浙教版（2024）八上数学第2章 特殊三角形 过关试卷（含解析）

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2024浙教版 八上数学第2章过关试卷
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是（ ）
A．B．C．D．
以下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
如图，等边△ABC的高AH等于 ，那么该三角形的面积为（ ）
A． B． 2 C． 2 D． 4
如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　）
A． m B．4 m C．4 m D．8 m
如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD⊥BC，垂足为D，CD＝4，则△ABC的周长为( )
A． 18 B． 20 C． 22 D． 24
（2024秋 齐齐哈尔月考）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
已知等腰三角形有两条边的长分别是3,7,则这个等腰三角形的周长为(　　)
A．17 B．13 C．17或13 D．10
如图，O为△ABC内一点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，若OD＝OE＝OF，连接OA，OB，OC，下列结论不一定正确的是( )
A．△BOD≌△BOF B．∠OAD＝∠OBF C．∠COE＝∠COF D．AD＝AE
（24-25九年级上·福建泉州·期末）四条线段的长分别为1，x，5，9（其中x为正数），用它们拼成两个直角三角形，且与是其中的两条线段（如图），则x可能取值的个数为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．4
如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（　　）
A．（）n 75° B．（）n﹣1 65° C．（）n﹣1 75° D．（）n 85°
1 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
如图，∠AOB＝60°，点C在OB上，OC＝2，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为 　 　．
如图，在中，，则的面积为 _____．
如图，在△ABC中，D为AB上的一点，且DE垂直平分AC，∠B=115°，且∠ACD：∠BCD=5：3，则∠ACB=__________度．
如图，四边形中，是AB上一动点，则的最小值是________________
如图，在等边△ABC中，AB=4，P、M、N分别是BC、CA．AB边上动点，则PM+MN的最小值是________．
如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是　 　．
1 、解答题（本大题共8小题，共52分）
如图：有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠A=50°，将其沿CD折叠，使点A落在边CB上的点A’处，求∠A’DB的度数。
《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈尺）
解决下列问题：
(1)示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺；
(2)求芦苇的长度．
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．
（1）求证：∠E＝∠ECD，
（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状．
如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝3，CD＝8，AD＝10.
(1)求∠BCD的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
如图，已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，AB=8cm，AC=6cm．
（1）求证：BE+CF=EF．
（2）求△ADE的周长．
请阅读下列材料：
问题：如图（1），圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：
路线1：高线AB+底面直径BC，如图（1）所示．
路线2：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示．
设路线1的长度为l1，则l1=AB+BC=2+8=10；
设路线2的长度为l2，则l2===；
∵=102﹣（4+16π2）=96﹣16π2=16（6﹣π2）＜0
∴即l1＜l2
所以选择路线1较短．
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）
①此时，路线1：l1=．路线2：l2=．
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．
（2）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2cm，高为hcm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．
如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，延长 AE 交 BC 的 延长线于点 F.
（1）△DAE 和△CFE 全等吗？说明理由；
（2）若 AB=BC+AD，说明 BE⊥AF；
（3）在（2）的条件下，若 EF=6，CE=5，∠D=90°，你能否求出 E 到 AB 的距离？如果能 请直接写出结果.
【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45 ，求BD的长．
（3）如图3，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．
答案解析
1 、选择题
【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可
解：∵A,B,C都不是轴对称图形,
∴都不符合题意;
D是轴对称图形,符合题意,
故选D.
【点评】本题考查了轴对称图形的定义,准确理解轴对称图形的定义是解题的关键．
【考点】勾股定理的逆定理
【分析】能否构成直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：（1）、52+122=132，能构成直角三角形，故正确；
（2）、102+122≠132，不能构成直角三角形，故错误；
（3）、72+242=252，能构成直角三角形，故正确；
（4）、62+82=102，能构成直角三角形，故正确．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
【考点】等边三角形的性质 ，含30度角的直角三角形，勾股定理
【分析】利用等边三角形的性质以及解直角三角形的知识求出BC的长，即可求出△ABC的面积．
解：∵AB=AC=BC， ∴BH=CH= CB= AB，∠BAH=30°，
∵AH= ，
∴cos30°= ，
∴AB= =2cm，
∴BC=2cm，
∴△ABC的面积为： CB AH= ×2× = （cm2）．
故选A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质以及解直角三角形，解决问题的关键是利用解直角三角形求出BC的长．
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM=30°，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可．
解：
过C作CM⊥AB于M
则CM=h，∠CMB=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBM=30°，
∴h=CM=BC=4m，
故选B．
【点评】作垂线构造直角三角形，因为知道斜边长，所以利用“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半” 解答即可．本题还可以利用已知锐角的正弦关系来求解
【考点】等腰三角形三线合一性质
【分析】利用等腰三角形中的三线合一解答
解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD⊥BC于点D，
∴BD=CD．
∵AB=6，CD=4，
∴△ABC的周长=6+4+4+6=20．
故选B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中的三线合一是解题的关键．
【考点】等边三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【分析】由等边三角形的性质可求解∠CAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADE的度数，进而可求解．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，AD⊥BC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠EDC＝15°，
故选：A．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解∠ADE的度数是解题的关键．
【考点】等腰三角形的性质，三角形的三边关系
【分析】分3是腰长与底边两种情况讨论求解．
解：①3是腰长时，三角形的三边分别为7、3、3，
3+3=6＜7，不能组成三角形；
②3是底边长时，三角形的三边分别为7、7、3，
能组成三角形，周长=7+7+3=17，
综上所述，这个等腰三角形的周长是17，
故选A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
【考点】角平分线的性质，全等三角形的性质，勾股定理
【分析】根据AAS推出△BOD≌△BOF和△COF≌△COE即可，由AO=AO，DO=EO根据勾股定理求出即可．
解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，OD=OE=OF，
∴O在∠ABC的角平分线上（∠DBO=∠FBO），∠ODB=∠OFB=90°，
∵在△BOD和△BOF中
∴△BOD≌△BOF，正确，故本选项错误；
B、根据已知不能推出∠OAD=∠OBF，错误，故本选项正确；
C、∵OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，OD=OE=OF，
∴O在∠ACB的角平分线上（∠FCO=∠ECO），∠OFC=∠OEC=90°，
∵在△COF和△COE中
∴△COF≌△COE，
∴∠COE=∠COF，正确，故本选项错误；
D、∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
∵OD=OE，OA=OA，由勾股定理得：AE=AD，正确，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了对角平分线性质和全等三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．注意：角平分线上的点到角的两边距离相等．
【分析】此题考查了勾股定理的应用．首先过作交的延长线于，根据题意即可得，，，可得是最长边，长为9或，然后由勾股定理可得，然后分别从，为9或5或1；，或5或1去分析求解，即可求得答案．此题难度很大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
解：如图，过作交的延长线于，
根据题意得：，，，
，
是最长边，长为9或，
若，，则，
若，，则，
若，，则，
若，，则，
若，，则，
若，，则，
共6个，
故选：C．
【考点】等腰三角形的性质．三角形外角的性质
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．
解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C==75°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°；
同理可得，
∠EA3A2=（）2×75°，∠FA4A3=（）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
1 、填空题
【考点】作图—基本作图，点到直线的距离．
【分析】由作图知PE垂直平分OC，CO平分∠AOB，根据线段垂直平分线的性质得到OE＝OC＝，∠PEO＝90°，根据角平分线的定义得到∠POD＝∠AOC＝＝30°，根据三角函数的定义得到EP＝OE×tan30°＝，根据角平分线的性质即可得到结论．
解：由作图知PE垂直平分OC，PO平分∠AOB，
∴OE＝OC＝，∠PEO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠POE＝∠AOP＝＝30°，
∴EP＝OE×tan30°＝，
∵CO平分∠AOB，
∴点P到OA的距离＝PE＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了作图﹣基本作图．以及角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．
【考点】勾股定理的应用
【分析】过C作于D，根据勾股定理和三角形的面积即可得到结论．
解：过C作于D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积，
故答案为：84．
【点评】本题考查了用勾股定理的应用，能够根据得到是解题的关键．
【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质
【分析】由DE垂直平分AC得到DC=DA，根据“等边对等角”得出∠ACD=∠A，∵∠ACD：∠BCD=5：3，可设∠ACD=5x°，∠BCD=3x°，则∠A=5x°，在△ABC中由三角形内角和定理列出方程，求出x即可得出答案．
解：∵DE垂直平分AC，
∴DC=DA，
∴∠ACD=∠A，
∵∠ACD：∠BCD=5：3，
∴设∠ACD=5x°，∠BCD=3x°，则∠A=5x°，
在△ABC中由三角形内角和定理得：5x+5x+3x+115=180，
解得：x=5，
∴∠ACB=5x°+3x°=40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据三角形内角和定理列出方程是解决此题的关键．
【考点】勾股定理，轴对称-最短路线问题
【分析】作C点关于AB的对称点C’，连接C’D，的最小值即为C’D的长，作C’E⊥DA的延长线于点E，根据勾股定理即可求解．
解：如图，作C点关于AB的对称点C’，连接C’D，的最小值即为C’D的长，
作C’E⊥DA的延长线于点E，
∴四边形ABC’E是矩形
∴DE=AD+AE=AD+BC’=5,
∴C’D=
故答案为：．
【点评】此题主要考查对称性的应用，解题的关键是熟知对称的性质及勾股定理的应用．
【考点】等边三角形的性质，垂线段最短
【分析】作点B关于直线AC的对称点K，连接AK、CK，作点N关于直线AC的对称点N′，作N′P′⊥BC于P′，交AC于M′，则线段N′P′的长即为PM+MN的最小值（垂线段最短）．
解：作点B关于直线AC的对称点K，连接AK、CK，作点N关于直线AC的对称点N′，作N′P′⊥BC于P′，交AC于M′，则线段N′P′的长即为PM+MN的最小值（垂线段最短）．
∵△ABC是等边三角形，
易知，四边形ABCK是菱形，N′P′是菱形的高= ×4=2 ，
∴PM+MN的最小值为2 ，
故答案为2 ．
【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线，利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
【考点】规律型：点的坐标；等边三角形的性质
【分析】根据O（0，0）A（2，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2，再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．
解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，第六个正三角形的边长是，
故顶点P6的横坐标是，P5纵坐标是=，
P6的纵坐标为，
故答案为：（，）．
【点评】本题考查了点的坐标，根据规律解题是解题关键．
1 、解答题
【考点】直角三角形的性质，翻折的性质
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求得∠B=40°，由翻折的性质可知∠DA′C=50°，最后根据三角形外角的性质可知∠A′DB=10°．
证明：∵∠ACB=90°，∠A=50°,
∴∠B=40°，∠CA’D=∠A=50°,
∵∠B+∠A’DB=∠CA’D,
∴∠A’DB=10°.
【点评】本题主要考查的是翻折的性质，求得∠B与∠DA′C的度数是解题的关键．
【考点】勾股定理的应用
【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，且边长为尺的正方形，为中点，即可得出答案；
（2）根据题意，可知的长为尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
（1）由题意可得：尺，尺，
故答案为：，；
（2）设芦苇长尺，
则水深尺，
在中，
，
解得：，
则（尺），
答：芦苇长尺．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长．
【考点】平行线的判定和性质，等边三角形的判定
【分析】（1）由平行线的性质得到∠EAD＝∠B．而∠B＝∠D，因此∠EAD＝∠D．推出BE∥CD，得到∠E＝∠ECD．
（2）由平行线的性质，角平分线定义得到∠BCE＝60°，由三角形内角和定理得到∠B＝60°，即可推出△BCE是等边三角形．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠EAD＝∠D，
∴BE∥CD，
∴∠E＝∠ECD．
（2）解：△BCE是等边三角形，理由如下：
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD，
∵EB∥CD，
∴∠ECD＝∠E＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠E﹣∠BCE＝60°，
∴∠B＝∠BCE＝∠E，
∴△BCE是等边三角形．
【点评】本题考查平行线的性质和判定，等边三角形的判定，关键是由平行线的性质推出BE∥CD．
【考点】勾股定理的逆定理
【分析】（1）连接AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再由CD与AD的长，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ACD为直角三角形，再由等腰直角三角形的性质，根据∠BCD=∠ACB+∠ACD即可求出；
（2）四边形ABCD面积=三角形ABC面积+三角形ACD面积，求出即可．
解：（1）连接AC，
(1) 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝3，
根据勾股定理，得AC＝＝6，∠ACB＝45°，
∵CD＝8，AD＝10,
∴＝＋,
∴△ACD为直角三角形，即∠ACD＝90°，
则∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝135°；
(2)根据题意，得S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
＝×3×3＋×6×8
＝9＋24
＝33.
故答案为(1)∠BCD＝135°；(2) S四边形ABCD＝33.
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理.
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】（1）根据角平分线定义和平行线性质求出∠EDB=∠EBD，推出DE=BE，同理得出CF=DF，即可求出答案；
（2）要求周长，就要先求出三角形的边长，这就要借助平行线及角平分线的性质把通过未知的转化成已知的来计算．
（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴DE=BE，
同理CF=DF，
∴EF=DE+DF=BE+CF，
即BE+CF=EF．
（2）解：∵BE=ED，DF=DC，
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+AC=8+6=14（厘米）．
【点评】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】（1）①l1的长度等于AB的长度与BC的长度的和；l2的长度的平方等于AB的长度的平方与底面周长的一半的平方的和，据此求出l2的长度即可；
②比较出、的大小关系，进而比较出l1、l2的大小关系，判断出选择哪条路线较短即可；
（2）当圆柱的底面半径为2cm，高为hcm时，l1=4+h，l2=，据此求出的值是多少，然后分类讨论，根据h的值判断出l1、l2的大小关系，进而判断出选择哪条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短即可．
解：（1）①l1=4+2×2=8，
l2==；
②∵=82﹣（16+4π2）=48﹣4π2=4（12﹣π2）＞0，
∴，即l1＞l2，
所以选择路线2较短．
（2）当圆柱的底面半径为2cm，高为hcm时，
路线1：l1=4+h，路线2：l2=，
∵=（4+h）2﹣（h2+4π2）
=16+8h+h2﹣h2﹣4π2
=16+8h﹣4π2
=4（2h+4﹣π2）
∴当2h+4﹣π2=0时，即h=时，l1=l2，两条路线一样长，选择哪条路线都可以；
当2h+4﹣π2＞0时，即h＞时，l1＞l2，选择路线2较短；
当2h+4﹣π2＜0时，即h＜时，l1＜l2，选择路线1较短．
故答案为：8、．
【点评】 （1）此题主要考查了最短路径问题，以及圆柱体的侧面展开图，考查了分类讨论思想的应用．
（2）此题还考查了通过比较两个数的平方的大小，判断两个数的大小的方法的应用，要熟练掌握．
【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADE=∠FCE，根据中点定义可得DE=EC，结合对顶角相等即可根据“ASA”得到△ADE≌△FCE；
（2）由全等三角形的性质可得AD=CF，AE=EF，从而AB=BF，E为为 AF 中点，由三线合一的性质知BE⊥AF，BE平分∠ABC；
（3）由（2）知BE平分∠ABC，根据角平分线的性质即可得到答案.
解：（1）△DAE≌△CFE 理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E 是 CD 的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE 与△FCE 中，
∵ADC＝ECF（已证），
DE＝EC（已证），
AED＝CEF（对顶角相等），
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）由（1）得△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，AE=EF（全等三角形的对应边相等），
∴E 为 AF 中点，即 BE 是△ABF 中 AF 边上的中线，
∵AB=BC+AD，
∴AB=BC+CF=BF，
∴BE⊥AF（三线合一）；
（3）∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠BCE=90°,
∵CE=5，
∴E 到 AB 的距离等于5.
【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解（1）的关键，熟练掌握等腰三角形的性质是解（2）的关键，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解（3）的关键.
【考点】三角形全等的判定；直角三角形勾股定理的运用；图形的变换．
【分析】（1）由题意可通过SAS证明△AEC≌△ABD得到BD与CE的大小关系即BD=CE；（2）由上题可知BD=CE，所以建立△AEC≌△ABD，作辅助线：在△ABC的外部，以点A为直角顶点作等腰直角三角形BAE，使∠BAE=90 ，AE=AB，连接EA．EB、EC．只要求出CE长，BD就知道了，由AB长可求出BE,BC已知，△EBC是直角三角形，利用勾股定理可求出EC,从而得到BD的值；（3）和上题的思路一样，建立△EAC≌△BAD ，只要求出CE的长，BD就求出来了．作辅助线：在线段AC的右侧，过点A作AE⊥AB于A，交BC的延长线于点E，∴∠BAE=90 ，可证△EAC≌△BAD （SAS），∴BD=CE，，BC=3，于是BD=CE=．
解：（1）答：BD =CE．
理由：∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
又∵AE=AB，AC=AD，
∴△EAC≌△BAD (SAS) ，
∴BD=CE．
（2）解：如图1，在△ABC的外部，以点A为直角顶点作等腰直角三角形BAE，使∠BAE=90 ，AE=AB，连接EA．EB、EC．
1
∵，
∴，，
∴∠BAE=，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
即∠EAC=∠BAD，
∴△EAC≌△BAD (SAS) ，
∴BD=CE．
∵AE=AB=7，
∴， ∠AEC=∠AEB=45 ．
又∵∠ABC=45 ，
∴∠ABC+∠ABE=45 +45 =90 ， 8分
∴EC==，
∴．
答：BD长是cm．
(3)如图2，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于A，交BC的延长线于点E，
∴∠BAE=90 ，
又∵∠ABC=45 ，
∴∠E=∠ABC=45 ，
∴AE=AB=7，．
又∵∠ACD=∠ADC=45 ，
∴∠BAE= ∠DAC=90 ，
∴∠BAE∠BAC=∠DAC∠BAC，
即∠EAC=∠BAD，
∴△EAC≌△BAD (SAS) ，
∴BD=CE．
∵BC=3，
∴BD=CE=(cm)．
答：BD长是()cm．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三个题目之间的联系，构造（1）中的全等三角形是解决本题的关键．
图1
E
B
D
C
A
图2
E
B
D
C
A
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