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专题4.5.整式的加减
1、掌握添括号与去括号；掌握整式的加减的步骤；
2、掌握化简求值的步骤；
3、掌握整式比较大小的方法；
4、掌握整式在实际中的应用。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.去括号 2
考点2.添括号 3
考点3.整式的加減运算 4
考点4.多项式与多项式和差的结果 6
考点5.整式的化简求值 7
考点6.整式的比较大小 9
考点7.整式的加减（不含某项） 10
考点8.整式的加减（遮挡问题） 11
考点9.整式的实际应用 13
考点10.整式中的新定义 16
模块3：培优训练 15
去（添）括号法则：
1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变。
2）括号前是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。
3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数。
注意：去多重括号，可以先去大括号，在去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，先去小括号，在去中括号，最后去大括号。可依据简易程度，选择合适顺序。
整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为：
①将同类项找出，并置与一起；②合并同类项。
注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。
考点1.去括号
例1．（24-25·广东·七年级统考期末）下列各式去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A．，故选项A错误；
B．，故选项B正确；
C．，故选项C错误；
D．，故选项D错误；故选：B．
变式1．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）去括号：
； ；
； ；
； ．
【答案】 ； ； ； ； ； ．
【详解】；故答案为：；
；故答案为：；
；故答案为：；
；故答案为：.
，故答案为：.
．故答案为：.
变式2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）去掉式子中的括号得 ．
【答案】
【详解】解：．故答案为：．
考点2.添括号
例1．（24-25·广东七年级期中）下列各式中添括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；故选D．
变式1．（24-25七年级上·广东潮州·期中），在括号里填上适当的项应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是正确的；
D、，故该选项是错误的；故选：C．
变式2．（24-25·七年级上·四川眉山·期末）对多项式进行添括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据添括号的法则可知，或．故选：D．
变式3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）在括号内填上适当的项：（ ）．
【答案】
【详解】解：；故答案为：．
考点3.整式的加減运算
例1．（24-25七年级上·山东济南·期中）化简：
(1)；(2)；(3)
【答案】(1)(2) (3)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
．
变式1．（24-25七年级上·黑龙江·期中）计算：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
变式2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）化简
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
考点4.多项式与多项式和差的结果
例1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）已知两个多项式M和N都是六次多项式，那么为（ ）
A．六次多项式 B．不高于六次的多项式 C．不低于六次的多项式 D．不高于六次的整式
【答案】D
【详解】解：∵两个多项式M和N都是六次多项式，∴为不高于六次的整式，故选：D．
变式1．（2024·陕西西安·七年级统考期中）若A是一个四次多项式，B也是一个四次多项式，则是一个（ ）
A．八次多项式 B．四次多项式 C．次数不超过四次的多项式 D．次数不超过四次的代数式
【答案】D
【详解】解：若A是一个四次多项式，且B也是一个四次多项式，
则一定是不高于四次的多项式或单项式．故选：D．
变式2．（24-25广东广州·七年级校考期末）一个五次三项式，加一个五次三项式，可能是（ ）
A．十次六项式 B．十次三项式 C．六次二项式 D．四次二项式
【答案】D
【详解】解：∵合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变，∴一个五次三项式，加一个五次三项式，所得整式的次数不可能高于五次，故A，B，C不正确，D正确，如：．故选D．
考点5.整式的化简求值
例1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）先化简再求值：，其中，．
【答案】，
【详解】解：，
当，时，原式，故答案为；．
变式1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，3
先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：，
当，时，原式．
变式2．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【详解】解：原式，
∵，，∴原式．
变式3．（24-25七年级上·北京·期中）下面是小岩整式化简的过程，请认真阅读并回答问题．
········第一步
·········第二步
． ··············第三步
(1)第一步的依据是_______________________________；
(2)小岩的化简过程从第____步出现错误，出现错误的原因是______________________；
(3)请写出正确的化简过程，并计算当，时该整式的值．
【答案】(1)分配律 (2)二；去括号后，括号内的第二项没有变号；
(3)化简结果，求值结果为
【详解】（1）解：的依据是乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
（2）解：
········第一步
·········第二步
．··············第三步
∴是从第二步开始出错的，错误的原因是去括号时没有变号；
（3）解：
．
当，，原式．
考点6.整式的比较大小
例1．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）【阅读】同学们，我们知道数可以比较大小，比如，那么两个代数式可以比较大小吗？
例如：比较与的大小，我们可以这样做：
因为，又因为，所以．
【尝试】比较代数式与的大小，说明理由．
【答案】，理由见解析
【详解】解：．
理由如下：，
因为，所以，所以．
变式1．（24-25·广西河池·七年级统考期末）若，，则A、B的大小关系（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【详解】解：，
∵，∴，∴，即，故选：A．
变式2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）阅读下面材料并解决问题
对任意两个代数式，比较大小，我们可以用“作差法”：若时，则；若时，则；若时，则．例如：因为，所以．
(1)比较大小：_______（填“”，“”或“”）；
(2)比较代数式与的大小；
(3)对于任意的有理数，，请比较与的大小．
【答案】(1)；(2)；
(3)当时，；当时，；当时，．
【详解】（1）解：∵，∴，故答案为：；
（2）解：，
∵，∴，∴，∴；
（3）解：
当时，，则，此时，
当时，，则，此时，；
当时，，则，此时，．
考点7.整式的加减（不含某项）
例1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）整式减去后，若不含与，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】解：
，
因为它们的差不含与，所以，，∴，，故选B．
变式2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，，，为常数，，，若的取值与无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为，，
所以，
因为的取值与无关，所以，，得：，；
；
因为是不含的多项式，所以，即，
因为，即，，
因为该式子恒成立，所以，即，
．故选：A．
变式2．（24-25七年级上·重庆·期中）代数式，其中常数满足关于的多项式与的取值无关．(1)化简代数式；(2)求常数值；(3)求出的值．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：
（2）解：，
∵于的多项式与的取值无关，∴，∴；
（3）解：当时，．
考点8.整式的加减（遮挡问题）
例1．（2025·河北·二模）一道求值题不小心弄污损了，嘉嘉隐约辨识：化简，其中．系数“”看不清楚了．
(1)如果嘉嘉把“”中的数值看成2，求上述代数式的值；
(2)若无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是，请通过计算帮助嘉嘉确定“”中的数值．
【答案】(1)，(2)4
【详解】（1）原式．
当时，原式；
（2）设中的数值为，则原式．
无论取任意的一个数，这个代数式的值都是，
．．答：“”中的数是4．
变式1．（2025·河北石家庄·七年级统考期末）以下是嘉淇做填空题的结果：，已知她的计算结果是正确的，但“”处被墨水弄脏看不清了，“”处应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意得：
，
“”处应是，故选：B．
变式2．（2024·山西大同·七年级校考期末）疫情期间，亮亮的父母只要有时间就陪孩子一起完成家庭作业，在某天晚上，亮亮准备完成作业：化简时发现“”处系数“ ”印刷不清楚．(1)他把“ ”猜成3，请你帮亮亮化简：；
(2)爸爸说：“你猜错了，我们看了标准答案的结果是常数．”请你通过计算说明来帮助亮亮得到原题中“ ”是几．
【答案】(1)；(2)6．
【详解】（1）解：（1）原式；
（2）设看不清的数字为a，则原式
；
因为结果为常数，所以，解得：， 即原题中的数为6．
考点9.整式的实际应用
例1．（2025·河北·一模）将4个如图①所示的长为、宽为的小矩形按照图②的方式不重叠地摆放在大矩形中，，大矩形中未被覆盖的两部分分别记为和．
(1)求图形的周长（用含的式子表示）；
(2)要求图形C1和C2的周长和，嘉嘉认为必须告诉的值；淇淇认为不用告诉x，y的值，你认为谁的看法正确？请说明理由．
【答案】(1) (2)淇淇看法正确，见解析
【详解】（1）解：由题图可知图形的长，宽，
∴图形的周长；
（2）解：淇淇的看法正确，理由如下：
∵由题图可知，图形的周长为，图形的周长为，且，
∴图形和的周长和为，
∴淇淇的看法正确．
例2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）某地区居民用电收费方式有以下两种：
方式一：未开通峰谷
阶梯递增电价
I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分）
元/度 元/度 元/度
方式二：开通峰谷
时段 峰谷分时电价
I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分）
高峰时段 元/度 元/度 元/度
低谷时段（以外时间） 元/度 元/度 元/度
(1)已知小明家月份用电度．①若未开通峰谷，需缴交电费______元；
②若开通峰谷，且高峰时段用电度，则小明家月份能节约多少电费？
(2)经测算，小安家月份平均每个月用电度（低谷总用电量占），其它月份平均每个月用电度（低谷用电量占）．请从电费角度说明小安家是否要开通峰谷．
【答案】(1)①；②节约电费元(2)小安家要开通峰谷
【详解】（1）解：①根据题意得：（元），
∴若未开通峰谷，需缴交电费元，故答案为：；
②根据题意得：（元），
∴小明家月份能节约元电费；
（2）小安家要开通峰谷．
理由：
（元），
∵，∴，∴开通峰谷全年可节省元，∴小安家要开通峰谷．
变式1．（24-25七年级上·河南周口·期末）某商店销售一种商品，在“双十一”期间开展了线上，线下两种促销活动，某一天的线上销售情况统计如下：
单件利润／元 销量／件
第单
第单
第单
(1)这一天线下的销售总利润比线上销售总利润少元，这天线下的销售总利润多少元？
(2)若线下销售的总件数比线上的总件数少件，求线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润多多少元？
【答案】(1)这天线下的销售总利润为元
(2)这天线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润多元
【详解】（1）解：依题意，得：，
∴这天线下的销售总利润为元；
（2）依题意，得：
∴线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润多元．
变式2．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，有两个长宽高分别都是、、的箱子，现在要用如图所示的两种不同的打包方式进行打包．
(1)图①中打包带的总长_______________；（用含、、的代数式表示，并化简）
图②中打包带的总长__________________；（用含、、的代数式表示，并化简）
(2)已知一个箱子的长，宽，高，若按照图②的方式打包，请计算打包带的总长．
(3)根据你的分析，试判断打包方式____________所用打包带更短．
【答案】(1)，(2)(3)②；理由见解析
【详解】（1）解：图①中打包带的总长，
图②中打包带的总长；
（2）解：∵一个箱子的长，宽，高，
∴；
（3）解：，所以按照方式②的打包带更短．
考点10.整式中的新定义
例1．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算：满足
(1)当，化简；(2)如果化简的结果与无关，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解： ，
；
（2）解：原式，
化简的结果与无关，，
当时，原式．
例2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）将四个有理数a，b，c，d写成的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，b，c，d为构成这个矩阵的元素，定义矩阵的运算为：，两个矩阵相加我们定义为：，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程：
．
(1)计算的值；(2)计算．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
变式1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）（1）现定义运算“”，对于任意有理数，都有，．例如：．求的结果．
（2）先化简，再求值：，其中：．
【答案】（1）；（2），
【详解】（1）根据题中的新定义得：
；
（2）
．
当时
原式
．
变式2．（24-25七年级上·重庆·期中）如果两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”．如多项式与多项式，，3是单项式，则与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为3；又如多项式与多项式，，不是单项式，则与不是“孪生多项式”．
(1)分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”；如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由：
①与； ②与．
(2)若与互为“孪生多项式”，和为常数，求的值；
(3)在（2）问的条件下，若多项式（，，为常数且）与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，直接写出满足条件的多项式．
【答案】(1)①不是；理由见解析 ②是；(2)(3)
【详解】（1）① 不是，理由：
∵，不是单项式，
∴①组多项式不是互为“孪生多项式”；，
②是，∵，是单项式，
∴②组多项式是互为“孪生多项式”， 它们的“孪生式”为
（2）∵与互为“孪生多项式”，
∴，且，
∴，故；
（3）∵，∴，
∴，
∵与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，
∴，且，∴，∵，∴，∴．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·江西抚州·开学考试）小马虎计算时，错写成了，这样所得的结果比原式( )
A．多 B．少 C．少 D．少
【答案】D
【详解】解：，与相比少了个，．故选：D．
2．（24-25八年级上·重庆·期末）关于的二次三项式，关于的代数式，下列说法：①当为关于的二次三项式时，则；②当多项式A与3B的差中不含项时，则；③当时，的值总是正数．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【详解】解：①，
∵为关于的二次三项式，∴，解得，故说法①正确；
②，
∵多项式A与3B的差中不含项，∴，解得，故说法②正确；
③，
当时，，故说法③正确；综上，说法①②③都正确；故选：A．
3．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）若多项式 的结果与的值无关，那么k的值为（ ）
A．0 B．2 C．5 D．不能确定
【答案】C
【详解】，
∵多项式 的结果与的值无关，∴，得，故选C．
4．（2024·山西太原·七年级统考期中）数学活动课上，老师做了一个有趣的游戏：开始时东东、亮亮，乐乐三位同学手中均有a张扑克牌（假定a足够大），然后依次完成以下三个步骤：第一步，东东拿出2张扑克牌给亮亮；第二步，乐乐拿出3张扑克牌给亮亮；第三步，东东手中此时有多少张扑克牌，亮亮就拿出多少张扑克牌给东东．游戏过程中，亮亮手中扑克牌张数的变化情况正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：第一步东东学拿出2张牌给亮亮，则亮亮手中有张牌，东东剩余张牌；
第二步乐乐拿出3张扑克牌给亮亮，则亮亮手中有张牌，
第三步，东东手中此时有多少张扑克牌，亮亮就拿出多少张扑克牌给东东，则亮亮手中有张牌，故选：D．
5．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）数学课上，老师让同学们任意写一个三位数，然后把它的个位数字与百位数字对调，计算对调后的三位数与原三位数的差．有四位同学给出下列四个计算结果，其中正确的是（ ）
A．891 B．694 C． D．
【答案】D
【详解】解：设这个三位数为，然后把它的个位数字与百位数字对调，变为，且a、b、c为1至9的整数，∴，，
∴，
∵a、b、c为1至9的整数，∴，
又∵，，，，
∴符合要求，即正确的是D，故选：D．
6．（24-25浙江·七年级校考期中）若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则一定是（ ）
A．三次多项式 B．七次多项式 C．四次多项式或单项式 D．四次七项式或三次多项式
【答案】C
【详解】解：多项式相加，即合并同类项，合并同类项时只是把系数相加减，字母和字母的指数不变；
由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，因此一定是四次多项式或单项式．故选：C．
7．（24-25河北保定·七年级统考期末）已知：，．则比较A与B的大小（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【详解】解：∵，，
∴，∴，
∵，∴，∴，故选A．
8．（2025·重庆·二模）下图是用形状大小完全相同的三角形按照一定规律拼成的图案，第种图案有个三角形，第种图案有个三角形，第种图案有个三角形，，按照这一规律，第种图案三角形的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：第种图案有三角形（个），第种图案有三角形（个），
第种图案有三角形（个），第种图案有三角形（个），，
第种图案有三角形（个），故选：．
9．（2025·重庆·一模）有依次排列的2个整式：，，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式，称为第一次操作；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式，称为第二次操作；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式，称为第三次操作，……，以此类推，下列说法：①第六次操作得到的整式为；
②第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1；
③第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于．其中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】解：第1个整式：，第2个整式：，第3个整式：，第4个整式：，
第5个整式：，第6个整式：，第7个整式：，第8个整式：，故①正确；
由此规律可知，第n个整式中含项的系数的2倍与第个整式中含项的系数之差为1；第n个整式与第个整式，x项的系数和为；
∴第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1，故②正确；第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于，故③错误；故选：C．
10．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，按图2和图3两种方式摆放，若长方体盒子底部的长与宽的差为3，则图2和图3中阴影部分周长之差为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【详解】由图3知，长方体盒子底部的长为，宽为，∴，
∴图2中阴影部分的周长为，图3中阴影部分的周长为，
∴．∴图2和图3中阴影部分周长之差为．故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25六年级上·上海·期末）计算 ．
【答案】/
【详解】解：．故答案为：．
12．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）我们知道整式的加减运算，是在学习了整式的前提下进行的，是有一定基础的，如两个多项式相减的计算：．请你根据上面的例子，把七年级数学上册第四章《整式的加减》知识结构图补充完整：① ；② ；③ ．
【答案】 单项式 多项式 合并同类项
【详解】解：列代数式表示数量关系得到单项式或多项式，化简需去括号，合并同类项，即整式的加减．
故答案为：单项式，多项式，合并同类项．
13．（24-25七年级上·重庆·期中）已知，，在求的值时，小智发现无论x代入何值，所求的值皆不变．那么此时k的值为 ．
【答案】/
【详解】解：∵，，
∴，
∵无论x代入何值，的值皆不变，∴，解得，故答案为：．
14．（23-24七年级上·江苏南通·期末）某同学在做计算时，误将“”看成了“”，求得的结果是，已知，则的正确答案为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，∴；
∴；故答案为：．
15．（2024·安徽阜阳·七年级校考期末）如果整式A与整式B的和为一个实数a，我们称A，B为数a的“友好整式”，例如：和为数1的“友好整式”．若关于x的整式与为数n的“友好整式”，则的值为 _____．
【答案】4
【详解】解：∵关于x的整式与为数n的“友好整式”，∴，
∵，
∵，∴，∴5+k＝n，即，
∴n＝2，∴．故答案为：4．
16．（24-25·重庆江津·七年级校联考期中）一个两位数m的十位上的数字是a，个位上的数字是b，记为这个两位数m的“衍生数”．如．现有2个两位数x和y，且满足，则_______．
【答案】10或19
【详解】解：①当2个两位数和的个位数字为0，且满足时，和的十位数字的和为10，个位数字的和为0，故；
②当2个两位数和的个位数字均不为0，且满足时，和的十位数字的和为9，个位数字的和为10，故；
综上所述，的值为10或19．故答案为：10或19．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·天津宁河·期末）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）；（2），
【详解】解：（1）
；
（2）
=
；
当，时，
原式；
18．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知．
(1)求；(2)小明同学在解答（1）时，误将看作，求小明同学的计算结果；
(3)若小明同学的计算结果与正确结果相等，请写出一组、的值
【答案】(1)(2)(3)，（答案不唯一）
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
；
（3）解：由（1）和（2）可知，正确答案为，小明的答案为，
小明同学的计算结果与正确结果相等，
，
，
、的值为，．
19．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）追本溯源
题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（2）、题（3）．
（1）要比较和的大小，我们可以用得到2．因为2大于零，所以大于零，因此．这种比较大小的方法称为作差法，即我们可以通过作差、变形，利用差与零的大小关系比较两个多项式的大小关系，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则．
请用上述方法，比较和的大小．（2）比较和的大小，并说明理由．
（3）已知，比较与的大小关系．
【答案】（1），理由见解析；（2）当时，；当时，；当时，；（3）．
【详解】解：（1），理由如下，∵，∴；
（2）∵，
当时，，则；当时，，则；当时，，则；
（3）∵，∴，
∵，∴，∴，即．
20．（24-25七年级上·山西长治·期末）阅读与思考：
下面是学习小组研究性学习的汇报内容，请仔细阅读并完成相应任务．
“整体思想”的应用整体思想是初中数学中一种重要的数学思想方法，它是研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化，使其简单化的一种方法，是数学解题的一种重要策略，也是提高解题速度的一种重要途径，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例题分析：例1．我们把看成一个整体，求．解：．例2．已知，求的值．解：∵，∴．
任务：(1)把看成一个整体，合并_________；
(2)已知，求的值；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：故答案为：．
（2）解：∵，∴
（3）解：∵，
∴．
21．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义新运算“”：对于任意的有理数 a 和 b ，．
(1)分别求出 ，的值；(2)若，求代数式 的值；(3)若 ，且的运算结果与n 的 取值无关，求 m 的值及的值．
【答案】(1)，(2)(3)，
【详解】（1）解：由题意得：，；
（2）解：∵，∴，即，
∵
；
∴原式；
（3）解：
；
∵ ，
∴
；
∵的运算结果与n 的 取值无关，∴中，
解得：，∴的值为．
22．（24-25七年级上·福建福州·期中）小乐在学习完课本上的数学活动后，对数的整除很感兴趣，于是自己研究了被7整除的数的特征，先从两位数开始研究：
两位数 十位数字 个位数字 10位数字减个位数字的2倍
14 1 4
21 2 1
28 2 8
35 3 5
… … … …
91 9 1 ①
98 9 8
他发现如果一个两位数的十位数字减去个位数字的2倍得到的结果是7的倍数，那么这个两位数就是7的倍数，并作了简单的推理：
解：设这个两位数十位数字是，个位数字是．
则该两位数是
因为是7的倍数，3为质数．
所以当是7的倍数时，原两位数是7的倍数．
这个结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到．因此当是7的倍数时，原数是7的倍数，并且该结论反之亦成立．
(1)根据表中的内容，①式的内容是______．
(2)请按照推广后的结论解决下列问题：①判断47243是不是7的倍数．
②若一个正整数乘以7所得的乘积的最后四位数为2027，求这个正整数的最小值．
【答案】(1)(2)①47243是7的倍数；②这个正整数的最小值为8861
【详解】（1）解：根据题意得：．故答案为：；
（2）①∵，∴是7的倍数，∴47243是7的倍数；
②设一个正整数乘以7所得的乘积是，
∵是7的倍数，∴是7的倍数，即是7的倍数．
∵，∴是7的倍数，
∵x是正整数，∴x的最小值为6，∴一个正整数乘以7所得的乘积的最小值为62027，
又∵，∴这个正整数的最小值为8861．
23．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）【问题背景】
如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接、，
【初步探究】（1）___________（用表示）；（2）请用含、的式子表示四边形的面积（结果要求化简）；（3）当为何值时，四边形的面积不会随运动时间的变化而变化；
【拓展提升】（4）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知、两区初始显示的分别是和（为正整数），若，试比较区、区显示的结果哪个大？
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】解：（1）．故答案为：；
（2）四边形的面积=长方形的面积-三角形的面积-三角形的面积
；
（3）∵，
∴，即时，四边形的面积不会随运动时间的变化而变化；
（4）当时，由题意得，，
∴，
∵，∴，∴．
24．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒，按此规律摆放．
(1)按照上述摆放方式，摆n个正方形用______根小棒(用n的代数式表示，并化简）．
(2)按照上述摆放方式，能否用18根小棒摆出6个正方形？并说明理由．
(3)设小棒长度为1，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，画出一种示意图．
【答案】(1)(2)不能，理由见详解(3)作图见详解
【详解】（1）解：第1个图有1个正方形需要根小棒，
第2个图有2个正方形需要根小棒，即，
第3个图有3个正方形需要根，即，
∴第个正方形需要（根），故答案为：；
（2）解：根据（1）可得，摆出6个正方形时是第6个图形，
∴，即需要根小棒，∴用18根小棒摆不出6个正方形；
（3）解：根据题意，第3个图中有3个正方形，需要10根小棒，
由（2）可知，按照题目中的图形摆放得到6个正方形需要19根，∴改变摆放方式，如图所示，
∴摆放时需要根小棒，即不多于18根小棒，∴符合题意．
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专题4.5.整式的加减
1、掌握添括号与去括号；掌握整式的加减的步骤；
2、掌握化简求值的步骤；
3、掌握整式比较大小的方法；
4、掌握整式在实际中的应用。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.去括号 2
考点2.添括号 3
考点3.整式的加減运算 4
考点4.多项式与多项式和差的结果 6
考点5.整式的化简求值 7
考点6.整式的比较大小 9
考点7.整式的加减（不含某项） 10
考点8.整式的加减（遮挡问题） 11
考点9.整式的实际应用 13
考点10.整式中的新定义 16
模块3：培优训练 15
去（添）括号法则：
1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变。
2）括号前是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。
3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数。
注意：去多重括号，可以先去大括号，在去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，先去小括号，在去中括号，最后去大括号。可依据简易程度，选择合适顺序。
整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为：
①将同类项找出，并置与一起；②合并同类项。
注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。
考点1.去括号
例1．（24-25·广东·七年级统考期末）下列各式去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）去括号：
； ；
； ；
； ．
变式2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）去掉式子中的括号得 ．
考点2.添括号
例1．（24-25·广东七年级期中）下列各式中添括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级上·广东潮州·期中），在括号里填上适当的项应该是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25·七年级上·四川眉山·期末）对多项式进行添括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）在括号内填上适当的项：（ ）．
考点3.整式的加減运算
例1．（24-25七年级上·山东济南·期中）化简：
(1)；(2)；(3)
变式1．（24-25七年级上·黑龙江·期中）计算：(1)；(2)．
变式2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）化简
(1) (2)
(3) (4)
考点4.多项式与多项式和差的结果
例1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）已知两个多项式M和N都是六次多项式，那么为（ ）
A．六次多项式 B．不高于六次的多项式 C．不低于六次的多项式 D．不高于六次的整式
变式1．（2024·陕西西安·七年级统考期中）若A是一个四次多项式，B也是一个四次多项式，则是一个（ ）
A．八次多项式 B．四次多项式 C．次数不超过四次的多项式 D．次数不超过四次的代数式
变式2．（24-25广东广州·七年级校考期末）一个五次三项式，加一个五次三项式，可能是（ ）
A．十次六项式 B．十次三项式 C．六次二项式 D．四次二项式
考点5.整式的化简求值
例1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）先化简再求值：，其中，．
变式1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
变式2．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
变式3．（24-25七年级上·北京·期中）下面是小岩整式化简的过程，请认真阅读并回答问题．
········第一步
·········第二步
． ··············第三步
(1)第一步的依据是_______________________________；
(2)小岩的化简过程从第____步出现错误，出现错误的原因是______________________；
(3)请写出正确的化简过程，并计算当，时该整式的值．
考点6.整式的比较大小
例1．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）【阅读】同学们，我们知道数可以比较大小，比如，那么两个代数式可以比较大小吗？
例如：比较与的大小，我们可以这样做：
因为，又因为，所以．
【尝试】比较代数式与的大小，说明理由．
变式1．（24-25·广西河池·七年级统考期末）若，，则A、B的大小关系（ ）
A． B． C． D．不能确定
变式2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）阅读下面材料并解决问题
对任意两个代数式，比较大小，我们可以用“作差法”：若时，则；若时，则；若时，则．例如：因为，所以．
(1)比较大小：_______（填“”，“”或“”）；
(2)比较代数式与的大小；
(3)对于任意的有理数，，请比较与的大小．
考点7.整式的加减（不含某项）
例1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）整式减去后，若不含与，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
变式2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，，，为常数，，，若的取值与无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·重庆·期中）代数式，其中常数满足关于的多项式与的取值无关．(1)化简代数式；(2)求常数值；(3)求出的值．
考点8.整式的加减（遮挡问题）
例1．（2025·河北·二模）一道求值题不小心弄污损了，嘉嘉隐约辨识：化简，其中．系数“”看不清楚了．
(1)如果嘉嘉把“”中的数值看成2，求上述代数式的值；
(2)若无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是，请通过计算帮助嘉嘉确定“”中的数值．
变式1．（2025·河北石家庄·七年级统考期末）以下是嘉淇做填空题的结果：，已知她的计算结果是正确的，但“”处被墨水弄脏看不清了，“”处应是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·山西大同·七年级校考期末）疫情期间，亮亮的父母只要有时间就陪孩子一起完成家庭作业，在某天晚上，亮亮准备完成作业：化简时发现“”处系数“ ”印刷不清楚．(1)他把“ ”猜成3，请你帮亮亮化简：；
(2)爸爸说：“你猜错了，我们看了标准答案的结果是常数．”请你通过计算说明来帮助亮亮得到原题中“ ”是几．
考点9.整式的实际应用
例1．（2025·河北·一模）将4个如图①所示的长为、宽为的小矩形按照图②的方式不重叠地摆放在大矩形中，，大矩形中未被覆盖的两部分分别记为和．
(1)求图形的周长（用含的式子表示）；
(2)要求图形C1和C2的周长和，嘉嘉认为必须告诉的值；淇淇认为不用告诉x，y的值，你认为谁的看法正确？请说明理由．
例2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）某地区居民用电收费方式有以下两种：
方式一：未开通峰谷
阶梯递增电价
I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分）
元/度 元/度 元/度
方式二：开通峰谷
时段 峰谷分时电价
I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分）
高峰时段 元/度 元/度 元/度
低谷时段（以外时间） 元/度 元/度 元/度
(1)已知小明家月份用电度．①若未开通峰谷，需缴交电费______元；
②若开通峰谷，且高峰时段用电度，则小明家月份能节约多少电费？
(2)经测算，小安家月份平均每个月用电度（低谷总用电量占），其它月份平均每个月用电度（低谷用电量占）．请从电费角度说明小安家是否要开通峰谷．
变式1．（24-25七年级上·河南周口·期末）某商店销售一种商品，在“双十一”期间开展了线上，线下两种促销活动，某一天的线上销售情况统计如下：
单件利润／元 销量／件
第单
第单
第单
(1)这一天线下的销售总利润比线上销售总利润少元，这天线下的销售总利润多少元？
(2)若线下销售的总件数比线上的总件数少件，求线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润多多少元？
变式2．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，有两个长宽高分别都是、、的箱子，现在要用如图所示的两种不同的打包方式进行打包．
(1)图①中打包带的总长_______________；（用含、、的代数式表示，并化简）
图②中打包带的总长__________________；（用含、、的代数式表示，并化简）
(2)已知一个箱子的长，宽，高，若按照图②的方式打包，请计算打包带的总长．(3)根据你的分析，试判断打包方式____________所用打包带更短．
考点10.整式中的新定义
例1．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算：满足
(1)当，化简；(2)如果化简的结果与无关，求的值．
例2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）将四个有理数a，b，c，d写成的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，b，c，d为构成这个矩阵的元素，定义矩阵的运算为：，两个矩阵相加我们定义为：，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程：
．
(1)计算的值；(2)计算．
变式1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）（1）现定义运算“”，对于任意有理数，都有，．例如：．求的结果．
（2）先化简，再求值：，其中：．
变式2．（24-25七年级上·重庆·期中）如果两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”．如多项式与多项式，，3是单项式，则与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为3；又如多项式与多项式，，不是单项式，则与不是“孪生多项式”．
(1)分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”；如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由：
①与； ②与．
(2)若与互为“孪生多项式”，和为常数，求的值；
(3)在（2）问的条件下，若多项式（，，为常数且）与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，直接写出满足条件的多项式．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·江西抚州·开学考试）小马虎计算时，错写成了，这样所得的结果比原式( )
A．多 B．少 C．少 D．少
2．（24-25八年级上·重庆·期末）关于的二次三项式，关于的代数式，下列说法：①当为关于的二次三项式时，则；②当多项式A与3B的差中不含项时，则；③当时，的值总是正数．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）若多项式 的结果与的值无关，那么k的值为（ ）
A．0 B．2 C．5 D．不能确定
4．（2024·山西太原·七年级统考期中）数学活动课上，老师做了一个有趣的游戏：开始时东东、亮亮，乐乐三位同学手中均有a张扑克牌（假定a足够大），然后依次完成以下三个步骤：第一步，东东拿出2张扑克牌给亮亮；第二步，乐乐拿出3张扑克牌给亮亮；第三步，东东手中此时有多少张扑克牌，亮亮就拿出多少张扑克牌给东东．游戏过程中，亮亮手中扑克牌张数的变化情况正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）数学课上，老师让同学们任意写一个三位数，然后把它的个位数字与百位数字对调，计算对调后的三位数与原三位数的差．有四位同学给出下列四个计算结果，其中正确的是（ ）
A．891 B．694 C． D．
6．（24-25浙江·七年级校考期中）若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则一定是（ ）
A．三次多项式 B．七次多项式 C．四次多项式或单项式 D．四次七项式或三次多项式
7．（24-25河北保定·七年级统考期末）已知：，．则比较A与B的大小（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．（2025·重庆·二模）下图是用形状大小完全相同的三角形按照一定规律拼成的图案，第种图案有个三角形，第种图案有个三角形，第种图案有个三角形，，按照这一规律，第种图案三角形的个数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·重庆·一模）有依次排列的2个整式：，，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式，称为第一次操作；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式，称为第二次操作；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式，称为第三次操作，……，以此类推，下列说法：①第六次操作得到的整式为；
②第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1；
③第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于．其中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，按图2和图3两种方式摆放，若长方体盒子底部的长与宽的差为3，则图2和图3中阴影部分周长之差为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25六年级上·上海·期末）计算 ．
12．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）我们知道整式的加减运算，是在学习了整式的前提下进行的，是有一定基础的，如两个多项式相减的计算：．请你根据上面的例子，把七年级数学上册第四章《整式的加减》知识结构图补充完整：① ；② ；③ ．
13．（24-25七年级上·重庆·期中）已知，，在求的值时，小智发现无论x代入何值，所求的值皆不变．那么此时k的值为 ．
14．（23-24七年级上·江苏南通·期末）某同学在做计算时，误将“”看成了“”，求得的结果是，已知，则的正确答案为 ．
15．（2024·安徽阜阳·七年级校考期末）如果整式A与整式B的和为一个实数a，我们称A，B为数a的“友好整式”，例如：和为数1的“友好整式”．若关于x的整式与为数n的“友好整式”，则的值为 _____．
16．（24-25·重庆江津·七年级校联考期中）一个两位数m的十位上的数字是a，个位上的数字是b，记为这个两位数m的“衍生数”．如．现有2个两位数x和y，且满足，则_______．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·天津宁河·期末）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
18．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知．
(1)求；(2)小明同学在解答（1）时，误将看作，求小明同学的计算结果；
(3)若小明同学的计算结果与正确结果相等，请写出一组、的值
19．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）追本溯源
题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（2）、题（3）．
（1）要比较和的大小，我们可以用得到2．因为2大于零，所以大于零，因此．这种比较大小的方法称为作差法，即我们可以通过作差、变形，利用差与零的大小关系比较两个多项式的大小关系，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则．
请用上述方法，比较和的大小．（2）比较和的大小，并说明理由．
（3）已知，比较与的大小关系．
20．（24-25七年级上·山西长治·期末）阅读与思考：
下面是学习小组研究性学习的汇报内容，请仔细阅读并完成相应任务．
“整体思想”的应用整体思想是初中数学中一种重要的数学思想方法，它是研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化，使其简单化的一种方法，是数学解题的一种重要策略，也是提高解题速度的一种重要途径，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例题分析：例1．我们把看成一个整体，求．解：．例2．已知，求的值．解：∵，∴．
任务：(1)把看成一个整体，合并_________；
(2)已知，求的值；
(3)已知，求的值．
21．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义新运算“”：对于任意的有理数 a 和 b ，．
(1)分别求出 ，的值；(2)若，求代数式 的值；(3)若 ，且的运算结果与n 的 取值无关，求 m 的值及的值．
22．（24-25七年级上·福建福州·期中）小乐在学习完课本上的数学活动后，对数的整除很感兴趣，于是自己研究了被7整除的数的特征，先从两位数开始研究：
两位数 十位数字 个位数字 10位数字减个位数字的2倍
14 1 4
21 2 1
28 2 8
35 3 5
… … … …
91 9 1 ①
98 9 8
他发现如果一个两位数的十位数字减去个位数字的2倍得到的结果是7的倍数，那么这个两位数就是7的倍数，并作了简单的推理：
解：设这个两位数十位数字是，个位数字是．
则该两位数是
因为是7的倍数，3为质数．
所以当是7的倍数时，原两位数是7的倍数．
这个结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到．因此当是7的倍数时，原数是7的倍数，并且该结论反之亦成立．
(1)根据表中的内容，①式的内容是______．(2)请按照推广后的结论解决下列问题：①判断47243是不是7的倍数．②若一个正整数乘以7所得的乘积的最后四位数为2027，求这个正整数的最小值．
23．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）【问题背景】
如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接、，
【初步探究】（1）___________（用表示）；（2）请用含、的式子表示四边形的面积（结果要求化简）；（3）当为何值时，四边形的面积不会随运动时间的变化而变化；
【拓展提升】（4）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知、两区初始显示的分别是和（为正整数），若，试比较区、区显示的结果哪个大？
24．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒，按此规律摆放．
(1)按照上述摆放方式，摆n个正方形用______根小棒(用n的代数式表示，并化简）．
(2)按照上述摆放方式，能否用18根小棒摆出6个正方形？并说明理由．
(3)设小棒长度为1，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，画出一种示意图．
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