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2025-2026学年数学八年级上册单元测试卷浙教（2024）版
第2章 特殊三角形单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第2章 特殊三角形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，故C符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：C．
2．已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形中两底角相等是解题的关键．
根据等腰三角形中两底角相等，结合三角形内角和即可得到顶角．
【详解】解：因为等腰三角形的一个底角为，
所以另一个底角也为，
则顶角为．
故选：C．
3．将一副三角尺如图放置，顶点C重合，点D在上，当时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】该题考查了三角板中角度计算，等腰三角形的性质等知识点，根据三角板的特征知，是等腰直角三角形，，，结合，根据等腰三角形的性质得，最后根据求解即可．
【详解】解：根据题意知，是等腰直角三角形，，，
又∵，
∴平分，
∴．
∵，
∴，
故选：B．
4．已知是直角三角形，直角边，斜边，则边（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的计算，准确计算是解题的关键．
直接利用勾股定理计算即可；
【详解】在中，直角边，斜边，
（）．
故选：．
5．如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等求解即可．
【详解】解：由题意可知，，即两直角三角形斜边相等，
若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等，
即或，
只有B选项符合.
故选：B．
6．如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键．
由题意得，，，，即为消防车的高，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解．
【详解】解：由题意，得，，，，
∴，，
在中，由勾股定理，得
，
在中，由勾股定理，得
，
∴，
即消防车需要从点处向点处移动的距离为．
故选：C．
7．如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点在数轴上表示的数为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、实数与数轴，由勾股定理求出的长即可求解．
【详解】解：，
由题意得，，
由图可得，点在原点的右侧，
∴点在数轴上表示的数为．
故选：B．
8．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．9或10 B．10或12 C．10或11 D．8或10
【答案】C
【分析】此题考查了等腰三角形的定义和完全平方公式的应用．根据完全平方公式得到，根据非负数的性质得到，即可得到等腰三角形的周长．
【详解】解：∵，
∴，
∴
解得，，
则三角形的三边长为3、3、4或3、4、4，
故周长为10或11，
故选：C．
9．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可．
【详解】解：如图，
，，
阴影部分面积，
朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，
，，
青出与青入的三角形全等，
，
，
，
，
，，
，
阴影部分面积
，
故选：B．
10．如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结，则与和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，直角三角形两锐角互余，平行线的判定以及性质等知识，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
设为，为，过点B作交的延长线于点G，证明，可得．又点D是的中点，即得，从而可得，得，即可得．
【详解】解：设为，为，
过点B作交的延长线于点G，如图：
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵点D是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．请写出命题“若，则”的逆命题： ．
【答案】若，则
【分析】此题考查逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．由此即可解答．
【详解】解：“若，则”的逆命题为：若，则，
故答案为：若，则．
12．如图，直线分别交边、于点、，将沿翻折，使点恰好与点重合．若，，则的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查翻折变换，关键是根据翻折得出．
根据翻折的性质，结合三角形周长定义，数形结合求解即可得到答案．
【详解】解：将沿翻折，使点恰好与点重合，
，
，
，
故答案为：．
13．如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用平角定义进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．如图，在中，，．通过尺规作图的痕迹，可得 度．
【答案】60
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，有一圆柱体，它的高为，底面半径为，在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是 （取3）．
【答案】10
【分析】本题考查了平面展开--最短路径问题，要求需要爬行的最短路径，首先把圆柱的侧面积展开，底面圆周长的一半、圆柱的高、所走的路线构成一个直角三角形，根据勾股定理即可求得答案．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面沿母线展开，得到如图所示的矩形，
其中，
在中，．
故答案为：10．
16．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若，则 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、含角的直角三角形、等边对等角等知识点，掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角和三角形外角的性质求得，再根据含角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵边的垂直平分线交于点D，
∴，
，
，
又∵在中，，，
．
故答案为：10．
17．如图，为等边三角形，于D，，点E为边的中点，点P为上一个动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，根据全等三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵等边三角形，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
当P、B、E共线时，最小，即最小，最小值为的长．
又∵E是中点，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质（三线合一），线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路径问题及全等三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形三线合一及利用轴对称转化线段是解题的关键．
18．如图，已知，点E，F分别在直线上，点P在之间，EF的右侧，且．若将射线沿直线折叠得射线，射线沿直线折叠得射线，与所在直线交于点H，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，折叠的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
过点P作交于点Q，过点H作，分H在的左侧和右侧两种情况解答即可．
【详解】解：当H在的左侧时，过点P作交于点Q，过点H作，
∵，
∴，
∴，，，
，
∴
，
∴；
当H在的右侧时，如图，
∴，
，
∴；
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B、C三点在格点上．
(1)作出 关于y轴对称的 ，并写出点的坐标；
(2)作出 关于x轴对称的 ；
(3)求 的面积．
【答案】(1)见解析，点的坐标为
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了作图—轴对称变换，解题的关键是熟记作图方法：几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．
（1）根据画轴对称图形的方法进行作图即可得，再根据用坐标表示轴对称即可得点的坐标；
（2）根据画轴对称图形的方法进行作图即可；
（3）根据三角形的面积公式进行解答即可．
【详解】（1）
解：如图，即为所求，点的坐标为．
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）解：如图，．
答：的面积为16．
20．如图，，，，点在边上，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)详见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由，则，从而有，然后通过“”可证；
（）由全等三角形的性质可得，根据等边对等角求的度数即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（）知：，
∴，，
∴，
∵，
∴．
21．为了让学生更多的参与到劳动实践中，育才中学开辟了一片劳动基地，然后中间用栅栏将这块劳动基地划分成两部分，分别种植花卉和蔬菜（如图），其中，已知，，，．
(1)求花卉区的面积；
(2)若学校在蔬菜基地周围修两条步道（宽度忽略不计）和，这两条步道的长度相差多少米？
【答案】(1)花卉区的面积为；
(2)这两条步道的长度相差6米．
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，平行线的性质．
（1）由勾股定理的逆定理可得，根据三角形的面积公式计算即可；
（2）由平行线的性质可得，根据勾股定理可得，根据线段之间的和差计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴花卉区的面积为．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴这两条步道的长度相差6米．
22．如图，在的内部，点、在上，连接、，过点作，，垂足分别是、．且、恰好是和的中点，．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．
（1）由，，垂足分别是F，G，得，根据“”证明，则；
（2）由全等三角形的性质得，推导出，由，且，推导出，而，即可根据“”证明，得，则平分．
【详解】（1）证明：∵，，垂足分别是F，G，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，，
∵，，
∴，
∵、恰好是和的中点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴平分．
23．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理，
(1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________．
(2)当时，求空白部分的面积．
【答案】(1)
(2)13
【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键．
（1）根据题意和图形即可求解；
（2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把代入计算即可求解．
【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积为：，
即最后化简为；
方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为；
根据面积相等，得：，
化简最后结果是，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：空白部分的面积为：，
当时，原式．
24．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动．
【操作说明】
如图，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠如图．
（1）试探究重叠部分的形状，并说明理由．
（2）求面积的最小值．
【感悟作图】
把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）如图，试在折痕上找一点，使得为等边三角形．
（4）如图，在线段上找一点，在线段上找一点，使得为等边三角形．
【答案】（1）等腰三角形，理由见解析；（2）；（3）见解析；（4）见解析．
【分析】（1）利用长方形对边平行的性质，结合折叠前后角相等，通过等量代换得出两角相等，进而判定三角形为等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的边长关系，结合三角形面积公式，分析出边长最小时面积最小，进而计算；
（3）以为圆心，的长为半径作弧交于点，连接、，则是等边三角形；
（4）以为圆心，的长为半径作弧交于点，过作于点，交于点，交于点，连接，则为等边三角形．
【详解】（1）为等腰三角形，理由：
长方形纸片沿线段折叠，
，
∵四边形是长方形，
∴，
，
，
为等腰三角形．
（2）由（1）得，
的面积，
当最小，即最小时，的面积取得最小值，
当时，的面积最小．
（3）如图，点即为所求．
由折叠可得，
根据作图可得，
∴，
∴是等边三角形；
（4）如图，点与点即为所求．
如图，连接，
由（3）得是等边三角形，
∴，，
∵，四边形是长方形，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了尺规作垂线、长方形的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质以及折叠的性质是解题的关键．
25．在中，，点，分别是，上的点，连接．
(1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”）
(2)如图，连接，若平分，，，，则 ．
(3)如图，若，，求证：点在的平分线上．
(4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，求线段的长．
【答案】(1)直角
(2)5
(3)见解析
(4)①，理由见解析；②
【分析】（1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理逆定理求解即可；
（2）先根据角平分线的性质得，设，则，利用勾股定理列方程求解即可；
（3）连接，证明得，即可得出结论；
（4）①由得，，由线段垂直平分线的性质得，，进而可推出，进一步可得结论；
②连接，设，则，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点为的中点，，
∴，
∵，，且，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）解：平分，，，
，
设，则，
在中，，
，
，
即，
故答案为：5；
（3）证明：如图，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
∴点在的平分线上；
（4）解：，理由如下：
由题意知，，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
；
②如图，连接，设，则，
，，
，，
由勾股定理，得，，
即，
，
线段的长为．
【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定及应用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是能够灵活应用相关知识点．中小学教育资源及组卷应用平台
2025-2026学年数学八年级上册单元测试卷浙教（2024）版
第2章 特殊三角形单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第2章 特殊三角形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（ ）
A． B． C． D．或
3．将一副三角尺如图放置，顶点C重合，点D在上，当时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是直角三角形，直角边，斜边，则边（ ）
A． B． C． D．或
5．如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点在数轴上表示的数为（ ）
A． B． C． D．或
8．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．9或10 B．10或12 C．10或11 D．8或10
9．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结，则与和为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．请写出命题“若，则”的逆命题： ．
12．如图，直线分别交边、于点、，将沿翻折，使点恰好与点重合．若，，则的周长是 ．
13．如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则 ．
14．如图，在中，，．通过尺规作图的痕迹，可得 度．
15．如图，有一圆柱体，它的高为，底面半径为，在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是 （取3）．
16．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若，则 ．
17．如图，为等边三角形，于D，，点E为边的中点，点P为上一个动点，则的最小值为 ．
18．如图，已知，点E，F分别在直线上，点P在之间，EF的右侧，且．若将射线沿直线折叠得射线，射线沿直线折叠得射线，与所在直线交于点H，则 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B、C三点在格点上．
(1)作出 关于y轴对称的 ，并写出点的坐标；
(2)作出 关于x轴对称的 ；
(3)求 的面积．
20．如图，，，，点在边上，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
21．为了让学生更多的参与到劳动实践中，育才中学开辟了一片劳动基地，然后中间用栅栏将这块劳动基地划分成两部分，分别种植花卉和蔬菜（如图），其中，已知，，，．
(1)求花卉区的面积；
(2)若学校在蔬菜基地周围修两条步道（宽度忽略不计）和，这两条步道的长度相差多少米？
22．如图，在的内部，点、在上，连接、，过点作，，垂足分别是、．且、恰好是和的中点，．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
23．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理，
(1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________．
(2)当时，求空白部分的面积．
24．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动．
【操作说明】
如图，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠如图．
（1）试探究重叠部分的形状，并说明理由．
（2）求面积的最小值．
【感悟作图】
把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）如图，试在折痕上找一点，使得为等边三角形．
（4）如图，在线段上找一点，在线段上找一点，使得为等边三角形．
25．在中，，点，分别是，上的点，连接．
(1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”）
(2)如图，连接，若平分，，，，则 ．
(3)如图，若，，求证：点在的平分线上．
(4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，求线段的长．
