浙教版2025学年八年级上册数学第2章《特殊三角形》提高卷2（含答案）

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浙教版2025学年八年级上册数学第2章《特殊三角形》提高卷2（附答案）
本试卷满分100分 考试时间90分钟
选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，CD⊥AB于点D，BC=8，AC=6.则斜边AB上的高为（ ）
10 B. 5 C. D.
在等腰三角形ABC中，AB=AC，且有一个内角为，则这个等腰三角形腰上的高与底边的夹角为（ ）
B. C. D. 不能确定
若直角三角形的周长为，斜边上的中线长为1，则这个直角三角形的面积为（ ）
B. C. D. 1
如图，已知三角形ABC中，AB=3，AC=5，BC=7.在△ABC所在的平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个是边长为3的等腰三角形.则这样的直线最多可画（ ）
5条 B. 4条 C. 3条 D. 2 条
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=，E是边AC上一点，且AE=AD，则∠EDC=( )
B. C. D.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=,D、E是边AB上的两点，且CE所在的直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5.则BD的长为（ ）
A .5 B. 6 C. 7 D. 8
直角三角形纸片的两直角边长分别为6和8，将△ABC如图折叠，使点A与B重合，则△ADE周长为（ ）
12 B. 13 C. 14 D. 15
如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D.则DE的长为（ ）
0.5 B. 1 C. 0.25 2
如图，已知OM⊥ON,等边三角形ABC的边长为2，点A、B分别在射线OM、ON上滑动，连结OC,则在滑动过程中，OC长的最大值为（ ）
B. C. D.
填空题(本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 若等腰三角形的两条边长分别为7和12，则这个等腰三角形的周长为 .
12. 如图，一座桥横跨一江，桥长12m，一艘小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶 m.
如图，在△ABC中，AB=AC,AD=AE,∠BAD=,则∠EDC= .
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC+CD，则∠B:∠C= .
如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点E的位置.若BC=4，则线段BE的长为 .
如图，在Rt△ABC中，∠A=,D为AB上一点，BD=3AD,BD=CD,P为BC边上一点，PE⊥AB于E,PF⊥DC于F,BC=,则PE+PF的长为 .
解答题（本大题有8小题，共52分）
（本题6分）如图，在6×6的方格中按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）.
在图甲中画一个面积为10的等腰三角形；
在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边.
（本题6分）如图，在△ABC中AB=AC，∠A=，AC的垂直平分线交AB于点E，D 为垂足,连接EC.
求∠ECD的度数；
若AE=5，求BC的长.
（本题6分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E.
求证：△BDF和△CEF都是等腰三角形；
若AB=7，AC=6，求△ADE的周长.
（本题6分）如图，AB//CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC.AC与BD交于点E，F为AD的中点，连接EF.
找出图中所有的等腰三角形，并证明其中一个;
若AE=8，BD=12，求EF的长.
（本题6分）如图，已知在△ABC中，点A在DE上，CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为D、E，且AD=BE，CD=AE.
求证：∠ABC=∠ACB；
若AC=6，求△ABC的面积.
（本题6分）为美化环境，某市计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地.已知这个等腰三角形的一条边长为10米，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.
（本题7分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=，AC=8，AD⊥BC于点D，点P在边AC上（不与A、C重合）.过点P作PQ⊥AC交BC于点Q.再以PQ为直角边作等腰直角三角形PQM（点M、C位于PQ的异侧），且∠PQM=.
当AP=2时，求△PQM与△ABC重叠部分的面积；
当点M落在△ABD的边上时，求AP的长.
（本题9分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．(1)出发2秒后，求PQ的长．(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.　
参考答案
选择题
B
C 解：∵∠ACB=，BC=8，AC=6，∴由勾股定理可得.设△ABC的面积为，则..故选C.
C 解：根据对称性，不妨求腰AC边上的高与底边BC的夹角.作BD⊥AC于点D，则∠CBD就是腰上的高与底边的夹角.分两种情况：
①如图1，若顶角为，即∠A=时，∵BD⊥AC，∴∠CBD+∠C=.∵AB=AC，∴∠C=∠ABC==
.∴∠CBD=.
②如图2，若底角为，即∠C=∠ABC=时，∵BD⊥AC，∴∠CBD+∠C=，∴∠CBD==.
由上可知，这个等腰三角形腰上的高与底边的夹角为.故选C.
B 设这个直角三角形的两条直角边长为，斜边长为.∵斜边上的中线长为1，∴.∵直角三角形的周长为，. . ①.
由勾股定理可得 ②. ①-②得..∴这个直角三角形的面积为：.故选B.
B 解：如图，①当AE=AB=3时，得△ABE为等腰三角形；②当AF=AB=3时，得△ABF为等腰三角形；③当BD=BA=3时，得△ABD为等腰三角形；④当GB=GA时，得△ABG为等腰三角形.因此，这样的直线最多可画4条，它们为：直线BE、AF、AD、AG.故选B.
D 解：如图，设∠CAD=，∵AD=AE，∴∠2=∠1=.∵AB=AC，∴∠C=∠B==
.由三角形外角性质可得∠EDC=∠2-∠C=-=.故选D.
A 解：如图，∵CE垂直平分AD，∴CA=CD.∴∠1=∠2.∵CD平分∠BCE，∴∠2=∠3.∵∠ACB=，
∴∠1=∠2=∠3=.∴∠ACD=∠1+∠2=.∵CE⊥AD，∴∠A=.
∴∠A=∠ACD.∴AD=CD.∴△ACD是等边三角形.∴CD=AC=5.∵∠ACB=，∴∠B=∠A==.∴∠3=∠B.∴BD=CD=5.故选A.
D 解：由题意可得 AC=8，BC=6，∠C=.由勾股定理可得.设AE=，则CE=AC－AE=8－.由折叠可得BE=AE=.∵∠C=,由勾股定理得：.∴.解得.由折叠可知AD=BD=,∠ADE=，由勾股定理可得：.∴△ADE的周长为：AD+AE+DE=5++=15.故选D.
A 解：如图，由等边三角形ABC可得∠A=∠B=.过点P作PM//BC交AC于点M,则∠APM=∠B==∠A.∴MA=MP.∴△APM为等边三角形.∴PM=PA.∵PA=CQ，∴PM=CQ.∵PM//BC，∴∠1=∠Q，∠2=∠3.∴△PDM≌△QDC.∴DM=DC=CM.∵PE⊥AC，∴AE=EM=AM.∴DE=EM+DM=AM+CM=AC=.故选A.
D 解：如图，取AB的中点F，连接CF、OF，∵OM⊥ON，∴∠AOB=.∴OF=AB=.∵△ABC是等边三角形，F是AB的中点，∴CF⊥AB，且BF=AB=..
∴OCCF+OF=+1，当O、F、C三点共线时，等号成立.∴OC的最大值为.故选D.
填空题
31 解：若腰为6，则三角形的三边长为:6、6、12，∵6+6=12，∴不符合三角形三边关系；若腰为12，则三角形三边为6、12、12，满足三角形三边关系.∴这个三角形的周长为:6+12+12=30.
13 解：如图，在△ABC中，由题意可知∠ACB=，AC=12m，BC=5m.由勾股定理可得=，∴AC=13m.∴小船实际行驶13m.
解：∵AB=AC，∴∠C=∠B==
.∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=.由三角形外角性质可得∠EDC=∠AED-∠C=
-()=.
1：2 解：如图，在AB上截取AF=AC，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵AD=AD，∴△ACD≌△AFD.
∴DF=CD，∠3=∠C.∵AB=AC+CD，∴AF+BF=AF+DF.∴BF=DF.∴∠4=∠B.由三角形外角性质可得∠3=∠4+∠B.
∴∠C=∠B+∠B,即∠C=2∠B.∴∠B:∠C=1：2.
解：如图，连接CE，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD=BC=.由翻折可得DC=DE，∠ADE=∠ADC=.∴∠CDE=∠ADC+∠ADE==.∴△CDE为等边三角形.∴CE=DE=CD=2=BD.∴∠DBE=∠DEB.由三角形外角性质可得∠DBE+∠DEB=∠CDE=.∴∠DBE=∠DEB=.∴∠BEC=∠DEB+∠CDE=.由勾股定理得.
解：如图，连接DP，则.∴.∵BD=CD，
∴PE+PF=AC.设AD=，∵BD=3AD，BD=CD，∴CD=BD=，AB=.∴AC=.∵∠A=，由勾股定理得：..解得.∴PE+PF=AC=.
解答题
解：（1）图甲中，△ABC为所画的等腰三角形；
图乙中，△CDA和△ECB都是所画的三角形.答案不唯一，画一个即可.
解：（1）∵AB=AC，∠A=，∴∠ACB=∠B=.∵DE是AC的垂直平分线，∴EC=AE=.∴∠ECD=∠A=；
（2）由（1）知∠ECD=.由三角形外角性质可得∠BEC=∠A+∠ECD=.由（1）知EC=5，且∠B=，∴∠B=∠BEC.∴BC=EC=5.
解：（1）如图，∵BE、CF分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵DE//BC，∴∠1=∠5，∠3=
∠6.∴∠2=∠5，∠4=∠6.∴BD=DF，CE=EF.∴△BDF和△CEF都是等腰三角形；
（2）∵AB=7，AC=6，又由（1）知BD=DF，CE=EF，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+(DF+EF)+AE=
(AD+BD)+(CE+AE)=AB+AC=7+6=13.
解（1）图中的等腰三角形有：①△ACD，②△ABD，③△AEF，④△DEF；
对于①：证明：∵AB//CD，∴∠1=∠C.∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2.∴∠2=∠C.∴AD=CD.∴△ACD是等腰三角形；
对于②：证明：∵AB//CD，∴∠4=∠B.∵BD平分∠ADC，∴∠3=∠4.∴∠3=∠B.∴AB=AD.∴△ABD是等腰三角形；
对于③和④：证明：∵AC平分∠BAD，∴∠2=∠BAD.∵BD平分∠ADC，∴∠3=ADC.∵AB//CD，∴∠ADC+∠BAD=.∴∠2+∠3=(∠BAD+∠ADC)=.∴∠AED=.∵F是AD的中点，∴EF=AD.∴EF=DF且EF=AF.∴△AEF和△DEF都是等腰三角形.
（2）由（1）知∠AED=，且EF=AD.由勾股定理可得.
∴EF=.
(1)证明：∵CD⊥BE,BE⊥DE，∴∠D==∠E.在△ACD和△BAE中，∵，∴△ACD≌△BAE.∴AC=AB.∴∠ABC=∠ACB；
(2)由（1）知，△ACD≌△BAE，∴∠1=∠3.∵BE⊥DE，∴∠2+∠3=.∴∠2+∠1=.∴∠4=.又由（1）知AC=AB.∵AC=6，∴AB=6.
∴.
解：记△ABC为这个等腰三角形，不妨设AB=10米，过点C作CD⊥AB于点D，则，即，∴CD=6米.下面分三种情况计算：
①如图1，当AB为底边时，则AC=BC，∵CD⊥AB，∴AD=BD=5米.由勾股定理可得(米）.∴AC=BC=米；
②如图2，当AB为腰，且△ABC为锐角三角形时，不妨设AC为另一条腰，则AC=AB=10米.由勾股定理可得米.∴BD=AB-AD=10-8=2米.由勾股定理可得
；
③如图3，当AB为腰，且△ABC为钝角三角形时，不妨设另一条腰为BC，则AB=BC=10米.由勾股定理可得
米.∴AD=AB+BD=10+8=18米.
由勾股定理可得.
由上述可知，这个等腰三角形的另两边长为：或或.
解：（1）如图1，设AB分别交PM、QM于点F、E，∵△ABC和△PQM都是等腰直角三角形，又∵PQ⊥AC，∴△CPQ和△APF都是等腰直角三角形，且四边形AEQP为长方形.∴AE=PQ=CP=AC-AP=8-2=6,AF=AP=2.
∴△PQM与△ABC重叠部分的面积为：PQ×AP-AP×AF=6×2-×2×2=10；
（2）显然点M不可能落在BD边上.下面分两种情况讨论：
①如图2，当点M落在AB边上时，则△BMQ和△CPQ是两个全等的等腰直角三角形.∴BQ=CQ,即Q为BC的中点.∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，即D为BC的中点.∴点D与Q重合.此时，△APD和△CPD是两个全等的等腰直角三角形.∴AP=CP=AC=×8=4；
②如图3，当点M落在AD边上时，则△DMQ和△CPQ都是等腰直角三角形.设AP=，则PQ=CP=8-.
∴CQ=.∵△PQM为等腰直角三角形，∴MQ=PQ=8-.∴DQ=DM=.∵△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AD=AC=×8=4.∵DQ+CQ=CD，∴.解得.
即AP=.
因此，当点M落在△ABD的边上时，AP的长为4或.
解：（1）∵，∴AP=1×2=2，BQ=2×2=4，,BP=AB-AP=8-2=6.∵∠B=，
；
（2）∵点Q在BC边上运动，且△PQB为等腰三角形，又∵∠B=,∴只能是BP=BQ.∴.
解得.答：出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；
（3）①如图1，当CB=CQ时，则.解得秒；
②如图2，当BC=BQ时，作BM⊥AC于点M,则.
.∴CM==.∴CQ=2CM=.秒；
③如图3，当CQ=BQ时，则∠C=∠1.∵∠1+∠2=,∠A+∠C=，∴∠2=∠A.∴BQ=AQ.∴CQ=AQ=AC=×10=5.秒.
因此，能使△BCQ为等腰三角形的运动时间为6秒、秒和秒.
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