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第2章 有理数的运算
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）下列四个选项中正确的是（ ）
A．是无理数 B．0没有平方根 C． D．的绝对值是
【答案】D
【详解】解：A. 是有理数，故该选项不正确，不符合题意；
B. 0的平方根是，故该选项不正确，不符合题意；C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. 的绝对值是，故该选项正确，符合题意；故选：D．
2．（24-25七年级下·北京大兴·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意．故选：B．
3．（24-25七年级下·吉林·期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴，，，
∴，，，∴，故选：．
4．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）关于的叙述错误的是（ ）
A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点
C．的相反数是 D．的整数部分是4
【答案】D
【详解】解：A、面积为13的正方形的边长是，正确，不符合题意；
B、在数轴上可以找到表示的点，正确，不符合题意；C、的相反数是，正确，不符合题意；D、，故的整数部分是3，原说法错误，符合题意；故选：D．
5．（2025·安徽阜阳·三模）（数学文化）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为．若介于两个连续整数n和之间，则n的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：，，即，，
无理数的值介于两个连续整数和之间，，故选：B．
6．（24-25七年级下·山东济宁·期中）下列说法正确的是（ ）
A．带根号的数是无理数 B．不存在与本身的算术平方根相等的数
C．负数没有立方根 D．无理数是无限不循环小数
【答案】D
【详解】解：A. 带根号的数不一定是无理数，如，故选项错误，不符合题意；
B. 存在与本身的算术平方根相等的数，如故选项错误，不符合题意；
C. 负数有立方根，故选项错误，不符合题意；
D. 无理数是无限不循环小数，故选项正确，符合题意；故选：D
7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，该二阶魔方为正方体结构，若该二阶魔方的体积为，则该二阶魔方的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵二阶魔方的体积为，∴它的棱长为，故选：D．
8．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）观察表格并回答问题，已知，则（ ）
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 1 100 …
A．0.0077 B．0.077 C．0.0245 D．0.245
【答案】D
【详解】解：∵，∴，故选：D．
9．（24-25七年级下·北京·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．1的平方根和立方根都等于它本身 B．若，则
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、1的平方根是，故A选项错误；B、若，则，故B选项错误；
C、，，故C选项错误；D、，故D选项正确．故选：D．
10．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，，是两位数，
又只有个位上是的数的立方的个位上的数是，的个位上的数是，
如果划去后面的三位得到，而，，
十位上的数是，的值是，故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·广东广州·期中）的相反数是 ，的立方根是 ，的平方根是 。
【答案】
【详解】解：的相反数是：，的立方根是：，
的平方根是：．故答案为：；；．
12．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）计算的结果是 ．
【答案】
【详解】解：．故答案为：．
13．（24-25七年级下·天津·期中）（1）比较大小： 1（填写“”或“”）；
（2）的算术平方根是 ；（3）一个正数的两个平方根是和，则的立方根为 ．
【答案】 3 3
【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴，故答案为：．
（2），∵，∴9的算术平方根是3，即的算术平方根是3，故答案为：3．
（3）∵一个正数的两个平方根是和，
∴，，∴，
∴，∴，
∵，∴27的立方根为3，即的立方根为3，故答案为：3．
14．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）若，则的平方根是 ．
【答案】
【详解】解：，，解得：，
的平方根是，故答案为：．
15．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）若，，，则 （用、、来表示）
【答案】
【详解】解：∵，∴；故答案为：．
16．（24-25七年级下·广东江门·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是 ．
【答案】
【详解】解：∵，，，，，，
∴第个数是，故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·北京大兴·期中）把下列各实数填在相应的集合内：，，，，，，，，．
整数集合：{ …} 负有理数集合：{ …} 无理数集合：{ …}
【答案】；；．
【详解】解： 整数集合：； 负有理数集合：； 无理数集合：．
18．（24-25七年级下·重庆开州·期中）计算：
(1)；(2)
【答案】(1)6(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4．(1)直接写出a，b，m的值；(2)求的平方根；(3)若的整数部分是x，小数部分是y，计算的值．
【答案】(1)，，；(2)；(3)．
【详解】（1）解：∵a的平方根是它本身，∴，
∵的立方根是3，∴，解得：，
∵的算术平方根是4，∴，解得：；
（2）解：∵，，，∴，
∵的平方根是，∴的平方根是；
（3）解：∵，，∴，
∵，即，∴的整数部分为，小数部分为，∴．
20．（24-25七年级下·福建福州·期中）【生活发现】（1）如图1，把两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到了一个面积为2的大正方形，则大正方形边长为______．
根据有理数的定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．
【提出猜想】通过不断估算，发现不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商．因此，提出猜想：不是有理数．
【数学证明】假设：为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且），则，即．
是整数且不为0，是2的倍数．设（是整数，且），
则．．也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾．不是有理数．
【类比迁移】（2）如图2，是一个顶点与原点重合的正方形，且该正方形面积为5，请你利用尺规，在数轴上标出表示的点；（3）请你模仿上述过程，证明：不是有理数．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【详解】解：（1）由题意可知：两个小正方形的面积分别为1，
∴大正方形的面积之和为：2，∴大正方形的边长为；故答案为：；
（2）如图，点即为所作；
；
（3）假设：为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且），则，即．
是整数且不为0，是10的倍数．设（是整数，且），
则．．也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾．不是有理数．
21．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．
(1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______．
(2)请你阅读以下材料，并完成作答：
，，的整数部分为2，小数部分为．
根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______．
(3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．）
【答案】(1)，(2)2，(3)他不能裁出来，理由见详解
【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．
则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为．∴
∴点A表示的数为；点B表示的数为，故答案为：，；
（2）解：由（1）得点B表示的数为，依题意，，
，的整数部分为2，小数部分为．
∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为；故答案为：2，；
（3）解：他不能裁出来，理由如下：依题意，设长方形纸片的长为，
∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，
∴宽为，，则，∴（负值已舍去）则长方形纸片的长为，
∵，∴，依题意，面积为10的正方形纸片的边长为，且
∵即，∴他不能裁出来．
22．（24-25七年级下·吉林·期中）创新是一个民族进步的灵魂，是国家文明发展的不竭动力，一个没有创新力的民族难以屹立于世界民族之林．今年我国出现了震惊世界的具有超强创新能力的智能机器人、，其创始人分别为王兴兴、梁文锋．在学习完实数的相关运算之后，小智猜想出了一个新的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积可能存在相等关系？小智用自己的方法进行了验证：，而，，∴，即．
请你根据小智的猜想，解答下列问题．(1)比较大小：_____（填“”“”或“”）．
(2)当，时，直接写出和之间关系．(3)运用（）的结论，计算：．已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．(4)直接写出的值．
【答案】(1)；(2)或；
(3)；这个长方形的面积为；(4)．
【详解】（1）解：∵，，∴，∴，故答案为：；
（2）解：或；
（3）解：；
这个长方形的面积；
（4）解：．
23．（24-25·浙江·七年级课时练习）【发现】
①；②；③
④……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)，符合上述规律，故答案为：；
(2)∵与的值互为相反数，
∴+=0，∴，解得，
代入中，解得，，∴．
24．（24-25七年级下·广东东莞·期末）我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？
整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100
整数的立方 1 8 27 216 729 103 106
(1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格：
(2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数：
①确定立方根的位数：由猜想是 位数；
②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ；
③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ；
④确定立方根的值：由可得的值为 ．
(3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程．
【答案】(1)(2)①两；②7；③2；④27(3)这个正方形棱长是72
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：要得到的结果，可以按如下步骤思考：
①∵，而，
∴，由此得是两位数；
②∵19683的个位上的数是3，而只有7的立方的个位上的数是3，∴的个位上的数是7；
③∵，且，所以的十位上的数字是2；
④综合以上可得，；
（3）解：设这个正方形棱长是x，根据题意得：，故，求解如下：
第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；
第二步：确定个位数字，因为373248的个位上的数是8，而2的立方的个位上的数是8，所以的个位上的数是2；
第三步：确定十位数字，划去373248后面的三位248得到373，因为，而，所以的十位上的数字是7；综合以上可得，，故这个正方形棱长是72．
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第2章 有理数的运算
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）下列四个选项中正确的是（ ）
A．是无理数 B．0没有平方根 C． D．的绝对值是
2．（24-25七年级下·北京大兴·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·吉林·期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）关于的叙述错误的是（ ）
A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点
C．的相反数是 D．的整数部分是4
5．（2025·安徽阜阳·三模）（数学文化）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为．若介于两个连续整数n和之间，则n的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（24-25七年级下·山东济宁·期中）下列说法正确的是（ ）
A．带根号的数是无理数 B．不存在与本身的算术平方根相等的数
C．负数没有立方根 D．无理数是无限不循环小数
7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，该二阶魔方为正方体结构，若该二阶魔方的体积为，则该二阶魔方的棱长为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级下·四川·阶段练习）观察表格并回答问题，已知，则（ ）
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 1 100 …
A．0.0077 B．0.077 C．0.0245 D．0.245
9．（24-25七年级下·北京·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．1的平方根和立方根都等于它本身 B．若，则
C． D．
10．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·广东广州·期中）的相反数是 ，的立方根是 ，的平方根是 。
12．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）计算的结果是 ．
13．（24-25七年级下·天津·期中）（1）比较大小： 1（填写“”或“”）；
（2）的算术平方根是 ；（3）一个正数的两个平方根是和，则的立方根为 ．
14．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）若，则的平方根是 ．
15．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）若，，，则 （用、、来表示）
16．（24-25七年级下·广东江门·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·北京大兴·期中）把下列各实数填在相应的集合内：，，，，，，，，．
整数集合：{ …} 负有理数集合：{ …} 无理数集合：{ …}
18．（24-25七年级下·重庆开州·期中）计算：(1)；(2)
19．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4．(1)直接写出a，b，m的值；(2)求的平方根；(3)若的整数部分是x，小数部分是y，计算的值．
20．（24-25七年级下·福建福州·期中）【生活发现】（1）如图1，把两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到了一个面积为2的大正方形，则大正方形边长为______．
根据有理数的定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．
【提出猜想】通过不断估算，发现不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商．因此，提出猜想：不是有理数．
【数学证明】假设：为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且），则，即．
是整数且不为0，是2的倍数．设（是整数，且），
则．．也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾．不是有理数．
【类比迁移】（2）如图2，是一个顶点与原点重合的正方形，且该正方形面积为5，请你利用尺规，在数轴上标出表示的点；（3）请你模仿上述过程，证明：不是有理数．
21．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．
(1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______．
(2)请你阅读以下材料，并完成作答：
，，的整数部分为2，小数部分为．
根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______．
(3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．）
22．（24-25七年级下·吉林·期中）创新是一个民族进步的灵魂，是国家文明发展的不竭动力，一个没有创新力的民族难以屹立于世界民族之林．今年我国出现了震惊世界的具有超强创新能力的智能机器人、，其创始人分别为王兴兴、梁文锋．在学习完实数的相关运算之后，小智猜想出了一个新的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积可能存在相等关系？小智用自己的方法进行了验证：，而，，∴，即．
请你根据小智的猜想，解答下列问题．(1)比较大小：_____（填“”“”或“”）．
(2)当，时，直接写出和之间关系．(3)运用（）的结论，计算：．已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．(4)直接写出的值．
23．（24-25·浙江·七年级课时练习）【发现】①；②；③；④……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
24．（24-25七年级下·广东东莞·期末）我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？
整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100
整数的立方 1 8 27 216 729 103 106
(1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格：
(2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数：
①确定立方根的位数：由猜想是 位数；
②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ；
③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ；
④确定立方根的值：由可得的值为 ．
(3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程．
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