浙教版九上数学第一次月考模拟卷
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初三数学第一次月考复习讲义
一、选择题
1． 下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2． 将二次函数 的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
3． 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽 AB 为 16m，此时拱顶 O 到水面 AB 的距离为（ ）
A．4m B．3m C．2m D．1m
4． 二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，抛物线 与x轴交于点A(-1，0)，顶点坐标(1，n)，与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①3a+b<0；( ③对于任意实数m，a+b≥ 总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为( ).
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个
8． 已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
9．二次函数在的范围内有最小值为，则c的值（ ）
A．3或 B． C．或1 D．3
10．已知关于x的二次函数（m，n为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴在y轴的左侧
C．若，该函数图象与x轴没有交点
D．当时，该函数的最大值与最小值的差为4
二、填空题
11． 若抛物线 经过 和 两点，则 .
12．已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
13．已知实数x，y满足 ，则x+y的最大值为 ．
14． 如图，在相距 2m 的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面 2.6m，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高 1.1m 的小妹距较近的那棵树 0.5m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 m.
15．我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有 （填序号）
16．二次函数 在 的范围内有最大值 1，则 .
三、解答题
17．已知 是关于 x 的二次函数. 求 m 的值及函数表达式.
18．已知二次函数 （a 为常数且 ）.
（1） 当函数图象经过 (4，0)，求该二次函数的表达式.
（2） 若 ，判断该二次函数图象与 x 轴的交点个数并证明.
（3） 若该函数图象上有两点 ，其中 ，若 ，.
求证：.
19．已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 ，对称轴是直线 。
（1）求此二次函数的表达式。
（2）求二次函数 的最大值。
（3）当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的取值范围。
20．根据背景素材，探索解决问题．
素材1 电动车是重要的出行工具之一．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
素材2 若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1 为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长百分率为a，依题意列方程为：________．
任务2 若该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为________（用含x的代数式表示）
任务3 当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润．
21．综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
如何设计大棚苗木种植方案？
【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．
【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）
【解决问题】
（1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式；
（2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标x的取值范围；
（3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标x的值．
22．根据以下素材，探索完成任务．
如何确定防守方案？
素材1 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，已知，．
素材2 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为水平距离（水平距离=水平速度×时间）与离地高度的鹰眼数据如右表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． …912151821……5…
问题解决
任务1 确定运动轨迹 求关于的函数表达式．
任务2 探究防守方案 若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由．
任务3 拟定执行计划 求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度．
23．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
24．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
25．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．
（1）求点P的坐标和a的值．
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
26．如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；
（3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】A
10．【答案】D
11．【答案】-1
12．【答案】且
13．【答案】4
14．【答案】0.6
15．【答案】②③④
16．【答案】 或
17．【答案】解：根据二次函数的定义，得
由①，得 由②，得：
所以m=2，函数表达式是
18．【答案】（1）解：将(4，0)代入 得16a-16a+4a+4=0，
解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为
（2）解：该二次函数图象与 x 轴无交点.
令 ，
，
，
方程 无实数解，
该二次函数图象与 x 轴无交点.
（3）证明：∵该函数图象上有两点，，
∴，，
∴，
∴，，∴，，
∴，∴，
∴，即.
19．【答案】（1）解： 对称轴是直线 ．
的图象经过点 ．
（2）解： ，
其最大值为
（3）解： 的对称轴是直线 ．
当 时，二次函数取得最大值 ．
当 时，二次函数值为 2 ．
而 当 时，恰好符合．
根据二次函数的对称性可得，
当 时，最大值仍然为函数本身的最大值，最小值为 时对应的函数值，亦符合．
故
20．【答案】任务1：；
任务2：；
任务3：设总利润为w元，销售量为y个，
∴
，
∴当时，元，
∴当x为65时，销售总利润达到最大，最大总利润为12250元．
21．【答案】（1）
（2）
（3）最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为
22．【答案】任务一：
解：任务1：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴h关于s的函数表达式为；
任务二：
任务2：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由如下：
在中，当时，，
∵，
∴若守门员选择原地接球，不能防守成功；
任务三
：当守门员刚好接到球时，则，
把代入中得：，
解得，
∴此时球的飞行时间为，
∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于，
∴守门员的速度要大于等于，
∴守门员的最小速度为．
23．【答案】（1）
（2）点M坐标（1，2）
（3）存在，点P坐标为（1，6），（1，），（1，），（1，）
24．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2
(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）
(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．
25．【答案】（1）解：对于，由，得，
∴，
把代入中，
可得：，
解得：；
（2）解：∵，，∴，
①选择扣球，令，有，
解得：，
即落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
②选择吊球，令，有，
解得：（负值舍去），
即落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
26．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由，当时，，则∵，则，对称轴为直线
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
当时，，则
∴
∴
∴是等腰三角形，
∴
连接，设交轴于点，则
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又
∴
∴
∴点与点重合时符合题意，
如图所示，过点作交抛物线于点，
设直线的解析式为，将代入得，
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：，
∴
综上所述，或；
（3）解：∵，，∴
∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中
∴，
①当时，，解得：或
②当时，，解得：
③当时，，解得：或（舍去）
综上所述，或或或．
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初三数学第一次月考复习讲义
一、选择题
1． 下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2． 将二次函数 的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
3． 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽 AB 为 16m，此时拱顶 O 到水面 AB 的距离为（ ）
A．4m B．3m C．2m D．1m
4． 二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，抛物线 与x轴交于点A(-1，0)，顶点坐标(1，n)，与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①3a+b<0；( ③对于任意实数m，a+b≥ 总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为( ).
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个
8． 已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
9．二次函数在的范围内有最小值为，则c的值（ ）
A．3或 B． C．或1 D．3
10．已知关于x的二次函数（m，n为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴在y轴的左侧
C．若，该函数图象与x轴没有交点
D．当时，该函数的最大值与最小值的差为4
二、填空题
11． 若抛物线 经过 和 两点，则 .
12．已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
13．已知实数x，y满足 ，则x+y的最大值为 ．
14． 如图，在相距 2m 的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面 2.6m，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高 1.1m 的小妹距较近的那棵树 0.5m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 m.
15．我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有 （填序号）
16．二次函数 在 的范围内有最大值 1，则 .
三、解答题
17．已知 是关于 x 的二次函数. 求 m 的值及函数表达式.
18．已知二次函数 （a 为常数且 ）.
（1） 当函数图象经过 (4，0)，求该二次函数的表达式.
（2） 若 ，判断该二次函数图象与 x 轴的交点个数并证明.
（3） 若该函数图象上有两点 ，其中 ，若 ，.
求证：.
19．已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 ，对称轴是直线 。
（1）求此二次函数的表达式。
（2）求二次函数 的最大值。
（3）当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的取值范围。
20．根据背景素材，探索解决问题．
素材1 电动车是重要的出行工具之一．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
素材2 若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1 为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长百分率为a，依题意列方程为：________．
任务2 若该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为________（用含x的代数式表示）
任务3 当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润．
21．综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
如何设计大棚苗木种植方案？
【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．
【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）
【解决问题】
（1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式；
（2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标x的取值范围；
（3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标x的值．
22．根据以下素材，探索完成任务．
如何确定防守方案？
素材1 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，已知，．
素材2 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为水平距离（水平距离=水平速度×时间）与离地高度的鹰眼数据如右表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． …912151821……5…
问题解决
任务1 确定运动轨迹 求关于的函数表达式．
任务2 探究防守方案 若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由．
任务3 拟定执行计划 求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度．
23．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
24．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
25．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．
（1）求点P的坐标和a的值．
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
26．如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；
（3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】A
10．【答案】D
11．【答案】-1
12．【答案】且
13．【答案】4
14．【答案】0.6
15．【答案】②③④
16．【答案】 或
17．【答案】解：根据二次函数的定义，得
由①，得 由②，得：
所以m=2，函数表达式是
18．【答案】（1）解：将(4，0)代入 得16a-16a+4a+4=0，
解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为
（2）解：该二次函数图象与 x 轴无交点.
令 ，
，
，
方程 无实数解，
该二次函数图象与 x 轴无交点.
（3）证明：∵该函数图象上有两点，，
∴，，
∴，
∴，，∴，，
∴，∴，
∴，即.
19．【答案】（1）解： 对称轴是直线 ．
的图象经过点 ．
（2）解： ，
其最大值为
（3）解： 的对称轴是直线 ．
当 时，二次函数取得最大值 ．
当 时，二次函数值为 2 ．
而 当 时，恰好符合．
根据二次函数的对称性可得，
当 时，最大值仍然为函数本身的最大值，最小值为 时对应的函数值，亦符合．
故
20．【答案】任务1：；
任务2：；
任务3：设总利润为w元，销售量为y个，
∴
，
∴当时，元，
∴当x为65时，销售总利润达到最大，最大总利润为12250元．
21．【答案】（1）
（2）
（3）最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为
22．【答案】任务一：
解：任务1：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴h关于s的函数表达式为；
任务二：
任务2：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由如下：
在中，当时，，
∵，
∴若守门员选择原地接球，不能防守成功；
任务三
：当守门员刚好接到球时，则，
把代入中得：，
解得，
∴此时球的飞行时间为，
∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于，
∴守门员的速度要大于等于，
∴守门员的最小速度为．
23．【答案】（1）
（2）点M坐标（1，2）
（3）存在，点P坐标为（1，6），（1，），（1，），（1，）
24．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2
(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）
(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．
25．【答案】（1）解：对于，由，得，
∴，
把代入中，
可得：，
解得：；
（2）解：∵，，∴，
①选择扣球，令，有，
解得：，
即落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
②选择吊球，令，有，
解得：（负值舍去），
即落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
26．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由，当时，，则∵，则，对称轴为直线
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
当时，，则
∴
∴
∴是等腰三角形，
∴
连接，设交轴于点，则
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又
∴
∴
∴点与点重合时符合题意，
如图所示，过点作交抛物线于点，
设直线的解析式为，将代入得，
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：，
∴
综上所述，或；
（3）解：∵，，∴
∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中
∴，
①当时，，解得：或
②当时，，解得：
③当时，，解得：或（舍去）
综上所述，或或或．
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