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专题3.5 实数中的十大压轴问题
1. 思维提升 ：培养分类讨论、数形结合及逻辑推理能力；
2. 拓展应用 ：将实数问题与代数、几何知识融合解决复杂情境。
实数作为数学基础概念，其压轴题常出现在初中阶段的综合性难题中，主要考察学生对数系性质、运算规则及实际应用的综合掌握能力。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.算术平方根的双重非负性 2
考点2.平方根的新定义问题 3
考点3.立方根的新定义问题 5
考点4.估算类的新材料（新方法）问题 8
考点5.平方根与立方根的性质综合问题 11
考点6.大数的立方根求法 13
考点7.平方根与立方根的小数点移动规律问题 16
考点8.根式的规律探究 17
考点9.实数的相关运算综合 19
考点10.实数的实际应用 21
模块3：培优训练 24
1）算术平方根的双重非负性是指：≥0且≥0。
2）算术平方根的性质：
3）立方根的性质： ； ； 。
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题；立方根符号与原数符号相同，简化正负数运算逻辑。
4）估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“ 两边逼近法 ”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。（3）也可使用几何图形或新定义的方法估算。
5）平方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位。如：，，，.
6）立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位。例如，，，，.
考点1.算术平方根的双重非负性
例1．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵与互为相反数，∴
∴，，解得：，．∴．故选：B．
例2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）已知：，求的值.
【答案】
【详解】解：实数满足，，，，
原式化为，整理得：，两边同时平方得：，
则．
变式1．（24-25八年级下·广西防城港·期中）已知，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴且，得，
∴，∴，∴，故选：C．
变式2．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）当 时，代数式有最小值，为 ．
【答案】 2 5
【详解】解：要使代数式有最小值，则取为最小值即可，
∵，∴当时，存在最小值，即，
把代入代数式，则最小值为．故答案为：；．
变式3．（24-25七年级下·北京朝阳·阶段练习）代数式的最大值为 ，此时a与b的关系是 ；
【答案】 互为相反数
【详解】解：，∴代数式的最大值为，
此时，即a与b的关系是互为相反数，故答案为：，互为相反数．
考点2.平方根的新定义问题
例1.（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
【阅读理解】仿照以上方法计算：________，________；
【解决问题】若，写出满足题意的的整数值________；
【扩展探究】①如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1；
②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数．
【答案】【阅读理解】：4，6；【解决问题】：1或2或3；【扩展探究】①3次；②255
【详解】解：∵，，，
，即，，， 故答案为：4，6；
【解决问题】解：，，
，，∴，或或，故答案为：1或2或3；
【扩展探究】解：①第一次：，第二次：，第三次：，
第3次之后结果为1，故答案为：3次；
②由上述求解过程可知，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
，，进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
，，进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，
只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255，故答案为：255．
变式1．（24-25七年级下·江西南昌·期中）阅读材料：
材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，；
材料二：定义新运算，如，对有序实数对．
若满足，则称该有序数对为“望一”数对：若满足，则称该有序数对为“望音”数对．
(1)计算的值；
(2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号）
①；②；③
(3)计算：______．
【答案】(1)(2)②，③(3)
【详解】（1）解：；
（2）解：①∵，
∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对；
②∵，∴是“望一”数对；
③∵∴是“望音”数对；
综上分析可知：“望一”数对的有②，是“望音”数对的有③．
（3）解：，，，
，，，，，
，，，，，，，……
，，，，
∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44，
．
变式2．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，．
【解答问题】(1)________；(2)若，求整数的值；
(3)若，，求的值．
【答案】(1)6(2)10，11(3)12
【详解】（1）解：∵，，，故答案为：6；
（2）解：∵，，解得：，∴整数的值为 10，11 ；
（3）解：，，
，
原式．
考点3.立方根的新定义问题
例1．（24-25七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题．
依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．
比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根．
(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：___；(2)625的四次方根为____；的五次方根为____；
(3)求下列的值：①；②．
【答案】(1)若，那么叫做的五次方根(2)，(3)①或；②
【详解】（1）解：由题意得：若，那么叫做的五次方根，
故答案为：若，那么叫做的五次方根．
（2）解：∵，∴625的四次方根是．
∵，∴的五次方根是． 故答案为：，．
（3）解：①，
或．
②
．
变式1．（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”．
(1)点，，中，不是“理想点”的是_____．(2)若点是“理想点”，求x的值．
(3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)和(2)；(3)的值为0或．
【详解】（1）解：∵，，
又∵，∴点是“理想点”；∵，，
又∵，∴点不是“理想点”；∵，，
又∵，∴点是“理想点”；故答案为：和；
（2）解：∵点是“理想点”，∴，∴，解得；
（3）解：∵点是“理想点”，∴，整理可得，∴或，
当时，，
当时，．
综上所述，的值为0或．
变式2．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）小聪是个爱思考的好学生，他利用模型设计了两种数学程序变换：
A变换：输入数—发出指令1：对数取立方根—发出指令2：取不小于该立方根的最小整数—输出数．
B变换：输入数—发出指令1：对数取算术平方根—发出指令2：把减去1—输出数．
如：6经过一次变换得到2，7经过一次变换得到．小聪根据该程序变换，设计并解答了如下4个问题：
①输入数，经过一次变换得到的输出数是3；
②输入数，经过一次变换得到的输出数是3；
③输入数经过一次变换得到，若，则的值为9；
④经过一次变换得到，再经过一次变换得到1，则的取值范围是．
利用验证结果，小聪解答正确的序号是 ．
【答案】①②③
【详解】解：①输入数，经过一次变换，即先求出，
∵∴∴不小于的最小整数为3，
即得到的输出数是3；故①是符合题意；
输入数，经过一次变换，即先求出，则
∴得到的输出数是3；故②是符合题意；
∵输入数经过一次变换得到，∴，
∵，∴，∴，
∴，即，∴，故③是符合题意；
∵再经过一次变换得到1，∴，∴，∴，
∵经过一次变换得到，即不小于的最小整数是，
∵∴的取值范围是．
故④不符合题意；故答案为：①②③
考点4.估算类的新材料（新方法）问题
例1．（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下：
∵面积为83的正方形的边长是，且，∴设，其中；
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：
又∵，∴
当时，假设忽略不计，得，解得，即．
(1)填空：的整数部分的值为 ；(2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】(1)11(2)
【详解】（1）解：∵，∴，
∴的整数部分的值为11；故答案为：11；
（2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且，
∴设，其中；
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：
又∵，∴
当时，假设忽略不计，得，解得，即．
变式1．（24-25七年级下·江苏南通·期中）
材料一： 材料二：
我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了改进求算术平方根近似值的方法，其核心思想是通过“以面命之”和“求其微数”来处理开方开不尽的情况．其近似公式可概括为：设N为待开方的正数，若其算术平方根的整数部分为a（即），余数为，则N的算术平方根的近似值为：．
，，即，的整数部分为，的小数部分为． 以为例：，．代入公式得．这一结果与现代方法所求近似值虽有误差，但在古代数学中已属先进成果．
任务：(1)利用材料一中的方法，的小数部分等于_______；
(2)利用材料二中的方法，的近似值为_______（结果保留两位小数）；
(3)已知，其中x为整数，且，结合所给材料，求式子的算术平方根的近似值（结果保留两位小数）．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，，即，
的整数部分为5，的小数部分为．故答案为：；
（2）解：，，，，
代入公式得．故答案为：；
（3）解：∵，∴，
∵，且，∴，，
∴，
∴的算术平方根为，
，，，，代入公式得．
变式2．（24-25八年级上·成都·期中）在没有带开方功能的计算器的情况下，我们可以用下面的方法得到（为正整数）的近似值（为正整数），并通过迭代逐渐减小的值来提高的精确度，以求的近似值为例，迭代过程如下：
① 先估计的范围并确定迭代的初始值．，，取．
② 通过计算和得到精确度更高的近似值．
请根据以上信息，完成下面的问题（此题中记，以下结果都要求写成小数形式）：
(1)当时，____，________，______；
(2)当时，求（精确到 0.001）、的值．
【答案】(1)，，(2)，，
【详解】（1）解：由题干所给的信息分析可得：
当时，将带入得，
∴，；
（2）解：当时，将代入得，
∴，．
考点5.平方根与立方根的性质综合问题
例1．（24-25七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④．
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________；
(2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立；
(3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值；
(4)若与的值互为相反数，且，求a的值．
【答案】(1)（答案不唯一）；(2)；(3)；(4)．
【详解】（1）解：（答案不唯一）；
（2）解：当时，则，反之也成立；
（3）解：∵与的值互为相反数，则，解得．
（4）解：与的值互为相反数，
，，
，，，．
例2．（24-25七年级下·重庆·期中）探索规律．
(1)________；________；________；________；________；
(2)__________；(3)若，则__________；若，则__________．
【答案】(1)2；2；；；0(2)(3)；
【详解】（1）解：；；；；；
（2）解：；
（3）解：若，则；
若，则．
变式2．（24-25八年级下·浙江·期中）根据立方根的意义填空：
_____，_____，______，_____，_____．
观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？
【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时，
【详解】解：；；；；，则对于实数；
对于式子（是整数），
当为偶数时，；
当为奇数时，．
变式2．（24-25八年级上·江苏·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7；
③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：(1)= ；(2)若，则 ；
(3)已知，且与互为相反数，求的值．
【答案】(1)(2)3(3)，；，；，
【详解】（1）解：因为，，所以是两位数，
因为；
猜想的个位数字是9，
接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到；
（2）解：∵，∴和 互为相反数，∴，∴；故答案为：3．
（3）解：，即，∴或1或 解得：或3或1
∵与互为相反数，即，∴，即，
∴时，；当时，；当时，．
考点6.大数的立方根求法
例1．（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：
（一）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．
例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
（1）如果的小数部分为，的整数部分为，则_____，_____．
（2）已知是的整数部分，是它的小数部分，求的平方根．
（二）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由，，，能确定是两位数；
（2）由59319的个位上的数是9，能确定的个位上的数是9；
（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此能确定的十位上的数是3；
（4）已知110592是整数的立方，按照上述方法，请你直接写出：_____．
【答案】（一）（1），3；（2）；（二）48
【详解】解：（一）（1）∵，∴，∴，
∵∴，∴
（2）∵，∴，∴，，
∴，∴的平方根为．
（二）由，，而，则110592的立方根也是两位数；
由110592的个位数字是2，因此可知110592的个位数字为8，
划去110592后面的三位592得到数110，而，，
由此可以确定义110592的十位数字为4；所以110592的立方根，即．
变式1．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下：
①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ．
【答案】68
【详解】解：，
又，，
∴能确定314432的立方根是个两位数．314432的个位数是2，
又，∴能确定314432的立方根的个位数是8．
划去314432后面的三位432得到数314，而，则，
可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6，
因此314432的立方根是68，故答案为68．
变式2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）口算求立方根：我国数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出答案．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗 请按照下面的方法试一试：
(1)求．
①由，可以确定计算的结果是_____位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是_______；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是_______，由此求得_________．
(2)请你根据（1）中求立方根的方法，请确定它们的立方根（直接写出结果）：
①19683 ②110592 ③ ④0.531441
【答案】(1)①二；②9；③；(2)①；②；③；④．
【详解】（1）解：①因为，，，
所以是两位数．故答案为：二；
②因为只有个位数字是，所以个位数字是．故答案为：9；
③划去后面三位得，，，，
所以十位数字是，故 ．故答案为：；
（2）解：①，，，是两位数；个位，
因为个位是，所以个位是；
划去后三位得，，，，十位是，即 ．
②，，，是两位数（实际是 ，按步骤：个位，个位，个位是；
划去后三位得，，，，十位是 ），即 ．
③，，，是两位数；个位， ，按步骤：个位，个位，个位是；划去后三位得，，，，十位是，即 ．
④，，，是一位小数；个位，， ，这里看小数， ，按步骤：个位（对应个位 ）；，，在与之间，划去后三位（小数三位 ）得，接近，更准确计算得 ．
考点7.平方根与立方根的小数点移动规律问题
例1．（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究．观察下面式子的规律，解答问题．
，，……
，，…
【发现规律】（1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向___移动___位．
②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位．
【应用规律】（2）①已知，那么_____，_____．
②已知，，那么_____．
【拓展】（3）已知，，则_____，_____．
【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3）
【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位，
②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位，
（2）①根据总结的规律可得：，，
②根据总结的规律可得：，，
（3），，，
．
变式1．（24-25七年级下·福建南平·期中）（1）已知，则 ；
（2）已知，，则 ．
【答案】 0.2646 6.69
【详解】解：（1），，故答案为：；
（2），，故答案为：6.69．
变式2．（24-25七年级下·重庆·期中）观察．推测：若，则 ．
【答案】0
【详解】解：∵，，∴，
∵，，∴，
∴故答案为：．
变式3．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）在南昌某中学科技节活动中爱探究思考的小亮，在实验室利用计算器计算得到下列数据：
… …
… 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 …
(1)通过观察，可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍；
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根：
①________；②________；
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则________．
【答案】(1)10(2)①；②(3)
【详解】（1）解：被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍，故答案为10；
（2）解：由题意得，被开方数扩大或缩小100倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小10倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则算术平方根的小数点就向左或向右移动n位．即有：
，，；
（3）解：类比算术平方根中被开方数的小数点变化规律，可得：被开方数扩大或缩小1000倍，立方根就相应的扩大或缩小10倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则立方根的小数点就向左或向右移动n位．即有：，．
考点8.根式的规律探究
例1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）观察下列等式．
第1个：；第2个：；第3个：；……
根据以上规律，解决下列问题：(1)___________；
(2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数）
(3)计算：．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：∵第1个：；第2个：；
第3个：；……∴；
（2）解：由（1）可得第个等式为：；
（3）解：
．
变式1．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是 .
【答案】
【详解】解：根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，表示第5排从左向右第4个数是，
∵前11排共有 (个)数，表示第12排第4个数即第70个数，
，表示的数是，与表示的两数之差是，
故答案为：．
变式2．（2025七年级下·福建·专题练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)观察算式规律，计算______；______．
(2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______．
(3)计算：．
【答案】(1)(2)(3)1013
【详解】（1）解：，故答案为：；
（2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：；
故答案为：；
（3）解：
．
变式3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再回答问题：
①；②；③
(1)请写出第④个等式：_________；
(2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示）
(3)根据上述规律计算：
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：∵①；②；③
根据以上规律可得第④个等式是：．
（2）解：根据以上规律可得第n个等式是：．
（3）解：
．
考点9.实数的相关运算综合
例1．（24-25七年级上·浙江·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题．
(1)如果，其中、为有理数，则___________，___________；
(2)如果，其中、为有理数，求的平方根．
【答案】(1)3，2(2)
【详解】（1）解：，其中，为有理数，为无理数，
∴，∴；
（2）解：∵，，为有理数，为无理数，
∴，解之，得．
则．∴的平方根是．
变式1．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中m、n为有理数，为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题：
(1)若m、n均为有理数，且，求的立方根；
(2)若m、n均为有理数，且，求和的值．
【答案】(1)1 (2)，
【详解】（1）解： ，其中，均为有理数，
，．解得，，
则，1的立方根为1，的立方根为1．
（2）解：将原式整理，得，即，
∵m、n均为有理数，，．解得，．
变式2．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）【阅读理解】
【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题：
如果，其中a是整数，且，那么，．
【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值．
解：∵，∴．
∴且，解得：，．
请解答：(1)如果，其中m是整数，且，那么______，______；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值．
【答案】(1)2，(2)(3)或
【详解】（1）解：，
，其中m是整数，且，，，故答案为：2，；
（2）∵，∴，，
∴；
（3）∵，∴
∴且，解得：，∴当时，；时，．
考点10.实数的实际应用
例1．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v（单位：m/s）时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．已知的大小满足，其中是地球表面的重力加速度，约等于9.8（单位：），R是地球半径，约等于（单位：m），那么第二宇宙速度约为 ．
【答案】11.2
【详解】解：把，代入，得：，
∴；故答案为：11.2．
变式1．（24-25七年级下·重庆·期中）如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是 ．（注：球的体积计算公式为）
【答案】
【详解】解：设容器的半径是，则，解得，故答案为：．
变式2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作．
(1)求正方形卡纸的边长；(2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明；(3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积．
【答案】(1)(2)裁出的长方形的面积不能为，理由见解析(3)
【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得， 解得或（舍去）．
答：正方形卡纸的边长为．
（2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下：
设裁出的长方形的长为，宽为．
根据题意，得， 解得或（舍去），
∵，∴裁出的长方形的面积不能为；
（3）解：∵正方体的体积为，∴该正方体的棱长为，
∴该正方体的表面积为．
变式3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径．(1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号）(2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：）
【答案】(1)这场雷雨大约能持续(2)这场雷雨区域的直径大约是
【详解】（1）解：把代入，得．∴
答：这场雷雨大约能持续；
（2）解： 把代入，得．∴．
答：这场雷雨区域的直径大约是．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1.（24-25七年级下·福建龙岩·期中）生活用电器中额定电压U（单位：），额定功率P (单位：)，电阻（单位：）之间有如下数量关系：，如图，该用电器的额定电压的标识已经模糊不清，若已知电阻，则它的额定电压应为（ ）
A． B． C．4 D．16
【答案】C
【详解】解：∵，∴，即它的额定电压应为．故选：C．
2．（24-25七年级下·山东德州·期中）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为（ ）
A．9595 B．9995 C．9955 D．5995
【答案】B
【详解】解：∵，，
，，
，，，
∴，∴，故选：B．
3．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴．
故选A．
4．（24-25八年级下·安徽·期中）已知实数，满足，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2025
【答案】A
【详解】∵∴解得，∴．
将代入∴．故选：A．
5．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵．
根据数阵规律，第八行第十三个数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：第一行有个数，第二行有个数，第三行有个数，，第行有个数，
前行包含第行数的总个数为：，
第八行数的个数为：，前八行包含第八行数的总个数为：，
根据规律，可知第八行的最后一个数为：，
，，第八行第十三个数是故选：D．
6.（24-25七年级下·天津河北·期中）已知非零实数，满足，则等于（ ）
A．0 B．2 C．1 D．
【答案】B
【详解】解：由可知，，
∴，即∴， ，
∴， ，∴，故选：B．
7．（2025·安徽阜阳·三模）（数学文化）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为．若介于两个连续整数n和之间，则n的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：，，即，，
无理数的值介于两个连续整数和之间，，故选：B．
8．（24-25七年级下·北京·期中）对任意两个实数a，b定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，． 那么等于（ ）．
A． B．3 C．6 D．
【答案】A
【详解】解：∵，，∴，，
∴，；故选A
9．（23-24八年级上·河北·期中）甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：甲：当时，乙：时，丙：当时，则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．甲、乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都不正确
【答案】B
【详解】解：甲：当时，，正确；乙：时，，错误；
丙：当时，，正确；故选：B．
10．（24-25七年级下·山东临沂·期中）对于整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数m进行3次操作后变为2，则m的最大值为（ ）
A．80 B．6400 C．6560 D．6561
【答案】C
【详解】解：∵，，，∴对6560只需进行3次操作后变为2，
∵，，，
∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560，∴m的最大值为6560．故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·安徽池州·期中）定义：若点满足，则称点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”．
（1）若点是“理想点”，则x的值为 ．
（2）若点是“理想点”，且m为正整数，则的值为 ．
【答案】
【详解】（1）解：∵点是“理想点”，∴，
∴，解得；故答案为：；
（2）∵点是“理想点”，∴，整理可得，∴或，
∵m为正整数，∴，∴．故答案为：．
12．（24-25七年级下·江西赣州·期中）观察表格
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 0.1 1 10 100 …
按表中规律若已知，，用含m的式子表示n，则 ．
【答案】
【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，∵，，∴；故答案为：．
13．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）比较大小： ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，∴，即，
∵，∴，故答案为：．
14．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间（单位：）称为一个周期，其计算公式为，其中表示摆长（单位：）．若一台座钟的摆长为，则该摆针摆动的周期为 ．（结果保留）
【答案】
【详解】解：根据题意可知，，所以，．故答案为：．
15．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，，∴．
∵，x为的整数部分，y为的小数部分，
∴，．∴．故答案为：．
16．（24-25七年级下·陕西延安·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚迅速求出立方根的过程如下：①由，可以确定是两位数；②由可知，的十位上的数字是3；③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字是9，所以．
请你根据上述步骤求出74088的立方根是 ．
【答案】42
【详解】解：设74088的立方根是，，∴可以确定是两位数，
，∴的十位数字是4，
∵至9的立方中，个位数字为8的只有2的立方，∴确定的个位数字是2，即．故答案为：42 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级下·广东·课后作业）已知，求的值．
【答案】2
【详解】解：，，，
，，．
18．（24-25八年级下·山东·期中）若实数，满足，求的值．
【答案】
【详解】解：，，
，，
，解得：，．
19．（24-25八年级·福建泉州·期末）为正整数的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．如：，这与科学计算器计算的结果，很接近．
(1)按照以上方法，可知，此时______；
(2)某数学兴趣小组提出以下求的方法：
解：，即，设，其中，则，即，
当时，可忽略，所以，解得，即．
请任选一种方法求的近似值精确到．
【答案】(1)25(2)5.8
【详解】（1）解：最接近26的完全平方数25，，故答案为：25；
（2）解：方法1：；
方法2：，即，
设，其中，则，即，
当时，可忽略，所以，解得，即．
20．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）观察下列规律并回答问题：
，…
(1) ， ；
(2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ；
(3)当时，根据上述规律比较与的大小情况．
【答案】(1)， (2)
(3)当或时，；当时，；当时，
【详解】（1）解：∵，
∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，
∴，，故答案为：，．
（2）解：∵，，且，∴，∴，故答案为：．
（3）解：∵，，∴由上述规律得：，．
①当时，，则此时；
②当时，；
③当时，，则此时；
④当时，；
综上，当或时，；当时，；当时，．
21．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）阅读理解，观察下列式子：
①；②；
③；④；…
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立．
(2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则，故答案为：．
（2）解：若与的值互为相反数，则，解得：．
∴
22．（24-25七年级下·广西南宁·期末）我们已经学方根和立方根．若，则叫的二次方根（平方根），可表示为．若，则叫的三次方根（立方根），可表示为．平方根具有性质如：正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．请阅读材料，观察下表，类比上述的定义和性质完成以下问题：
… 1 16 81 …
… …
【定义】（1）若，则叫的________①_________，可表示为______②______；
【性质】（2）请概括①的性质；
【应用】（3）若，直接写出的值：
【拓展】（4）解方程：．
【答案】（1）①四次方根；②；（2）正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）；（4）
【详解】解：（1）根据表格可知：若，则叫的四次方根，可表示为；
（2）正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
（3）若，则；
（4），
∴，
∴，
∴．
23．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为，的相邻值为．请回答下列问题：
(1)的相邻值为________；的相邻值为________；
(2)若实数，满足关系式：，求的相邻值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：，的相邻值为；
，的相邻值为，相邻值为，故答案为：；；
（2）解：，，
，，解得：，，，
，的相邻值为，即的相邻值为．
24．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）观察下表，并解答下列问题．
1 1000 1000000
1 10 100
【规律总结】（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位．
【规律应用】（2）已知，，．①__________．②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，）
【答案】（1）一；（2）①；②1248平方米
【详解】解：（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位．
（2）①∵，∴；
②∵正方体的体积为3000立方米，∴正方体的棱长为：米，
∴需要铁皮的面积为：（平方米）．
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专题3.5 实数中的十大压轴问题
1. 思维提升 ：培养分类讨论、数形结合及逻辑推理能力；
2. 拓展应用 ：将实数问题与代数、几何知识融合解决复杂情境。
实数作为数学基础概念，其压轴题常出现在初中阶段的综合性难题中，主要考察学生对数系性质、运算规则及实际应用的综合掌握能力。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.算术平方根的双重非负性 2
考点2.平方根的新定义问题 3
考点3.立方根的新定义问题 5
考点4.估算类的新材料（新方法）问题 8
考点5.平方根与立方根的性质综合问题 11
考点6.大数的立方根求法 13
考点7.平方根与立方根的小数点移动规律问题 16
考点8.根式的规律探究 17
考点9.实数的相关运算综合 19
考点10.实数的实际应用 21
模块3：培优训练 24
1）算术平方根的双重非负性是指：≥0且≥0。
2）算术平方根的性质：
3）立方根的性质： ； ； 。
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题；立方根符号与原数符号相同，简化正负数运算逻辑。
4）估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“ ”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。（3）也可使用几何图形或新定义的方法估算。
5）平方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位。如：，，，.
6）立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 位。例如，，，，.
考点1.算术平方根的双重非负性
例1．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）已知：，求的值.
变式1．（24-25八年级下·广西防城港·期中）已知，则值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）当 时，代数式有最小值，为 ．
变式3．（24-25七年级下·北京朝阳·阶段练习）代数式的最大值为 ，此时a与b的关系是 ；
考点2.平方根的新定义问题
例1.（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
【阅读理解】仿照以上方法计算：________，________；
【解决问题】若，写出满足题意的的整数值________；
【扩展探究】①如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1；
②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数．
变式1．（24-25七年级下·江西南昌·期中）阅读材料：
材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，；
材料二：定义新运算，如，对有序实数对．
若满足，则称该有序数对为“望一”数对：若满足，则称该有序数对为“望音”数对．
(1)计算的值；
(2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号）
①；②；③
(3)计算：______．
变式2．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，．
【解答问题】(1)________；(2)若，求整数的值；
(3)若，，求的值．
考点3.立方根的新定义问题
例1．（24-25七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题．
依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．
比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根．
(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：___；(2)625的四次方根为____；的五次方根为____；
(3)求下列的值：①；②．
变式1．（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”．
(1)点，，中，不是“理想点”的是_____．(2)若点是“理想点”，求x的值．
(3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
变式2．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）小聪是个爱思考的好学生，他利用模型设计了两种数学程序变换：
A变换：输入数—发出指令1：对数取立方根—发出指令2：取不小于该立方根的最小整数—输出数．
B变换：输入数—发出指令1：对数取算术平方根—发出指令2：把减去1—输出数．
如：6经过一次变换得到2，7经过一次变换得到．小聪根据该程序变换，设计并解答了如下4个问题：
①输入数，经过一次变换得到的输出数是3；
②输入数，经过一次变换得到的输出数是3；
③输入数经过一次变换得到，若，则的值为9；
④经过一次变换得到，再经过一次变换得到1，则的取值范围是．
利用验证结果，小聪解答正确的序号是 ．
考点4.估算类的新材料（新方法）问题
例1．（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下：
∵面积为83的正方形的边长是，且，∴设，其中；
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：
又∵，∴
当时，假设忽略不计，得，解得，即．
(1)填空：的整数部分的值为 ；(2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
变式1．（24-25七年级下·江苏南通·期中）
材料一： 材料二：
我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了改进求算术平方根近似值的方法，其核心思想是通过“以面命之”和“求其微数”来处理开方开不尽的情况．其近似公式可概括为：设N为待开方的正数，若其算术平方根的整数部分为a（即），余数为，则N的算术平方根的近似值为：．
，，即，的整数部分为，的小数部分为． 以为例：，．代入公式得．这一结果与现代方法所求近似值虽有误差，但在古代数学中已属先进成果．
任务：(1)利用材料一中的方法，的小数部分等于_______；
(2)利用材料二中的方法，的近似值为_______（结果保留两位小数）；
(3)已知，其中x为整数，且，结合所给材料，求式子的算术平方根的近似值（结果保留两位小数）．
变式2．（24-25八年级上·成都·期中）在没有带开方功能的计算器的情况下，我们可以用下面的方法得到（为正整数）的近似值（为正整数），并通过迭代逐渐减小的值来提高的精确度，以求的近似值为例，迭代过程如下：
① 先估计的范围并确定迭代的初始值．，，取．
② 通过计算和得到精确度更高的近似值．
请根据以上信息，完成下面的问题（此题中记，以下结果都要求写成小数形式）：
(1)当时，____，________，______；
(2)当时，求（精确到 0.001）、的值．
考点5.平方根与立方根的性质综合问题
例1．（24-25七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④．
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________；
(2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立；
(3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值；
(4)若与的值互为相反数，且，求a的值．
例2．（24-25七年级下·重庆·期中）探索规律．
(1)________；________；________；________；________；
(2)__________；(3)若，则__________；若，则__________．
变式2．（24-25八年级下·浙江·期中）根据立方根的意义填空：
_____，_____，______，_____，_____．
观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？
变式2．（24-25八年级上·江苏·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7；
③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：(1)= ；(2)若，则 ；
(3)已知，且与互为相反数，求的值．
考点6.大数的立方根求法
例1．（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：
（一）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．
例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
（1）如果的小数部分为，的整数部分为，则_____，_____．
（2）已知是的整数部分，是它的小数部分，求的平方根．
（二）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由，，，能确定是两位数；
（2）由59319的个位上的数是9，能确定的个位上的数是9；
（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此能确定的十位上的数是3；
（4）已知110592是整数的立方，按照上述方法，请你直接写出：_____．
变式1．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下：
①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ．
变式2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）口算求立方根：我国数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出答案．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗 请按照下面的方法试一试：
(1)求．
①由，可以确定计算的结果是_____位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是_______；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是_______，由此求得_________．
(2)请你根据（1）中求立方根的方法，请确定它们的立方根（直接写出结果）：
①19683 ②110592 ③ ④0.531441
考点7.平方根与立方根的小数点移动规律问题
例1．（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究．观察下面式子的规律，解答问题．
，，……
，，…
【发现规律】（1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向___移动___位．
②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位．
【应用规律】（2）①已知，那么_____，_____．
②已知，，那么_____．
【拓展】（3）已知，，则_____，_____．
变式1．（24-25七年级下·福建南平·期中）（1）已知，则 ；
（2）已知，，则 ．
变式2．（24-25七年级下·重庆·期中）观察．推测：若，则 ．
变式3．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）在南昌某中学科技节活动中爱探究思考的小亮，在实验室利用计算器计算得到下列数据：
… …
… 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 …
(1)通过观察，可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍；
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根：
①________；②________；
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则________．
考点8.根式的规律探究
例1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）观察下列等式．
第1个：；第2个：；第3个：；……
根据以上规律，解决下列问题：(1)___________；
(2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数）
(3)计算：．
变式1．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是 .
变式2．（2025七年级下·福建·专题练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)观察算式规律，计算______；______．
(2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______．
(3)计算：．
变式3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再回答问题：
①；②；③
(1)请写出第④个等式：_________；
(2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示）
(3)根据上述规律计算：
考点9.实数的相关运算综合
例1．（24-25七年级上·浙江·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题．
(1)如果，其中、为有理数，则___________，___________；
(2)如果，其中、为有理数，求的平方根．
变式1．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中m、n为有理数，为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题：
(1)若m、n均为有理数，且，求的立方根；
(2)若m、n均为有理数，且，求和的值．
变式2．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）【阅读理解】
【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题：
如果，其中a是整数，且，那么，．
【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值．
解：∵，∴．
∴且，解得：，．
请解答：(1)如果，其中m是整数，且，那么______，______；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值．
考点10.实数的实际应用
例1．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v（单位：m/s）时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．已知的大小满足，其中是地球表面的重力加速度，约等于9.8（单位：），R是地球半径，约等于（单位：m），那么第二宇宙速度约为 ．
变式1．（24-25七年级下·重庆·期中）如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是 ．（注：球的体积计算公式为）
变式2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作．
(1)求正方形卡纸的边长；(2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明；(3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积．
变式3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径．(1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号）(2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：）
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1.（24-25七年级下·福建龙岩·期中）生活用电器中额定电压U（单位：），额定功率P (单位：)，电阻（单位：）之间有如下数量关系：，如图，该用电器的额定电压的标识已经模糊不清，若已知电阻，则它的额定电压应为（ ）
A． B． C．4 D．16
2．（24-25七年级下·山东德州·期中）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为（ ）
A．9595 B．9995 C．9955 D．5995
3．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·安徽·期中）已知实数，满足，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2025
5．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵．
根据数阵规律，第八行第十三个数是( )
A． B． C． D．
6.（24-25七年级下·天津河北·期中）已知非零实数，满足，则等于（ ）
A．0 B．2 C．1 D．
7．（2025·安徽阜阳·三模）（数学文化）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为．若介于两个连续整数n和之间，则n的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（24-25七年级下·北京·期中）对任意两个实数a，b定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，． 那么等于（ ）．
A． B．3 C．6 D．
9．（23-24八年级上·河北·期中）甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：甲：当时，乙：时，丙：当时，则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．甲、乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都不正确
10．（24-25七年级下·山东临沂·期中）对于整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数m进行3次操作后变为2，则m的最大值为（ ）
A．80 B．6400 C．6560 D．6561
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·安徽池州·期中）定义：若点满足，则称点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”．
（1）若点是“理想点”，则x的值为 ．
（2）若点是“理想点”，且m为正整数，则的值为 ．
12．（24-25七年级下·江西赣州·期中）观察表格
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 0.1 1 10 100 …
按表中规律若已知，，用含m的式子表示n，则 ．
13．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）比较大小： ．
14．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间（单位：）称为一个周期，其计算公式为，其中表示摆长（单位：）．若一台座钟的摆长为，则该摆针摆动的周期为 ．（结果保留）
15．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ．
16．（24-25七年级下·陕西延安·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚迅速求出立方根的过程如下：①由，可以确定是两位数；②由可知，的十位上的数字是3；③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字是9，所以．
请你根据上述步骤求出74088的立方根是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级下·广东·课后作业）已知，求的值．
18．（24-25八年级下·山东·期中）若实数，满足，求的值．
19．（24-25八年级·福建泉州·期末）为正整数的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．如：，这与科学计算器计算的结果，很接近．
(1)按照以上方法，可知，此时______；
(2)某数学兴趣小组提出以下求的方法：
解：，即，设，其中，则，即，
当时，可忽略，所以，解得，即．
请任选一种方法求的近似值精确到．
20．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）观察下列规律并回答问题：
，…
(1) ， ；
(2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ；
(3)当时，根据上述规律比较与的大小情况．
21．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）阅读理解，观察下列式子：
①；②；
③；④；…
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立．
(2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值．
22．（24-25七年级下·广西南宁·期末）我们已经学方根和立方根．若，则叫的二次方根（平方根），可表示为．若，则叫的三次方根（立方根），可表示为．平方根具有性质如：正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．请阅读材料，观察下表，类比上述的定义和性质完成以下问题：
… 1 16 81 …
… …
【定义】（1）若，则叫的________①_________，可表示为______②______；
【性质】（2）请概括①的性质；
【应用】（3）若，直接写出的值：
【拓展】（4）解方程：．
23．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为，的相邻值为．请回答下列问题：
(1)的相邻值为________；的相邻值为________；
(2)若实数，满足关系式：，求的相邻值．
（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）观察下表，并解答下列问题．
1 1000 1000000
1 10 100
【规律总结】（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位．
【规律应用】（2）已知，，．①__________．②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，）
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