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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破十一 勾股定理的证明方法（15道）（压轴题）
1．面积法是最常见的验证勾股定理的方法．用两个全等的直角三角形的纸板拼出如图所示的图形，，设，请结合图形验证勾股定理．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查勾股定理；结合两个全等的直角三角形，分别列出的式子，再结合，列出等式即可求出结果．
【详解】解：根据题意可得，
所以．
因为，所以，
所以，即，
所以．
因为，易得在中，边上的高与相等，
所以，
所以．
因为，
，
所以，
所以，
整理，得．
2．如图，在中，，以为斜边作等腰直角三角形，连结，．设，请利用下面的图形验证勾股定理．
【答案】见解析
【分析】本题考查探索勾股定理，过点D作交CB的延长线于点E，作于点G，作于点F．由，可得，证明，得，设，即得，故，，可得，，，而，从而，化简即得．
【详解】解：如图，过点D作交CB的延长线于点E，作于点G，作于点F．
，
平分，
，
和是等腰直角三角形，
．
，
，
，即，
．
，
，
．
设，
则，
，
，
，
，．
是等腰直角三角形，，
，
和是等腰直角三角形．
，
，
．
，
，
，
．
3．综合与实践．
【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然．
（1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
【方法迁移】
（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________．
（3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
【答案】（1）；；；；证明见解析
（2）
（3）
【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点．
（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；
（2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；
（3）运用勾股定理在 和中求出，列出方程求解即可；
【详解】（1）证明：由题图，可知 ，
，．
因为，
所以，
所以，
所以．
（2）由题图，可知，．
所以，
解得．
（3）解：在中，由勾股定理，得．
由题意，得．
在中，由勾股定理，得．
所以，
解得：．
4．(24-25八下·江西南昌南昌县莲塘第四中学·月考)著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．
(1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？
【答案】(1)见解析
(2)新路比原路少0.2千米
【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识．
（1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明；
（2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案．
【详解】（1）证明：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即；
（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，解得，
即千米，
（千米），
答：新路比原路少0.2千米．
5．《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究．
【初步探究】
（1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）．
①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示）
②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简）
【结论运用】
（2）如图2，已知，是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解．
①若，求的长．
②若，的长比的长大2，求的长．
【应用拓展】
（3）如图3，已知，在中，，请求出的面积．
【答案】（1）①；；②小正方形面积为或，；（2）①5；②10；（3）84
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的证明，列代数式，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键．
（1）①根据三角形面积计算公式可得第一空答案，再由图形之间的关系可得小正方形面积等于直角三角形的长直角边的长减去短直角边的长，据此可得第二空的答案；②根据正方形面积计算公式可得小正方形面积为，根据小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积可得小正方形的面积为，则，据此可得答案；
（2）①根据（1）可得，据此计算求解即可；②根据（1）可得，据此求解即可；
（3）过点A作于D，设，则，则可证明，即，解方程求出的长即可得到答案．
【详解】解：（1）①由题意得，一个直角三角形纸片的面积为，小正方形的边长为；
②∵小正方形的边长为，
∴小正方形的面积为；
∵小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积，
∴小正方形的面积为，
∴，
∴，
∴；
（2）①由（1）可得，
∵，
∴，
∴或（舍去）；
②∵的长比的长大2，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（3）如图所示，过点A作于D，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
6．(24-25八下·北京第四中学·期中)勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．
当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明．
(1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：
证明：连结，过点作边上的高于点，则．
，
又______________________，
______________________
．
(2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明．
（1）根据证明过程结合图形即可解答；
（2）仿照（1）的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可．
【详解】（1）证明：连接，过点作边上的高于点，则．
∵
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：连接，过点B作边上的高，则．
∵
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．(24-25八下·安徽六安·期末)【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法．
【证法再现】
如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程；
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．
(1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由；
(2)该最短距离和为多少米？
【答案】证法再现：， ，证明见解析；知识运用：（1）见解析（2）200米
【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．
证法再现：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．
知识运用：（1）作点C关于的对称点F，连接交于点P，连接，点P即为所求．
（2）运用勾股定理求出，就是代数式的最小值，
【详解】证法再现：由题意，，，．
满足关系式：．
整理得：；
故答案为：， ，．
知识运用：(1)作点关于的对称点，连接，，，如图．
∴
又,
当三点共线时，的最小值为，
的最小值为，此时点到两个菜园C，D的距离和最短．
（2）作交的延长线于E．
在中，∵米，米，
∴（米）．
故答案为：200．
8．(24-25七下·江苏徐州睢宁县·期中)如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为）
【探究发现】
（1）代数式1：_________.代数式2：________；
（2）这个等式为 （直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________；
【学以致用】
（3）在直角三角形中，，，.求的长.
【答案】（1），；（2），在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方；（3）
【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键．
（1）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案；
（2）根据（1）的结果，即可得出答案；
（3）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）代数式1：，代数式2：，
故答案为：，；
（2）由（1）知，
用文字语言表达为在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方，
故答案为：；在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方；
（3）在直角三角形ABC中，，，，
．
9．(24-25八下·安徽亳州·期中)【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，．
(1)请你利用图1证明勾股定理；
(2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由；
(3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)的斜边的长为
【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题关键．
（1）证明，根据列式可得；
（2）过点A作交延长线于H，设，由勾股定理得，整理得，由可得，故可得结论；
（3）把代入得，求出的值，再求的值即可．
【详解】（1）证明：根据题意，由图1可知：
，，，，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
；
又∵
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点A作交延长线于H，设，
在中，，
在中，，
∴，
化简得，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在中，，
∵
∴，
∴，
解得，，
∵
∴，
∴（负值舍去）
∴的斜边的长为．
10．(24-25八上·福建三明大田县·期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形．
(1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简）
方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________；
(2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积．
(3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积．
【答案】(1)；；；
(2)；
(3)
【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．
（1）运用等面积法计算即可；
（2）先表示出阴影部分面积，再代入计算即可；
（3）将风车周长表示出来，其中，再结合勾股定理求解出，最后计算面积即可．
【详解】（1）解：方法1：，
方法2：，
，
故答案为：；；；
（2）解：，
当时，；
（3）解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
11．(24-25八下·广西贺州·期中)【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理．
【任务】
(1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理．
(2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件，，，，，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)这个零件符合要求，理由见解析
【分析】本题主要考查勾股定理的证明、勾股定理逆定理的应用等知识点，掌握勾股定理逆定理的作用是解题的关键．
（1）①根据图2用两种方法表示出大正方形的面积，然后进行整理即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理验证和是否为直角即可判断这个零件是否符合要求．
【详解】（1）解：∵根据图2：大正方形面积可表示为：或，
∴，即，
∴．
（2）解：这个零件符合要求，理由如下：
在中，根据勾股定理，可得：
，
在中，
∴．
∴是直角三角形，是直角．且
∴这个零件符合要求．
12．(24-25八下·山东德州德城区三校联考·期中)勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题：
(1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图1所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是 ；
(2)如图2，小明把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件不变，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？
(3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的值．
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积，解题的关键是数形结合．
（1）设直角三角形的斜边为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，利用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积进行计算即可；
（2）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证；
（3）在和中，根据勾股定理可得出，即可求解．
【详解】（1）解：设斜边的长为，
由题意，得：，，
，
，
小正方形的面积为：；
（2）解：图形的总面积可以表示为或，
，
；
（3）解：在中，，
在中，，
，
解得．
13．(24-25七下·江苏盐城盐都区·期中)【教材呈现】七年级教材下册“第8章 整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．
如课本39页，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1），通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的乘法公式：______．
其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理．
【活动材料】：如图，4张型直角三角形纸片．
【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式．
【活动内容】：
（1）图2我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，最长的斜边为．试探究、、之间的数量关系并说明理由．
（2）利用上述结论计算：若，，求的值．
【答案】；（1），理由见解析；（2）7
【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，结合图形得出关系式是解题的关键．
先用大小正方形的面积差表示第一图的阴影部分面积，根据矩形面积公式表示第二图的阴影面积，最后根据两个阴影部分的面积相等列出等式便可；
活动内容：（1）根据大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积加上中间小正方形的面积列出方程，再通过恒等变形得结论便可；
（2）用及求得，再由求得，进而由平方差公式求得结果．
【详解】解：第一图的阴影部分面积为：，
第二图阴影部分的面积为：，
∴重要的结论为：，
故答案为：；
（1） ，或，
，
，
；
（2）解：由题意知：，
，
，
，
，
，
．
14．(24-25七下·福建三明宁化县·期中)【阅读材料】我们从生活实际发现，当一个直角三角形的两直角边长确定时，斜边长也就确定了．古代数学就已经发现：在直角三角形中，若两直角边长为，斜边长为，则．这就是著名的“勾股定理”（西方把它称为“毕达哥拉斯定理”）．
【推理验证】如图（2）．它是由1个小正方形和4个完全一样的如图（1）直角三角形（其两直角边长为，斜边长为），不重叠无缝隙拼接成的正方形．我们可以用两种不同途径来求图（2）的大正方形面积来验证“勾股定理”，请写出验证过程；
【应用解题】若直角三角形中，斜边长为3，两直角边长满足，求此时直角三角形的面积；
【拓展提升】请你用图（1）的直角三角形参与构图，使你构造的图形也能验证“勾股定理”，画出你的示意图并写出验证过程．
【答案】【推理验证】见解析；【应用解题】；【拓展提升】见解析，（答案不唯一）
【分析】本题考查了勾股定理的证明和完全平方公式，解本题要理解题意，利用大正方形面积＝小正方形面积 + 四个直角三角形面积是解本题的关键．
推理验证：根据大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积，可求解；
应用解题：的结论以及完全平方公式的变形计算即可求解；
拓展提升：设计一个方案并证明（答案不唯一）．
【详解】解：推理验证：图中 4 个全等的直角三角形每个的面积为，
由图形关系，知：大正方形面积＝小正方形面积 + 四个直角三角形面积，
即有，
；
应用解题：由题意得：，
∴直角三角形的面积为；
拓展提升：设计方案如图：
用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，利用此图形验证勾股定理．
证明：∵直角梯形 的面积可以用两种方法表示：
第一种方法表示为：此图可以看成有三个直角三角形的面积和，面积分别为和，因此图形面积为，
第二种方法表示为：可以看成一个直角梯形，其面积为，
15．(24-25八上·河南郑州九十六中学·期中)背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．
（1）请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，请验证；
知识运用：
（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）；
（3）在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离．
知识迁移：
（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）41；（3）图见解析；16千米．（4）20
【分析】（1）根据三角形的面积和梯形的面积就可得出答案．
（2）连接，作于点E，根据得到，从而得到千米，利用勾股定理求得两地之间的距离．
（3）连接，作的垂直平分线交于P，P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可．
（4）根据轴对称﹣最短路线的求法即可求出．
【详解】解：（1） ，，，
它们满足的关系式为：，
∴；
（2）如图2①，连接，作于点E，
∵，
∴，
∴（千米），
∴（千米），
∴两个村庄相距41千米．
故答案为：41；
（3）如图2所示：
设千米，则千米，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
即千米．
（4）如图3，
先作出点C关于的对称点F，连接，过点F作与E，即：就是代数式的最小值．
代数式的几何意义是线段上一点到点D，C的距离之和，
而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线段的长，连线段与线段的交点就是它取最小值时的点，
从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值，
∴代数式的最小值为： ．
【点睛】本题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称﹣最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破十一 勾股定理的证明方法（15道）（压轴题）
1．面积法是最常见的验证勾股定理的方法．用两个全等的直角三角形的纸板拼出如图所示的图形，，设，请结合图形验证勾股定理．
2．如图，在中，，以为斜边作等腰直角三角形，连结，．设，请利用下面的图形验证勾股定理．
3．综合与实践．
【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然．
（1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
【方法迁移】
（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________．
（3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
4．(24-25八下·江西南昌南昌县莲塘第四中学·月考)著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．
(1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？
5．《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究．
【初步探究】
（1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）．
①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示）
②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简）
【结论运用】
（2）如图2，已知，是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解．
①若，求的长．
②若，的长比的长大2，求的长．
【应用拓展】
（3）如图3，已知，在中，，请求出的面积．
6．(24-25八下·北京第四中学·期中)勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．
当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明．
(1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：
证明：连结，过点作边上的高于点，则．
，
又______________________，
______________________
．
(2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：．
7．(24-25八下·安徽六安·期末)【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法．
【证法再现】
如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程；
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．
(1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由；
(2)该最短距离和为多少米？
8．(24-25七下·江苏徐州睢宁县·期中)如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为）
【探究发现】
（1）代数式1：_________.代数式2：________；
（2）这个等式为 （直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________；
【学以致用】
（3）在直角三角形中，，，.求的长.
9．(24-25八下·安徽亳州·期中)【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，．
(1)请你利用图1证明勾股定理；
(2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由；
(3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长．
10．(24-25八上·福建三明大田县·期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形．
(1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简）
方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________；
(2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积．
(3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积．
11．(24-25八下·广西贺州·期中)【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理．
【任务】
(1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理．
(2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件，，，，，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由．
12．(24-25八下·山东德州德城区三校联考·期中)勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题：
(1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图1所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是 ；
(2)如图2，小明把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件不变，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？
(3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的值．
13．(24-25七下·江苏盐城盐都区·期中)【教材呈现】七年级教材下册“第8章 整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．
如课本39页，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1），通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的乘法公式：______．
其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理．
【活动材料】：如图，4张型直角三角形纸片．
【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式．
【活动内容】：
（1）图2我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，最长的斜边为．试探究、、之间的数量关系并说明理由．
（2）利用上述结论计算：若，，求的值．
14．(24-25七下·福建三明宁化县·期中)【阅读材料】我们从生活实际发现，当一个直角三角形的两直角边长确定时，斜边长也就确定了．古代数学就已经发现：在直角三角形中，若两直角边长为，斜边长为，则．这就是著名的“勾股定理”（西方把它称为“毕达哥拉斯定理”）．
【推理验证】如图（2）．它是由1个小正方形和4个完全一样的如图（1）直角三角形（其两直角边长为，斜边长为），不重叠无缝隙拼接成的正方形．我们可以用两种不同途径来求图（2）的大正方形面积来验证“勾股定理”，请写出验证过程；
【应用解题】若直角三角形中，斜边长为3，两直角边长满足，求此时直角三角形的面积；
【拓展提升】请你用图（1）的直角三角形参与构图，使你构造的图形也能验证“勾股定理”，画出你的示意图并写出验证过程．
15．(24-25八上·河南郑州九十六中学·期中)背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．
（1）请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，请验证；
知识运用：
（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）；
（3）在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离．
知识迁移：
（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
