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第2章特殊三角形全章题型突破
题型一．等腰三角形的性质（共15小题）
1．（2024秋 余姚市期中）等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A．50° B．65° C．80° D．100°
2．（2024秋 安吉县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AB＝2BD
C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC
3．（2024秋 台州期中）若等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长是（ ）
A．10 B．10或11 C．10或12 D．11
4．（2024秋 杭州校级期中）如图，已知在△ABC中，AB＝BC，点D在AC上且BD⊥BC．设∠BDC＝a，∠ABD＝β，则（ ）
A．3a+β＝180° B．2α﹣β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
5．（2024秋 奉化区校级期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝78°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．76° C．78° D．84°
6．（2024秋 杭州期中）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 ．
7．（2024秋 宁波期中）已知等腰三角形的两边长为x、y，且满足|x﹣4|+（x﹣y+4）2＝0，则三角形的周长为 ．
8．（2024秋 鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，∠ACD＝110°，则∠A＝ ．
9．（2024秋 鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∠BAD＝26°，AD＝AE，则∠EDC的度数为 ．
10．（2024秋 诸暨市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BD⊥AC于点D，CD＝2，求BC的长．
11．（2024秋 江山市期中）已知如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．求证：CG＝EG．
12．（2024秋 拱墅区校级期中）（1）在等腰△ABC中，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求等三角形的底边长．
（2）已知在等腰△ABC中，∠ABC的外角为140°，求△ABC的顶角度数．
13．（2024秋 鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝4，∠A＝44°，AB边的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M．
（1）求∠DBC的度数．
（2）求△BCD的周长．
14．（2024秋 滨江区校级期中）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，D是边AB上一点（不与点A、B重合），E是线段CD延长线上一点，∠BEC＝∠BAC．
（1）说明∠EBA＝∠DCA的理由；
（2）小华在研究这个问题时，提出了一个新的猜想：点D在运动的过程中（不与点A、B重合），∠AEC与∠ABC是否会相等？，小丽思考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段CE上取一点H，使得CH＝BE，联结AH，然后通过学过的知识就能得到∠AEC与∠ABC相等．你能否根据小丽同学的想法，说明∠AEC＝∠ABC的理由．
15．（2024秋 慈溪市期中）（1）如图，△ABC纸片中，∠A＝36°，AB＝AC，请你剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．请画出示意图，并标明必要的角度；
（2）已知等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连接AD，若△ACD与△ABD都是等腰三角形，则∠B的度数是 ；（请画出示意图，并标明必要的角度）
（3）现将（1）中的等腰三角形改为△ABC中，∠A＝36°，从点B出发引一直线可分成两个等腰三角形，则原三角形的最大内角的所有可能值是 ．（直接写出答案）．
题型二．等边三角形的性质（共6小题）
16．（2024秋 江北区校级期中）已知等边△ABC的一边长为2，则它的周长是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
17．（2024秋 秀洲区校级期中）在△ABC中，AB＝BC＝6，∠C＝60°，则CA＝ ．
18．（2024秋 诸暨市期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DEBC，则∠AFE的度数为 ．
19．（2024秋 宁波校级期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，D，E分别为边BC，AC上一点，AD＝AE，∠ADE＝60°，若∠BAD＝20°，则∠CDE的度数为 ．
20．（2024秋 象山县校级期中）如图，已知正△ABC，D，E分别是AC，AB的中点，AG＝2GC，CF＝2FB，EG，DF相交于点H，则∠1+∠2＝ 度．
21．（2024秋 西湖区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连结DE，若AB＝6，AC＝10，则ED＝ ，若延长线段ED交BC于点F，则CF＝ ．
题型三．作图—基本作图（共8小题）
22．（2024秋 鹿城区校级期中）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明△ADF和△ADE的全等的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
23．（2024秋 西湖区期中）如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
24．（2024秋 玉环市期中）如图，已知∠AOB，用尽规作出∠OBF＝∠AOB，其作图依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．两直线平行，内错角相等
D．两直线平行，同位角相等
25．（2024秋 永康市校级期中）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
26．（2024秋 滨江区校级期中）如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H．若∠D＝116°，则∠DHB的大小为（ ）度．
A．8 B．16 C．32 D．64
27．（2024秋 上城区校级期中）如图，点C在∠AOB的边OB上，用直尺和圆规作∠BCN＝∠AOC，这个尺规作图的依据是 ．
28．（2024秋 宁波期中）如图，△ABC的周长为22，由图中的尺规作图痕迹得到的直线DE交BC于点E，连接AE．若AD＝5，则△ACE的周长为 cm．
29．（2024秋 鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝5，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交AB，BC于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于E的长为半径画弧，两弧交于点F，射线BF交AC于点G，则的值为 ．
题型四．等腰三角形的判定（共6小题）
30．具备下列条件的三角形为等腰三角形的是（ ）
A．有两个角分别为20°，120°
B．有两个角分别为40°，80°
C．有两个角分别为30°，60°
D．有两个角分别为50°，80°
31．如图，在方格纸上，A，B是格点，网格中存在格点C使得△ABC是以∠ABC为顶角的等腰三角形，这样的格点C的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
32．在数学探究社团活动中，小明同学探索“具备什么条件的等腰三角形可以分割成两个等腰三角形”问题，通过尝试，他画出如图所示的△ABC，已知AB＝AC，AC上取一点D，连结BD，若AD＝BD，BC＝CD，则∠A的度数为（ ）
A．36° B．30° C．° D．22.5°
33．如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
34．在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝ 时，△ABC是等腰三角形．
35．如图，已知在6×6的网格中（每个小正方形的边长为1），A、B两点都在格点（小正方形的顶点）上．请在图中找一点C，使△ABC为等腰三角形，此时腰长为 ．
题型五．等腰三角形的判定与性质（共11小题）
36．如图所示，OB平分∠CBA，OC平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝18，BC＝16，AC＝12，则△AMN的周长为（ ）
A．30 B．33 C．36 D．39
37．如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
38．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
39．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．9
40．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线，则图中共有 个等腰三角形．
41．在边长为3cm和4cm的长方形中作等腰三角形，使得等腰三角形的两个顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，则所画三角形的面积为 ．
42．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，交AB于点E．若AB＝9cm，AE＝5cm，则DE的长为 cm．
43．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 ．
44．如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，BD＝CE，且AD＝AE．求证：AB＝AC．
45．已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形．
（2）若∠A＝65°，∠AED＝35°，求∠CBE的度数．
46．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，过点D作DE⊥BC于点E，交CA的延长线于点F．
（1）求证：△AFD是等腰三角形．
（2）当CD＝4，CF＝8时，求BD的长．
题型六．等边三角形的判定与性质（共3小题）
47．△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，则BC＝ ．
48．如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于F，连结AC，交BD于H．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由．
（2）求证：AC平分∠DAB．
（3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
49．如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒．
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由；
（3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系．
题型七．直角三角形的性质（共10小题）
50．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，BE平分∠ABC，则∠A等于（ ）
A．22.5° B．30° C．25° D．45°
51．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
A．120° B．75° C．60° D．45°
52．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB交BC于D，交AB于E，∠CAD＝40°，则∠B等于（ ）
A．40° B．30° C．25° D．10°
53．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，连接AE，则∠AEB的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
54．如图，△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，且∠ABD＝90°，则∠BCD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．22.5° D．30°
55．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ABC的平分线BE交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．有以下结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
56．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B，则∠B＝ °．
57．直角三角形中，若其中一个锐角为50°，则另一个锐角为 ．
58．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高线，∠A＝30°，则∠BCD＝ °．
59．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝36°，∠CEA＝70°，则∠EAB＝ °．
题型八．含30度角的直角三角形（共3小题）
60．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，求BD的长．
61．在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，AH⊥BC交BC于点H，∠ACB＝60°，∠ADC＝75°．
（1）试判断△ADC的形状，并说明理由．
（2）若CD＝2，求AH的长．
62．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：△CEF是等腰三角形；
（3）若CD＝6，求DF的长．
题型九．直角三角形斜边上的中线（共16小题）
63．已知在Rt△ABC中，斜边上的中线CD＝5cm，则斜边AB的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
64．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．60° B．50° C．65° D．55°
65．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝BD，且CD＝4，则AB＝（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
66．如图，一根长5米的梯子AB斜靠在与地面OC垂直的墙上，点P为AB的中点，当梯子的一端A沿墙面AO向下移动，另一端B沿OC向右移动时，OP的长（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．先增大，后减小
67．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE＝5，则AB的长度是（ ）
A．7.5 B．8 C．10 D．12
68．如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，OP长度的变化情况是（ ）
A．不断增大 B．不断减小
C．先减小后增大 D．不变
69．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
70．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
71．如图，O为线段AB的中点，AB＝4cm，P1、P2、P3、P4到点O的距离分别是1cm、2cm、2.8cm、1.7cm，下列四点中能与A、B构成直角三角形的顶点是（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
72．若一个直角三角形的两边长分别为6和8，则其斜边上的中线长为 ．
73．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝1，则AB＝ ．
74．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，∠ABD＝3∠CBD，E是斜边AC的中点，∠EBD的度数是 °．
75．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△DEF的周长是8，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF等于 ．
76．如图，已知△ABC和△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，点E是AB的中点，连结CE，DE，CD，设∠DAB＝α．则当∠ABC＝ 时，△DCE为等边三角形．（用含a的代数式表示）
77．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．
（1）求∠B的度数：
（2）求证：BC＝3CE．
78．如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．
（1）若EF＝5，BC＝11，求△EFM的周长．
（2）设∠ABC+∠ACB＝x°，
①若x＝120，求∠EMF的度数．
②设∠EMF＝y°，求x与y之间的数量关系．
题型十．命题与定理（共11小题）
79．下列语句不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．垂线段最短
D．在线段AB上取点C，使CA＝CB
80．下列命题中，真命题是（ ）
A．若2x＝﹣1，则x＝﹣2
B．任何一个角都比它的余角小
C．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
81．可以用来说明“如果a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝3，b＝﹣4 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝3，b＝4
82．下列命题中的真命题是（ ）
A．内错角相等 B．三角形内角和是180°
C．是有理数 D．若|a|＝1，则a＝1
83．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．钝角三角形中有两个锐角
B．如果a＝b，那么a2＝b2
C．若△ABC≌△DEF，则AB＝DE，BC＝EF，∠ACB＝∠DFE
D．若a＝2，则a3＝8
84．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形
B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
D．不是等腰三角形的两个角不相等
85．下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（ ）
A．两个角分别为13°，45°
B．两个角分别为40°，45°
C．两个角分别为45°，45°
D．两个角分别为105°，45°
86．下列选项中，可以作为命题“一个钝角与一个锐角的差是锐角”的反例是（ ）
A．120°，40° B．130°，45° C．110°，40° D．150°，60°
87．判断命题“对于任何实数a，都有|a|＞﹣a”是假命题，只需举一个反例，反例中a的可以是 （填写一个符合条件的a的值）．
88．“相等的角是对顶角”这个命题是 命题（选填“真”或“假”）．
89．命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 ，它是 （填“真”或“假”）命题．
题型十一．轴对称图形（共4小题）
90．（2024秋 浙江期中）以下图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
91．（2024秋 西湖区期中）下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
92．（2024秋 汉阳区期中）下列标点符号中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
93．（2024秋 杭州期中）等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴．
题型十二．镜面对称（共4小题）
94．（2024秋 路桥区期中）一平面镜与水平面成45°角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以1m/s的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（ ）
A．以1m/s的速度，做竖直向上运动
B．以1m/s的速度，做竖直向下运动
C．以2m/s的速度，做竖直向上运动
D．以2m/s的速度，做竖直向下运动
95．（2023秋 临海市期中）如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是（ ）
A．10：05 B．20：01 C．20：10 D．10：02
96．（2023秋 绍兴期中）一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（ ）
A．以1m/s的速度，做竖直向下运动
B．以1m/s的速度，做竖直向上运动
C．以2m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角
D．以2m/s的速度，做竖直向下运动
97．（2023秋 玉环市校级期中）看镜子里有一个数“”，这个数实际是 ．
题型十三．轴对称的性质（共3小题）
98．（2024秋 镇海区校级期中）如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（ ）
A．90° B．85° C．95° D．105°
99．（2024秋 钱塘区校级期中）四边形ABCD中，∠DAB＝120°，点B在CD垂直平分线上，点F在边AB上，且与点D关于直线AC对称，若AF＝3，FB＝2，则EC＝ ．
100．（2024秋 江北区校级期中）如图，△ABC中，∠CAB＝60°，∠B＝75°，AB＝2，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AB上一动点（点E不与B重合），△DBE关于直线DE对称图形为△DFE，若点F落在△ABC的边上，则DE的长为 ．
题型十四．直角三角形全等的判定（共4小题）
101．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD
C．AC＝AD且BC＝BD D．以上都不正确
102．两个直角三角形中：
①一锐角和斜边对应相等；
②斜边和一直角边对应相等；
③有两条边相等；
④两个锐角对应相等．
能使这两个直角三角形全等的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④
103．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是 （不添加字母和辅助线）．
104．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AD与A′D′分别为BC，B′C′边上的中线，且AD＝A′D′．
求证：（1）Rt△ACD≌Rt△A′C′D′；（2）Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．
题型十五．勾股定理（共23小题）
105．在锐角△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长度为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
106．如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3，过点A作直线l垂直OA，在l上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（ ）
A． B．4 C． D．
107．如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形M的面积为（ ）
A．240 B． C． D．24
108．如图，在5×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的中线，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
109．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝24，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．12 C．10 D．8
110．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（ ）
A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD
C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD
111．如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，S1，S2，S3是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若S1＝36，S2＝64，则S3的值为（ ）
A． B．10 C．100 D．
112．如图，在锐角△ABC中，AC＝2，AC边上的中线．过点A作AE⊥BC于点E，记BC的长为a，BE的长为b．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．a+b B．a﹣b C．a2+b2 D．ab
113．如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ）
A．8 B． C． D．1
114．在图1所示的3×3的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1．经探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形①．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图2中的阴影部分），得到一个大正方形ABCD，发现该正方形中间的空白部分②也是个正方形，记正方形①的面积为1，则大正方形ABCD的边长为（ ）
A．3 B． C． D．
115．若一个直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的平方是 ．
116．在Rt△ABC中，斜边BC上的中线长度为5，直角边AB的长度为6，则直角边AC的长度为 ．
117．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是AC边上的中线，DF⊥BE于F，BF＝FE，若BD＝5，CD＝8，则AD＝ ．
118．如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图得到射线BD，BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则EF的长为 ．
119．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是 ．
120．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为 时，能使DE＝CD？
121．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝17，BC＝30．求：
（1）BC边上的中线AD的长．
（2）△ABC的面积．
122．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．回答下列问题：
（1）由勾股定理，易知AB＝ ；
（2）如图，用尺规作图的方法作射线n交BC边于P，求线段PC的长．
123．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2．求证：△ABC是“梦想三角形”．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6．若△ABC是“梦想三角形”，求BC的长．
124．如图，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE∥BC．
（1）若∠ACB＝40°，则∠EDB的度数为 ．
（2）若AE＝3，BE＝5，求△ABD的面积．
（3）若AD＝6，且BC﹣AB＝8，求DE的长．
125．在△ABC中，AD⊥BC，E是BC上的一点．
（1）若AE是∠BAC的角平分线，∠B＝40°，∠C＝60°，求∠EAD的度数．
（2）若E是BC的中点，AB＝10，AD＝6，∠C＝45°，求AE的长．
126．已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA＝DB＝DC．
（1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，BC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）如图②，连接AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，AB＝16，DC＝10，求CE的长．
127．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝13，BA＝5，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B运动．设点P的运动时间为t（t＞0）．
（1）BC＝ ．
（2）求斜边AC上的高线长．
（3）①当P在AB上时，AP的长为 ，t的取值范围是 ．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值．
题型十六．勾股定理的证明（共12小题）
128．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF．若S正方形ABCD＝5，EFBG，则DF的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
129．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝2，b＝5，则该长方形的面积为（ ）
A．20 B．18 C． D．
130．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③x+y＝9；④2xy+4＝49；其中说法正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
131．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
132．如图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理（a2+b2＝c2）．如图2，连结HK，GK，HG，记四边形DHKG与正方形DHIE的面积分别为S1，S2.若HD＝HG，则的值为（ ）
A． B． C． D．
133．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1、则直角三角形的较长直角边长为 ．
134．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，AB＝13，则EF的值是 ．
135．如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为13和1，且直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值为 ．
136．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S2＝6，则S1+S3的值为 ．
137．青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 ．
138．勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．
如图1为赵爽弦图，其中∠AGB＝∠DFA＝∠CED＝∠BHC＝90°，连结AE交BG于点P，连结BE，得到图2，若∠ABE＝∠AEB．
（1）求证：EF＝DF；
（2）若EF＝2，求PE的长．
139．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长部为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.4千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）已知△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，求△ABC的面积．
题型十七．勾股定理的逆定理（共10小题）
140．下列哪个选项不能判断△ABC是直角三角形（ ）
A．∠A＝90°﹣∠C
B．三个内角的度数之比是3：4：5
C．
D．三角形的三条边之比是5：12：13
141．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断∠A＝90°的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝6，b＝5，c＝4
C．a＝2，， D．a＝1，b＝2，
142．如图，一块四边形ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积为（ ）m2．
A．24 B．30 C．48 D．60
143．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．，，c＝2
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝b，∠C＝45°
144．三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的面积是 ．
145．如图，在2×3的网格中，∠1+∠2＝ °．
146．如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝12，DC＝13，则四边形ABCD的面积为 ．
147．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，求AB的长．
（2）在△ABC中，，，AB＝3，判断△ABC的形状，并说明理由．
148．已知△ABC的三边a＝m﹣n（m＞n＞0），b＝2，c＝m+n．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
149．如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CH是三角形的高线，直线AD交BC于D点，交CH于O点，若CO＝CD；
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）求点D到直线AB的距离．
题型十八．勾股数（共2小题）
150．以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．5，8，13 D．12，13，14
151．有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是 ．
题型十九．勾股定理的应用（共9小题）
152．如图，在△ABC中，AC＝AD，BD＝5，CD＝4，记AB长为x，AC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x+y B．x﹣y C．x2+y2 D．x2﹣y2
153．如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为10cm，高度为12cm，现有一根25cm的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为a cm，则a的取值范围是（ ）
A．13≤a≤25 B．25﹣2a≤25
C．25﹣2a≤13 D．11≤a≤15
154．如图，在一宽度EC为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度DE长为（ ）
A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米
155．如图，甲船以20千米/时的速度从港口A向正北方向航行，乙船以15千米/时的速度，同时从港口A向正东方向航行，行驶2小时后，两船相距 千米．
156．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为 米．
157．如图1是由四片门扇连接成的折叠门，轨道装在天花板上，图2是示意图．已知轨道AB＝220cm，在推拉合页C或E时，滚轮D，F在轨道上移动，门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道．已知每小片门扇宽度均相等，则AC＝CD＝DE＝EF＝ cm．刚开始门扇叠合在左边，第一次向右拉开门扇，位置如图2时，AC∥DE，∠A＝60°，此时门被关上部分AF的长是 cm；接着继续向右拉门扇，位置如图3时，∠C'D'E'＝90°，AD′：D'F'＝6：8，相比第一次，此时门向右拉伸了 cm．
158．如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
159．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
160．如图，一架5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙上，这时底端B到墙角C的距离为3米．
（1）此时，这架梯子的顶端A距离地面有多高？
（2）如果梯子的底端B向内移动1.6米，则顶端A沿墙向上移动多少米？中小学教育资源及组卷应用平台
第2章特殊三角形全章题型突破
题型一．等腰三角形的性质（共15小题）
1．（2024秋 余姚市期中）等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A．50° B．65° C．80° D．100°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可确定．
【解答】解：∵等腰三角形的底角等于50°，
∴180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴等腰三角形的顶角为80°，
故选：C．
2．（2024秋 安吉县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AB＝2BD
C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC
【答案】B
【分析】根据等边对等角和等腰三角形三线合一的性质解答．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，
所以，结论不一定正确的是AB＝2BD．
故选：B．
3．（2024秋 台州期中）若等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长是（ ）
A．10 B．10或11 C．10或12 D．11
【答案】B
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
能组成三角形，周长＝3+3+4＝10，
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
能组成三角形，周长＝3+4+4＝11，
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故选：B．
4．（2024秋 杭州校级期中）如图，已知在△ABC中，AB＝BC，点D在AC上且BD⊥BC．设∠BDC＝a，∠ABD＝β，则（ ）
A．3a+β＝180° B．2α﹣β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
【答案】D
【分析】由AB＝BC得出∠A＝∠C，根据三角形外角的性质和直角三角形锐角互余，即可得到α﹣∠A＝β，∠α＝∠C＝90°，两式相加即可得出2α＝90°+β，从而求得2α﹣β＝90°，
【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C（等边对等角），
∵∠BDC﹣∠A＝α﹣∠A＝β，α＝∠C＝90°，
∴2α＝90°+β，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
5．（2024秋 奉化区校级期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝78°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．76° C．78° D．84°
【答案】B
【分析】由等腰三角形的性质可得∠DOE＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角性质可得∠DOE＝26°，即可求解．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠DOE＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠DOE+∠CDO＝2∠DOE，
∴∠DEC＝2∠DOE，
∴∠BDE＝∠DOE+2∠DEC＝3∠DOE＝78°，
∴∠DOE＝26°，
∴∠DCE＝∠DEC＝52°，
∴∠CDE＝76°．
故选：B．
6．（2024秋 杭州期中）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 12 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分5是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：①5是腰长时，三边分别为5、5，2，
周长＝5+5+2＝12，
②5是底边时，三边分别为2、2、5，因为2+2＜5，
不能组成三角形，
故答案为：12．
7．（2024秋 宁波期中）已知等腰三角形的两边长为x、y，且满足|x﹣4|+（x﹣y+4）2＝0，则三角形的周长为 20 ．
【答案】20．
【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得x﹣4＝0，x﹣y+4＝0，
解得x＝4，y＝8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4＝8，
∴不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长＝4+8+8＝20．
所以三角形的周长为20．
故答案为：20．
8．（2024秋 鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，∠ACD＝110°，则∠A＝ 40° ．
【答案】40°．
【分析】先利用平角定义可得：∠ACB＝70°，再利用等腰三角形的性质可得可得∠B＝∠ACB＝70°，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠ACD＝110°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝40°，
故答案为：40°．
9．（2024秋 鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∠BAD＝26°，AD＝AE，则∠EDC的度数为 13° ．
【答案】13°
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠DAC＝26°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠ADE＝∠AED＝77°，再根据垂直定义可得∠ADC＝90°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝26°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED77°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣77°＝13°，
故答案为：13°．
10．（2024秋 诸暨市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BD⊥AC于点D，CD＝2，求BC的长．
【答案】BC＝2．
【分析】先求出AD＝4，再利用勾股定理得到AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2，据此代值计算即可．
【解答】解：∵AC＝6，CD＝2，
∴AD＝4，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2，
在Rt△CBD中，由勾股定理得BD2＝BC2﹣CD2，
∴AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2，
∴62﹣42＝BC2﹣22，
∴BC＝2（负值舍去）．
11．（2024秋 江山市期中）已知如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．求证：CG＝EG．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论．
【解答】证明：如图，连接DE，
∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，
∴DEAB＝AE＝CD，
∵DG⊥CE于G，
由“等腰三角形三线合一”知，CG＝EG．
12．（2024秋 拱墅区校级期中）（1）在等腰△ABC中，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求等三角形的底边长．
（2）已知在等腰△ABC中，∠ABC的外角为140°，求△ABC的顶角度数．
【答案】（1）1cm；
（2）40°或100°．
【分析】（1）由题意可知等腰三角形的周长是15+6＝21cm，设等腰三角形的腰长、底边长分别为x cm、y cm，由题意可得或，解方程组即可求得等腰三角形的底边长；
（2）由邻补角互补可得∠ABC＝40°，然后分两种情况讨论：①∠ABC是顶角时，②∠ABC是底角时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15cm和6cm两部分，
∴等腰三角形的周长是：15+6＝21（cm），
设等腰三角形的腰长、底边长分别为x cm、y cm，
由题意可得：
或，
解得：或（不合题意，故舍去），
∴等腰三角形的底边长为1cm，
答：等三角形的底边长为1cm；
（2）∵∠ABC的外角为140°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
分两种情况讨论：
①∠ABC是顶角时，
此时，△ABC的顶角度数是40°；
②∠ABC是底角时，
此时，△ABC的顶角度数是：180°﹣2×40°＝180°﹣80°＝100°，
综上所述，△ABC的顶角度数是40°或100°，
答：△ABC的顶角度数是40°或100°．
13．（2024秋 鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝4，∠A＝44°，AB边的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M．
（1）求∠DBC的度数．
（2）求△BCD的周长．
【答案】（1）24°；
（2）11．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C，再根据三角形内角和定理可得∠ABC＝68°，再根据垂直平分线的性质可得AD＝BD，即∠ABD＝∠A＝44°，最后根据角的和差即可解答；
（2）根据垂直平分线的性质可得AD＝BD，再根据三角形的周长公式及等量代换即可解答．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
∵∠A＝44°，
∴∠ABC68°．
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝44°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝24°；
（2）∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝7+4＝11．
14．（2024秋 滨江区校级期中）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，D是边AB上一点（不与点A、B重合），E是线段CD延长线上一点，∠BEC＝∠BAC．
（1）说明∠EBA＝∠DCA的理由；
（2）小华在研究这个问题时，提出了一个新的猜想：点D在运动的过程中（不与点A、B重合），∠AEC与∠ABC是否会相等？，小丽思考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段CE上取一点H，使得CH＝BE，联结AH，然后通过学过的知识就能得到∠AEC与∠ABC相等．你能否根据小丽同学的想法，说明∠AEC＝∠ABC的理由．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）答案见解答过程．
【分析】（1）由三角形的内角和定理得∠BEC+∠BDE+∠EBA＝180°，∠BAC+∠ADC+∠DCA＝180°，则∠BEC+∠BDE+∠EBA＝∠BAC+∠ADC+∠DCA，再根据∠BEC＝∠BAC，∠BDE＝∠ADC即可得出结论；
（2）在线段CE上取一点H，使得CH＝BE，连接AH，根据AB＝AC及三角形内角和定理得∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC），再依据“SAS”判定△ABE和△ACH全等得AE＝AH，∠BAE＝∠CAH，进而得∠EAH＝∠BAC，然后根据AE＝AH及三角形内角和定理得∠AEC＝∠AHD（180°﹣∠EAH）（180°﹣∠BAC），由此即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BEC+∠BDE+∠EBA＝180°，∠BAC+∠ADC+∠DCA＝180°，
∴∠BEC+∠BDE+∠EBA＝∠BAC+∠ADC+∠DCA，
又∵∠BEC＝∠BAC，∠BDE＝∠ADC，
∴∠EBA＝∠DCA；
（2）解：在线段CE上取一点H，使得CH＝BE，连接AH，如图所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC），
由（1）可知：∠EBA＝∠DCA，
在△ABE和△ACH中，
，
∴△ABE≌△ACH（SAS），
∴AE＝AH，∠BAE＝∠CAH，
∴∠BAE+∠DAH＝∠CAH+∠DAH，
即∠EAH＝∠BAC，
∵AE＝AH，
∴∠AEC＝∠AHD（180°﹣∠EAH）（180°﹣∠BAC），
∴∠AEC＝∠ABC．
15．（2024秋 慈溪市期中）（1）如图，△ABC纸片中，∠A＝36°，AB＝AC，请你剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．请画出示意图，并标明必要的角度；
（2）已知等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连接AD，若△ACD与△ABD都是等腰三角形，则∠B的度数是 45°或36° ；（请画出示意图，并标明必要的角度）
（3）现将（1）中的等腰三角形改为△ABC中，∠A＝36°，从点B出发引一直线可分成两个等腰三角形，则原三角形的最大内角的所有可能值是 72°、108°、90°、126° ．（直接写出答案）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）做∠ABC的角平分线BD，再过点D作∠BDC的角平分线，则△ABD，△BDE，△DEC均为等腰三角形；
（2）分两种情况：①BD＝AD，AD＝CD②AB＝BD，AD＝CD．分别作图即可．
（3）根据已知分别求解即可．
【解答】解：（1）答案不唯一，只要符合题意均正确．
（2）45°或36°，
．
（3）72°、108°、90°、126°、132°．
题型二．等边三角形的性质（共6小题）
16．（2024秋 江北区校级期中）已知等边△ABC的一边长为2，则它的周长是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据等边三角形的三条边都相等进行求解即可．
【解答】解：根据题意，
等边△ABC的一边长为2，可知：该等边三角形的三条边都为2，所以它的周长为2+2+2＝6，
故选：C．
17．（2024秋 秀洲区校级期中）在△ABC中，AB＝BC＝6，∠C＝60°，则CA＝ 6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可证△ABC是等边三角形，可得AC＝AB＝6．
【解答】解：∵AB＝BC＝6，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
故答案为：6．
18．（2024秋 诸暨市期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DEBC，则∠AFE的度数为 105° ．
【答案】105°．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，∠BADBAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CDBC，根据等腰直角三角形的性质得到∠DEC＝∠DCE＝45°，根据三角形的内角和定理即可得到答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠BADBAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CDBC，
∴∠CDE＝90°，
∵DE＝BC，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴∠AEF＝∠DEC＝45°，
∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF
＝180°﹣30°﹣45°
＝105°，
故答案为：105°．
19．（2024秋 宁波校级期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，D，E分别为边BC，AC上一点，AD＝AE，∠ADE＝60°，若∠BAD＝20°，则∠CDE的度数为 10° ．
【答案】10°．
【分析】先证明△ADE为等边三角形，可得∠DAE＝60°，求解，再利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】解：由条件可知∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴∠BAC＝60°+20°＝80°，
∵AB＝AC，
∴，
∴60°+∠CDE＝50°+20°，
∴∠CDE＝10°．
故答案为：10°．
20．（2024秋 象山县校级期中）如图，已知正△ABC，D，E分别是AC，AB的中点，AG＝2GC，CF＝2FB，EG，DF相交于点H，则∠1+∠2＝ 240 度．
【答案】240．
【分析】利用等边三角形性质证明△AEG≌△CDF，结合全等三角形性质得到∠AGE+∠FDC，再结合三角形外角性质得到∠1＝∠A+∠AGE，∠2＝∠C+∠FDC，即可解题．
【解答】解：∵△ABC为正三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵D，E分别是AC，AB的中点，
∴，
∵AG＝2GC，CF＝2FB，
∴，
在△AEG和△CDF中，
，
∴△AEG≌△CDF（SAS），
∴∠AGE＝∠DFC，
∴∠AGE+∠FDC＝∠DFC+∠FDC＝180°﹣∠C＝120°，
∵∠1＝∠A+∠AGE，∠2＝∠C+∠FDC，
∵∠1+∠2＝∠A+∠AGE+∠C+∠FDC
＝∠A+∠C+∠AGE+∠FDC
＝60°+60°+120°
＝240°，
故答案为：240．
21．（2024秋 西湖区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连结DE，若AB＝6，AC＝10，则ED＝ 8 ，若延长线段ED交BC于点F，则CF＝ 8﹣2 ．
【答案】8，8﹣2．
【分析】连接AF，利用等边三角形的性质和已知条件证明△ADE≌△ABC即可得出ED＝BC，再运用勾股定理求得BC即可求得ED；可证得Rt△ADF≌Rt△ABF（HL），得出∠DAF＝∠BAF＝30°，AF＝2BF，设BF＝x，则AF＝2x，再运用勾股定理建立方程求得x，即可求得CF．
【解答】解：如图，连接AF，
∵分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝60°，
∴∠EAC﹣∠DAC＝∠BAD﹣∠DAC，
即∠EAD＝∠CAB，
在△ADE和△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴ED＝BC，∠ADE＝∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，∠ABC＝90°，
∴BC8，
∴ED＝8；
∵∠ADF＝180°﹣∠ADE＝90°，
∴∠ADF＝∠ABC＝90°，
在Rt△ADF和Rt△ABF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ABF（HL），
∴∠DAF＝∠BAF＝30°，
∴AF＝2BF，
设BF＝x，则AF＝2x，
∵AB2+BF2＝AF2，
∴62+x2＝（2x）2，
整理得：x2＝12，
∵x＞0，
∴x＝2，
∴BF＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝8﹣2，
故答案为：8，8﹣2．
题型三．作图—基本作图（共8小题）
22．（2024秋 鹿城区校级期中）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明△ADF和△ADE的全等的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】A
【分析】利用三角形全等的判定证明．
【解答】解：根据画图可知，从角平分线的作法得出，
△AFD与△AED的三边全部相等，
则△ADF和△ADE全等．
故选：A．
23．（2024秋 西湖区期中）如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【答案】D
【分析】运用作一个角等于已知角的方法可得答案．
【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：D．
24．（2024秋 玉环市期中）如图，已知∠AOB，用尽规作出∠OBF＝∠AOB，其作图依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．两直线平行，内错角相等
D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【分析】根据SSS证明三角形全等即可．
【解答】解：如图，连接CD，EF．
在△COD和△FBE中，
，
∴△COD≌△FBE（SSS），
∴∠AOB＝∠OBF．
故选：A．
25．（2024秋 永康市校级期中）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案．
【解答】解：①作一个角的平分线的作法正确；
②作一个角等于已知角的方法正确；
③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；
故选：A．
26．（2024秋 滨江区校级期中）如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H．若∠D＝116°，则∠DHB的大小为（ ）度．
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【分析】根据AB∥CD，∠D＝116°，得出∠ABD＝64°，再根据BH是∠ABD的平分线，即可得出∠DHB的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠ABD＝180°，
又∵∠D＝116°，
∴∠ABD＝64°，
由作法知，BH是∠ABD的平分线，
∴∠DHB∠ABD＝32°；
故选：C．
27．（2024秋 上城区校级期中）如图，点C在∠AOB的边OB上，用直尺和圆规作∠BCN＝∠AOC，这个尺规作图的依据是 SSS ．
【答案】SSS．
【分析】根据SSS判定三角形全等即可．
【解答】解：连接EF．
由作图可知，
在△MOD和△FCE中，
，
∴△MOD≌△FCE（SSS），
∴∠AOC＝∠NCB．
故答案为：SSS．
28．（2024秋 宁波期中）如图，△ABC的周长为22，由图中的尺规作图痕迹得到的直线DE交BC于点E，连接AE．若AD＝5，则△ACE的周长为 12 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】由图可知：DE为线段AB的垂直平分线，得出AE＝BE，BC＝BE+CE＝AE+CE，根据AD＝5，得出，AB＝2AD＝10，由题可知，△ABC的周长为22，得出AC+BC＝12，根据△ACE的周长等于AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+AB，即可求得△ACE的周长．
【解答】解：由题意可知：DE为线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，AE＝BE，
∵AD＝5，
∴AB＝2AD＝10，
∵△ABC的周长为22，
∴AC+BC＝12，
∵△ACE的周长等于AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+AB，
∴△ACE的周长等于AC+BC＝12．
故答案为：12．
29．（2024秋 鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝5，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交AB，BC于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于E的长为半径画弧，两弧交于点F，射线BF交AC于点G，则的值为 ．
【答案】．
【分析】作GM⊥BC于M，作GN⊥AB于N，由作图知BG平分∠ABC，得GM＝GN，根据三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：如图，作GM⊥BC于M，作GN⊥AB于N，
由作图知BG平分∠ABC，
∴GM＝GN，
∵AB＝8，BC＝5，
∴S△ABGAB GN＝4GN，S△BCGBC GM，GM，
∴．
故答案为：．
题型四．等腰三角形的判定（共6小题）
30．具备下列条件的三角形为等腰三角形的是（ ）
A．有两个角分别为20°，120°
B．有两个角分别为40°，80°
C．有两个角分别为30°，60°
D．有两个角分别为50°，80°
【答案】D
【分析】分别求出第三个内角的度数，即可得出结论．
【解答】解：A、有两个角分别为20°，120°的三角形，第三个内角为180°﹣120°﹣20°＝40°，
∴有两个角分别为20°，120°的三角形不是等腰三角形，选项A不符合题意；
B、有两个角分别为40°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣40°﹣80°＝60°，
∴有两个角分别为40°，80°的三角形不是等腰三角形，选项B不符合题意；
C、有两个角分别为30°，60°的三角形，第三个内角为180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴有两个角分别为30°，60°的三角形不是等腰三角形，选项C不符合题意；
D、有两个角分别为50°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣50°﹣80°＝50°，
有两个角相等，是等腰三角形；
∴有两个角分别为50°，80°的三角形是等腰三角形，选项D符合题意；
故选：D．
31．如图，在方格纸上，A，B是格点，网格中存在格点C使得△ABC是以∠ABC为顶角的等腰三角形，这样的格点C的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】由等腰三角形的定义和图形，即可得到答案．
【解答】解：如图，这样的格点C的个数为5个．
故选：B．
32．在数学探究社团活动中，小明同学探索“具备什么条件的等腰三角形可以分割成两个等腰三角形”问题，通过尝试，他画出如图所示的△ABC，已知AB＝AC，AC上取一点D，连结BD，若AD＝BD，BC＝CD，则∠A的度数为（ ）
A．36° B．30° C．° D．22.5°
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：设∠A＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝x，
在△ABD中
∠BDC＝∠A+∠DBA＝2x，
又∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠BDC＝2x，
∴∠ABC＝∠DBA+∠CBD＝3x，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
在△ABC中
∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+3x+3x＝180°，
∴x＝（）°，
故选：C．
33．如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】在火车自左向右运动的过程中，车长BC可以是腰，也可以是底边，分别判断即可．
【解答】解：当车长为腰时，
B1C1＝C1A1，C1A＝C1B2，C2A＝B3C2，AC2＝C2B4，
∴△AB1C1，△AB2C1，△AB3C2，△AB4C2是等腰三角形；
当车长为底时，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
故得到的等腰三角形共有5个．
故选：D．
34．在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝ 80°、50°、20° 时，△ABC是等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题要分三种情况进行讨论①∠B、∠A为底角；②∠A为顶角，∠B为底角；③∠B为顶角，∠A为底角．
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴①当∠B＝80°时，△ABC是等腰三角形；
②当∠B＝（180°﹣80°）÷2＝50°时，△ABC是等腰三角形；
③当∠B＝180°﹣80°×2＝20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为：80°、50°、20°．
35．如图，已知在6×6的网格中（每个小正方形的边长为1），A、B两点都在格点（小正方形的顶点）上．请在图中找一点C，使△ABC为等腰三角形，此时腰长为 ，，5 ．
【答案】，，5．
【分析】分别以A为圆心，AB为半径作圆，以B为圆心，AB为半径作圆，再作出AB的中垂线，得到满足题意的点C，再计算腰长即可．
【解答】解：如图中的点即为符合条件的点C，腰长分别为，，5，
故答案为：，，5．
题型五．等腰三角形的判定与性质（共11小题）
36．如图所示，OB平分∠CBA，OC平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝18，BC＝16，AC＝12，则△AMN的周长为（ ）
A．30 B．33 C．36 D．39
【答案】A
【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO＝MC，NO＝NB，所以三角形AMN的周长是AB+AC．
【解答】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠NBO＝∠OBC，∠OCM＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠MOC＝∠OCB，
∴∠NBO＝∠NOB，∠MOC＝∠MCO，
∴MO＝MC，NO＝NB，
∵AB＝18，AC＝12，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝18+12＝30．
故选：A．
37．如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接AF，可得AF⊥BD，再利用等角的余角相等，证明∠EAF＝∠EFA，从而得EA＝EF，即可解答．
【解答】解：连接AF，
∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD，
∴∠AFD＝90°，
∴∠EAF+∠C＝90°，∠AFE+∠EFC＝90°，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠C，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴EA＝EF，
∴EF＝EA＝ECAC＝4，
故选：B．
38．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】根据题意可得△BCE为等腰三角形，CE＝BC＝6，BE＝AC﹣CE＝4，即可求解．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠DCE，
∵BE⊥CD，
∴∠BDC＝∠EDC＝90°，
又∵CD＝CD，
∴△CDB≌△CDE（ASA），
∴BD＝DE，CE＝BC＝6，即△BCE为等腰三角形，
∴AE＝AC﹣CE＝4，
又∵∠A＝∠ABE，
∴BE＝AE，
∴，
故选：C．
39．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．9
【答案】C
【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABES△ABH，S△CDHS△ABH，
∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为3×3．
故选：C．
40．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线，则图中共有 3 个等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线，求出∠ABC，∠C，∠BDC，∠ABD，∠DBC的度数，即可得到∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，根据等角对等边即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C（180°﹣36°）＝72°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，AD＝BD，
∵AB＝AC，
∴等腰三角形有：△ABC，△ADB，△BDC3个．
故答案为：3．
41．在边长为3cm和4cm的长方形中作等腰三角形，使得等腰三角形的两个顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，则所画三角形的面积为 6或4.5或 ．
【答案】6或4.5或．
【分析】分别作BC、AB的中垂线，由中垂线的性质可得等腰三角形，或以点B为圆心，BA长为半径画弧交BC于点F，也可得等腰三角形，最后根据三角形的面积公式可得答案．
【解答】解：如图1，作BC边的中垂线，交AD于P，
∴PB＝PC，即△PBC为等腰三角形，
S△PBCBC×hBC AB4×3＝6；
如图2，
作AB边的中垂线，交CD于E，
∴EA＝EB，即△EAB为等腰三角形，
S△EBCAB×hAB BC4×3＝6；
如图3，以点B为圆心，BA长为半径画弧交BC于点F，
∴BA＝BF，即△ABF为等腰三角形，
S△ABFAB×BF3×3＝4.5．
如图，△ACQ是等腰三角形，
设AQ＝CQ＝x，
∴BQ＝4﹣x，
∵AQ2＝AB2+BQ2，
∴x2＝32+（4﹣x）2，
∴x，
∴S△ACQ3，
故答案为：6或4.5或．
42．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，交AB于点E．若AB＝9cm，AE＝5cm，则DE的长为 4 cm．
【答案】4．
【分析】先根据线段的和与差得BE的长，由角平分线和平行线的性质得：∠EDB＝∠EBD，从而得出结论．
【解答】解：∵AB＝9cm，AE＝5cm，
∴BE＝9﹣5＝4（cm），
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴DE＝BE＝4cm；
故答案为：4．
43．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由角平分线与平行线易得∠EBG＝∠EGB，从而得到EB＝EG，同理可得DF＝DC，再根据EB+DC＝EG+DF＝ED+FG即可得答案．
【解答】解：∵BG平分∠EBC，
∴∠EBG＝∠GBC，
∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，
∴∠EBG＝∠EGB，
∴EB＝EG，
同理可得DF＝DC，
∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝4+2＝6，
故答案为：6．
44．如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，BD＝CE，且AD＝AE．求证：AB＝AC．
【答案】见试题解答内容
【分析】作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，可得DF＝EF，证出BF＝CF，则结论得证．
【解答】证明：作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BD+DF＝CE+EF，
即 BF＝CF，
∵AF⊥BC，
∴AB＝AC．
45．已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形．
（2）若∠A＝65°，∠AED＝35°，求∠CBE的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）40°．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBE＝∠CBE，再根据平行线的性质得到∠DEB＝∠CBE，所以∠DBE＝∠DEB，从而得到结论；
（2）先利用三角形内角和计算出∠ADE＝80°，再利用平行线的性质得∠ABC的度数，最后由角平分线的定义得结果．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝65°，∠AED＝35°，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣65°﹣35°＝80°，
∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠ADE＝80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE∠ABC＝40°．
46．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，过点D作DE⊥BC于点E，交CA的延长线于点F．
（1）求证：△AFD是等腰三角形．
（2）当CD＝4，CF＝8时，求BD的长．
【答案】（1）见解答；
（2）2．
【分析】（1）要证明△ADF是等腰三角形，只要证明AF＝AD或∠AFD＝∠ADF即可；
（2）先在Rt△ADC中，设AD为x，则AC＝8﹣x，然后利用勾股定理列出方程计算即可．
【解答】（1）证明∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵EF⊥BC，
∴∠DEB＝∠FEC＝90°，
∴∠B+∠BDE＝90°，∠ACB+∠F＝90°，
∴∠BDE＝∠F，
又∵∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）解：设AF＝AD＝x，则AC＝8﹣x，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
由勾股定理可得：AD2+CD2＝AC2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴AD＝3，AC＝AB＝8﹣x＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．
题型六．等边三角形的判定与性质（共3小题）
47．△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，则BC＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】根据AB＝AC＝2，∠B＝60°可判定△ABC为等边三角形，再根据等边三角形的性质可得BC的长．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝2，
故答案为：2．
48．如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于F，连结AC，交BD于H．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由．
（2）求证：AC平分∠DAB．
（3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
【答案】（1）△DEF是等边三角形，理由见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）4．
【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论；
（2）根据AB＝AD，CB＝CD，推出直线AC是线段BD的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证；
（3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解．
【解答】（1）解：△DEF是等边三角形，理由如下；
∵AB＝AD，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，
∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，
∴△DEF是等边三角形；
（2）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
即AC⊥BD，
∵AB＝AD，
∴AC平分∠DAB；
（3）解：∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，
∴AE＝CE＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝4，
∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．
49．如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒．
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 4 秒；
（2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由；
（3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系．
【答案】（1）4；
（2）；
（3）PQ与AC互相垂直．
【分析】（1）根据相遇问题，由路程÷速度＝时间建立等式求出t的值即可；
（2）根据若△APQ是等边三角形，此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，进而得出CP＝DQ，求出即可；
（3）根据P，Q运动速度得出，△APN是等边三角形，得∠APQ＝90°求出即可．
【解答】解：（1）设点P、Q从出发到相遇所用时间是t，根据题意得：
t+2t＝AC+AB+BC＝12，
解得：t＝4；
故答案为：4；
（2）如图1：若△APQ是等边三角形，
此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，
则CP＝DQ，即t﹣4＝4﹣（2t﹣8），
解得：t；
（3）PQ与AC互相垂直，理由如下：
如图2所示：根据题意得：AQ＝2AP，
取AQ的中点N，
∵∠PAQ＝60°，
∴△APN是等边三角形，
∴PN＝AN＝NQ，
∴△APQ是直角三角形，
∴∠APQ＝90°，
即当0＜t＜2时，PQ与AC互相垂直．
题型七．直角三角形的性质（共10小题）
50．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，BE平分∠ABC，则∠A等于（ ）
A．22.5° B．30° C．25° D．45°
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EBA＝∠A，根据角平分线的定义得到∠EBA＝∠EBC，再根据直角三角形的性质列式计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBA＝∠EBC，
∴∠EBA＝∠EBC＝∠A，
∵∠C＝90°，
∴∠EBA+∠EBC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
故选：B．
51．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
A．120° B．75° C．60° D．45°
【答案】B
【分析】求出∠BCA＝45°，然后根据三角形内角和定理，即可求解．
【解答】解：∵∠BCA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠BCA＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：B．
52．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB交BC于D，交AB于E，∠CAD＝40°，则∠B等于（ ）
A．40° B．30° C．25° D．10°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理，求出∠ADC的度数，根据DE是AB的垂直平分线，可知AD＝DB，∠B＝∠DAB，结合∠ADC是△ABD的外角，即可算出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠CAD＝40°，
∴∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠CAD＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠ADC＝∠B+∠DAB，
∴∠ADC＝2∠B＝50°，
∴∠B＝25°．
故选：C．
53．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，连接AE，则∠AEB的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】B
【分析】作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，根据角平分线的性质和判定得到AE平分∠FAG，求出∠EAB的度数，根据角平分线的定义求出∠ABE的度数，根据三角形内角和定理计算得到答案．
【解答】解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴EF＝EH，EG＝EH，
∴EF＝EG．
又EF⊥AC，EG⊥AB，
∴AE平分∠FAG，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BAF＝150°，
∴∠EAB＝75°，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABH＝120°，
又∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°．
故选：B．
54．如图，△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，且∠ABD＝90°，则∠BCD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．22.5° D．30°
【答案】B
【分析】根据等边三角形性质可得，AB＝BC，∠ABC＝60°，根据等腰直角三角形性质可得，∠CBD＝150°，AB＝BD，得到BC＝BD，根据等腰三角形性质可得，∠BCD＝15°．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵△ABD为等腰直角三角形，且∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝150°，
∵AB＝BD，
∴BC＝BD，
∴．
故选：B．
55．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ABC的平分线BE交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．有以下结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由三角形的内角和与角平分线的定义求∠AFB，由DG∥AB和BE平分∠ABC判断②，结合DG⊥DG求∠GBC与∠ABC的关系判断③，由三角形的内角和与平行线的性质判断④．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAF＝∠CAF∠BAC，∠FBA＝∠CBE∠ABC，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠FAB+∠FBA（∠BAC+∠ABC）＝45°，
∴∠AFB＝180°﹣（∠FAB+∠FBA）＝180°﹣45°＝135°，故①正确，符合题意；
∵DG∥AB，
∴∠BDG＝∠ABC，
∵∠CBE∠ABC，
∴∠BDG＝2∠CBE，故②正确，符合题意；
∵BG⊥DG，
∴∠G＝90°，
∴∠GDB+∠GBD＝90°，
又∵∠GDB＝∠ABC，
∴∠ABC+∠GBD＝90°，无法判定∠GBD＝∠ABC，故③错误，不符合题意；
又∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠GBD，
∵∠ABF＝∠EBC，
∴∠ABF+∠BAC＝∠EBC+∠GBD，
∴∠BEC＝∠EBG，故④正确，符合题意；
故选：C．
56．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B，则∠B＝ 45 °．
【答案】45．
【分析】根据直角三角形两锐角互余计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
则∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝∠B，
∴∠B＝45°，
故答案为：45．
57．直角三角形中，若其中一个锐角为50°，则另一个锐角为 40° ．
【答案】40°．
【分析】根据直角三角形中的两个锐角互余即可求解．
【解答】解：因为直角三角形中一个锐角是50°，
所以另一个锐角是90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
58．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高线，∠A＝30°，则∠BCD＝ 30 °．
【答案】30．
【分析】直接根据直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30．
59．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝36°，∠CEA＝70°，则∠EAB＝ 16 °．
【答案】16．
【分析】先根据∠ACB＝90°，∠BCD＝36°得出∠ACD的度数，再由CD⊥AB于点D可知∠ADC＝90°，故可得出∠CAD的度数，由∠CEA＝70°可得出∠CAE的的度数，进而得出∠EAB的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠BCD＝36°，
∴∠ACD＝90°﹣36°＝54°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣54°＝36°，
∵∠CEA＝70°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，
∴∠EAB＝∠CAD﹣∠CAE＝36°﹣20°＝16°．
故答案为：16．
题型八．含30度角的直角三角形（共3小题）
60．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，求BD的长．
【答案】2．
【分析】过点E作EF⊥BC于F．先在Rt△BEF中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出，于是CF＝BC﹣BF＝2，再根据等腰三角形三线合一的性质得出DC＝2CF＝4，然后根据BD＝BC﹣DC即可求解．
【解答】解：过点E作EF⊥BC于F．
在Rt△BEF中，
∵∠BFE＝90°，∠B＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∵AB＝3，AE＝5，
∴，
∵BC＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝6﹣4＝2．
∵ED＝EC，EF⊥BC于F，
∴DC＝2CF＝4，
∴BD＝BC﹣DC＝6﹣4＝2．
故答案为：2．
61．在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，AH⊥BC交BC于点H，∠ACB＝60°，∠ADC＝75°．
（1）试判断△ADC的形状，并说明理由．
（2）若CD＝2，求AH的长．
【答案】（1）△ADC是等腰三角形，理由见解析．
（2）AH．
【分析】（1）求出∠CAD＝75°，由等角对等边即可得出答案．
（2）由CD＝AC＝2，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）△ADC是等腰三角形，理由如下：
∵∠ACB的平分线交AB于点D，∠ACB＝60°，
∴∠ACD∠ACB＝30°，
∵∠ADC＝75°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝75°，
∴∠ADC＝∠CAD，
∴CD＝AC，
∴△ADC是等腰三角形；
（2）∵CD＝2，CD＝AC，
∴CD＝AC＝2，
∵∠ACB＝60°，AH⊥BC，
∴∠HAC＝30°，
∴CHAC＝1，
∴AHCH．
62．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：△CEF是等腰三角形；
（3）若CD＝6，求DF的长．
【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）12．
【分析】（1）根性等边三角形的性质及直角三角形的性质可得答案；
（2）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F＝30°，从而可得到∠CEF＝30°，故此可得到△CEF为等腰三角形；
（3）先求得CF＝DE，然后由EC＝DC进行求解即可．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°．
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°．
（2）证明：∵DE∥AB，
∴∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF；
∴△CEF为等腰三角形．
（3）解：由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝6．
又∵CE＝CF，
∴CF＝6．
∴DF＝DC+CF＝6+6＝12．
题型九．直角三角形斜边上的中线（共16小题）
63．已知在Rt△ABC中，斜边上的中线CD＝5cm，则斜边AB的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，斜边上的中线CD＝5cm，
∴斜边AB＝2CD＝10cm．
故选：D．
64．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．60° B．50° C．65° D．55°
【答案】B
【分析】先根据直角三角形的性质，求出∠BAC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明AD＝CD，求出∠ACD和∠BAC的度数，最后根据三角形内角和定理求出答案即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝25°，
∴∠BAC＝65°，
∵CD是Rt△ABC的中线，
∴，
∴∠BAC＝∠ACD＝65°，
∵∠BAC+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACD
＝180°﹣65°﹣65°
＝50°，
故选：B．
65．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝BD，且CD＝4，则AB＝（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
【答案】B
【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出AB＝2CD，代入求出即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝BD，CD＝4，
∴AB＝2CD＝8，
故选：B．
66．如图，一根长5米的梯子AB斜靠在与地面OC垂直的墙上，点P为AB的中点，当梯子的一端A沿墙面AO向下移动，另一端B沿OC向右移动时，OP的长（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．先增大，后减小
【答案】C
【分析】连接OP，由∠AOB＝90°，点P为AB的中点，得OPAB，则OP的长不变，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OP，
∵OA⊥OC，点B在OC上，
∴∠AOB＝90°，
∵点P为AB的中点，
∴OPAB，
∴OP的长不变，
故选：C．
67．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE＝5，则AB的长度是（ ）
A．7.5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，据此即可求解．
【解答】解：∵BE⊥AC．
∴△ABE是直角三角形，
∵D为AB中点，
∴AB＝2DE＝10，
故选：C．
68．如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，OP长度的变化情况是（ ）
A．不断增大 B．不断减小
C．先减小后增大 D．不变
【答案】D
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，P为AB的中点，
∴OPAB，
即OP的长在竹竿AB滑动过程中始终保持不变，
故选：D．
69．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】B
【分析】求出AE＝BE＝CE，推出B＝∠ECB＝20°，∠EAC＝∠ACE＝70°，求出∠CAD，根据三角形内角和定理求出∠AFC，根据对顶角相等求出即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，E是AB中点，
∴AE＝CE＝BE，
∴∠B＝∠ECB＝20°，∠EAC＝70°＝∠ACE，
∵BD＝AD，
∴∠BAD＝∠B＝20°，
∴∠CAD＝70°﹣20°＝50°，
∴∠AFC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∴∠DFE＝∠AFC＝60°，
故选：B．
70．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AD＝4，再利用勾股定理求出DE的长即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，CD＝4，
∴，
∵DE⊥AB，AE＝5，
∴，
故选：B．
71．如图，O为线段AB的中点，AB＝4cm，P1、P2、P3、P4到点O的距离分别是1cm、2cm、2.8cm、1.7cm，下列四点中能与A、B构成直角三角形的顶点是（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
【答案】B
【分析】根据O为线段AB的中点，AB＝4cm，得到AO＝BO＝2cm，由P1、P2、P3、P4到点O的距离分别是1cm、2cm、2.8cm、1.7cm，得到OP2＝2cm，推出OP2AB，根据直角三角形的判定即可得到结论．
【解答】解：∵O为线段AB的中点，AB＝4cm，
∴AO＝BO＝2cm，
∵P1、P2、P3、P4到点O的距离分别是1cm、2cm、2.8cm、1.7cm，
∴OP2＝2cm，
∴OP2AB，
∴P1、P2、P3、P4四点中能与A、B构成直角三角形的顶点是P2，
故选：B．
72．若一个直角三角形的两边长分别为6和8，则其斜边上的中线长为 5或4 ．
【答案】5或4．
【分析】分两种情况，当6和8均为直角边时，当6为直角边，8为斜边时，进行计算即可解答．
【解答】解：当6和8均为直角边时，
斜边10，
则斜边上的中线等于5，
当6为直角边，8为斜边时，
则斜边上的中线等于4，
所以，斜边上的中线长为5或4，
故答案为：5或4．
73．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝1，则AB＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】利用直角三角形斜边上的中线性质，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝1，
∴AB＝2CD＝2，
故答案为：2．
74．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，∠ABD＝3∠CBD，E是斜边AC的中点，∠EBD的度数是 45 °．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据已知条件求出∠CBD和∠BDE的度数，再根据E是斜边AC的中点，得出∠EBA＝∠A，从而得出结论．
【解答】解：∵∠ABD＝3∠CBD，∠ABC＝90°，∠ABD+∠CBD＝∠ABC，
∴4∠CBD＝90°，
∴∠CBD＝22.5°，
则∠ABD＝3×22.5°＝67.5°，
∵BD⊥AC，
∴∠C＝∠BDC﹣∠CBD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠A＝∠ABC﹣∠C＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵E是斜边AC的中点，
∴BE＝AE＝CE，
∴∠EBA＝∠A＝22.5°，
∴∠EBD＝∠DBA﹣∠EBA＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故答案为：45．
75．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△DEF的周长是8，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF等于 4 ．
【答案】4．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质以及勾股定理即可求出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴AF是△ABC的中线，CF＝BFBC＝2，
∵D是AB的中点，AF⊥BC，
∴，
设AB＝AC＝2x，
∴DF＝x，
∵BE⊥AC，点D是AB的中点，点F是BC的中点，
∴，EFBC＝2，
∵△DEF的周长为8，
∴x+x+2＝8，
∴x＝3，
∴AB＝AC＝6，
由勾股定理可知：AF4，
故答案为：4．
76．如图，已知△ABC和△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，点E是AB的中点，连结CE，DE，CD，设∠DAB＝α．则当∠ABC＝ 60°﹣α 时，△DCE为等边三角形．（用含a的代数式表示）
【答案】60°﹣α．
【分析】先由斜边上的中线等于斜边的一半，得出CE＝BE＝DE＝AE，再结合等边三角形的性质，则∠1＝60°﹣∠ABC，∠3＝60°﹣α，运用三角形的内角和性质列式计算化简，即可作答．
【解答】解：如图所示：
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，点E是AB的中点，
∴，
∴CE＝BE＝DE＝AE，
∴∠DAB＝∠ADE，∠2＝∠ABC，
∵∠DAB＝α．
∴∠DAB＝∠ADE＝α，
∵△DCE为等边三角形，
∴∠1+∠2＝60°，∠3+∠ADE＝∠3+α＝60°，
即∠1＝60°﹣∠ABC，∠3＝60°﹣α，
∵∠1+∠3+∠CHD＝180°＝∠DAB+∠ABC+∠AHB，且∠CHD＝∠AHB，
∴∠1+∠3＝∠DAB+∠ABC，
则60°﹣∠ABC+60°﹣α＝α+∠ABC，
即120°﹣2α＝2∠ABC，
则∠ABC＝60°﹣α，
故答案为：60°﹣α．
77．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．
（1）求∠B的度数：
（2）求证：BC＝3CE．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据余角的性质得到∠ECF＝∠CAF，求得∠CAD＝2∠DCB，由CD是斜边AB上的中线，得到CD＝BD，推出∠CAB＝2∠B，于是得到结论；
（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AE⊥CD，
∴∠AFC＝∠ACB＝90°，
∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，
∴∠ECF＝∠CAF，
∵∠EAD＝∠DCB，
∴∠CAD＝2∠DCB，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠DCB，
∴∠CAB＝2∠B，
∵∠B+∠CAB＝90°，
∴∠B＝30°；
（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴AE＝BE，CEAE，
∴BC＝3CE．
78．如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．
（1）若EF＝5，BC＝11，求△EFM的周长．
（2）设∠ABC+∠ACB＝x°，
①若x＝120，求∠EMF的度数．
②设∠EMF＝y°，求x与y之间的数量关系．
【答案】（1）16；
（2）①60°；
②y＝2x﹣180．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝FMBC，然后根据三角形的周长的定义解答；
（2）°根据等腰三角形的两底角相等得出∠ABC＝∠BFM，∠ACB＝∠MEC，故可得出∠BFM+∠MEC＝∠ABC+∠ACB＝x°，故可得出∠BMF+∠CME的度数，进而可得出结论；
②由∠EMF＝y°可得出∠BMF+∠CME的度数，再由①中∠BFM+∠MEC＝∠ABC+∠ACB＝x°即可得出结论．
【解答】解：（1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，
∴EM＝FMBC，
∵EF＝5，BC＝11，
∴△EFM的周长＝EF+EM+FM＝EF+BC＝5+11＝16；
（2）①∵EM＝BM＝FM＝CMBC，
∴∠ABC＝∠BFM，∠ACB＝∠CEM，
∵∠ABC+∠ACB＝x°，
∴∠BFM+∠MEC＝∠ABC+∠ACB＝x°，
∴∠BMF+∠CME＝360°﹣（∠BFM+∠MEC+∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2x°，
∴∠EMF＝180°﹣（∠BMF+∠CME）＝180°﹣360°+2x°＝2x°﹣180°，
∵x＝120，
∴∠EMF＝2×120°﹣180°＝240°﹣180°＝60°；
②由①知，∠EMF＝2x°﹣180°
∵∠EMF＝y°，
∴y＝2x﹣180．
题型十．命题与定理（共11小题）
79．下列语句不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．垂线段最短
D．在线段AB上取点C，使CA＝CB
【答案】D
【分析】根据命题的定义分别进行判断即可．
【解答】解：A、对顶角相等是命题，不符合题意；
B、同旁内角互补为命题，不符合题意；
C、垂线段最短，是命题，不符合题意．
D、在线段AB上取点C为描述性语言，不是命题，符合题意．
故选：D．
80．下列命题中，真命题是（ ）
A．若2x＝﹣1，则x＝﹣2
B．任何一个角都比它的余角小
C．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的解法、余角、角的和差、平行线的判定逐项进行判断即可．
【解答】解：A．若2x＝﹣1，则，故选项是假命题；
B．任何一个角不一定都比它的余角小，故选项是假命题；
C．一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角，故选项是假命题；
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故选项是真命题；
故选：D．
81．可以用来说明“如果a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝3，b＝﹣4 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝3，b＝4
【答案】A
【分析】由a＞b，得到a2≤b2，即可得到命题是假命题的反例．
【解答】解：A、a＞b，但a2＜b2，能说明命题是假命题，故A符合题意；
B、D、a＜b，不能说明命题是假命题，故B、D不符合题意；
C、a＞b，a2＞b2，不能说明命题是假命题，故C不符合题意．
故选：A．
82．下列命题中的真命题是（ ）
A．内错角相等 B．三角形内角和是180°
C．是有理数 D．若|a|＝1，则a＝1
【答案】B
【分析】根据平行线性质，三角形内角和定理，实数的分类，绝对值的概念逐项判断．
【解答】解：两直线平行，才有内错角相等，故A是假命题，不符合题意；
三角形内角和是180°，，故B是真命题，符合题意；
是无理数，故C是假命题，不符合题意；
若|a|＝1，则a＝±1，故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
83．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．钝角三角形中有两个锐角
B．如果a＝b，那么a2＝b2
C．若△ABC≌△DEF，则AB＝DE，BC＝EF，∠ACB＝∠DFE
D．若a＝2，则a3＝8
【答案】D
【分析】先写出逆命题，后逐一判断正误即可．
【解答】解：先写出逆命题，后逐一判断正误如下：
A．逆命题为：有两个锐角的三角形是钝角三角形，根据三角形可能为直角三角形和锐角三角形，逆命题是假命题，故A不符合题意；
B．逆命题为：如果a2＝b2，那么a＝b，根据还可能为相反数，逆命题是假命题，故B不符合题意；
C．逆命题为：AB＝DE，BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，那么△ABC≌△DEF，根据条件，无法判定△ABC≌△DEF，逆命题是假命题，故C不符合题意；
D．逆命题为：若a3＝8，则a＝2，逆命题是真命题，故D符合题意．
故选：D．
84．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形
B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
D．不是等腰三角形的两个角不相等
【答案】A
【分析】根据题意可以写出原定理的逆定理，本题得以解决．
【解答】解：定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形，
故选：A．
85．下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（ ）
A．两个角分别为13°，45°
B．两个角分别为40°，45°
C．两个角分别为45°，45°
D．两个角分别为105°，45°
【答案】C
【分析】根据锐角的概念判断即可．
【解答】解：当两个角分别为45°，45°时，这两个角都是锐角，和为90°，90°是直角，
则命题“两个锐角的和是锐角”是假命题，
故选：C．
86．下列选项中，可以作为命题“一个钝角与一个锐角的差是锐角”的反例是（ ）
A．120°，40° B．130°，45° C．110°，40° D．150°，60°
【答案】D
【分析】找到满足“一个钝角与一个锐角的差是直角或钝角”的一组即可．
【解答】解：∵150°﹣60°＝90°，而90°又不是锐角，
∴D选项符合题意，
故选：D．
87．判断命题“对于任何实数a，都有|a|＞﹣a”是假命题，只需举一个反例，反例中a的可以是 ﹣2（答案不唯一） （填写一个符合条件的a的值）．
【答案】﹣2（答案不唯一）．
【分析】根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可．
【解答】解：当a＝﹣2时，|a|＝﹣a，
说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题，
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
88．“相等的角是对顶角”这个命题是 假 命题（选填“真”或“假”）．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据真命题的定义判断真假即可．
【解答】解：相等的角不一定是对顶角，
“相等的角是对顶角”的命题是假命题，
故答案为：假．
89．命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 两直线平行，内错角相等 ，它是 真 （填“真”或“假”）命题．
【答案】两直线平行，内错角相等；真．
【分析】写出原命题的逆命题，根据平行线的性质判断即可．
【解答】解：“内错角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，
它是真命题，
故答案为：两直线平行，内错角相等；真．
题型十一．轴对称图形（共4小题）
90．（2024秋 浙江期中）以下图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形，据此进行判断即可．
【解答】解：A，B，D不是轴对称图形，C是轴对称图形，
故选：C．
91．（2024秋 西湖区期中）下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，正确，符合题意，
故选：D．
92．（2024秋 汉阳区期中）下列标点符号中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：A．
93．（2024秋 杭州期中）等边三角形是轴对称图形，它有 3 条对称轴．
【答案】见试题解答内容
【分析】等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，就是三条角平分线．
【解答】解：等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，就是三条角平分线．
故答案为：3．
题型十二．镜面对称（共4小题）
94．（2024秋 路桥区期中）一平面镜与水平面成45°角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以1m/s的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（ ）
A．以1m/s的速度，做竖直向上运动
B．以1m/s的速度，做竖直向下运动
C．以2m/s的速度，做竖直向上运动
D．以2m/s的速度，做竖直向下运动
【答案】A
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称，
则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向上运动．
故选：A．
95．（2023秋 临海市期中）如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是（ ）
A．10：05 B．20：01 C．20：10 D．10：02
【答案】B
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：由图分析可得题中所给的“10：05”与“20：01”成轴对称，这时的时间应是20：01．
故选：B．
96．（2023秋 绍兴期中）一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（ ）
A．以1m/s的速度，做竖直向下运动
B．以1m/s的速度，做竖直向上运动
C．以2m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角
D．以2m/s的速度，做竖直向下运动
【答案】A
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称，
则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动．
故选：A．
97．（2023秋 玉环市校级期中）看镜子里有一个数“”，这个数实际是 8105 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中实际数与2018成轴对称，所以此时实际数为8105．
故答案为：8105．
题型十三．轴对称的性质（共3小题）
98．（2024秋 镇海区校级期中）如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（ ）
A．90° B．85° C．95° D．105°
【答案】C
【分析】利用轴对称变换的性质以及三角形内角和定理求解．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°．
故选：C．
99．（2024秋 钱塘区校级期中）四边形ABCD中，∠DAB＝120°，点B在CD垂直平分线上，点F在边AB上，且与点D关于直线AC对称，若AF＝3，FB＝2，则EC＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】过B作BG⊥AC于点G，BH⊥AD于点H，依据勾股定理求得BD的长，即可得出BD的长，进而得到AC，AE的长，再根据CE＝AC﹣AE进行计算即可．
【解答】解：如图，过B作BG⊥AC于点G，BH⊥AD于点H，
∵∠DAB＝120°，点F与点D关于直线AC对称，
∴∠DAE＝∠FAE＝60°，AC⊥DF，∠BAH＝60°，∠ABH＝30°，
又∵AF＝3，FB＝2，
∴AHAB，BH，AD＝AF＝3，
∴Rt△BDH中，BD7，
又∵点B在CD垂直平分线上，
∴BC＝BD＝7，
∵Rt△ABG中，∠ABG＝90°﹣60°＝30°，
∴AGAB，BG，
∴Rt△BCG中，CG，
∴AC＝AG+CG＝8，
又∵Rt△AEF中，∠AFE＝90°﹣60°＝30°，
∴AEAF，
∴CE＝AC﹣AE＝8．
故答案为：．
100．（2024秋 江北区校级期中）如图，△ABC中，∠CAB＝60°，∠B＝75°，AB＝2，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AB上一动点（点E不与B重合），△DBE关于直线DE对称图形为△DFE，若点F落在△ABC的边上，则DE的长为 1或或2 ．
【答案】1或或2．
【分析】判断得出点F在以点D为圆心，DB长为半径的圆上，分三种情况讨论，画出图形，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理求解即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠CAB＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∵∠B＝75°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝75°＝∠B，
∴AD＝AB＝2，
由折叠的性质得DF＝DB，而DB是定长，
∴点F在以点D为圆心，DB长为半径的圆上，当点F1在边AB上时，如图，
∵F1E1＝E1B，
∴DE1⊥AB于点E1，
∴；
当点F在边AC上时，有两种情况，
当E、F在如图的E2、F2的位置时，作DH⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DH＝DE1＝1，
又∵DF2＝DB，
∴Rt△DHF2≌Rt△PE1B（HL），
∴∠HDF2＝∠E1DB，
∵DF1＝DB，∠DBF1＝75°，
∴∠DF1B＝75°，
∴∠F1DB＝180°﹣∠DBF1﹣∠DF1B＝30°，
∴，
∵∠DHA＝∠DE1A＝90°，∠E1AH＝60°，
∴∠E1DH＝360°﹣∠DHA﹣∠DE1A﹣∠E1AH＝120°，即∠HDF2+∠F2DE1＝120°，
∴∠E1DB+∠F2DE1＝∠F2DB＝120°，
∵∠F2DE2＝∠BDE2，
∴，
∴∠E1DE2＝∠BDE2﹣∠E1DB＝45°，
∴△DE1E2是等腰直角三角形，
∵DE1＝1，
∴；
当E、F在如图的E3、F3的位置时（E3与A重合），
∴PE3＝DA＝2；
若F在边BC上时，此时对应的E点不在AB上，此情况不存在，
综上，DE的长为1或或2．
故答案为：1或或2．
题型十四．直角三角形全等的判定（共4小题）
101．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD
C．AC＝AD且BC＝BD D．以上都不正确
【答案】B
【分析】根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．
【解答】解：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．
根据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，
还需补充一对直角边相等，
即AC＝AD或BC＝BD，
故选：B．
102．两个直角三角形中：
①一锐角和斜边对应相等；
②斜边和一直角边对应相等；
③有两条边相等；
④两个锐角对应相等．
能使这两个直角三角形全等的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可．
【解答】解：①有斜边和一个锐角对应相等，可以利用AAS证明全等，故①符合题意；
②有斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明全等，故②符合题意；
③有两条边相等，没有表明是对应边相等，不一定可以利用HL或SAS证明全等，故③不符合题意；
④有两个锐角对应相等，不能利用AAA证明全等，故④不符合题意；
综上分析可知①②正确，故A符合题意．
故选：A．
103．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是 AB＝DC（答案不唯一） （不添加字母和辅助线）．
【答案】AB＝DC（答案不唯一）．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法，即可解答．
【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：AB＝DC，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：AC＝BD，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：∠ABC＝∠DCB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），
∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：∠ACB＝∠DBC，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），
故答案为：AB＝DC（答案不唯一）．
104．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AD与A′D′分别为BC，B′C′边上的中线，且AD＝A′D′．
求证：（1）Rt△ACD≌Rt△A′C′D′；（2）Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）根据HL可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论可知，CD＝C′D′，然后根据SAS即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°，
∴△ACD和△A′C′D′都是直角三角形，
在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′（HL）；
（2）∵Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，
∴CD＝C′D′，
∵AD与A′D′分别为BC，B′C′边上的中线，
∴CB＝C′B′＝2CD，
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（SAS）．
题型十五．勾股定理（共23小题）
105．在锐角△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长度为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】C
【分析】根据题意画出相应的图形，然后根据勾股定理，可以分别计算出BD和CD的长，然后即可求得BC的长．
【解答】解：如图所示，
∵AB＝15，AC＝13，高AD＝12，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴BD9，
CD5，
∴BC＝BD+CD＝9+5＝14，
故选：C．
106．如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3，过点A作直线l垂直OA，在l上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【分析】计算即可求解．
【解答】解：由题意得：，
故选：D．
107．如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形M的面积为（ ）
A．240 B． C． D．24
【答案】D
【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和．
【解答】解：由题意得，P＝DE2＝132，Q＝EF2＝108，
故可得M＝DF2＝DE2﹣EF2＝132﹣108＝24，
故选：D．
108．如图，在5×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的中线，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理计算出三角形三边的长度，判断三角形是直角三角形，再根据斜边上的中线是斜边的一半进行判断即可．
【解答】解：每个小正方形的边长均为1，
根据勾股定理可得：AB2＝22+62＝40，AC2＝32+12＝10，BC2＝12+72＝50，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AD是斜边BC边上的中线，
∴ADBC．
故选：B．
109．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝24，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】由勾股定理得AC2+AB2＝BC2，即S1+S2＝S3，再由S3+S2﹣S1＝24求出S2＝12，即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，
即S1+S2＝S3，
∵S3+S2﹣S1＝24，
∴S2＝12，
由图形可知，阴影部分的面积S2＝6，
故选：A．
110．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（ ）
A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD
C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD
【答案】C
【分析】由题意可得∠ACD＝∠ADC＝45°，由AB＝AC＝AD可得∠ABC+∠ABD＝45°＝∠CBD，由AB＝AC，AE⊥BC可得AE是BC的垂直平分线，可得BF＝CF，根据勾股定理可求BF2+DF2的值．
【解答】解：如图，连接CF，
∵AC＝AD，AC⊥AD，
∴∠ACD＝45°＝∠ADC，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ABD，
∵∠ABC+∠ACB+∠ADB+∠ABD+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠CBD＝45°，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，
∴∠CBD＝∠BCF＝45°，即∠CFD＝90°，
∴BF2+DF2＝CD2＝AC2+AD2．
故选：C．
111．如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，S1，S2，S3是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若S1＝36，S2＝64，则S3的值为（ ）
A． B．10 C．100 D．
【答案】C
【分析】分别计算大圆的面积S3，两个小圆的面积S1，S2，根据直角三角形中大圆小圆直径的关系即可求解．
【解答】解：设三个圆对应的半径分别为r1、r2、r3，
则依题得：，，
∴，，
∵根据勾股定理可得：，
即，
∴．
故选：C．
112．如图，在锐角△ABC中，AC＝2，AC边上的中线．过点A作AE⊥BC于点E，记BC的长为a，BE的长为b．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．a+b B．a﹣b C．a2+b2 D．ab
【答案】D
【分析】连接DE，过D作DF⊥BC于F，根据中线得到，根据三线合一得到，然后在Rt△BDF和Rt△CDF中利用勾股定理列方程，化简整理即可．
【解答】解：连接DE，过D作DF⊥BC于F，则∠BFD＝∠CFD＝90°，
∵AC边上的中线，
∴D是AC中点，
∵过点A作AE⊥BC于点E，AC＝2，
∴，
∴，
∵BC的长为a，BE的长为b，
∴CE＝BC﹣BE＝a﹣b，
∴，
∴，
Rt△BDF中，，
Rt△CDF中，，
则：，
整理得ab＝2，
故选：D．
113．如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ）
A．8 B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，可得AB＝2，AC＝1，AD＝2，DE＝1，再根据勾股定理得出BC和EF的长即可解答．
【解答】解：如图，连接AC，
∵左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，
∴AB＝2，AC＝1，AD＝2，DE＝1，
∴BC＝AE，
∴按此手势解锁一次的路径长为：AB+BC+CD+DE+AE＝21+14+2．
故选：B．
114．在图1所示的3×3的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1．经探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形①．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图2中的阴影部分），得到一个大正方形ABCD，发现该正方形中间的空白部分②也是个正方形，记正方形①的面积为1，则大正方形ABCD的边长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】先在网格中求出八边形的边长与面积，从而得到正方形①的面积为1，进而得到正方形②的面积为2，从而得到四个全等的五边形的面积，进而得到大正方形ABCD的面积，可求出BF＝AB+AF，即可求解．
【解答】解：如图，∵正方形①的面积为1，
由题意得：八边形的边长为，
八边形的面积为，
∵正方形②的面积恰好是正方形①的面积的2倍，
∴正方形②的面积为（）2＝2，
∴四个全等的五边形的面积为7﹣1＝6，AF＝1，
∴大正方形ABCD的面积为6+2＝8，
∴大正方形的边长为，
故选：B．
115．若一个直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的平方是 100或28 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分情况讨论：主要看两个数中较大的数的情况，8是斜边和8不是斜边两种情况求解．
【解答】解：①当8是斜边时，根据勾股定理得第三边的平方是82﹣62＝28，
②当8是直角边时，第三边的平方是62+82＝100，
故答案为：100或28．
116．在Rt△ABC中，斜边BC上的中线长度为5，直角边AB的长度为6，则直角边AC的长度为 8 ．
【答案】8．
【分析】根据勾股定理，直角三角形斜边上的中线即可得到结论．
【解答】解：∵斜边BC上的中线长度为5，
∴BC＝10，
∵AB＝6，
∴AC8，
故答案为：8．
117．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是AC边上的中线，DF⊥BE于F，BF＝FE，若BD＝5，CD＝8，则AD＝ 6 ．
【答案】6．
【分析】连接DE，先根据线段垂直平分线的性质得到DE的长，再判定DE是Rt△ACD斜边AC边上的中线，得到AC的长，最后根据勾股定理即可求出AD．
【解答】解：如图，连接DE，
∵DF⊥BE，BF＝FE，
∴ED＝BD＝5，
∵AD是BC边上的高线，
∴△ACD是直角三角形，∠ADC＝90°，
∵BE是AC边上的中线，
∴DE是Rt△ACD斜边AC边上的中线，
∴DEAC＝5，
∴AC＝10，
在Rt△ACD中，
∵AC＝10，CD＝8，
∴由勾股定理，得AD6，
故答案为：6．
118．如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图得到射线BD，BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则EF的长为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BEC＝90°，CE＝AE＝1，然后在Rt△BEC中，利用勾股定理可得BC，再利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴∠BEC＝90°，CE＝AEAC＝1，
在Rt△BEC中，BE＝2，
∴BC，
∵点F为BC的中点，
∴EFBC，
故答案为：．
119．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是 47 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2＝32+52，y2＝22+32，z2＝x2+y2，即最大正方形的面积为z2．
【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2＝32+52＝34；
y2＝22+32＝13；
z2＝x2+y2＝47；
即最大正方形E的面积为：z2＝47．
故答案为47．
120．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为 5或11 时，能使DE＝CD？
【答案】在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．
【分析】根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
【解答】解：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，
解得：t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，
解得：t＝11．
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．
121．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝17，BC＝30．求：
（1）BC边上的中线AD的长．
（2）△ABC的面积．
【答案】（1）8；
（2）120．
【分析】（1）求出BD＝15，由勾股定理可求出答案；
（2）由三角形面积可得出答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CDBC30＝15，
在Rt△ABD中，AB＝17，AD2+BD2＝AB2，
∴AD8；
（2）∵BC＝30，AD＝8，
∴△ABC的面积BC AD30×8＝120．
122．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．回答下列问题：
（1）由勾股定理，易知AB＝ 10 ；
（2）如图，用尺规作图的方法作射线n交BC边于P，求线段PC的长．
【答案】（1）10；
（2）PC＝3．
【分析】（1）由勾股定理可得出答案；
（2）由作图可知，AP平分∠BAC，过点P作PD⊥AB于点D，则PC＝PD，再利用△ABC的面积求解即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
故答案为：10；
（2）由作图可知，AP平分∠BAC，
过点P作PD⊥AB于点D，
∴PC＝PD，
∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∴，
∴，
解得PC＝3．
123．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2．求证：△ABC是“梦想三角形”．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6．若△ABC是“梦想三角形”，求BC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）BC＝3或BC＝4．
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质得出BDBC＝1，再根据勾股定理求出AD的长即可得出结论；
（2）分当AC边上的中线BD等于AC时，当BC边上的中线AE等于BC时两种情况分别求解即可．
【解答】（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BDBC＝1，
由勾股定理得，AD2，
∴AD＝BC，
即△ABC是“梦想三角形”；
（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图，
BC3，
当BC边上的中线AE等于BC时，
AC2＝AE2﹣CE2，
即BC2﹣（BC）2＝62，
解得，BC4，
综上所述，BC＝3或BC＝4．
124．如图，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE∥BC．
（1）若∠ACB＝40°，则∠EDB的度数为 20° ．
（2）若AE＝3，BE＝5，求△ABD的面积．
（3）若AD＝6，且BC﹣AB＝8，求DE的长．
【答案】（1）25°；
（2）16；
（3）7.5．
【分析】（1）先利用直角三角形的性质求出∠ABC＝50°，再利用角平分线的性质得到，再根据平行线的性质即可解答；
（2）同理（1）证明BE＝DE，利用勾股定理求出AD，再利用三角形面积公式即可解答；
（3）过点D作DF⊥BC，根据角平分线的性质得到AD＝DF＝6，利用勾股定理证明AB＝BF，求出AC＝16，利用勾股定理求出CD＝10，设AB＝BF＝x，则BC＝8+x，求出AB＝BF＝12，同理（2）得BE＝DE，设BE＝DE＝y，则AE＝12﹣y，利用勾股定理即可解答．
【解答】解：（1）在直角△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝50°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD＝20°，
故答案为：20°；
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴BE＝DE，
∵BE＝5，
∴DE＝5，
∵∠BAC＝90°，AE＝3，DE＝5，
∴，
∵BE＝5，AE＝3，
∴AB＝AE+BE＝8，
∴△ABD的面积，即△ABD的面积为16；
（3）如图，过点D作DF⊥BC，
∵BD平分∠ABC，DF⊥BC，AD⊥AB，
∴AD＝DF＝6，
∴，
∵BC﹣AB＝8，
∴BC﹣BF＝8＝CF，
∴CD10，
∴AC＝AD+CD＝16，
设AB＝BF＝x，则BC＝8+x，
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴x2+162＝（8+x）2，
∴x＝12，即AB＝BF＝12，
同理（2）得BE＝DE，
设BE＝DE＝y，则AE＝12﹣y，
在Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，
∴（12﹣y）2+62＝y2，
整理得，24y＝180，
解得y＝7.5，即DE＝7.5，
所以DE的长为7.5．
125．在△ABC中，AD⊥BC，E是BC上的一点．
（1）若AE是∠BAC的角平分线，∠B＝40°，∠C＝60°，求∠EAD的度数．
（2）若E是BC的中点，AB＝10，AD＝6，∠C＝45°，求AE的长．
【答案】（1）10°；
（2）．
【分析】（1）先利用三角形内角和定理可得：∠BAC＝80°，然后利用角平分线的定义可得∠BAE＝40°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAD＝50°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据垂直定义可得：∠ADB＝∠ADC＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠C＝∠DAC＝45°，从而可得DA＝DC＝6，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，从而求出BC的长，再利用线段中点的定义可得BE＝7，从而可得DE＝1，最后在Rt△ADE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE∠BAC＝40°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝50°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝10°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，
∴∠C＝∠DAC＝45°，
∴DA＝DC＝6，
在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6，
∴BD8，
∴BC＝BD+CD＝8+6＝14，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝7，
∴DE＝BD﹣BE＝8﹣7＝1，
∴AE．
126．已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA＝DB＝DC．
（1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，BC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）如图②，连接AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，AB＝16，DC＝10，求CE的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，根据三角形的内角和得到∠ACB＝90°，于是得出△ABC是直角三角形；
（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到CD垂直平分AB，再根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：∵DA＝DB＝DC，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD＝180°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵DA＝DB，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
∵AC＝BC，
∴点C在线段AB的垂直平分线上，
∴CD垂直平分AB，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
∵AB＝16，DC＝10，
∴AE＝8，AD＝CD＝10，
∴，
∴CE＝CD﹣DE＝4，
∴CE＝4．
127．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝13，BA＝5，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B运动．设点P的运动时间为t（t＞0）．
（1）BC＝ 12 ．
（2）求斜边AC上的高线长．
（3）①当P在AB上时，AP的长为 3t﹣13 ，t的取值范围是 ．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值．
【答案】（1）12；
（2）；
（3）①3t﹣13；；②；
（4）或．
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）过点B作BD⊥AC于点D，利用面积法求解；
（3）①根据点P的运动路径及速度可解；②过点P作PE⊥AC于E，利用角平分线的性质可知PB＝PE，再证Rt△BCP≌Rt△ECP（HL），推出EC＝BC＝12，最后利用勾股定理解Rt△AEP即可；
（4）分AB＝AP＝5和AB＝BP＝5两种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝5，
∴；
故答案为：12；
（2）如图1所示，过点B作BD⊥AC于点D，
∵，
∴，
∴斜边AC上的高线长为；
（3）①∵点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B运动，
∴AP＝3t﹣AC＝3t﹣1
