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专题2.7.1勾股定理十四大题型（一课一讲）
（第1课时 “勾股定理”）
一般地，直角三角形的三条边长有下面的关系：
直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。 如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，那么a2+b2=c2
题型一：利用勾股定理直接求解
【例题1】在直角三角形中，，则边上的中线的长为（ ）
A．12 B．13 C．15 D．
【变式训练1-1】(24-25八下·广西南宁第三中学·期末)如图，等边三角形的边长是6，，则这个三角形的高为（ ）
A．6 B．3 C． D．
【变式训练1-2】(24-25八下·辽宁大连普兰店区·期末)如图，在中，，，边的中线，为了求出边的长，小明同学做了以下辅助线：延长到E，使，连接．则 ．
【变式训练1-3】(24-25八下·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·期中)中，于，则
【变式训练1-4】(24-25八下·福建平潭第一中学·期中)如图，在中，于点D，，是的中线，若，，则的长为 ．
【变式训练1-5】(24-25九下·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·模拟)在中，若，，则 ．
题型二：根据勾股定理列方程求解
【例题2】如图，中，，垂足为D，，若，，则的长为 ．
【变式训练2-1】如图，已知与均为等腰直角三角形（ ），，连接，，若，，则 ．
【变式训练2-2】(24-25九上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)如图，已知在四边形中，连接，以为斜边构造直角，若，，，，则 ．
【变式训练2-3】(24-25八下·贵州遵义红花岗区第三教育集团·期中)如图， 在中，， 点D为边的中点， 点E，F分别在边上，， 则的长为 ．
【变式训练2-4】(24-25八下·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·期中)如图，中，点、E点在上，，则 ．
【变式训练2-5】(25-26九上·北京师达中学·开学考)如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于、两点，则的长为 ．
题型三：勾股定理与无理数的结合
【例题3】如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【变式训练3-1】如图，数轴上的点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】(23-24八下·北京密云区·期末)如图，点A，点是数轴上两点，A表示的数是1，表示的数是3．过点作，且．以点A为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点，则点表示的实数为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式训练3-3】(24-25八下·陕西西安理工大学附属中学·期中)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】(24-25八下·河北唐山路北区·期末)如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以
C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以
【变式训练3-5】如图，为数轴原点，，两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
题型四：利用勾股定理求面积
【例题4】如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（ ）
A．72 B．36 C．66 D．42
【变式训练4-1】如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ．
【变式训练4-2】(24-25八上·四川成都北大成都附属实验学校·期中)如图，已知中，，，，以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．
【变式训练4-3】如图所示，四边形中，，，，，，则四边形的面积为 ．
【变式训练4-4】(24-25八下·四川绵阳·期末)如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，若，，则的面积为 ．
【变式训练4-5】(24-25八上·四川成都温江区·期末)如图，长为，长为，长为，则正方形的面积是 ．
题型五：已知两点坐标求两点距离
【例题5】平面上三个点的坐标分别是，，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．以上都不是
【变式训练5-1】(24-25八下·河北廊坊广阳区第六中学·月考)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】(24-25八上·上海科技大学附属学校·月考)在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（ ）
A．1 B． C． D．3
【变式训练5-3】(24-25八下·河南郑州新郑·期中)在平面直角坐标系中，，，则的长度为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．无法确定
【变式训练5-4】(24-25八下·河北保定定州·期中)如图，，，是坐标原点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-5】(24-25八下·辽宁大连瓦房店·期中)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型六：勾股数中相关求解
【例题6】下列各组数据为勾股数的是（ ）
A． B． C．10，24，26 D．2，3，4
【变式训练6-1】(24-25八下·安徽马鞍山第二十中学·期末)下列几组数据中，不是勾股数的是 （ ）
A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D．
【变式训练6-2】若为勾股数，则a的相反数的值为（ ）
A． B．5 C．或 D．5或7
【变式训练6-3】(25-26八上·西安工业大学附属中学·)下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【变式训练6-4】(24-25八下·四川南充阆中阆中北大博雅骏臣学校·月考)下列是勾股数的一组是（ ）
A．3，5，9 B．4，6，8 C．1，，2 D．8，15，17
题型七：以直角三角形三边为边长的面积问题
【例题7】如图，已知在直角三角形中，以直角边、为边的正方形的面积分别为25、144，则的长为（ ）
A．169 B．119 C．13 D．17
【变式训练7-1】如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式训练7-2】如图所示，直线上有三个正方形，若的面积分别为2和4，则正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
【变式训练7-3】(25-26八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·)如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（ ）
A．48 B．40 C．36 D．32
【变式训练7-4】(24-25八下·河北沧州第十四中学·月考)如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．10 C．6 D．8
【变式训练7-5】(24-25八下·广东深圳·模拟)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正三角形，面积分别为，，，如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，，，其中，，，，则（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【变式训练7-6】(25-26八上·贵州黔东南州剑河县第四中学·)如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是（ ）
A．7 B．10 C．20 D．34
题型八：勾股定理与网格问题
【例题8】在如图的网格上，小正方形的顶点叫网格的格点，图中能找出几个格点？使每一个格点与A，B两点能构成等腰三角形，符合条件格点的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式训练8-1】如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-2】(23-24八下·内蒙古通辽科尔沁区科尔沁实验初中·期中)如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点在数轴上表示的数为（ ）
A． B． C． D．或
【变式训练8-3】(23-24八下·山西吕梁交口县部分学校·期末)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格中的中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【变式训练8-4】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2
【变式训练8-5】如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（ ）
A． B． C． D．
题型九：勾股定理与折叠问题
【例题9】如图，在中，，，，将沿翻折，使点与边上的点重合，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-1】直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-2】(24-25八下·贵州贵阳第十九中学·期中)如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【变式训练9-3】如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（ ）
A． B． C． D．5cm
【变式训练9-4】(24-25八下·广东中山华辰中学敏行班·期中)如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是 ．
【变式训练9-5】如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ．
题型十：以弦图为背景的勾股定理
【例题10】在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ．
【变式训练10-1】如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ．
【变式训练10-2】(23-24八·陕西商洛丹凤县·期末)如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ．
【变式训练10-3】新考法 如图所示，第七届国际数学教育大会（ICME-7）会徽的主体图案是由一连串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．如果，那么为 ．
【变式训练10-4】(24-25八下·福建厦门金林湾实验学校·期中)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为，且，那么小正方形的面积为 ．
【变式训练10-5】如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，则的值是 ．
题型十一：勾股定理综合解答题
【例题11】如图，在中，，平分，交于点，过点作，交于点．若，，求的长．
【变式训练11-1】(24-25八下·广东汕头潮南区两英墙新学校·月考)如图，在中，点为的中点，其中，，，，求的长．
【变式训练11-2】(24-25八下·海南澄迈县·期中)如图，在中，，a、b、c分别表示、、的对边．
(1)已知，，求c；
(2)已知，，求b．
【变式训练11-3】(24-25八下·重庆西南大学附中·开学考)如图，中，E是边的中点，点C在上，作交的延长线于点D．
(1)求证：；
(2)若于点E，，，求点E到的距离．
【变式训练11-4】如图，在中，，过点作于点，的平分线交于点，交于点，过点作于点．
(1)求的长；
(2)求证：．
【变式训练11-5】(24-25八下·山东师范大学第二附属中学·期中)如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，点F是中点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
题型十二：勾股定理中最值问题
【例题12】如图，在等边中，，是中线，点E是的中点，点P是边上一动点，则的最大值是 ．
【变式训练12-1】如图，在中，，，，射线与边交于点D，E、F分别为的中点，设点E、F到射线的距离分别为m、n，则线段的最小值为 ，的最大值为 ．
【变式训练12-2】如图,是等边三角形,是边上的高,，点E是线段上的一个动点，则的最小值为 ．
【变式训练12-3】(24-25八上·江苏无锡滨湖区·期中)如图，在中,，点D是的中点，点P、Q分别为、上的动点，则的最小值 ．
【变式训练12-4】(24-25八下·浙江宁波曙光中学·期中)如图，在四边形中,平分，，，，当面积最大时,的长为 ．
【变式训练12-5】(24-25八下·广西南宁第三中学初中部·期末)如图，在中，，点在上，且，点在上运动．将沿折叠，点落在点处，则点到的最短距离是 ．
题型十三：利用勾股定理求线段和差问题
【例题13】数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围；
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则；
(2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接．
①求证：；
②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明．
【变式训练13-1】(24-25八下·陕西西安高陵区第四中学·期中)问题提出
（1）如图1，在中，．若，，，则______．
问题探究
（2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且．
求证：．
问题解决
（3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长．
【变式训练13-2】已知，如图①，在中，，O为斜边的中点，分别交于点D，交于点E，且，连接，
(1)下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形的面积的2倍；③，其中正确的结论有 （填序号）；
(2)求证：；
(3)如图②题目中的条件改为，其余条件不变，则（2）中的结论还能成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由．
【变式训练13-3】(24-25八上·贵州贵阳清镇鸭池河学校·期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．
(1)若，，，，请求出，，，的值．
(2)若，，求的值．
(3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
【变式训练13-4】(23-24八下·安徽淮南淮南实验中学·期末)【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：
①的度数为_______；
②线段、之间的数量关系为_______；
【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______．
【变式训练13-5】(23-24八下·安徽蚌埠·期中)如图，在中，．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的值．
题型十四：勾股定理的证明
【例题14】【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．
【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理；
【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高；
【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
【变式训练14-1】(24-25七上·山东泰安新泰（五四制）·期中)教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
(1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值．
【变式训练14-2】
活动目标 巧妙运用几何问题解决实际问题；通过对几何图形的观察、分析、研究，从中归纳代数恒等式
活动任务 任务一：测量河两岸A、B两点间的距离 测量工具：测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图： 测量步骤： ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为． 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离
任务二：意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图①中空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为． （1）请用含a、b、c的代数式分别表示； （2）请利用达·芬奇的方法证明勾股定理
【变式训练14-3】综合与实践．
如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【知识迁移】
（1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为，显然，用分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理；
【方法运用】
（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为________；
【拓展延伸】
（3）如图④，在中，是边上的高，，设，请直接写出x的值．
【变式训练14-4】（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为．
(1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．
①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________；
②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________；
③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理；
(2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．
【变式训练14-5】如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理．
请根据上述信息，回答下列问题：
(1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________；
(2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长．中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.7.1勾股定理十四大题型（一课一讲）
（第1课时 “勾股定理”）
一般地，直角三角形的三条边长有下面的关系：
直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。 如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，那么a2+b2=c2
题型一：利用勾股定理直接求解
【例题1】在直角三角形中，，则边上的中线的长为（ ）
A．12 B．13 C．15 D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握勾股定理的内容是解答本题的关键．根据勾股定理来求线段的长度，利用中线定理求得即可．
【详解】解：如图，
，
，
为边上的中线，
，
故选：B．
【变式训练1-1】(24-25八下·广西南宁第三中学·期末)如图，等边三角形的边长是6，，则这个三角形的高为（ ）
A．6 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，由三线合一定理求出，再利用勾股定理即可求出的的长．
【详解】解：∵是一个边长为6的等边三角形，是等边三角形的高，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【变式训练1-2】(24-25八下·辽宁大连普兰店区·期末)如图，在中，，，边的中线，为了求出边的长，小明同学做了以下辅助线：延长到E，使，连接．则 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
由两边和夹角对应相等可得，得到，，证明是直角三角形，利用勾股定理求得的长度即可解答．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练1-3】(24-25八下·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·期中)中，于，则
【答案】9或21
【分析】本题考查了勾股定理．
分两种情况根据勾股定理求出，的值，进而可求的值．
【详解】①如图：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图：
同理可得
故答案为：9或21．
【变式训练1-4】(24-25八下·福建平潭第一中学·期中)如图，在中，于点D，，是的中线，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定．先证明可得到的长，再由勾股定理求出的长，进而由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
即的长为5．
故答案为：5．
【变式训练1-5】(24-25九下·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·模拟)在中，若，，则 ．
【答案】4或8/8或4
【分析】根据题意，先画出图形，然后求出的长，再分两种情况，求解即可．
本题考查勾股定理，含度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用分类讨论的方法解答．
【详解】解：过点A作于点D，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
当，，
∴，，
∴，
∴；
故的长为4或8，
故答案为：4或8．
题型二：根据勾股定理列方程求解
【例题2】如图，中，，垂足为D，，若，，则的长为 ．
【答案】/0.9
【分析】本题考查勾股定理，三角形外角的性质，等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点．
本题考查了勾股定理，如图，延长到E，使得．推出，求出，设，则，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，延长到E，使得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴设，则，
∵
∴
∴
解得．
∴．
故答案为：．
【变式训练2-1】如图，已知与均为等腰直角三角形（ ），，连接，，若，，则 ．
【答案】
【分析】通过作辅助线，先求出相关角度，再利用等腰直角三角形性质和勾股定理等求出、，进而得到．
【详解】解：如图，过点作于，
∵ 是等腰直角三角形，，
∴ ，，，
∵ ，，
∴ ，
∴ ．
在中，，
∴ ，设，则．
由勾股定理得，即，
解得（舍去负根）．
∴ ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
【变式训练2-2】(24-25九上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)如图，已知在四边形中，连接，以为斜边构造直角，若，，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作交的延长线于点，先证明，得到，，不妨设，则，，，然后在中利用勾股定理求得，接着利用勾股定理求得和即可．
【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示：
，，，
，
，，
不妨设，则，
，
，
，
，，，
，
或（舍去），
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练2-3】(24-25八下·贵州遵义红花岗区第三教育集团·期中)如图， 在中，， 点D为边的中点， 点E，F分别在边上，， 则的长为 ．
【答案】
【分析】延长至G，使，连接,,，设，则，，先证明得到，，再推出垂直平分，得到，根据勾股定理列式计算即可得出最后结果．
【详解】解：∵，
∴，
如图，延长至G，使得，连接,,，
设，
则，，
点D为边的中点，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线为解答本题的关键．
【变式训练2-4】(24-25八下·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·期中)如图，中，点、E点在上，，则 ．
【答案】8
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是判断出为等腰三角形．
先设，再根据角度的关系判断与为等腰三角形，再根据边长关系由勾股定理求解即可．
【详解】解：设，
，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴为等腰三角形，
∴，
中，由勾股定理得，
，
，舍负值，
，
．
故答案为：8．
【变式训练2-5】(25-26九上·北京师达中学·开学考)如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于、两点，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理，数形结合、列出方程是解题的关键；
先根据勾股定理求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，设，然后在直角三角形中，根据勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
设，则,
则在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，即；
故答案为：．
题型三：勾股定理与无理数的结合
【例题3】如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理与数轴的综合应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数．
【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为．
∴，
又∵ 该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点，
∴ 点表示的数．
故答案为：．
【变式训练3-1】如图，数轴上的点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长，可得出的值，即可求解．
【详解】解：如图：
根据题意可得：，，
∵，
∴，
即，
∴点表示的数为．
故选：C．
【变式训练3-2】(23-24八下·北京密云区·期末)如图，点A，点是数轴上两点，A表示的数是1，表示的数是3．过点作，且．以点A为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点，则点表示的实数为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及数轴的应用，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理．
先判断的形状，根据勾股定理求出的长度，再根据求出点表示的数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
∴是等腰直角三角形，．
∵点表示的数是，点表示的数是，
∴，
∴．
在中，
根据勾股定理，
将代入可得：
∵以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点，
∴．
∵点表示的数是，点在数轴负半轴上，
∴点表示的数是．
故选：D．
【变式训练3-3】(24-25八下·陕西西安理工大学附属中学·期中)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，求出的长是解答的关键．如图，连接，利用勾股定理求得即可求解．
【详解】解：如图，连接，则，
，
∴在中，
由勾股定理得：，
，
故选：B．
【变式训练3-4】(24-25八下·河北唐山路北区·期末)如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以
C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以
【答案】A
【分析】本题主要考查了图形剪拼的相关知识，熟练掌握勾股定理与无理数是解决本题的关键.
首先根据图形可得甲可以拼一个边长为的正方形；再根据图形可得图乙可以拼一个边长为的正方形，据此进行解答即可.
【详解】解：所作图形如图所示，
甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形．
故选A．
【变式训练3-5】如图，为数轴原点，，两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．先利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后利用画法可得到，于是可确定点对应的数．
【详解】解：为等腰三角形，，
，
在中，，
以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，
，
点对应的数为．
故选：D．
题型四：利用勾股定理求面积
【例题4】如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（ ）
A．72 B．36 C．66 D．42
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接，如图，
∵，
∴，
在中，，
∴是直角三角形，
∴
．
故选：B．
【变式训练4-1】如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ．
【答案】15
【分析】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案．
【详解】解：由“赵爽弦图”可知，
∴设，则，
∵，的长为5，
∴，解得：，
∴阴影部分的面积：，
故答案为：15．
【变式训练4-2】(24-25八上·四川成都北大成都附属实验学校·期中)如图，已知中，，，，以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，先运用勾股定理算出半圆的直径，再结合圆的面积公式进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，，，
∴，
则这个半圆的面积是，
故答案为：．
【变式训练4-3】如图所示，四边形中，，，，，，则四边形的面积为 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出的形状，根据即可得出结论．
【详解】解：∵，，，
∴．
∵，，，
∴是直角三角形，
．
故答案为：．
【变式训练4-4】(24-25八下·四川绵阳·期末)如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，若，，则的面积为 ．
【答案】10
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．连接，过点C作于点F，根据题意可以证明是直角三角形，然后根据三角形全等解答即可．
【详解】解：连接，过点C作于点F，
∵和都是等腰直角三角形，，，
∴，，，
，
，
，，
，
是直角三角形，
，
∵，，
，
∴，
∴，
故答案为：10．
【变式训练4-5】(24-25八上·四川成都温江区·期末)如图，长为，长为，长为，则正方形的面积是 ．
【答案】169
【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决正方形的面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
根据勾股定理求得，然后求出正方形的面积即可．
【详解】解：在直角中，由勾股定理得，
在直角中，．
∴正方形的面积为．
故答案为：169．
题型五：已知两点坐标求两点距离
【例题5】平面上三个点的坐标分别是，，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．以上都不是
【答案】A
【分析】本题考查了两点间的距离公式：也考查了三角形形状的判定．先根据两点间的距离公式计算出三边长，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【详解】解：∵，，
∴，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
故选：A．
【变式训练5-1】(24-25八下·河北廊坊广阳区第六中学·月考)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面内两点间的距离公式，熟记公式是解题的关键．根据两点间距离公式代入求解即可．
【详解】解：∵点，，
∴线段，
故选：B．
【变式训练5-2】(24-25八上·上海科技大学附属学校·月考)在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“已知两点的坐标求两点之间的距离”的求解方法是解本题的关键．
根据平面直角坐标系中两点间距离公式，计算点到原点的距离即可．
【详解】解：根据题意得，点到原点的距离是．
故选：C．
【变式训练5-3】(24-25八下·河南郑州新郑·期中)在平面直角坐标系中，，，则的长度为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据平面直角坐标系中两点间距离公式计算即可．
本题考查了坐标系中的两点间距离公式，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得点P的坐标为，点Q的坐标为，
横坐标差为，纵坐标差为，
由距离公式得：，
由于横纵坐标差均为定值（与无关），
故的长度恒为5，
故选：C．
【变式训练5-4】(24-25八下·河北保定定州·期中)如图，，，是坐标原点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握这些性质与定理是解题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理判断出，然后根据等边对等角以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
又，，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练5-5】(24-25八下·辽宁大连瓦房店·期中)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质．由勾股定理得，由折叠得，，则，由，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：，，，
，，
，
由折叠得，，
，
，
，
解得，
，
故选：D．
题型六：勾股数中相关求解
【例题6】下列各组数据为勾股数的是（ ）
A． B． C．10，24，26 D．2，3，4
【答案】C
【分析】本题考查了勾股数的定义与判定方法，解题的关键是紧扣勾股数的两个核心条件，对各选项逐一验证．
先明确勾股数需同时满足两个条件：一是三个数均为正整数，二是较小的两数的平方和等于最大数的平方；再对每个选项先判断是否为正整数，排除非整数选项后，再验证勾股定理是否成立．
【详解】解：A．、、中，和不是正整数，不满足勾股数定义，此选项不符合题意；
B．1、、中，和不是正整数，不满足勾股数定义，此选项不符合题意；
C．10，24，26均为正整数，计算得，，即，满足勾股数定义，此选项符合题意；
D．2，3，4均为正整数，但，，，不满足勾股定理，此选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练6-1】(24-25八下·安徽马鞍山第二十中学·期末)下列几组数据中，不是勾股数的是 （ ）
A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D．
【答案】D
【分析】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数，必须是正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得．
【详解】解：A、，是勾股数，此选项不符合题意；
B、，是勾股数，此选项不符合题意；
C、，是勾股数，此选项符合题意；
D、不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意．
故选：D．
【变式训练6-2】若为勾股数，则a的相反数的值为（ ）
A． B．5 C．或 D．5或7
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股数，相反数，
先根据勾股定理可得或，求出解，再根据相反数的定义解答.
【详解】解：根据题意，得
或，
解得或（不符合题意，舍去），
5的相反数是.
故选：A.
【变式训练6-3】(25-26八上·西安工业大学附属中学·)下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股数，根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意；
、∵，
∴能构成直角三角形，但边不是整数，所以不是勾股数，故此选项不符合题意；
、∵，
∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：．
【变式训练6-4】(24-25八下·四川南充阆中阆中北大博雅骏臣学校·月考)下列是勾股数的一组是（ ）
A．3，5，9 B．4，6，8 C．1，，2 D．8，15，17
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可．
【详解】解：A．，故不是勾股数，不符合题意；
B．，故不是勾股数，不符合题意；
C．存在无理数，故不是勾股数，不符合题意；
D．，故是勾股数，符合题意．
故选：D．
题型七：以直角三角形三边为边长的面积问题
【例题7】如图，已知在直角三角形中，以直角边、为边的正方形的面积分别为25、144，则的长为（ ）
A．169 B．119 C．13 D．17
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用；解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积，难度一般．由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长．
【详解】解：∵在中，由勾股定理得：，而，，
∴，而，
∴．
故选：C．
【变式训练7-1】如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，根据阴影面积等于两个较小的半圆面积加上直角三角形的面积再减去最大的半圆面积进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴阴影部分的面积
．
故选B．
【变式训练7-2】如图所示，直线上有三个正方形，若的面积分别为2和4，则正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，
∵，
∴，
∴在与中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积分别为2和4，
∴，，
∴，
即正方形的面积为6．
故选：C．
【变式训练7-3】(25-26八上·陕西西安陕西师范大学附属中学·)如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（ ）
A．48 B．40 C．36 D．32
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，熟悉相关知识点是正确解答此题的关键．
由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可．
【详解】解：∵在中，，
由勾股定理得，,
结合正方形的面积可知，即，
又∵阴影部分面积为12，阴影部分与以为边的正方形等底等高，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练7-4】(24-25八下·河北沧州第十四中学·月考)如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．10 C．6 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可．
【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，，
又∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
故选：A．
【变式训练7-5】(24-25八下·广东深圳·模拟)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正三角形，面积分别为，，，如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，，，其中，，，，则（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理、等边三角形的面积、圆的面积，根据图形和勾股定理，可以得到，同理可得，然后根据，，，即可得到的值，本题得以解决．
【详解】解：如图1，，，，
∵，
∴，
如图2，
同理可得，，
∵，，，，
∴，
故选：C．
【变式训练7-6】(25-26八上·贵州黔东南州剑河县第四中学·)如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是（ ）
A．7 B．10 C．20 D．34
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c，如图，则由勾股定理可得及正方形面积公式可得正方形F的面积为7，同理可求解问题．
【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c，如图，
由勾股定理可得，
∴正方形F的面积为，
同理可得正方形H的面积为，
∴正方形E的面积为．
故选：B．
题型八：勾股定理与网格问题
【例题8】在如图的网格上，小正方形的顶点叫网格的格点，图中能找出几个格点？使每一个格点与A，B两点能构成等腰三角形，符合条件格点的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定，两边相等的三角形为等腰三角形，可以从图中每一列中取格点，看是否满足等腰三角形．
【详解】解：如图：
从图中第一列中，可知当格点在最下方时，为等腰三角形，
第二列中没有构成等腰三角形的格点；
第三列中第一个格点和第二个格点可以构成等腰三角形，；
第四列中第二个格点和第四个格点可以构成等腰三角形，；
第五列中没有构成等腰三角形的格点．
故选：C．
【变式训练8-1】如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用勾股定理，勾股定理的逆定理逐项判断即刻．
【详解】A、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意；
B、由勾股定理可求，，，则，由勾股定理逆定理可得，故本选项不符合题意；
C、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意；
D、在中，由勾股定理，，故本选项符合题意．
故选：．
【变式训练8-2】(23-24八下·内蒙古通辽科尔沁区科尔沁实验初中·期中)如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点在数轴上表示的数为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、实数与数轴，由勾股定理求出的长即可求解．
【详解】解：，
由题意得，，
由图可得，点在原点的右侧，
∴点在数轴上表示的数为．
故选：B．
【变式训练8-3】(23-24八下·山西吕梁交口县部分学校·期末)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格中的中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【分析】本题考查了网格与勾股定理，无理数的定义，先根据勾股定理求出三边，再根据无理数定义即可判断，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由网格可知，
，
，
，
∴边长为无理数的边数有 条，
故选：C．
【变式训练8-4】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、利用网格求三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算，判断即可．
【详解】解：A、由勾股定理得：，A选项正确，不符合题意；
B、，
，
，B选项正确，不符合题意；
C、，C选项错误，符合题意；
D、设点A到直线的距离为h，
则，即，
，D选项正确，不符合题意，
故选：C．
【变式训练8-5】如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用；观察网格图形，通过勾股定理计算得，；由判定全等；利用全等三角形对应角相等得，．
【详解】解：连接、．
由题意得：，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
题型九：勾股定理与折叠问题
【例题9】如图，在中，，，，将沿翻折，使点与边上的点重合，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
在中，根据勾股定理得到的长，由折叠的性质得到，，，从而求得的长，设，在中，根据勾股定理求解可得的长，在中，根据勾股定理求解可得的长．
【详解】解：在中，，，，
，
将沿翻折，使点与边上的点重合，
，，，
，
设，
，
在中，，
，解得，
即，
在中，．
故选：A．
【变式训练9-1】直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了勾股定理，综合运用这些知识点是解题关键．
由勾股定理求解，由对折可得，设 则， 利用勾股定理求解，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：
由折叠可得：
设 则
故选：D．
【变式训练9-2】(24-25八下·贵州贵阳第十九中学·期中)如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【分析】此题考查了含30度角直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先得到，然后由折叠得到，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】∵，，，
∴，
∵将沿翻折，使点A与点B重合，
∴，，
∴，
∴
∴．
故选：A．
【变式训练9-3】如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（ ）
A． B． C． D．5cm
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠性质，先根据勾股定理求出的长，再由折叠性质得到，，设，则，，再根据勾股定理列式计算即可．
【详解】解：，，，
，
．
由折叠的性质可得，．
设，则，．
在中，，
，解得，
即，
，
．
故选C．
【变式训练9-4】(24-25八下·广东中山华辰中学敏行班·期中)如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
根据题意可得，，，，可得，继而设，则，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处，
∴，，
∵折叠纸片，使点与点重合，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
解得：，
即，
故答案为：；
【变式训练9-5】如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ．
【答案】3或
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握翻折的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键．
分三种情形，当或或时，画出图形来解答．
【详解】解：当时，
∵将沿折叠到，
．
．
∴点A、、三点共线．
∵，D是的中点，
∴，
，
∴．
∴．
设，则．
∵在中，，
∴．
解得．
．
当时，，
∵，
．
．
当时，
∵，
∴当时，四边形是矩形．
∴．
但，
∴矛盾．
∴不可能为．
综上，或．
故答案为：3或．
题型十：以弦图为背景的勾股定理
【例题10】在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，即四个直角三角形的面积和，从而不难求得的值．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴．
故答案为：24．
【变式训练10-1】如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ．
【答案】675
【分析】根据题意，都由直角三角形和正方形的面积组成的，故设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为，建立等式代入即可；用、表示是解题的关键．
【详解】解：设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为，
，
，
，
，，
．
故答案为：675．
【变式训练10-2】(23-24八·陕西商洛丹凤县·期末)如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．根据图形分析可得小正方形的边长为，据此即可求解．
【详解】解：，，，
，
中间正方形的边长为，
中间正方形的面积为．
故答案为：．
【变式训练10-3】新考法 如图所示，第七届国际数学教育大会（ICME-7）会徽的主体图案是由一连串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．如果，那么为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查勾股定理、二次根式的性质，通过计算推导出是解题的关键．利用勾股定理依次求出，可总结出，由此可解．
【详解】解：
由勾股定理可得：，
，
……
可知，
，．
故答案为：．
【变式训练10-4】(24-25八下·福建厦门金林湾实验学校·期中)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为，且，那么小正方形的面积为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键．由正方形的性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题．
【详解】解：设大正方形的边长为c，
∵大正方形的面积是18，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴小正方形的面积，
故答案为：2．
【变式训练10-5】如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和勾股定理，利用对应边和对应角分别相等的全等三角形性质，可以得到正方形的边长为，然后，在中，运用勾股定理可得．
【详解】解：由题意可知，四个直角三角形全等，，，
，，
同理，可得，
在中，应用勾股定理得到：
．
故答案为：．
题型十一：勾股定理综合解答题
【例题11】如图，在中，，平分，交于点，过点作，交于点．若，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握判定的方法是解题的关键．
利用勾股定理求出的长，由角平分线的性质推出，进而求解即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【变式训练11-1】(24-25八下·广东汕头潮南区两英墙新学校·月考)如图，在中，点为的中点，其中，，，，求的长．
【答案】2
【分析】根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，再利用勾股定理求出的长度，从而求出的长度；熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】解：
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
，
∵点为的中点，
∴．
【变式训练11-2】(24-25八下·海南澄迈县·期中)如图，在中，，a、b、c分别表示、、的对边．
(1)已知，，求c；
(2)已知，，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）根据勾股定理可进行求解；
（2）根据勾股定理可进行求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，即，
∴．
【变式训练11-3】(24-25八下·重庆西南大学附中·开学考)如图，中，E是边的中点，点C在上，作交的延长线于点D．
(1)求证：；
(2)若于点E，，，求点E到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理等知识．
（1）根据证明三角形全等即可；
（2）过点E作于H，利用全等三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，再利用面积法求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：如图，过点E作于H，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
即点E到的距离为．
【变式训练11-4】如图，在中，，过点作于点，的平分线交于点，交于点，过点作于点．
(1)求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的应用：
（1）用等面积法求出，从而可求；
（2）证明，求出，设，在中利用勾股定理求出x，从而求出，从而得证．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
在中，由勾股定理，得，即，
解得：，
【变式训练11-5】(24-25八下·山东师范大学第二附属中学·期中)如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，点F是中点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，
对于（1），连结，根据直角三角形的性质得，进而得，再根据直角三角形两个锐角互余得出答案；
对于（2），先根据勾股定理求出，可得，再结合（1）得，最后根据勾股定理可得答案．
【详解】（1）证明：连结，如图，
∵是边上的高线，
∴.
∵是边上的中线，
∴E是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∵点F是中点，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
∵点F是中点，
∴.
∵，E是边上的中点，
∴，
∴，
∵，
在直角三角形中，由勾股定理得：．
题型十二：勾股定理中最值问题
【例题12】如图，在等边中，，是中线，点E是的中点，点P是边上一动点，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
先利用三线合一得到，，再利用勾股定理求得，从而可利用中点的意义得到，当、、三点在同一直线上时，有最大值为，利用勾股定理求得的最大值．
【详解】解：连接，
∵在等边中，是中线，，
∴，，
∴，
∵点E是的中点，
，
∵，
∴当、、三点在同一直线上时，有最大值为，
此时，
故答案为：．
【变式训练12-1】如图，在中，，，，射线与边交于点D，E、F分别为的中点，设点E、F到射线的距离分别为m、n，则线段的最小值为 ，的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查点到直线的距离、三角形面积公式、勾股定理，连接， 过作的垂线，垂足为点，过作的垂线，垂足为点，则，，根据三角形面积公式得，，,则，当最小时最大，将的最小值代入求出的值即可．
【详解】解：如图，连接， 过作的垂线，垂足为点，过作的垂线，垂足为点，即，，
则，，
∵分别为、的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
设边上的高为，则，
∴，
当最小时，即，此时时，的值最大，最大值为，
故答案为：，．
【变式训练12-2】如图,是等边三角形,是边上的高,，点E是线段上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形性质、图形旋转性质（全等、对应边/角相等）、等边三角形判定、两点之间线段最短、勾股定理．解题的关键是：以C为旋转中心旋转，转化线段使成折线，利用共线时折线最短求最小值．
以C为旋转中心，将顺时针旋转得，由旋转性质得，故、、；因且为等边三角形，得；则转化为，当B、E、、共线时，和最小为的长度；由是等边三角形，得、，作高用勾股定理算得，即最小值．
【详解】解：以点C为旋转中心，将顺时针旋转得到，连接
∵旋转角为，旋转前后三角形全等
∴（旋转性质）
∵且
∴是等边三角形
∴（等边三角形三边相等）
∴
根据“两点之间线段最短”，当点B、E、、在同一直线上时，的最小值为的长度 （如图）
∵是等边三角形，
∴（等边三角形性质）
又∵（旋转性质）
∴
过点C作，垂足为点F，
∵，
∴（等腰三角形内角和）．
在中，，
∴角所对直角边等于斜边的一半）．
由勾股定理得，
同理，故，
∴的最小值为．
故答案为：．
【变式训练12-3】(24-25八上·江苏无锡滨湖区·期中)如图，在中,，点D是的中点，点P、Q分别为、上的动点，则的最小值 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、垂线段最短及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用轴对称将转化为，将的最小值转化为点到的垂线段长度．
由、是中点可知是的对称轴，点关于的对称点为，故；根据垂线段最短，当、、共线且时，最小（即最小值为；利用的面积，分别以、为底计算，结合勾股定理求出的，可解得．
【详解】解：∵，点是的中点，
∴是的对称轴，点关于的对称点为点，
∴，
∴．
根据垂线段最短，当、、三点共线且时，取最小值，即最小值为的长．
在中，，，
由勾股定理得：．
∵，
∴，解得：．
故答案为：．
【变式训练12-4】(24-25八下·浙江宁波曙光中学·期中)如图，在四边形中,平分，，，，当面积最大时,的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算与最值、直角三角形斜边中线定理，解题的关键是延长与交于点G，利用的角平分线和垂直条件构造全等三角形，将转化为定长，再结合D为中点的性质关联与的面积，通过面积最大值时需满足，从而求得的长，再用直角三角形中线的性质求．
延长、交于G，证得、，由推出；因D为中点，故；根据时面积最大；在中，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求．
【详解】解：延长、交于点G，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即D为中点，
∴(等底同高，面积比为，
要使最大，需最大，此时，即为直角三角形，
由勾股定理得，
∵D为中点，直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴．
故答案为：．
【变式训练12-5】(24-25八下·广西南宁第三中学初中部·期末)如图，在中，，点在上，且，点在上运动．将沿折叠，点落在点处，则点到的最短距离是 ．
【答案】
【分析】过点作于，过点作于，如图所示，解直角三角形得到，从而求出，再由得到即可解决问题．
【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示：
在中，，则，
由勾股定理可得，
∵，
∴，
，，
∴，
∵，，
，
则当共线时，的值最小，最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题动点最值问题，涉及翻折变换、含的直角三角形性质、勾股定理、动点最值问题-垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
题型十三：利用勾股定理求线段和差问题
【例题13】数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围；
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则；
(2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接．
①求证：；
②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明．
【答案】(1)
(2)①见详解；②，证明见详解
【分析】（1）延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．
（2）①延长到G，使得，再连接、，根据证明，则可得，根据线段垂直平分线的性质可得，将，，转换
到一个三角形中，利用三角形三边之间的关系即可得出结论．
②由全等易知，又因，可得，可得三边之间存在勾股定理关系，据此解答．
【详解】（1）解：延长到E，使得，再连接，
∵是边上的中线，
∴
又∵，
则，
，
在中，，
∴，
∴，
则；
（2）解：①延长到G，使得，连接、．
∵D是边上的中点，
∴，
又∵，
则，
，
，
．
在中，，
．
②若，.证明如下：
若，则，
由①知，
∴，
，
即，
∴在中，，
又∵，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的做出辅助线是解题的关键．
【变式训练13-1】(24-25八下·陕西西安高陵区第四中学·期中)问题提出
（1）如图1，在中，．若，，，则______．
问题探究
（2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且．
求证：．
问题解决
（3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求得的长，再求即可；
（2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论；
（3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：于点，
在中，，在中，，
在中，，在中，，
，
；
（3）解：，，，
，
，
，，
，
点为的中点，
，
，
米，
骑行小道的长为米．
【变式训练13-2】已知，如图①，在中，，O为斜边的中点，分别交于点D，交于点E，且，连接，
(1)下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形的面积的2倍；③，其中正确的结论有 （填序号）；
(2)求证：；
(3)如图②题目中的条件改为，其余条件不变，则（2）中的结论还能成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由．
【答案】(1)②③
(2)见解析
(3)成立，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确找到全等三角形是解题的关键．
（1）①有三组全等三角形，分别为，，；②由即可证明；③由，得，而由勾股定理得，即可求证；
（2）则，，在中，由勾股定理得，再等量代换即可；
（3）延长至点，使得，连接，证明，则，，可得，再证明，则，在中有，则．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴为等腰直角三角形，，
∵O为斜边的中点，
∴，即，
则均为等腰直角三角形，
则，，
在与中，
∴，
∵，
∴．
在与中，
∴，
同理可证：，
∴①错，应该有3对全等的三角形；
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
∴
∴的面积等于四边形的面积的2倍，
∴②正确；
∵，
∴，
∴，
在等腰中，，由勾股定理得，
∴，
∴③正确，
故答案为：②③；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
∴；
（3）解：成立，理由如下，
证明：延长至点，使得，连接，
∵点为中点，
∴
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵中，
∴．
【变式训练13-3】(24-25八上·贵州贵阳清镇鸭池河学校·期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．
(1)若，，，，请求出，，，的值．
(2)若，，求的值．
(3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)“垂美”四边形对边的平方和相等
【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．
（1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解；
（3）由（1）（2）得到，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点，
，
，，，，
，，，，
，，，；
（2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点，
，
，，
，，
；
（3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等．
【变式训练13-4】(23-24八下·安徽淮南淮南实验中学·期末)【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：
①的度数为_______；
②线段、之间的数量关系为_______；
【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______．
【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2
【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；
②由，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）由“”可证，可得，即可求解；
（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解．
【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴；
故答案为：①；②；
（2），
理由如下：∵，和均为等腰直角三角形，
∴，，，
，
即，
在和中，
，
∴（），
∴，；
；
（3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（），
∴，
设，则，，，
∴
∴，
∴，，，
∴在中，．
故答案为：2．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式训练13-5】(23-24八下·安徽蚌埠·期中)如图，在中，．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键．
（1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证．
（2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明： ，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
移项得：．
故．
（2）解： ，，
，
，
，即，
，
，解得，
，
．
题型十四：勾股定理的证明
【例题14】【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．
【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理；
【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高；
【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，掌握利用面积证明勾股定理是解本题的关键．
（1）利用直角梯形的面积的两种表示，列式化简即可得证；
（2）设中边上的高为，计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；
（3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵
；
又，
，
∴，
；
（2），，
设中边上的高为，
，
∴，即边上的高是；
（3）在中，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴．
【变式训练14-1】(24-25七上·山东泰安新泰（五四制）·期中)教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
(1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，熟悉勾股定理的证明方法及应用是解题的关键；
（1）先计算出梯形的面积，另一方面此梯形还可表示为两条直角边分别为a、b的两个直角三角形的面积与一个等腰直角三角形面积的和，由此即可得出勾股定理；
（2）分别在与中，由勾股定理得;
，由此得到关于x的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
∴，
即；
（2）解：在中，;
在中，，
所以，
解得，
∴，
∴．
【变式训练14-2】
活动目标 巧妙运用几何问题解决实际问题；通过对几何图形的观察、分析、研究，从中归纳代数恒等式
活动任务 任务一：测量河两岸A、B两点间的距离 测量工具：测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图： 测量步骤： ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为． 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离
任务二：意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图①中空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为． （1）请用含a、b、c的代数式分别表示； （2）请利用达·芬奇的方法证明勾股定理
【答案】任务一：A、B两点间的距离为；任务二：（1），；（2）见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法．
任务一：证明，得出，根据，求出；
任务二：（1）根据图形利用正方形和直角三角形的面积公式即可求解；
（2）由得，化简即可得出结论．
【详解】任务一：
解：，
，
．
在和中，，
，
．
又，
，
即A、B两点间的距离为；
任务二：
（1）解：根据题意，得，．
（2）证明：由得，
．
【变式训练14-3】综合与实践．
如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【知识迁移】
（1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为，显然，用分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理；
【方法运用】
（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为________；
【拓展延伸】
（3）如图④，在中，是边上的高，，设，请直接写出x的值．
【答案】（1）见解析
（2）
（3）x的值为．
【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点．
（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；
（2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；
（3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可；
【详解】（1）解： ，，，，
，，，
，
，
；
（2）解：借助网格，可知，，
边上的高为：；
故答案为：；
（3）解：在中，，，，
，
在中，，，，
，
，
．
【变式训练14-4】（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为．
(1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．
①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________；
②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________；
③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理；
(2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．
【答案】(1)①，；②，；③；
(2)见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，熟练掌握通过图形面积关系验证勾股定理的方法是解题的关键．
（1）①通过观察图②，确定大、小正方形的边长；②分别从整体和部分的角度表示大正方形的面积；③根据面积相等得出等式，进而验证勾股定理．
（2）计算图③中图形的面积，从不同角度表示后，根据面积相等验证勾股定理．
【详解】（1）解：①大正方形的边长为，小正方形的边长为．
②大正方形的面积可以表示为，也可以表示为．
③由面积相等可得，
展开得，
整理得．
（2）解：梯形的面积为，又梯形的面积为，
∴，
∴，
两边同乘得，
整理得，验证了勾股定理．
【变式训练14-5】如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理．
请根据上述信息，回答下列问题：
(1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________；
(2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长．
【答案】(1)④；⑤；②
(2)
【分析】本题考查面积法验证勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）由图可知，割①补④，割⑤补⑥，割③补②；
（2）设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，利用图中大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，列出方程可求，再利用完全平方公式求出，则题目可解．
【详解】（1）解：如图所示，割①补④，割⑤补⑥，割③补②；
（2）解：设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，
由题意可知中间小正方形的边长为，
∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，
∴，
所以．
由勾股定理，得，
∴．
∵，
∴，
则一个直角三角形的周长．
