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专题2.5逆命题和逆定理九大题型（一课一讲）
①逆命题的定义
如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题就叫作它的逆命题
②逆定理的定义
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理。
③线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
题型一：写出一个命题的已知、求证及证明过程
【例题1】命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明步骤，证明该命题．
已知：如图，，______．
求证：______．
证明：
【答案】和分别平分和，，证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，命题的题设和结论，掌握相关知识是解决问题的关键．由可证，进而得出，可证．
【详解】已知：如图，，和分别平分和，
求证：．
证明：，
．
分别是和的角平分线，
，
．
在和中，
，
，
．
故答案为：和分别平分和，.
【变式训练1-1】(24-25八上·福建泉州第六中学·期中)命题证明，求证：等腰三角形两个底角的角平分线相等．
（根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程）
已知：
求证：
证明：
【答案】见解析
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，命题证明类问题；难点是写出已知和求证．先确定命题的题设和结论，据此画图用数学符号语言表示，再利用角平分线的性质及三角形全等进行证明．
【详解】已知：如图，在中，是的角平分线．
求证：．
证明：∵，是的角平分线．
∴，
∴，
又∵，
∴ ，
∴．
【变式训练1-2】(24-25八下·福建三明第十中学·月考)根据下列命题写出已知、求证，并完成证明过程．
命题：等腰三角形两腰的中线相等．
已知：___________
求证：___________．
【答案】见解析
【分析】本题考查了命题证明及全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键，根据命题证明的步骤，根据题意画出图形，写出已知，求证，进而根据等腰三角形性质和全等三角形的判定及性质证明即可．
【详解】解：已知：如图，在中，，为腰的中线．
求证：．
证明：∵，为腰的中线
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
【变式训练1-3】(23-24八上·江苏盐城射阳县实验初级中学·期末)小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程．
(1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证：
已知： ．
求证： ；
(2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）．
证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹）
【答案】(1)在中，；
(2)见解析．
【分析】本题主要考查了写出命题的已知求证、全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识点，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键．
（1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可；
（2）先作线段的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用直角三角形两锐角互余推出，进而证明得到，则，由此即可证明．
【详解】（1）解：已知：在中，．
求证： ．
故答案为：在中，．
（2）证明：如图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵中，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴
∴．
∵直线是线段的垂直平分线，
∴．
∴．
【变式训练1-4】(2025·云南省昆明市·三模)证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．请你补全已知和求证，并写出证明过程．
已知：如图，平分，点在上，___________．
求证：___________．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．结合题意补全已知和求证，证明，由全等三角形的性质可证明结论．
【详解】已知：如图，平分，点在上， ，，垂足分别为点，．
求证：．
证明：∵，，
∴；
∵在和中，
，
∴，
∴．
【变式训练1-5】(24-25八上·上海风华初级中学·期中)求证：不等边三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等．
（要求：根据命题，画出图形，再写出已知、求证，完成证明）
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是画出图形构造全等三角形，本题利用“”证明两个三角形全等即可．
【详解】已知：如图，是不等边的中线
求证：B点和C点到的距离相等．
证明：分别过B点和C点作于，于，
∴
∵是不等边的中线
∴，
又∵，
∴
∴，
∴B点和C点到的距离相等．
题型二：写出命题的逆命题
【例题2】写出命题“同角的余角相等”的逆命题： ．
【答案】如果两个角的余角相等，那么这两个角是同一个角
【分析】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果．命题的已知部分是条件，即题设，由条件得出结果是结论．把命题的条件和结论交换即可得其逆命题．
【详解】解：“同角的余角相等”的逆命题是，如果两个角的余角相等，那么这两个角是同一个角
故答案为：如果两个角的余角相等，那么这两个角是同一个角．
【变式训练2-1】写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 ．
【答案】两个三角形面积相等，则这两个三角形全等
【详解】本题考查命题的逆命题，解题的关键是明确原命题的条件和结论，再交换条件与结论得到逆命题．
确定原命题“两个全等三角形的面积相等”的条件和结论，交换原命题的条件和结论，得到逆命题．
【分析】解：原命题“两个全等三角形的面积相等”中，条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”．
根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到的逆命题为：“两个三角形面积相等则这两个三角形全等”．
故答案为：两个三角形面积相等，则这两个三角形全等．
【变式训练2-2】命题“如果，，那么”的逆命题是 ．它是 命题（填“真”或“假”）．
【答案】 如果，那么， 假
【分析】本题考查了写出命题的逆命题，并判断是真（假）命题，把命题的题设和结论对调即可得它的逆命题，解题的关键是分清题设和结论．交换命题的题设与结论得到原命题的逆命题，再通过举反例判断命题的真假．
【详解】解：逆命题是“如果，那么，” ；
当时，也有，，
“如果，那么，”的结论不成立，
逆命题是假命题．
故答案为：如果，那么，．假．
【变式训练2-3】已知命题：“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．”请你写出它的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
【答案】 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等 真
【分析】本题考查了命题的概念及三角形全等的性质，根据逆命题的概念即可直接作答，根据三角形全等的性质即可判断命题真假．
【详解】解：原命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．
则其逆命题为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等，
该命题为真命题．
故答案为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等；真．
【变式训练2-4】填空：
（1）命题“两直线平行，内错角相等”的条件是 ，结论是 ，这个命题的逆命题的条件是 ，结论是 ．
（2）命题“如果，那么”的条件是 ，结论是 ，这个命题的逆命题是 ．
【答案】 两直线平行 内错角相等 内错角相等 两直线平行 如果，则．
【分析】本题考查了命题的组成部分（条件和结论）以及逆命题的概念，解题的关键是明确命题中“如果”引导的部分是条件，“那么”引导的部分是结论，逆命题则是将原命题的条件和结论互换得到的命题．
（1）对于给定命题，先分离出条件和结论，条件是命题成立的前提，结论是由条件推出的结果；再通过交换原命题的条件和结论得到逆命题，进而确定逆命题的条件和结论．
（2）同样先找出原命题的条件（“如果”后的部分）和结论（“那么”后的部分）；再将条件和结论互换，得到该命题的逆命题．
【详解】解：（1）命题“两直线平行，内错角相等”可改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”．
因此，条件是“两直线平行”，结论是“内错角相等”．
其逆命题是“如果内错角相等，那么两直线平行”，所以逆命题的条件是“内错角相等”，结论是“两直线平行”．
（2）命题“如果那么”中，
条件是“”，结论是“”．
将条件和结论互换，得到逆命题是“如果那么”．
故答案为：（1）两直线平行；内错角相等；内错角相等；两直线平行；
（2）如果那么．
【变式训练2-5】(24-25八下·贵州黔东南苗族侗族从江县庆云镇初级中学·月考)命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等”的逆命题是 ．
【答案】如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等
【分析】本题考查命题与定理，关键掌握三角形全等的判定定理及性质．将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题．
【详解】解：∵原命题的条件是：如果两个三角形全等，
结论是：那么这两个三角形的对应边相等，
∴其逆命题是：如果两个三角形的对应边相等，那么两个三角形全等．
故答案为：如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等．
题型三：判断是否互为逆命题（定理）
【例题3】下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（ ）
A．同旁内角不互补，两直线平行
B．同旁内角不互补，两直线不平行
C．两直线平行，同旁内角互补
D．两直线不平行，同旁内角不互补
【答案】C
【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可．
【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”，
故选C．
【变式训练3-1】(24-25八上·河南南阳宛城区第三中学·月考)判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是 ( )
A．①② B．①④ C．②④ D．②③
【答案】D
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式．
根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断．
【详解】解：①对顶角相等没有逆定理；
②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行；
③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等；
④全等三角形的各角对应相等没有逆定理．
其中有逆定理的是：②③．
故选：D．
【变式训练3-2】(24-25八上·福建泉州洛江区·期末)“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题
【答案】A
【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可．
【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”
“相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”
条件和结论互换，所以是互为逆命题．
定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题，
所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理．
故选：A．
【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键．
【变式训练3-3】(24-25八下·陕西榆林榆阳区·期末)命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（ ）
A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|
【答案】C
【分析】交换题设和结论，即可得到答案．
【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|，
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论．
【变式训练3-4】数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1
C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my
【答案】C
【分析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；
B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合题意；
C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；
D、当m＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．
【变式训练3-5】下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角.
其中原命题与其逆命题都是真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】A
【分析】运用不等式的基本性质即可判断①的原命题和逆命题是否正确；
运用不等式的基本性质先判断出②的原命题是否正确，再判断逆命题“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是否正确；运用直角三角形的性质判断③的原命题正确与否，再判断逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形”正确与否，问题即可解答.
【详解】①：原命题“如果a＞b，那么a+c＞b+c”是真命题；逆命题“如果a+c＞b+c，那么a＞b”是真命题.
②：原命题“如果a≥0，b＜0，那么ab≤0”是真命题；逆命题“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是假命题，可能还存在a＞0，b≤0，或a＜0，b≥0，或a≤0，b＞0的情况.
③：原命题“直角三角形有两个锐角”是真命题；逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形”是假命题，如钝角三角形.
故只有①的原命题与其逆命题都是真命题.
故选A.
【点睛】本题考查判断原命题与逆命题正确与否的问题，首先判断原命题的条件及结论，将其对调即可写出其逆命题是解题的关键.
题型四：利用线段垂直平分线的判定相关求解
【例题4】如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键．
先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得．
【详解】解：∵，且点为线段的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【变式训练4-1】(24-25七下·陕西咸阳礼泉县·期末)如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得．
【详解】解： 为的中点，
，
，
，，
在与中，
，
，
，，
，
，，
，
故选：A．
【变式训练4-2】(24-25八下·陕西西安西咸新区·期末)如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴点P在线段的垂直平分线上，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
故选：A．
【变式训练4-3】在中，．若，点A到的距离是6，点O到的距离是4，则（ ）
A．2 B．8或10 C．2或10 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是求出是的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
分两种情况：①在内，②在外，先根据线段垂直平分线求出是线段的垂直平分线，即可得出，，即可得到结论．
【详解】解：如图所示，
，，
、都在线段的垂直平分线上，
，
点到的距离为6，点到的距离为4，
，，
①在内，
，
②在外，
．
故选：C．
【变式训练4-4】(24-25八上·福建莆田仙游县初中第四教研片区·期中)如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查中垂线的判定和性质，等边对等角，延长至点，延长至点，连接，推出垂直平分，垂直平分，得到，进而得到的周长，得到当四点共线时，的周长最小，根据等边对等角，三角形的内角和定理，求出的度数即可．
【详解】解：延长至点，延长至点，连接，
则：，
∵，
∴垂直平分，垂直平分，
∴，
∴的周长，
∴当四点共线时，的周长最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【变式训练4-5】(24-25八上·河北廊坊霸州·期末)如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵在中，点D是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练4-6】(24-25八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中)风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ．
【答案】
【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．利用线段垂直平分线的判定定理判定垂直平分，再利用即可求解．
【详解】解：设与交于点，
∵，
∴点在的垂直平分线上，
∵，
∴点在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：2700．
题型五：利用线段垂直平分线的判定判断结论是否正确
【例题5】如图，平分，于点E，于点F，连接交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，三角形三边关系，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到，，得出，得到，得出，根据三角形三边关系得到，由，即可得到答案．
【详解】解： 平分，于点，于点，
，，，故B正确；
，
，
∴垂直平分，无法证明垂直平分，故C错误；
，
，故A正确；
∵，
∴，故D正确；
故选：C．
【变式训练5-1】如图，在中，是的平分线，于点E，于点F．则下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合角平分线的性质得，再证明，故，根据，，得出是的垂直平分线，即可作答．
【详解】解：∵是的平分线，于点E，于点F．
∴
故B选项正确，不符合题意；
∵是的平分线，于点E，于点F．
∴
∵
∴
∴，
故C选项正确，不符合题意；
∵，
∴是的垂直平分线，
∴
故A选项正确，不符合题意；
无法得出
故D选项不正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练5-2】学习情境·问题讨论如图，直线l与线段交于点O，点P在直线l上，且．小明说：“直线l是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（ ）
A．小明说得不对
B．小亮说得对，可添条件为“”
C．小亮说得对，可添条件为“”
D．小亮说得对，可添条件为“平分”
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的知识，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．
【详解】解：A、可添条件为才能说：直线l是的垂直平分线；
B、添条件为，则，
不能证明；
C、添条件为，
在和中，
，
，
，
，
直线l是的垂直平分线；
D、添条件为平分，
在和中，
，
，
，
，
直线l是的垂直平分线；
故选：B．
【变式训练5-3】(24-25八下·福建三明·期末)如图，，，下列结论一定正确的是（ ）
A．平分 B．垂直平分
C．垂直平分 D．与互相垂直平分
【答案】C
【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论
【详解】解：∵，，
∴点A、 B 在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
故选：C
【变式训练5-4】(24-25八上·广东广州华南师范大学附属中学·期末)如图，在中，，、分别为边、上的点，与相交于点，，下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．连接，则所在的直线垂直平分
D．四边形的面积与的面积相等
【答案】D
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：在和中，
，
，故A正确，不符合题意；
，
，
，
，
，故B正确，不符合题意；
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
直线是的垂直平分线，
即所在的直线垂直平分，故C正确，不符合题意；
④当时，则，
在和中，
，
，
，
，
由于缺乏条件，故不能判定，故D错误，符合题意，
故选：D．
【变式训练5-5】如图，四边形中，连接交于点O，得到了如下结论，其中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定，
先根据线段垂直平分线的判定得直线是线段的垂直平分线，可判断A，B，再根据“边边边”证明全等说明C，不能说明的关系，判断D即可．
【详解】∵，
∴点D在线段的垂直平分线上．
∵，
∴点B在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴．
则A，B正确；
∵，
∴．
可知C正确；
不能确定的关系，
所以D不正确．
故选：D．
【变式训练5-6】如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，，证明垂直平分线段可得结论．
【详解】解：连接，．
由作图可知，，
垂直平分线段，
，
．
故选：C．
题型六：利用垂直平分线的判定简单证明
【例题6】如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，求证：点在的垂直平分线上．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质以及线段的垂直平分线的判定，掌握“到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上”是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理证明得，根据线段的垂直平分线的判定证明结论．
【详解】证明：在和中，
，
，
点在的垂直平分线上．
【变式训练6-1】(24-25八上·陕西西安周至县·期末)如图，为的角平分线，点、分别在、上，且，连接交于点．求证：垂直平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，由角平分线的定义可得，再证明得出，，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】证明：是的角平分线，
．
在和中，
，
∴，
∴，，
点、都在的垂直平分线上，
垂直平分．
【变式训练6-2】如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接，和．求证：点在的垂直平分线上．
【答案】见解析
【分析】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案；
【详解】证明：∵点在的垂直平分线上，
∴，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上．
【变式训练6-3】(24-25八下·河南郑州航空港区·期末)如图，已知，与相交于点E．
(1)请你添加一个条件使，并加以证明，
(2)在第（1）问的条件下延长、交于点P，直线是线段的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)添加条件为：，证明见解析
(2)是，证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）添加条件为：，然后证明出即可；
（2）延长、交于点P，根据题意证明出，得到，，判断出点E在的垂直平分线上，然后证明出，得到，判断出点P在的垂直平分线上，即可证明直线是线段的垂直平分线．
【详解】（1）添加条件为：
∵，，
∴；
（2）是，证明如下：
如图所示，延长、交于点P，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∴点E在的垂直平分线上
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴点P在的垂直平分线上
∴直线是线段的垂直平分线．
【变式训练6-4】(24-25八下·陕西渭南临渭区·期中)如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用．
证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴点A和点D在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【变式训练6-5】(24-25八·陕西渭南高新区·期中)如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证：
(1)；
(2)垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
（1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出；
（2）由，得出．根据题意又易证，结合，可证，即得出，即，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵，即，
∴．
∵点E是的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即．
∴垂直平分．
题型七：垂直平分线的判定综合解答题
【例题7】如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点．
(1)求证：是的垂直平分线；
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键；
（1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证；
（2）根据求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴A、D都在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线；
（2）解：∵，，，
∴
．
【变式训练7-1】(24-25八上·吉林四平伊通满族自治县·期末)如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10．
(1)求的长；
(2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)点在边的垂直平分线上，理由见解析
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论；
（2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论．
【详解】（1）垂直平分，
，
同理，
；
（2）点在边的垂直平分线上，
理由：连接，，，
与是，的垂直平分线，
，，
，
点在边的垂直平分线上．
【变式训练7-2】如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若的周长为，求的长．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三角形的外角：
（1）先证明是的垂直平分线，等边对等角求出的度数，再结合三角形的外交以及中垂线的性质，等边对等角求出的度数即可；
（2）先求出的长，再根据线段的转化，得到，进而求出的长即可．
【详解】（1）解：∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【变式训练7-3】如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G．
(1)试说明：垂直平分；
(2)若，请问满足什么条件时，？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定等知识点
（1）由题意，证明再证明，得到，且，即可推出结论；
（2）由已知推出，证明再由三角形内角和推出，即可推出结论．
【详解】（1）证明：∵为的角平分线，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，且，
∴垂直平分．
（2）当时，．
理由：当时，．
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴当时，．
【变式训练7-4】(24-25八上·河北邯郸广平县广平县实验中学·期中)如图，点在的平分线上，点分别在上，且．
(1)求证：；
(2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题．
①试说明平分；
②若，，求点P到射线的距离．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②点P到射线的距离为2．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定，线段垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）利用证明，即可证明；
（2）①过点作的垂线，垂足分别为，利用角平分线的性质求得，即可证明平分；
②先证明是线段的垂直平分线，利用三角形的面积公式求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵点在的平分线上，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：①过点作的垂线，垂足分别为，
∵点在的平分线上，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分；
②由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴点恰好是与的交点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即点P到射线的距离为2．
【变式训练7-5】(24-25八上·山东德州禹城·期中)已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点，
(1)求证：；
(2)连接，求证：垂直平分．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据平行的性质证，即可证明，可得，易证，即可解题；
（2）连接交于点，易，，根据，可求得，即可证明，可得，，即可求得，即可解题．
【详解】（1） ，
，
，，
，
在和中，
，
，
点是的中点，
，
；
（2）连接交于点，
,点是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
，
垂直平分．
题型八：垂直平分线与尺规作图结合
【例题8】如图是由小正方形形成的格，的顶点A、B、C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两图．
(1)在图中，画出的高；
(2)在图中，P是与网格线的交点，先画线段关于对称的线段，再在上画点N．使得．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）由格点三角形得和为等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，即可求解；
（2）取格点，则有，可得，则线段关于对称线段为，根据角的对称性即可；取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，连接交于，结合全等三角形判定及性质、平移等得垂直平分，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
线段为所求作；
由格点三角形得和为等腰直角三角形，
，
，
，
，
是的高；
（2）解：如图，线段和点为所求作；
取格点，则有，可得，则线段关于对称线段为，如图交网格与点，同理通过全等三角形可证，则关于的对称点为，故关于对应线段是；
取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，连接交于，则是的中点；构建，可证，同理可证，则有，同理可找出的中点，同理通过全等三角形可证，则有，故可将平移至交于，可得，则有垂直平分，故有．
【点睛】本题考查了网格作图，平移的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定及性质，能利用相关知识点找出所求的点是解题的关键．
【变式训练8-1】(24-25八上·河南信阳羊山中学·期末)已知中，．
(1)根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）：
①作的平分线交于D；
②作线段的垂直平分线交于E，交于F，垂足为H；
(2)求证： ．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
【分析】此题重点考查尺规作图、角平分线的定义、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定等知识，正确地作出的平分线及线段的垂直平分线是解题的关键．
①按照基本作图“作已知角的平分线”的要求作的平分线，交于点D即可；
②按照基本作图“作已知线段的垂直平分线”的要求作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点H即可．
因为垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点H，所以，而，，即可根据“”证明
【详解】（1）解：①作的平分线，交于点D；
②作的垂直平分线，交于点E，交于点F，垂足为点H，
线段及线段即为所求．
（2）证明：垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点H，
，
平分，
，
在和中，
，
．
【变式训练8-2】(23-24八·山东青岛即墨区·月考)电信部门要在S区修建一座手机信号发射塔点P，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路，的距离也必须相等，请在图中用尺规作图作出手机信号发射塔点P（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，结合角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点P，则点P即为所求．
【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点P，
则点P即为所求．
【变式训练8-3】(24-25八上·广东佛山顺德区建安中学·期中)（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程．
要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____
（2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由．
（3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线．
【答案】（1），，，；（2）见解析；（3）见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键；
（1）利用线段垂直平分线定理的逆定理；
（2）连接、，它们相交于点，延长交于，如图（2），证明得到，则，然后根据线段垂直平分线的判定定理可判断垂直平分；
（3）如图（3），连接、、、，与相交于，延长交于，则为所作．
【详解】（1）证明：∵，，
直线垂直平分；
故答案为，；
（2）如图，连接、，它们相交于点，延长交于，如图（2），则为的垂直平分线．
理由如下：
，
，
，，
，
，
，
而，
垂直平分；
（3）如图（3），为所作．
题型九：垂直平分线判定解答题压轴
【例题9】(24-25七下·山西太原·期末)阅读与思考：
下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
关于“筝形”的研究报告 研究对象：筝形 研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）——猜想——推理 研究内容： 一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图1，四边形中，，则四边形为“筝形” 特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下： 定义：如图2，筝形中，，，若，则称四边形为直角筝形． 性质：根据定义，探索图2中直角筝形的性质，得到如下结论： 关于内角：直角筝形中，与互补． 理由如下：连接对角线． 中，， ， …… 关于对角线：……
任务：
(1)补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程；
(2)小颖在图2的基础上连接对角线，交于点O，得到图3，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由；
(3)在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点E在射线上．若，则的度数为_________
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)40或90
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键．
（1）同理可得，则可得到，即，据此可证明结论；
（2）证明，得到，则平分与；再证明，可得，，则垂直平分；
（3）当点E在延长线上时，连接交于T，由题意得，同理可证明，，则可求出，据此可得答案；当当点E在上时，则．
【详解】（1）解：理由如下：连接对角线．
中，，
，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，即与互补；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∴平分与；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分；
（3）解：如图所示，当点E在延长线上时，连接交于T，
∵四边形是直角筝形，
∴，
同理可证明，，
∴，
∴．
如图所示，当点E在上时，则；
综上所述，或。
【变式训练9-1】(24-25八下·河南安阳滑县创新考试·月考)风筝（图1）的起源可以追溯到春秋时期，距今已有2000多年的历史．相传，墨翟（墨子）用木头制作了一只木鸟，经过三年的研制，最终成功飞行，这被认为是人类最早的风筝起源．某同学依据风筝模型，设计了图2中的筝形，已知．
(1)说明垂直平分；
(2)回顾所学公式，试猜想与的大小，并说明理由；
(3)在（1）（2）的基础上解决下面问题：某同学要做一个面积为的筝形风筝时，用来做对角线的竹条有75厘米，请问能否做成？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)不能做成，理由见解析
【分析】本题主要查了线段垂直平分线的判定，完全平方公式的应用．熟练掌握线段垂直平分线的判定，完全平方公式是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的判定定理解答即可；
（2）根据完全平方公式解答即可；
（3）设，可得，从而得到．再由（2）知，，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，点C也在线段的垂直平分线上．
又∵线段的垂直平分线只有一条，
∴垂直平分．
（2）解：与的大小关系为：，
理由如下：
∵，
∴，
∴．
（3）解：不能做成，理由如下：
设，
∵筝形的对角线互相垂直，
∴，
∴．
由（2）知，，
∴，
即，
∴用来做对角线的竹条至少要80厘米．
∵，
∴不能做成．
【变式训练9-2】(24-25八上·陕西渭南白水县·期末)【问题探究】
（1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：；
【问题解决】
（2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的判定以及性质以及三角形三边关系的应用．构造全等三角形是解题的关键．
（1）先证明，由全等三角形的性质得出，再根据线段垂直平分线的判定以及性质得出，根据三角形三边关系可得出 ，等量代换可得出．
（2）延长至点，使，连接，先证明，再证明，由全等三角形的性质以及线段的和差等量代换可证明．
【详解】证明：（1）点是的中点，
，
，
，
．
，
垂直平分 ，
，
在 中，
，
．
（2），
证明如下：
如图，延长至点，使 ，连接 ，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【变式训练9-3】(24-25八上·山东临沂郯城县·期中)在数学实验课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠为主题”开展数学活动操作发现：对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1，发现四边形满足：，，查阅资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
初步应用：
(1)如图1，在中，若，，那么________
性质探究：借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、猜测、证明等方法，同学们对筝形的性质进行了研究，如图2，求证：
(2)；
(3)，．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）可证，可得，即可求解；
（2）可证；
（3）由线段垂直平分线的性质可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，可证垂直平分线段，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【详解】（1），
．
在和中，
，
，
，
，
（2）证明：
在和中，
，
∴．
（3）（方法不唯一）
证明：∵，
∴点A在的垂直平分线上，
∵，
∴点在的垂直平分线上，
∴垂直平分线段，
即，．
【变式训练9-4】(24-25八上·山东临沂兰山区·期中)在学习了全等三角形和角平分线的知识后，王老师组织全班同学开展了测量学校餐厅楼顶和教学楼顶之间距离的实践活动．如下图所示，已知餐厅高度，教学楼高度为的中点，分别为和的角平分线，请根据两位学生的对话任意选择一种方法，并求出的长度．
【答案】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．延长交于点，证明，得出，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论．
【详解】解：延长交于点，
的中点为，
，
由题意可得：，
，
在和中，
，
，
由题意分析得，，
，
分别为和的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
．中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.5逆命题和逆定理九大题型（一课一讲）
①逆命题的定义
如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题就叫作它的逆命题
②逆定理的定义
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理。
③线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
题型一：写出一个命题的已知、求证及证明过程
【例题1】命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明步骤，证明该命题．
已知：如图，，______．
求证：______．
证明：
【变式训练1-1】(24-25八上·福建泉州第六中学·期中)命题证明，求证：等腰三角形两个底角的角平分线相等．
（根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程）
已知：
求证：
证明：
【变式训练1-2】(24-25八下·福建三明第十中学·月考)根据下列命题写出已知、求证，并完成证明过程．
命题：等腰三角形两腰的中线相等．
已知：___________
求证：___________．
【变式训练1-3】(23-24八上·江苏盐城射阳县实验初级中学·期末)小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程．
(1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证：
已知： ．
求证： ；
(2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）．
证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹）
【变式训练1-4】(2025·云南省昆明市·三模)证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．请你补全已知和求证，并写出证明过程．
已知：如图，平分，点在上，___________．
求证：___________．
【变式训练1-5】(24-25八上·上海风华初级中学·期中)求证：不等边三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等．
（要求：根据命题，画出图形，再写出已知、求证，完成证明）
题型二：写出命题的逆命题
【例题2】写出命题“同角的余角相等”的逆命题： ．
【变式训练2-1】写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 ．
【变式训练2-2】命题“如果，，那么”的逆命题是 ．它是 命题（填“真”或“假”）．
【变式训练2-3】已知命题：“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．”请你写出它的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
【变式训练2-4】填空：
（1）命题“两直线平行，内错角相等”的条件是 ，结论是 ，这个命题的逆命题的条件是 ，结论是 ．
（2）命题“如果，那么”的条件是 ，结论是 ，这个命题的逆命题是 ．
【变式训练2-5】(24-25八下·贵州黔东南苗族侗族从江县庆云镇初级中学·月考)命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等”的逆命题是 ．
题型三：判断是否互为逆命题（定理）
【例题3】下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（ ）
A．同旁内角不互补，两直线平行
B．同旁内角不互补，两直线不平行
C．两直线平行，同旁内角互补
D．两直线不平行，同旁内角不互补
【变式训练3-1】(24-25八上·河南南阳宛城区第三中学·月考)判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是 ( )
A．①② B．①④ C．②④ D．②③
【变式训练3-2】(24-25八上·福建泉州洛江区·期末)“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题
【变式训练3-3】(24-25八下·陕西榆林榆阳区·期末)命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（ ）
A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|
【变式训练3-4】数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1
C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my
【变式训练3-5】下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角.
其中原命题与其逆命题都是真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
题型四：利用线段垂直平分线的判定相关求解
【例题4】如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【变式训练4-1】(24-25七下·陕西咸阳礼泉县·期末)如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【变式训练4-2】(24-25八下·陕西西安西咸新区·期末)如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【变式训练4-3】在中，．若，点A到的距离是6，点O到的距离是4，则（ ）
A．2 B．8或10 C．2或10 D．8
【变式训练4-4】(24-25八上·福建莆田仙游县初中第四教研片区·期中)如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-5】(24-25八上·河北廊坊霸州·期末)如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ．
【变式训练4-6】(24-25八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中)风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ．
题型五：利用线段垂直平分线的判定判断结论是否正确
【例题5】如图，平分，于点E，于点F，连接交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．
【变式训练5-1】如图，在中，是的平分线，于点E，于点F．则下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】学习情境·问题讨论如图，直线l与线段交于点O，点P在直线l上，且．小明说：“直线l是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（ ）
A．小明说得不对
B．小亮说得对，可添条件为“”
C．小亮说得对，可添条件为“”
D．小亮说得对，可添条件为“平分”
【变式训练5-3】(24-25八下·福建三明·期末)如图，，，下列结论一定正确的是（ ）
A．平分 B．垂直平分
C．垂直平分 D．与互相垂直平分
【变式训练5-4】(24-25八上·广东广州华南师范大学附属中学·期末)如图，在中，，、分别为边、上的点，与相交于点，，下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．连接，则所在的直线垂直平分
D．四边形的面积与的面积相等
【变式训练5-5】如图，四边形中，连接交于点O，得到了如下结论，其中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-6】如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型六：利用垂直平分线的判定简单证明
【例题6】如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，求证：点在的垂直平分线上．
【变式训练6-1】(24-25八上·陕西西安周至县·期末)如图，为的角平分线，点、分别在、上，且，连接交于点．求证：垂直平分．
【变式训练6-2】如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接，和．求证：点在的垂直平分线上．
【变式训练6-3】(24-25八下·河南郑州航空港区·期末)如图，已知，与相交于点E．
(1)请你添加一个条件使，并加以证明，
(2)在第（1）问的条件下延长、交于点P，直线是线段的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【变式训练6-4】(24-25八下·陕西渭南临渭区·期中)如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分．
【变式训练6-5】(24-25八·陕西渭南高新区·期中)如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证：
(1)；
(2)垂直平分．
题型七：垂直平分线的判定综合解答题
【例题7】如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点．
(1)求证：是的垂直平分线；
(2)若，，，求的面积．
【变式训练7-1】(24-25八上·吉林四平伊通满族自治县·期末)如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10．
(1)求的长；
(2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
【变式训练7-2】如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若的周长为，求的长．
【变式训练7-3】如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G．
(1)试说明：垂直平分；
(2)若，请问满足什么条件时，？请说明理由．
【变式训练7-4】(24-25八上·河北邯郸广平县广平县实验中学·期中)如图，点在的平分线上，点分别在上，且．
(1)求证：；
(2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题．
①试说明平分；
②若，，求点P到射线的距离．
【变式训练7-5】(24-25八上·山东德州禹城·期中)已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点，
(1)求证：；
(2)连接，求证：垂直平分．
题型八：垂直平分线与尺规作图结合
【例题8】如图是由小正方形形成的格，的顶点A、B、C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两图．
(1)在图中，画出的高；
(2)在图中，P是与网格线的交点，先画线段关于对称的线段，再在上画点N．使得．
【变式训练8-1】(24-25八上·河南信阳羊山中学·期末)已知中，．
(1)根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）：
①作的平分线交于D；
②作线段的垂直平分线交于E，交于F，垂足为H；
(2)求证： ．
【变式训练8-2】(23-24八·山东青岛即墨区·月考)电信部门要在S区修建一座手机信号发射塔点P，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路，的距离也必须相等，请在图中用尺规作图作出手机信号发射塔点P（保留作图痕迹，不写作法）．
【变式训练8-3】(24-25八上·广东佛山顺德区建安中学·期中)（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程．
要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____
（2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由．
（3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线．
题型九：垂直平分线判定解答题压轴
【例题9】(24-25七下·山西太原·期末)阅读与思考：
下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
关于“筝形”的研究报告 研究对象：筝形 研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）——猜想——推理 研究内容： 一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图1，四边形中，，则四边形为“筝形” 特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下： 定义：如图2，筝形中，，，若，则称四边形为直角筝形． 性质：根据定义，探索图2中直角筝形的性质，得到如下结论： 关于内角：直角筝形中，与互补． 理由如下：连接对角线． 中，， ， …… 关于对角线：……
任务：
(1)补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程；
(2)小颖在图2的基础上连接对角线，交于点O，得到图3，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由；
(3)在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点E在射线上．若，则的度数为_________
【变式训练9-1】(24-25八下·河南安阳滑县创新考试·月考)风筝（图1）的起源可以追溯到春秋时期，距今已有2000多年的历史．相传，墨翟（墨子）用木头制作了一只木鸟，经过三年的研制，最终成功飞行，这被认为是人类最早的风筝起源．某同学依据风筝模型，设计了图2中的筝形，已知．
(1)说明垂直平分；
(2)回顾所学公式，试猜想与的大小，并说明理由；
(3)在（1）（2）的基础上解决下面问题：某同学要做一个面积为的筝形风筝时，用来做对角线的竹条有75厘米，请问能否做成？并说明理由．
【变式训练9-2】(24-25八上·陕西渭南白水县·期末)【问题探究】
（1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：；
【问题解决】
（2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明．
【变式训练9-3】(24-25八上·山东临沂郯城县·期中)在数学实验课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠为主题”开展数学活动操作发现：对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1，发现四边形满足：，，查阅资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
初步应用：
(1)如图1，在中，若，，那么________
性质探究：借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、猜测、证明等方法，同学们对筝形的性质进行了研究，如图2，求证：
(2)；
(3)，．
【变式训练9-4】(24-25八上·山东临沂兰山区·期中)在学习了全等三角形和角平分线的知识后，王老师组织全班同学开展了测量学校餐厅楼顶和教学楼顶之间距离的实践活动．如下图所示，已知餐厅高度，教学楼高度为的中点，分别为和的角平分线，请根据两位学生的对话任意选择一种方法，并求出的长度．
