）求证：；
（2）连接交于点M，
①如图2，若恰好经过点，，，求的长度；
②如图3，过点A作，连结EN，若，，，请用含的代数式表示的长度．
【答案】（1）解：∵是直径，，
∴，
∴．
（2）解：如图：连接，
∵是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
【尖子生】浙教版2025-2026学年九年级上数学第4章 相似三角形
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，=，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，在边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E，F，G分别在AB，BC，FD上．若BF=3，则小正方形的边长为( )
A． B． C．5 D．6
3．如图，在四边形中，，过作于点，过作于点与交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点，，分别在的边上，，，，点是的中点，连接并延长交于点，的值是（ ）.
A． B． C． D．
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
5．如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与相交于点G，的延长线经过点C.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N．设△BPQ，△DKM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3＝20，则S2的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图坐标系中，O（0，0），A（3，3 ），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ ，则AC：AD的值是（ ）
A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8
9．如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（ ）
A．7∶5∶2 B．13∶5∶2 C．5∶3∶1 D．26∶10∶3
10．如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD上的点，AC与EF相交于点G，若 ， ，则FG的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
（第9题） （第10题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在中，，，，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ．
12．如图，在中，，点D是上一点，，，，则 ．
（第11题） （第12题）
13．如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在边长为7的等边中，D、E分别在边上，，，连接交于点P，则的长为 ．
15．如图，在中，，点在边的延长线上，点在边上（不与点重合），连接，以点为顶点作的边交边于点，若，则 ．
16．如图，在菱形中，以对角线上一点为圆心，长为半径的圆恰好经过点，，连结并延长交于点．若，，则半径长为 ； ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
（1）求点A，点C的坐标；
（2）如图2，连结AC，DC，过点C作交抛物线于点E.求证：∠DCE＝∠CAO；
（3）如图3，在（2）的条件下，连结BC，在射线EC上有点P，使以点D，E，P为顶点的三角形与△ABC相似，求EP的长.
18．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，点在网格线上不在格点上．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．
（1）在图1中作的中线；
（2）在图2中作的高线；
（3）在图3中的边上确定点，连结，使得．
19．如图①，在正方形 中， ， 为对角线 上任意一点（不与 重合），连接 ，过点 作 ，交线段 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ；
（3）如图②，连接 交 于点 ．若 ，求 的值．
20．已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D，E分别为AC，BC 边上的点(不包括端点)，且 连接AE，过点 D 作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM 交AB 于点F.
（1）如图①，过点 E 作EH⊥AB 于点 H，连接DH.
①求证：四边形 DHEC 是平行四边形.
②若 求证：AE=DF.
（2）如图②，若 求 的值.
21．如图，等腰 内接于 ． 为 上一点，连结 交 于点 ，连结 并延长交 延长线于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ．
①求证： ．
②当 时，求 的值．
22．【问题情境】
如图1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？
直接写出结论：______（不用证明）．
【变式探究】
如图2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，，求的长．
【拓展应用】
如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若，，，求出的值．
23．新定义：有两边之比为的三角形叫做“勤业三角形”．
（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号）
①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形．
（2）如图1，是的内接三角形，为直径，D为上一点，且，作，交线段于点F，交于点E，连接交于点G．试判断和是否是“勤业三角形”并证明．
（3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的值
24．如图1所示，是的直径，弦于点E，G是弧上一点，连接，和，H为与的交点．
（1）求证：；
（2）连接交于点M，
①如图2，若恰好经过点，，，求的长度；
②如图3，过点A作，连结EN，若，，，请用含的代数式表示的长度．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
