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专题3.4 实数的运算
1、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立；
2、能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化有理数计算；
3、能用计算器按相关要求进行实数的运算。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1.实数的混合运算 2
考点2.程序设计与实数运算 4
考点3.新定义下的实数运算 5
考点4.实数运算的规律探究问题 6
考点5.实数运算的实际应用 7
考点6.用计算器进行实数的相关运算 8
模块3：培优训练 10
1）实数的运算顺序：实数的混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。同级运算按照从左到右顺序进行。
2）实数的运算规则：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。
3）实数的四则运算：有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用（交换律、结合律、分配律）。
4）能用计算器进行实数的运算，近似计算时按题目的要求用计算器得到结果近似值。
考点1.实数的混合运算
例1．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)6(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
例2．（24-25七年级下·广东珠海·期中）计算：（1）．（2）
【答案】（1）（2）
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
变式1．（24-25七年级下·广东阳江·期中）计算：（1）．（2）．
【答案】（1）（2）
【详解】（1）解：
．
（2）解：
变式2．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）计算：（1）．（2）．
【答案】（1）（2）
【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根和算术平方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
变式3．（24-25七年级下·山西朔州·期中）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
，
；
（2）
．
变式4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)4 (2)3 (3)
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
考点2.程序设计与实数运算
例1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】B
【详解】解：当时：输入8：，输入2：，输出；故；故选B．
变式1．（24-25七年级下·山东·期中）在如图所示的运算程序中，当输入的值是64时，输出的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【详解】解：当输入的值是64时，取算术平方根得，8是有理数，再取立方根得，
2是有理数，再取算术平方根得，由于是无理数，所以输出的值是．故选：B．
变式2．（24-25七年级下·广东·期中）有一个数值转换器，其工作原理如图所示．当输入x的值为64时，输出y的值是 ．
【答案】
【详解】解：，∵8不是无理数，∴，∵2不是无理数，∴2的算术平方根式，
∵是无理数，∴，故答案为：．
考点3.新定义下的实数运算
例1．（24-25七年级下·云南昆明·期中）现对实数a，b定义一种运算：．则等于（ ）
A． B． C．2 D．5
【答案】A
【详解】解：．故选：A．
例2．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【详解】解：由题意得：，，由于x和y为两个连续正整数，，
∴，，∴∴的算术平方根为4，故选：C．
变式1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义一种运算：对于任意实数，，都有，则的值是 ．
【答案】9
【详解】解：∵对于任意实数，，都有，
∴，故答案为：9．
变式2．（24-25七年级下·重庆石柱·期中）对于任意实数x，可以用表示不超过x的最大整数，例如，若将x变换成称为对x进行一次操作．例如，现对38进行如下操作：
这样对38进行三次操作后变为1，现对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（ ）
①对130进行两次操作后的结果为3；②对一个正整数一直进行操作，最终结果都不小于1；
③若正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，则x的最大值为65536
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，故①正确；
设n为一个正整数，则，即，
∴对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1，故②正确；
设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m，经过第三次操作后的数为s，
∵正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，∴正整数进行4次操作后变为1，
∴，∴．∴，∴∴．∴，
同理可得，∴∵是正整数．∴的最大值为65535．故③不正确；故选：B。
考点4.实数运算的规律探究问题
例1．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】前行的数据的个数为，
所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是，
所以，第10行从左向右数第7个数是．故选B．
变式1．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）观察下列各式：，，…，请你根据以上式子的规律，写出第n个式子： ．
【答案】
【详解】解：由，，…，
故第n个式子为．故答案为：．
变式2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ．
【答案】73
【详解】解：根据题中的规律得：的正整数），
，，，则．故答案为：73．
考点5.实数运算的实际应用
例1．（24-25七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.
(1)A，B两正方形的边长各是多少？
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.
【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3(2)2.20
【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9，
∴正方形A和正方形B的边长各是；
（2）解：由题意得：．
变式1．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知球体的体积，若一个球的体积，则它的半径 ．
【答案】6
【详解】解：∵球体的体积公式为，球的体积，
∴，∴故答案为：6．
变式2．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，）。(1)求摆针摆动的周期．(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
【答案】(1)(2)该座钟大约发出了420次滴答声
【详解】（1）解：∵，∴当时，；
（2）（次）．答：该座钟大约发出了420次滴答声．
考点6.用计算器进行实数的相关运算
例1．（2025七年级上·浙江·专题练习）用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是
故选：A．
变式1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（ ）
A．3.2 B．4.0 C．4.2 D．4.4
【答案】C
【详解】解：．故选：C．
变式2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果应为 ．
【答案】5
【详解】解：依题意得：，故答案为：5．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算：（ ）
A． B．5 C． D．1
【答案】C
【详解】解：．故选C．
2．（24-25七年级上·浙江·期中）计算：（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】解：．故选：D
3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）计算的结果是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【详解】解：故选：A
4．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）用我们数学课本上选用的科学计算器计算下列算式的值，其按键顺序正确的是（ ）
A．计算，按键：
B．计算，按键：
C．计算，按键：
D．计算，按键：
【答案】B
【详解】A．求按键： ，故选项错误，不符合题意；
B．求按键： ，故选项正确，符合题意；
C．求按键： ，故选项错误，不符合题意；
D．求按键： ，故选项错误，不符合题意．故选：B．
5．（24-25八年级下·山东聊城·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：若开始输入的的值是64，则其立方根为4，它是有理数；
然后求得4的算术平方根是2，它是有理数；则2的立方根为，它是无理数，输出答案；故选：C．
6．（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2，∴两个正方形的边长分别是，2，
∴阴影部分的面积 故选A．
7．（23-24七年级下·山东德州·期末）数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
，，；；
计算式子 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由，，；；
则原式，，故选：．
8．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）定义运算：．例如：．若，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】C
【详解】∵∴∴
∴∴∴．故选：C．
9．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）对实数a．b，定义“★”运算规则如下：，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意可得，，
∴，故选：A
10．（23-24八年级下·云南大理·期中）有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题知，数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正，
因为是奇数，所以第个数是负数．
将改写成可发现，分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2，所以第2023个数的分母是；
分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2，
所以第2023个数的分子上的被开方数是2024，所以第2023个数是．故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11.（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）计算： ．
【答案】
【详解】解：，故答案为：．
12．（24-25八年级上·山东青岛·期末） ．（结果精确到0.1）
【答案】5.1
【详解】解：在计算器上依次按键，25.7，，显示5.069516742，可得，故答案为：5.1．
13．（2025七年级下·重庆·专题练习）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵输出的数是，∴根据流程图，的平方是，的倒数是4，4的立方是，64的平方根是，故x的值为，故答案为：．
14．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）若实数a、b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”的是： ．
【答案】
【详解】解：∵∴与是关于6的“如意数”．故答案为：．
15．（24-25七年级下·广西河池·期中）定义为不大于x的最大整数，如，，．若，则m能取得的最大整数为 ．
【答案】
【详解】解：由题意可得：，∴，
∴m能取得的最大整数为，故答案为：．
16．（24-25七年级下·北京·期中）规定：用符号表示不超过的最大整数．例如：，．按此规定，(1)___，___，___；
(2)___．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：用符号表示不超过的最大整数，指的小于等于的最大整数，如图所示，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
，故答案为：；
（2）解：，
∴，
，
，
∴，故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·广东珠海·期中）计算：（1）（2）
【答案】（2）（2）
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
18．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）计算：
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．（24-25七年级下·河北唐山·期中）计算：(1) (2)
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
（2）
．
20．（24-25七年级下·重庆·广东）请阅读下面材料，并完成相应的任务．
设是有理数，且满足，求的值．
解：由题意，得．
因为都是有理数，所以也是有理数．
因为是无理数，所以，即，所以．
根据阅读材料，解决问题：设都是有理数，且满足，求的值．
【答案】的值为7或
【详解】解：因为，所以，
所以．
因为都是有理数，所以也是有理数．
因为是无理数，所以，解得，
当时，，当时，．综上所述，的值为7或．
21．（24-25七年级下·福建厦门·期中）对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如：。(1)根据定义，______．(2)求的平方根．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：故答案为：．
（2）解：
∴的平方根为
22．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求_______________．（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形．
【答案】（1）10；（2）见解析
【详解】解：（1），故答案为：10；
（2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，则作图如下：
.
23．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料，解决问题：
材料一：设表示不大于x的最大整数，如，．
材料二：求的值：∵，∴，∴，∴．
材料三：2025数字构成的巧合：；．
2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年．
(1) ； ； ．
(2)已知n为整数，化简：（结果用含n的代数式表示）．
(3)已知，，令，求．
【答案】(1)，6，2(2)当时，，当时，，(3)
【详解】（1）解：∵，∴
∵，即：，∴；
∵，，∴．故答案为：，6，2
（2）∵n为整数，，∴，
当时，，当时，，
（3）由（2）得
，，
∴∴．
24．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题：
①；②；③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______
(3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，
计算：
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：根据题意：；
（2）解：；
（3）解：原式
．
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专题3.4 实数的运算
1、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立；
2、能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化有理数计算；
3、能用计算器按相关要求进行实数的运算。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1.实数的混合运算 2
考点2.程序设计与实数运算 4
考点3.新定义下的实数运算 5
考点4.实数运算的规律探究问题 6
考点5.实数运算的实际应用 7
考点6.用计算器进行实数的相关运算 8
模块3：培优训练 10
1）实数的运算顺序：实数的混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。同级运算按照从左到右顺序进行。
2）实数的运算规则：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。
3）实数的四则运算：有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用（交换律、结合律、分配律）。
4）能用计算器进行实数的运算，近似计算时按题目的要求用计算器得到结果近似值。
考点1.实数的混合运算
例1．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）计算：(1)；(2)．
例2．（24-25七年级下·广东珠海·期中）计算：（1）．（2）
变式1．（24-25七年级下·广东阳江·期中）计算：（1）．（2）．
变式2．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）计算：（1）．（2）．
变式3．（24-25七年级下·山西朔州·期中）计算：(1)； (2)．
变式4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算：
(1)；(2)；(3)．
考点2.程序设计与实数运算
例1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（ ）
A． B． C．2 D．8
变式1．（24-25七年级下·山东·期中）在如图所示的运算程序中，当输入的值是64时，输出的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
变式2．（24-25七年级下·广东·期中）有一个数值转换器，其工作原理如图所示．当输入x的值为64时，输出y的值是 ．
考点3.新定义下的实数运算
例1．（24-25七年级下·云南昆明·期中）现对实数a，b定义一种运算：．则等于（ ）
A． B． C．2 D．5
例2．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
变式1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义一种运算：对于任意实数，，都有，则的值是 ．
变式2．（24-25七年级下·重庆石柱·期中）对于任意实数x，可以用表示不超过x的最大整数，例如，若将x变换成称为对x进行一次操作．例如，现对38进行如下操作：
这样对38进行三次操作后变为1，现对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（ ）
①对130进行两次操作后的结果为3；②对一个正整数一直进行操作，最终结果都不小于1；
③若正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，则x的最大值为65536
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
考点4.实数运算的规律探究问题
例1．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）观察下列各式：，，…，请你根据以上式子的规律，写出第n个式子： ．
变式2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ．
考点5.实数运算的实际应用
例1．（24-25七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.(1)A，B两正方形的边长各是多少？(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.
变式1．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知球体的体积，若一个球的体积，则它的半径 ．
变式2．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，）。(1)求摆针摆动的周期．(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
考点6.用计算器进行实数的相关运算
例1．（2025七年级上·浙江·专题练习）用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（ ）
A．3.2 B．4.0 C．4.2 D．4.4
变式2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果应为 ．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算：（ ）
A． B．5 C． D．1
2．（24-25七年级上·浙江·期中）计算：（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）计算的结果是（ ）
A．1 B．0 C． D．
4．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）用我们数学课本上选用的科学计算器计算下列算式的值，其按键顺序正确的是（ ）
A．计算，按键：
B．计算，按键：
C．计算，按键：
D．计算，按键：
5．（24-25八年级下·山东聊城·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．2 D．
7．（23-24七年级下·山东德州·期末）数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
，，；；
计算式子 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）定义运算：．例如：．若，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．9
9．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）对实数a．b，定义“★”运算规则如下：，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．（23-24八年级下·云南大理·期中）有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11.（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）计算： ．
12．（24-25八年级上·山东青岛·期末） ．（结果精确到0.1）
13．（2025七年级下·重庆·专题练习）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ．
14．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）若实数a、b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”的是： ．
15．（24-25七年级下·广西河池·期中）定义为不大于x的最大整数，如，，．若，则m能取得的最大整数为 ．
16．（24-25七年级下·北京·期中）规定：用符号表示不超过的最大整数．例如：，．按此规定，(1)___，___，___；
(2)___．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·广东珠海·期中）计算：（1）（2）
18．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）计算：(1) (2)
19．（24-25七年级下·河北唐山·期中）计算：(1) (2)
20．（24-25七年级下·重庆·广东）请阅读下面材料，并完成相应的任务．
设是有理数，且满足，求的值．
解：由题意，得．
因为都是有理数，所以也是有理数．
因为是无理数，所以，即，所以．
根据阅读材料，解决问题：设都是有理数，且满足，求的值．
21．（24-25七年级下·福建厦门·期中）对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如：。(1)根据定义，______．(2)求的平方根．
22．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求_______________．（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形．
23．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料，解决问题：
材料一：设表示不大于x的最大整数，如，．
材料二：求的值：∵，∴，∴，∴．
材料三：2025数字构成的巧合：；．
2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年．
(1) ； ； ．
(2)已知n为整数，化简：（结果用含n的代数式表示）．
(3)已知，，令，求．
24．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题：
①；②；③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______
(3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，
计算：
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